周期为2π的周期函数转换为傅里叶级数
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以2l为周期的函数的傅里叶级数
以2l为周期的函数的傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
a0 nπx nπx f ( x ) (an cos bn sin ), 2 n1 l l
(3)
1 l nπx an f ( x )cos dx , l l l 1 l nπx bn f ( x )sin dx , l l l
以2l为周期的函数的傅里叶级数
x
2 n x a 2 n x a 2 sin |0 sin |a n a n a 2
4 n sin n 2
以2l为周期的函数的傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
a0 4 n n x n x sin cos f ( x ) an cos 2 a 2 n 1 l n 1 n
(1) 如果f ( x )为奇函数, 则有
n 0,1,2,, n 1,2,3,.
(4)
nx f ( x ) bn sin , l n 1
2 l n x 其中系数 bn f ( x )sin dx , 0 l l
以2l为周期的函数的傅里叶级数
( n 1,2,)
§9.4 傅里叶级数
三、以2l为周期的函数的傅里叶级数
设 f (x)是以 2l 为周期的函数, 通过变量替换:
πx l y 或 x y, l π
就可以将 f 变换成以 2π 为周期的关于变量 y 的函数
l f x f π
y ( y ).
以2l为周期的函数的傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
( 2) 如果f ( x )为偶函数,
则有
a0 nx f ( x ) an cos , 2 n 1 l
2 l n x 其中系数 an f ( x )cos dx 0 l l
高等数学(下册)第7章第7讲周期为2π的函数的傅里叶级数
(an
cos nx bn
sin nx), x C
.
8
二、周期为 2π的函数展开成傅里叶级数
2. 傅里叶级数的收敛性
定理7.12 （收敛定理，狄利克雷充分条件）
设 f (x) 是周期为 2 的周期函数.如果 f (x) 满足条件：
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,
(2)在一个周期内至多只有有限个极值点,
如果定义[0, ]上的函数 f (x) 满足收敛定理的条件, 那么 f (x) 也可以展开
成傅里叶级数.根据延拓方式不同, 分别可以展开成正弦级数和余弦级数.
(1) 在区间 ( ,0) 内补充函数 f (x) 的定义, 使 f (x) 延拓为( , ) 内的
f (x),
奇函数
F
(x)
0,
f (x),
f
(x)
x， x 0， 0， 0 x .
将 f (x) 展为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.
P40 例 7.39
在函数 f (x) 的间断点 x (2k 1) (k 0,1,2,) 处, 傅里叶级数收敛于 - 3π .傅里叶级数的和函数如图所示.
2
y
- 2π - π
O-
π 2
( x), [ f (x
0)
f (x 0)],
x [0, ]且x为f (x)的连续点; x [0, ]且x为f (x)的间断点.
注
实际上,
系数计算公式为 an
2
0
f (x) cosnxdx， n 0,1,2,;
bn 0,
n 1,2,.
因此“奇延拓”+“周期延拓”的步骤可以省略.
18
二、周期为 2π的函数展开成傅里叶级数
一般周期的傅里叶级数
2, 1 x 0,
f
(
x)
x3
,
0 x 1,
3 则f (x)的Fourier级数在x 1处收敛于____2_____.
解
S(1)
f (1 0) 2
f
(1
0)
2 1 2
3 2
.
说明: 如果 f (x) 为奇函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处)
其中 bn
f (x)sin n x d x
0
2
2 x sin n x 2 2 cos n x 2
n
2 n
20
4
n2
2
(1)n
1
f
(x)
x
1
8
2
k 1(2k
1 1) 2
cos
(2k
1) x 2 (0
x
2
)
内容小结
周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式
f (x) a0 2
(x 间断点)
其中
1 l
l
l
f
(x) cos
n
l
x
d
x
1 l
f (x) cos nπx dx l
, n N;
bn
1 l
l
l
f
(
x)
sin
nπx l
dx
或
1 l
2 0
l
f
(x) sin
nπx l
dx
,n Z;
f
(x)
~
a0 2
n1
an
cos
nπ l
x bn
sin
nπ l
x.
Dirichlet定理 设f (x)在[l, l]或[0, 2l](l 0)
高等数学：第十讲 以2Π为周期的函数展开成傅里叶函数
周期为2π的函数 展开成傅里叶级数
目录
01 什么是傅里叶级数 02 周期为2π的傅里叶级数 03 方波信号的傅里叶级数分析
01 什么是傅里叶级数
傅里叶级数实质上是下列形式的三角级数
a0
2
n1
an
cos
nx
bn
sin
nx
傅里叶 (1768 – 1830) 法国数学家
任何周期信号都可以表示为正弦信号的线性叠加。
02 周期为2π的函数展开成傅里叶级数
定理1. 设 f (x) 是以 2π 为周期的函数 , 能展开成三角级数
傅里叶级数
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
nx)
①
且如果右端级数可逐项积分, 则有
傅里叶系数
② 正弦信号的幅值分量
02 周期为2π的函数展开成傅里叶级数
定理2 (狄利克雷充分条件) 设 f (x)是周期为2π 的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1 , π x 0
f (x)
1,
0 xπ
将 f (x)展成傅里叶级数。
解 判断函数满足狄利克雷充分条件
y
1
第一步，先求傅里叶系数
a0
1 π
π π
f (x)d x
πO π
x
1
1 π
0
π
(1)
cos
nx
d
x
1 π
π
0
1
cos
nx
d
x
( n 1, 2, )
例题：
0
第二步，写出傅里叶级数
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
目录
01 什么是傅里叶级数 02 周期为2π的傅里叶级数 03 方波信号的傅里叶级数分析
01 什么是傅里叶级数
傅里叶级数实质上是下列形式的三角级数
a0
2
n1
an
cos
nx
bn
sin
nx
傅里叶 (1768 – 1830) 法国数学家
任何周期信号都可以表示为正弦信号的线性叠加。
02 周期为2π的函数展开成傅里叶级数
定理1. 设 f (x) 是以 2π 为周期的函数 , 能展开成三角级数
傅里叶级数
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
nx)
①
且如果右端级数可逐项积分, 则有
傅里叶系数
② 正弦信号的幅值分量
02 周期为2π的函数展开成傅里叶级数
定理2 (狄利克雷充分条件) 设 f (x)是周期为2π 的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1 , π x 0
f (x)
1,
0 xπ
将 f (x)展成傅里叶级数。
解 判断函数满足狄利克雷充分条件
y
1
第一步，先求傅里叶系数
a0
1 π
π π
f (x)d x
πO π
x
1
1 π
0
π
(1)
cos
nx
d
x
1 π
π
0
1
cos
nx
d
x
( n 1, 2, )
例题：
0
第二步，写出傅里叶级数
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
以2为周期的函数展开成傅里叶级数解读
an 0 (n 1,2,) 时,级数只含正弦项,称为正弦级数.
当 bn 0(1,2,) 时，级数只含常数项和余弦项，称为余 弦级数.
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一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数
1．三角函数系的正交性 三角函数系{1, cos x, sin x, cox 2 x, sin 2 x,}
①
定理 1 (三角函数系的正交性) 三角函数系 ① 中任意两个不同函数的乘积在[ π, π ]上的积分 等于 0 ,具体地说就是有
cos nxdx 0, sin nxdx 0 (n 1,2,3) , sin kx cos nxdx 0 (k , n 1,2,3) , cos kx cos nxdx 0 (k , n 1,2,3, n k ) , sin kx cos nxdx 0 (k , n 1,2,3, n k ) .
(1) 当 x 是 f ( x) 的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2) 当 x 是 f ( x) 的 间 断 点 时 , 级 数 收 敛 于 这 f (x ) f (x ) 一点左右极限的算术平均数 . 2
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正弦交流电 I ( x) sin x 经二极管整流后( 右图 ) 变为 (2k -1)π x 2kπ , 0, f ( x) 2kπ x (2k 1)π , sin x, k 为整数, 把 f ( x) 展开为傅里叶级数. 例1
由 f ( x) 的傅里叶系数所确定的三角级数 a0 (an cos nx bn sin nx) , 2 n 1
称为 f ( x) 的傅里叶级数.
当 bn 0(1,2,) 时，级数只含常数项和余弦项，称为余 弦级数.
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一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数
1．三角函数系的正交性 三角函数系{1, cos x, sin x, cox 2 x, sin 2 x,}
①
定理 1 (三角函数系的正交性) 三角函数系 ① 中任意两个不同函数的乘积在[ π, π ]上的积分 等于 0 ,具体地说就是有
cos nxdx 0, sin nxdx 0 (n 1,2,3) , sin kx cos nxdx 0 (k , n 1,2,3) , cos kx cos nxdx 0 (k , n 1,2,3, n k ) , sin kx cos nxdx 0 (k , n 1,2,3, n k ) .
(1) 当 x 是 f ( x) 的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2) 当 x 是 f ( x) 的 间 断 点 时 , 级 数 收 敛 于 这 f (x ) f (x ) 一点左右极限的算术平均数 . 2
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正弦交流电 I ( x) sin x 经二极管整流后( 右图 ) 变为 (2k -1)π x 2kπ , 0, f ( x) 2kπ x (2k 1)π , sin x, k 为整数, 把 f ( x) 展开为傅里叶级数. 例1
由 f ( x) 的傅里叶系数所确定的三角级数 a0 (an cos nx bn sin nx) , 2 n 1
称为 f ( x) 的傅里叶级数.
§8.4 傅里叶(Fourier)级数
π 1 l an= ∫ f ( x) cos n xdx,(n = 0,1,2,L) l −l l π 1 l bn= ∫ f ( x) sin n xdx,(n = 1,2,L) l −l l
例8.4.5设f ( x )是周期为4的函数， 且在[ −2， ]上的表达式为 2 0.当 − 2 ≤ x ≤ 0时； f ( x) = 1， 当0 ≤ x < 2时。 将f ( x )展开成傅里叶级数。
例8.4.1设方波函数y ( x )的周期为2π， 它在[ −π， π ]上的表达式为 − 1,−π ≤ x < 0; y( x) = 1,0 ≤ x < π . 把y ( x )展开成傅里叶级数.
− 2π
y
１
−π
Ｏ
π
－１
2π
x
设 f ( x )是周期为 2的同期函数 ， 它在区间 ( −1,1]上定义为 2 , − 1 < x ≤ 0, f ( x) = 3 则 f ( x )的傅里叶级数在 x = 1处收敛于 x ,0 < x ≤ 1 .
例8.4.3在0 < x < 2π上把f ( x ) = x展开成傅里叶级数。
2.设f ( x )只在[0， π ]上有定义， 有满足收敛定理， 我们可以作以2π为周期的函数 F ( x ), 使得在(0， π )内，F ( x ) ≡ f ( x ), 然后将F ( x )展开成为傅里叶级数， 则在(0， π )上， 该傅里叶级数就是f ( x )在(0， π )上的傅里叶级数， 对于区间端点x = 0, x = π , 可根据 收敛定理判定基收敛性。 由于这里仅给出半个周期定义， 所以在作周期延拓时， 首先需定义[0， π ]上F ( x )的值， 这里可以用两种延拓方法来定义F ( x ) :
傅里叶变换
线性性质
k f(x) → k F(ω); f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω)
分析性质
f '(x) → iωF(ω);
∫
x
∞
f ( x ) dx →
1 iω
F (ω )
傅里叶变换
位移性质
f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ; exp(iφx)f(x) → F(ω-φ)
相似性质
f(ax) → F(ω/a)/a; f(x/b)/b → F(bω) .
卷积性质
f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω); f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ
对称性质
正变换与逆变换具有某种对称性; 适当调整定义中的系数后,可以使对称性更加明显.
傅里叶变换
应用举例
rect( x) → sin 1 ω /(π ω) 2
S1 1
S3 0.75
0.5
0.5 0.25
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-3
-2
-1 -0.25 -0.5 -0.75
1
2
3
-1
S6 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3 -3 -2 -1
S24 0.75 0.5 0.25 1 -0.25 -0.5 -0.75 2 3
展开系数:
1 cn = 2L
∫
L
L
exp(i
nπ x ) f ( x)dx L
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出"任何 周期信号都可用正 弦函数的级数表示" 1822年发表"热的 分析理论",首次 提出"任何非周期 信号都可用正弦函 数的积分表示" 返 回
傅里叶级数基本概念
傅里叶级数基本概念傅里叶级数是描述周期性函数的一种数学工具，它是由法国数学家傅里叶在1807年提出的。
它的核心思想是将任意周期为2π的函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶级数的应用非常广泛，涉及到信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
本文将介绍傅里叶级数的基本概念和相关理论。
一、傅里叶级数的定义傅里叶级数是指将一个周期为T的函数f(t)表示为一组正弦和余弦函数的线性组合。
具体来说，对于一个周期为T的函数f(t)，它的傅里叶级数表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0为直流分量，an和bn为函数f(t)的谐波分量的系数，n为谐波的次数，ω为基频的角频率。
二、傅里叶级数的系数计算傅里叶级数的系数an和bn可以通过函数f(t)在一个周期内的积分计算得到。
具体而言，an和bn的计算公式如下：an = (2/T) * ∫[f(t)*cos(nωt)]dtbn = (2/T) * ∫[f(t)*sin(nωt)]dt其中，积分上限和下限分别为函数f(t)的一个周期的起点和终点。
三、傅里叶级数的收敛性傅里叶级数中的每一项都可以视为一个谐波分量，它们的频率是基频频率的整数倍。
随着谐波次数的增加，谐波的频率也越来越高，对应的周期也越来越短。
在理论上，傅里叶级数包含了无穷多项的谐波分量，但实际应用中，通常只需要考虑到一定的谐波分量。
傅里叶级数的收敛性指的是，当考虑足够多的谐波分量时，傅里叶级数能够逼近原始函数f(t)，即随着谐波次数的增加，傅里叶级数与原始函数之间的误差不断减小。
然而，并不是所有的函数都具有良好的收敛性。
对于一些特殊的函数，傅里叶级数可能无法完全逼近原始函数，或者在某些点上存在收敛性问题。
四、傅里叶级数的频谱图傅里叶级数中的系数an和bn描述了原始函数在不同频率下的强度。
通过对an和bn的幅值进行绘制，可以得到函数f(t)的频谱图。
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an 0 （n1,2,）
bn
2
f(x)sinnxdx 2
0
sinnxdx
0
2
1 n
cosnx
0
2 (1cosn) n
n2本[1课件(由王1)科n设]计、开n04发
n1,3,5 n2,4,6
于是，函数f (x)的傅立叶级数展开式为
f( x ) 4 [s x 1 is n 3 i x n 1 s5 i x n 1s2 i n n 1 ) x ( ]
本课件由王科设计、开发
bn
1
f(x)sinnxdx
1
xsinnxdx
0
1nxcosnxn12sinnx0
1 ( cosn) (1)n1 (n1,2,3,L)
n
n
于是，函数 f (x)的傅立叶级数展开式为
f(x)42(cox s32c1o3sx512co5sx)
(sixn1sin 2x1si3nx)
一、案例 [矩形波的叠加]
周期函数可表示为f (T+t)=f (t)，T为函数 F (t)的周期。如物理上“正弦振动”或 “简谐振动”的运动方程为
f(x)A siw n (t)
其中A为振幅，w为角频率， 为初相。
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电子技术中常用的周期T的矩形波可看成若干个正弦波 叠加而成，如下图所示：
n2xsin n x1 ncons xs
in nx 0
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n2 2[ (1)n1] n 04 2
n1,3,5 n2,4,6
由于函数 f (x)在 (,) 上连续，所以
f(x ) 2 1 4 (cx o c3 s 2 3 o x s c5 2 5 o x s )
( x )
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二、 概念和公式的引出
三角级数 由正弦或余弦函数组成的无限多项的和， 称为三角级数。它的一般形式为
f(x)a 20k 1(ancons xbnsinn)x
其中 a0,an,bn(n1,2,) 为常数。
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傅里叶级数 设f (x)是周期为 2 的周期函数，如果
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(2) 当函数f(x)是以 2 为周期的偶函数时，
anb n 210f(fx)(xc)sonisndxxdxx0
(n0,1,2,) (n1,2,)
傅立叶级数只含余弦项，称为余弦级数．
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练习3 [锯齿脉冲信号]
设锯齿脉冲信号函数 f (x)的周期为2 ，它在 [,] 的表达式为 f(x)0x,,0xx0
脉冲矩形波的信号函数f (x)是以 2 为周期 的周期函数，它在[,] 的表达式为
1,x0
f(x)
1,
0x
如右图所示，求此函数的
傅里叶级数展开式。
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解 用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下:
因为函数f (x)是奇函数，所以f (x) cosnx是奇函数，
因此f (x) cosnx（ ,）上积分为零．于是
如右图所示，将它展开成 傅里叶级数。
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解 函数 f (x)为非奇非偶函数．计算傅立叶系数如下．
a0
1
f (x)dx
1
0
xd x
1
x2 2
0
2
an
1
f(x)cosnxdx
1
xcosnxdx
0
1nxsinnxn12
cosnx 0
n12(cosn1)0n22nn2,41,,36,L5L
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内容简介
自然界的许多现象都具有周期性，如心脏 的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的 电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿形 波和三角波以及由空气的周期性振动产生的 声波等等。
5.1 周期为 2 的周期函数展开成傅里叶级数
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
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2
3
( x x ( 2 k 1 ) k Z )
35
2 n 1
由收敛定理知函数f (x)在
( x ,x k,k 0 , 1 , 2 )
范围内与级数相等,即
f( x ) 4 [s x 1 is n 3 i x n 1 s5 i x n 1s2 i n n 1 ) x ( ]
35
2 n 1
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an1
f(x)consdxx
(n0,1,2,3,)
bn
1
f(x)sindxx
(n1,2,3,)
存在，则称它们为函数f (x)的傅里叶系数，由傅
里叶系数组成的三角级数
f(x)a 20k 1(ancons xbnsinn)x
称为傅里叶级数。
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收敛定理 （狄利克雷充分条件） 若周期为 2
的周期函数f (x)满足条件
（1）在区间 [,] 连续或只有有限个第一类间断点； （2）在区间[,] 只有有限极值点，
则函数f (x)的傅里叶级数收敛，且 （1）当是连续点时，级数收敛于f (x) ；
（2）当是间断点时，级数收敛于 f(x0)f(x0) 2
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三、进一步的练习
练习1 [脉冲矩行波]
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注：从以上几个例子可以得出下面ห้องสมุดไป่ตู้论：
(1) 当函数 f (x)是以 2为周期的奇函数时，
bna 1n 1f( x)fs(x in )ncdxxon sd 2 xx 0 0 f(x)sin ndxx(n (n01,1 ,2 ,2 , , ))
傅立叶级数只含正弦项，称为正弦级数．
当 xk 时，傅立叶级数收敛于
f(k0)f(k0) 1 10
2
2
此函数的傅立叶级数收敛情况如下图所示．
当n分别1,2,3,6取时，傅立叶 级数的部分和Sn(x)图形与函数 f (x)的方波逼近的情况，类似 于本章开始演示的图形．
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练习2 [脉冲三角信号]
已知脉冲三角信号f (x)是以2 为周期的周期函数， 它在 [,]的表达式为
f(x)xx11,,0xx0
如右图所示，将函数 f (x)展开成傅里叶级数。
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解 因为函数f (x)是偶函数，所以f (x)sinnx是奇函数，
因此它在（ ,）上积分为零．于是
bn 0 (n1,2,)
a0
2
0
f (x)dx
2
(x1)dx
0
1 x 12 2
0
an2
0
f(x)consdxx20(x1)consdxx