一般周期函数的傅里叶级数
傅里叶级数原理
傅里叶级数原理1. 简介傅里叶级数原理是分析不规则周期信号最重要的工具之一。
在数学、物理、工程等领域中广泛应用。
它的核心思想是：任何周期信号都可以表示为一系列基频为整数倍的正弦和余弦函数叠加而成。
这些正弦和余弦函数在傅里叶级数中被称为谐波分量。
2. 傅里叶级数的定义设周期为T的函数f(t)在一个周期内满足可积且连续，则它可以表示为以下形式的级数：f(t)=a0/2+ Σ [an*cos(nωt)+bn*sin(nωt)]其中，ω=2π/T，an和bn是傅里叶系数，a0/2是等于f(t)在一个周期内的平均值。
可以看出，f(t)的傅里叶级数展开式是一组带有不同频率的正弦和余弦函数的和。
3. 傅里叶级数的意义通过傅里叶级数展开式，我们可以得到一个正弦和余弦函数的频域图像。
从这个频域图像中，我们可以得到一些信息，比如信号中哪些频率成分占比较高，哪些成分占比较低。
甚至可以根据这些信息对原始信号进行重建或修正。
具体地说，如果从一个连续不依赖于时间的物理现象中获得一段周期数据，那么可以通过法力级数的计算来确定信号包含的基本频率，并且据此对信号进行频谱分析。
频谱分析可以帮助我们更好地理解和利用信号，比如音频和视频信号的处理。
4. 傅里叶级数的应用在数学中，可以用傅里叶级数来解决微分方程的边界条件问题、傅里叶级数的离散化应用——快速傅里叶变换在信号处理中大量应用，还可以用于数值匹配。
在物理学中，傅里叶级数主要应用于波的传播和放大中，可以确定波的频率，方法是通过光谱来确定。
在光学领域中，傅里叶级数被广泛应用于计算机成像，用于抵消扰动、组合图像等。
在工程实践中，傅里叶级数也具有重要的应用价值。
特别是对于电子和通信工程师来说，傅里叶级数和傅里叶变换是必不可少的工具。
它们可用于信号处理、控制、数据分析和通信等领域。
傅里叶级数的应用不仅局限于上述领域，在音乐节拍分析、图像处理、机器学习等领域中都得到广泛应用。
5. 总结无论是在理论研究还是在工程实践中，傅里叶级数都是一个非常重要的工具。
周期函数的傅里叶级数PPT课件
k 1
k n时非零
0
an
co2snxdx
an
1
an f(x)co nd sx(n1 ,2,3, )
傅里叶(Fourier)级数
(2) 求bn.
f(x)a 2 0k 1(akco ks xbksikn)x
两边同 sin n 时 并 x 乘 从 到 以 逐项积分
f(x)sinnxdxa0
s(x)f(x)f(x)
2
,
若x为f(x)的
第一
类,
间
其中s(x)为f (x)的傅里叶级数的和. 函数
傅里叶(Fourier)级数
注 (1) 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低得多;
(2) 周期函数的三角级数展开是唯一的, 就是 其傅里叶级数;
(3) 要注明傅氏级数的和函数与函数 f (x) 相等 的 x 的取值范围.
f (x)的图象
y 和函数的图象
3 2
2 3
•
O •
•
x
•
2
傅里叶(Fourier)级数
f ( x) 4(2coxssinx)
1 sin 2x
2
2
1
(32c
o3x s sin 3x) 3
1 4
sin 4
x
2
1
(52co5x s5si5 nx)
( x ;x , 3, ).
傅里叶(Fourier)级数
傅里叶(Fourier)级数
an
2 n 2
,
0 ,
n1,3,5,,
(1)n1
bn n2,4,6,;
n
.
故 f (x) 的傅里叶级数
f ( x)~4n 1 n 1 2 1( 1 )nco n s x ( 1 n )n 1sin n x
周期函数的傅里叶级数
t
A：脉冲幅度
2 ：三角函数公共周期 1
第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数
f(t)是偶函数
T 2 T 2
bn=0
a
0
2 T
2 2 2 A f (t ) dt 2 Adt T T
2 T an T 2T 2
n sin 2A n 2 A T 2 A Sa( n ) f (t ) cos n1tdt sin n n T T T T T
设 f (t ) 是周期为T的函数
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
f ( t )dt
2 a0 T
2 an T 2 bn T
t1
t 1 T
t1
t 1 T
f ( t ) cos n 1 tdt f ( t ) sin n 1 tdt
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
An an bn
2 2
a0 An cos(n1t n ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t an bn An cos n1t An sin n1t An An An cos(n1t n )
T 2 0
§ 周期信号的傅立叶级数
An
E
11
31
51
4E 25 2
4 T 2E 2 2 an t cos n1tdt (1 ) 0 T T T T T 8E t 1 2 2 2[ sin n1t 0 sin 1tdt] 0 n T n1 1
第11章第6节傅里叶级数2015-03-2405311.2MB
例2.设函数
数展式为
2
3
(93 考研)
解:
的傅里叶级 则其中系数
利用“偶倍奇零”
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在
上的表达式为
f (x)
1
,
x0
将
f
(x)
展成傅里叶级数.
1, 0 x
y
解: 先求傅里叶系数
1
o
x
1
它的傅里叶级数在 x 处收敛于 (n 1, 2, 3,...)
f1n(2fx1()0(n1010)4ss2ci([inocns,ffsion在nn((nsx0xnxdx0x)x)xd213nxsf1210in(n20[11310处1x,)s收0ixn(n1敛10nn0141xc0于)c2ond,2os]0ks1xn1nxx0d1,00sx0in2(nn.2n1,k
第十一章
11.6 傅里叶级数
一、函数展开成傅里叶级数 二、正弦级数和余弦级数
一、函数展开成傅里叶级数
设 f (x) 是周期为 2 的周期函数， 若 f (x) 并满足狄利克雷 ( Dirichlet ) 条件:
1) 在一个周期内连续 或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数 收敛，且
a0 2
n1
(an
cos nx
bn
sin nx)
f (x) 的傅里叶系数
f (x) ,
f (x) 2
x 为连续点
f ( x ) , x 为间断点
例1. 设周期函数 在一个周期内 的表达式为
傅里叶级数
u(t)的(傅1)里连叶续级或数只收有敛有于限个 E第m 一Em类 间Em 断 (点Em ) 0,
(2)至多只有有限个极值2点
2
当t k时, u(t)的傅里叶级数收敛于u(t).
a0
1
u(t )dt 1
0
( Em )dt
1
0 Emdt
0
1
an
1
u(t)cos ntdt
0
( Em )cos ntdt
2
a0
u(t )dt
0
2
E sintdt
0
2E
[ cos t]0
4E ,ห้องสมุดไป่ตู้
an
2
2
u(t)cos ntdt
0
E sint cos ntdt
0
E
[sin(n 1)t sin(n 1)t]dt
0
(n 1)
E
cos(n 1)t n1
cos(n 1)t n 1 0
[(
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
傅里叶级数的收敛性
若周期为 2 的函数 f ( x) 可积，则
f
(x)
a0 2
(an cos nx
n1
bn
sin nx)
问题:
a0
2
(an cos nx
n1
bn sin nx)
?
f
(x)
要满足什么条件？
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
三角函数系的正交性
三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,
cos nx,sin nx,
《傅里叶级数》课件
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
傅里叶级数的基本概念
傅里叶级数的基本概念
傅里叶级数是一种将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的方法。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的。
傅里叶级数的基本概念包括：
1. 周期函数：傅里叶级数适用于周期函数，即具有重复性的函数。
周期函数可以用一个周期T来描述，即f(t+T) = f(t)。
2. 基函数：傅里叶级数中的基函数是正弦和余弦函数。
正弦函数的频率是函数在一个周期内重复的次数，余弦函数则是正弦函数相位向右移动90度得到的。
基函数的频率可以用角频率ω表示。
3. 傅里叶级数公式：傅里叶级数表示一个周期函数f(t)可以表示为一个无穷级数的形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) +
bn*sin(nωt))，其中a0/2是函数的平均值，an和bn是函数的系数。
4. 傅里叶系数：傅里叶级数中的系数an和bn可以通过积分计算得到。
an表示在周期T内函数f(t)与cos(nωt)的乘积的平均值，bn则是与sin(nωt)的乘积的平均值。
这些系数代表了基函数的贡献程度。
5. 频谱：傅里叶级数可以将一个周期函数表示成一系列频率成分的和。
这些频率成分称为频谱，由基函数的频率ω和对应的系数确定。
傅里叶级数的基本概念可以帮助我们理解和分析周期函数的特性，以及应用于信号处理、图像处理和物理学等领域。
傅里叶级数的定义及应用
傅里叶级数的定义及应用傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数和正弦函数之和的数学工具。
它在信号处理、图像处理和电子通信等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数的定义及其在实际中的应用。
第一部分：傅里叶级数的定义傅里叶级数是由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出的。
它将周期函数表示为无穷级数的形式，其中每一项为三角函数或正弦函数的乘积。
一个周期为T的函数f(t)可以表示为以下无穷级数的形式：f(t) = a₀ + Σ(aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t))在公式中，a₀是常数项，aₙ和bₙ是系数，n是正整数，ω₀是基波角频率。
根据傅里叶级数的定义，周期函数f(t)可以通过确定其系数来表示。
系数的计算可以通过将函数f(t)与三角函数进行内积运算来实现。
这种数学上的运算使得我们能够将任意周期函数表示为一系列简单的三角函数的和，从而更好地理解和分析函数的特性。
第二部分：傅里叶级数在信号处理中的应用傅里叶级数在信号处理中有着广泛的应用。
信号处理是指对信号进行分析、合成、编码和解码的过程，傅里叶级数为信号处理提供了有效的工具。
首先，傅里叶级数可以将时域信号转换为频域信号。
通过对信号进行傅里叶级数分解，我们可以将信号的频谱表示出来，了解信号在不同频率下的成分情况。
这对于音频信号的合成、滤波、去噪等处理非常有用。
其次，傅里叶级数在通信系统中起着重要的作用。
在数字通信中，信号需要经过调制、解调等处理。
傅里叶级数可以帮助我们理解信道传输中的信号畸变情况，从而对传输信号进行补偿和恢复。
此外，傅里叶级数还广泛应用于图像处理领域。
图像可以看作是由像素点组成的二维数组，每个像素点的灰度值可以用一个周期为1的函数表示。
通过对图像进行傅里叶级数分析，我们可以提取图像中的频域特征，如边缘、纹理等。
这对于图像压缩、增强和恢复等处理具有重要意义。
第三部分：傅里叶级数在其他领域的应用除了信号处理领域，傅里叶级数还在许多其他领域有着广泛的应用。
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2 k12k 1
2
( x R，x 2m, m 0,1,2, )
a0 E, an 0 (n 1,2, )
二、定义在 [-l , l ]和[ 0, l ]区间上的函数 展成傅里叶级数
1. 将[–l , l ]上的函数展成傅里叶级数
思
周期延拓 F ( x) 傅里叶展开
想
T 2l
y y f (x)
例1 设f ( x) 的周期T 10，且当 5 x 5 时，
f ( x) x，将 f ( x) 展开成傅里叶级数.
y
解 l 5, f ( x) : 奇函数,
an 0 n 0,1,2,
5 o 5
x
bn
2 l
0l
f
xsin nπx d x
l
2 5
05
x
sin
nπx d 5
x
2 nπ
x
l l
l
(n 0,1,2, )
bn
1 l
l F ( x)sin nx d x,
l
l
(n 1,2, )
1 l f ( x)sin nx d x.
l l
l
例3 将f x e x在 π, π 上展成傅里叶级数
解 f ( x)在 π，π上连续,且满足狄利克雷条件.
(周期延拓
傅里叶展开
傅里叶级数之和函数：
S( xm )
f ( xm ) 2
f
(
xm
)
E. 2
l 2,
当x xm 时，f ( x)连续
f
(
x)
S(
x)
a0 2
(an
n1
cos
nx 2l
bn
sin
nx 2l
)
( x 2m, m ห้องสมุดไป่ตู้0,1,2, )
2 确定傅里叶系数：an, bn
a0
1 2
2 f x d x
2
f
当 x 10k 5时, 傅里叶级数收敛到
S(10k 5) 5 5 0.
2
例2 设 f ( x) 周期 T 4 , 2,2 上表达式为
f
x
0,
E,
2 x0 0 x 2 (E 0,为常数)
试将f x展成傅里叶级数.
Ey
解 1 f ( x)满足收敛定理条件.
2 o 2
x
f ( x)的间断点： xm 2m (m 0,1,2, )
(连续点处)
其中 bn
f ( x)sin nπ x d x l
(n 1, 2, )
(2) 若以2l 为周期的周期函数 f (x) 在(-l , l ) 上为偶函数，则
(连续点处)
其中 an
f ( x)cos nπ x d x l
(n 0, 1, 2, )
注 傅里叶级数总收敛于
(在 f (x) 的间断点 x 处)
cos
nπ 5
x
5 nπ
sin
nπ 5
x5 0
1n1 10 n 1,2,
nπ
an
0,
bn
1n1 10
nπ
y
5 o 5
x
因 f x满足狄利克雷条件，故有傅里叶展开式:
f
x
10 π
sin
πx 5
1 2
sin
2πx 5
1 sin 3
3πx 5
( x , x 10k 5, k 0,1,2, ）
一般周期函数的傅里叶级数
一、周期 T = 2l 的函数展开成傅里叶级数
T 2l
思路： f ( x)
x
l
t
T 2π
f (l t) (t)
展开
x [l,l]
t [ , ]
f (x)
n x
n x (t x)
l
l
l
an
1 π
(t)cos nt d t
(n 0, 1, 2, )
bn 11l1 llllff((xx(t)))ccsooisns nnnllt xxddt lxd x (n 1, 2, )
y y F(x)
l O l x 3l
l O l
3l x
1 对f ( x)进行周期延拓: 考虑 y F( x) (T 2l ) 满足： F ( x) f ( x), x (l,l]
y l O
y f (x) lx
且 F(x 2l) F(x)
2 将F ( x)展开成周期为 2l的傅里叶级数 3l
bn
1
(t)sin nt d t
(n 1, 2, )
t x l
1
l
f ( x)sin nx d x
l
ll
1 l f ( x)sin nx d x
l l
l
定理4 (展开定理)
设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛
定理的条件，则它的傅里叶级数处处收敛，且
a0
2
(an
n1
cos
nx
l
bn
sin
nx )
l
f f
( (
x), x )
2
f (x),
当x为f ( x)的连续点时； 当x为f ( x)的间断点时，
其中系数 an, bn为
an
1 l
ll
f
( x)cos
nπ l
x
d
x
(n 0, 1, 2, )
bn
1 l
ll
f
( x)sin
nπ l
xd
x
(n 1, 2, )
结论 (1) 若以2l 为周期的周期函数 f (x) 在(-l , l ) 上为奇函数，则
y y F(x)
l O l
3l x
3 限制 x [l, l],
F ( x) f ( x), x (l,l]
当 x (l,l)，且x为f ( x)的连续点时，
f
(
x)
F(
x)
S(x)
a0 2
(an
n1
cos
nx
l
bn
sin
nx )
l
当 x0 (l,l)，且x0为f ( x)的间断点时，
x
0,
2 x0
E, 0 x 2
1[
0
0d x
2
E d x] E
2 2
0
an
1 2
2 f xcos nx d x
2
2
(n 1, 2, )
1 2
0
0d x
2
2 0
E
cos
nx
2
d
x
sin n x
2
n
2
2
0
0
f
x
0,
2 x0
E, 0 x 2
bn
1 2
2 2
f xsin nx d x 1
2
2
2
nx
E sin d x
0
2
bn
1
2
E
20
0, 2nEπ ,
sin nx d x
2 n 2,4,
n 1,3,
E [1 nπ
(1)n ] Ey
2 o 2
x
3º 所求函数的傅里叶展开式为：
f
(
x)
a0 2
(an
n1
cos
nx
2
bn
sin
nx
2
)
E 2E 1 sin (2k 1) x
限制)
a0
1 π
ππ e x
d
x
1ex π
|ππ
1 [eπ π
eπ ] ,
an
1 π
ππ e x
cos nx d
x
1 π
ex
1
n2
nsin nx
S( x0 ) F ( x0 ) F ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
2
2
当 x0
l 时，S( x0 )
F(l ) F(l )
2
f (l ) f (l ) 2
其中傅里叶系数
an
1 l
l F ( x)cos nx d x,
l
l
1 l f ( x)cos nx d x,