一般周期的傅里叶级数
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傅里叶级数和函数公式
傅里叶级数和函数公式
傅里叶级数的研究为我们提供了很多关于现代数学的宝贵资源。
它使数学家们可以利用加法、乘法和函数来表达复杂的数学模型。
这篇文章将介绍傅里叶级数和函数公式，包括傅里叶级数的定义，它的特征，以及函数公式。
**傅里叶级数的定义**
傅里叶级数（Fourier series）是一种代表周期性函数的函数和级数。
它可以描述周期性函数的形状和行为，并用简单的正弦和余弦级数来表示它，它的级数形式为：
a_0 + (a_1*sin(x) + b_1*cos(x)) + (a_2*sin(2x) +
b_2*cos(2x)) + ... + (a_n*sin(nx) + b_n*cos(nx))。
其中a_0表示直流分量，a_n和b_n表示振幅和相位移动，n表示频率。
**傅里叶级数的特征**
傅里叶级数具有三个重要的特点：
1.以用来表示任意周期性函数，并且只需要使用一组正弦和余弦函数。
2.度会随着频率的增加而减小，因此低频信号的振幅比高频信号的振幅大得多。
3.个频率成分都有其独特的相位移动。
**函数公式**
函数公式是傅里叶级数的一种更为一般的表示法。
它用函数公式
来表示傅里叶级数，公式为：
A(t) =(a_n*cos(n*ω*t +_n))
其中A(t)表示时域函数，a_n表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，θ_n表示相位移动。
**结论**
傅里叶级数和函数公式是一种用来表示周期性函数的数学工具，它们可以有效地表示周期性函数的形状和行为。
傅里叶级数的研究为我们提供了大量的宝贵知识，使得数学家们能够更好地分析和理解复杂的数学模型。
周期函数的傅里叶级数
t
A：脉冲幅度
2 ：三角函数公共周期 1
第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数
f(t)是偶函数
T 2 T 2
bn=0
a
0
2 T
2 2 2 A f (t ) dt 2 Adt T T
2 T an T 2T 2
n sin 2A n 2 A T 2 A Sa( n ) f (t ) cos n1tdt sin n n T T T T T
设 f (t ) 是周期为T的函数
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
f ( t )dt
2 a0 T
2 an T 2 bn T
t1
t 1 T
t1
t 1 T
f ( t ) cos n 1 tdt f ( t ) sin n 1 tdt
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
An an bn
2 2
a0 An cos(n1t n ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t an bn An cos n1t An sin n1t An An An cos(n1t n )
T 2 0
§ 周期信号的傅立叶级数
An
E
11
31
51
4E 25 2
4 T 2E 2 2 an t cos n1tdt (1 ) 0 T T T T T 8E t 1 2 2 2[ sin n1t 0 sin 1tdt] 0 n T n1 1
周期信号的傅里叶级数表
17
分量e j0t 可表示为
1
0
cos 0t
1 2
(e
j0t
e
j0tபைடு நூலகம்
)
表示为
1
1
2
2
0 0 0
因此，当把周期信号 x(t)表示为傅里叶级数
x(t) ake jk0t时，就可以将 x(t) 表示为 k
a1a0 a1
a3a2
a2 a3
0 0
这样绘出的图
称为频谱图
18
频谱图其实就是将 a随k 频率的分布表示出来，
14
有 x(t) ake jk0t , k 0, 1, 2
k
显然 x(也t)是以
为2周 期的。该级数就是傅里叶级
0
数， 称为a傅k 立叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐 波分量。
例1：
x(t)
cos 0t
1 e j0t 2
6
3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人 不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为之献 出了生命。历史的经验告诉我们, 要想在科学的 领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我 们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长 的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对， 也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法 在许多领域已发挥了巨大的作用。
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n)
ak
Z
n k
k
y(t) ak H (sk )eskt
k
分量e j0t 可表示为
1
0
cos 0t
1 2
(e
j0t
e
j0tபைடு நூலகம்
)
表示为
1
1
2
2
0 0 0
因此，当把周期信号 x(t)表示为傅里叶级数
x(t) ake jk0t时，就可以将 x(t) 表示为 k
a1a0 a1
a3a2
a2 a3
0 0
这样绘出的图
称为频谱图
18
频谱图其实就是将 a随k 频率的分布表示出来，
14
有 x(t) ake jk0t , k 0, 1, 2
k
显然 x(也t)是以
为2周 期的。该级数就是傅里叶级
0
数， 称为a傅k 立叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐 波分量。
例1：
x(t)
cos 0t
1 e j0t 2
6
3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人 不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为之献 出了生命。历史的经验告诉我们, 要想在科学的 领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我 们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长 的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对， 也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法 在许多领域已发挥了巨大的作用。
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n)
ak
Z
n k
k
y(t) ak H (sk )eskt
k
一般周期的傅里叶级数
2, 1 x 0,
f
(
x)
x3
,
0 x 1,
3 则f (x)的Fourier级数在x 1处收敛于____2_____.
解
S(1)
f (1 0) 2
f
(1
0)
2 1 2
3 2
.
说明: 如果 f (x) 为奇函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处)
其中 bn
f (x)sin n x d x
0
2
2 x sin n x 2 2 cos n x 2
n
2 n
20
4
n2
2
(1)n
1
f
(x)
x
1
8
2
k 1(2k
1 1) 2
cos
(2k
1) x 2 (0
x
2
)
内容小结
周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式
f (x) a0 2
(x 间断点)
其中
1 l
l
l
f
(x) cos
n
l
x
d
x
1 l
f (x) cos nπx dx l
, n N;
bn
1 l
l
l
f
(
x)
sin
nπx l
dx
或
1 l
2 0
l
f
(x) sin
nπx l
dx
,n Z;
f
(x)
~
a0 2
n1
an
cos
nπ l
x bn
sin
nπ l
x.
Dirichlet定理 设f (x)在[l, l]或[0, 2l](l 0)
傅里叶级数
u(t)的(傅1)里连叶续级或数只收有敛有于限个 E第m 一Em类 间Em 断 (点Em ) 0,
(2)至多只有有限个极值2点
2
当t k时, u(t)的傅里叶级数收敛于u(t).
a0
1
u(t )dt 1
0
( Em )dt
1
0 Emdt
0
1
an
1
u(t)cos ntdt
0
( Em )cos ntdt
2
a0
u(t )dt
0
2
E sintdt
0
2E
[ cos t]0
4E ,ห้องสมุดไป่ตู้
an
2
2
u(t)cos ntdt
0
E sint cos ntdt
0
E
[sin(n 1)t sin(n 1)t]dt
0
(n 1)
E
cos(n 1)t n1
cos(n 1)t n 1 0
[(
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
傅里叶级数的收敛性
若周期为 2 的函数 f ( x) 可积，则
f
(x)
a0 2
(an cos nx
n1
bn
sin nx)
问题:
a0
2
(an cos nx
n1
bn sin nx)
?
f
(x)
要满足什么条件？
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
三角函数系的正交性
三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,
cos nx,sin nx,
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
一般周期函数的傅里叶级数
2 k12k 1
2
( x R，x 2m, m 0,1,2, )
a0 E, an 0 (n 1,2, )
二、定义在 [-l , l ]和[ 0, l ]区间上的函数 展成傅里叶级数
1. 将[–l , l ]上的函数展成傅里叶级数
思
周期延拓 F ( x) 傅里叶展开
想
T 2l
y y f (x)
例1 设f ( x) 的周期T 10，且当 5 x 5 时，
f ( x) x，将 f ( x) 展开成傅里叶级数.
y
解 l 5, f ( x) : 奇函数,
an 0 n 0,1,2,
5 o 5
x
bn
2 l
0l
f
xsin nπx d x
l
2 5
05
x
sin
nπx d 5
x
2 nπ
x
l l
l
(n 0,1,2, )
bn
1 l
l F ( x)sin nx d x,
l
l
(n 1,2, )
1 l f ( x)sin nx d x.
l l
l
例3 将f x e x在 π, π 上展成傅里叶级数
解 f ( x)在 π，π上连续,且满足狄利克雷条件.
(周期延拓
傅里叶展开
傅里叶级数之和函数：
S( xm )
f ( xm ) 2
f
(
xm
)
E. 2
l 2,
当x xm 时，f ( x)连续
f
(
x)
S(
x)
a0 2
(an
n1
cos
nx 2l
bn
周期信号傅里叶级数
07
分析公式 （正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式 （反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有 利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为 令 由于C0是实的，所以b0=0，故 由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数 连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
单击此处添加小标题
由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
单击此处添加小标题
01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式 功率谱
信号的平均功率为 包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。
分析公式 （正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式 （反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有 利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为 令 由于C0是实的，所以b0=0，故 由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数 连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
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由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
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01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式 功率谱
信号的平均功率为 包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。
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2l 4
(0x2)
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(2) 将
作偶周期延拓, 则有
a0 2202xdx
y
o2
x
an
2 2
2x cosn xdx
0
2
n 2 x sn i 2 n x n 2 2 cn o 2 x s 0 2
4
n22
(1)n
1
f(x)x18 2k 1(2k1 1 )2co (2ks 2 1)(x0x2) 精品课件 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 如果 f (x) 为奇函数, 则有
(在 f (x) 的连续点
处)
其如中果b n f (x)为f 偶(x 函)s 数,n iln x d x(n 1 ,2 , )
则有
(在 f (x) 的连续点
处)
其中
注:
a 无n 论 哪an种情1f l ( 况x l) lc 在f,(xn f)o cl(x xod )ns sx l的x间d( n x断 (点n 0 , 1 x0 ,2 ,处1 , ,,2) ,傅 里)
2E
(1 4k 2 )
,
精品课件
n2k
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0Esintsinntdt
E 20 cn o 1 )s t ( cn o 1 )s td ( t
b 1 0 E sin tsin tdt
E 2tsi22 nt0
n>1
时bnE 2si(nnn(11) )t si(nnn(11))t00
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由于半波整流函数 f
(t)
由收
f (t)
敛定理可得
2 o 2 t
f (t) E
E sin t
2
2Ek 1114k2co2skt
直流部分
交流部分
说明: 上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.
精品课件
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例2. 把
收敛于
bn1 l ll叶f(级x精)s数品课i件nnlxdx (n1,2, )
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例1. 交流电压
失,试求半波整流函数的
傅里叶级数.
解: 这个半波整流函数
的周期是
2l
2
,它在
经半波整流后负压消
f (t)
2 o 2 t
上的表达式为
an
1 l
l l
f (t)c0 oss nl itn dn t1 ) (t s0 E in sn i1 ) n (ttcd otnstdt
ex6, P239, SCU
F ( z ) f ( x ) f ( z 1 ) z 0 ( 5 z 5 )
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数则,它满足收敛定
理条件.由于F(z) 是奇函数,
FБайду номын сангаасz)
故
bn
5205
z
sinn
5
z
dz
(1)n 10
n
5
5z
(n1,2, )
F(z)10 n 1(n 1)nsin n5z (5z5)
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0sin2 tdt
0
0
n 1时
an
E 2
0 sin n 1 ) (tsin n 1 ) (tdt
E 2
(n11)cons(1)t(n11)cons(1)t
0
2 E (n 1 )1 nn1 1( n 1 )n 1 1n 1 1
((1n)2n11)1E
令
即 z x a
F ( z ) f( x ) f( z a ) , z 0,ba
奇或偶式周期延拓 周期为2(ba)
F(z) 在 0,ba上展成正弦或余弦级数
将 z x a 代入展开式
在
上的正弦或余弦级数
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例3. 将函数
解: 令
设
展成傅里叶级数.
第八节
第十一章 Section 7.3.3,
一般周期函数的SCU傅里叶级数
一、以2 l 为周期的函数的
傅里叶展开
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一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展
开
周期为 2l 函数 f
(x)
变量代换 z x
l
周期为 2 函数 F(z)f(x)
将F(z) 作傅氏展开
f (x) 的傅氏展开
式
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定理. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条
则它的傅件里,叶展开式为
(在 f (x) 的连续点
其中
处)
an
1 l
l f(x)consxdx (n0,1,2, )
l
l
bn1 l llf(x)sinnlxdx (n1,2, )
当函数定义在任意有限区间上时, 其傅里叶展开方法
方法1
:
令 xzba, 即 z xba
2
2
F (z)f(x)f(zba ),z ba,ba
2
22
周期延拓 T2lba
F(z) 在 ba,ba上展成傅里叶级数
22
将 z xba 代入展开式 2
在
上的傅里叶级数
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方法2
精品课件
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证明: 令z x , 则
l
令
f (x) f ( lz) , 则
F(z2)f(l(z 2))
f
( lz
2l)
f ( lz)
所以
是以 2 为周期的周期函数 且, 它满足收敛
定理条件, 将它展成傅里叶级数:
( 在 F(z) 的连续点
处 精品课件 )
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展开成
(1) 正弦级数;
(2)
解: 余(1弦) 级将数f. (x) 作奇周期延拓,
则有
在 x = 2 k 处级 数收敛于何值?
y
bn 2202xsinn2xdx
o2
x
2x cn ox s22 sn in x2
n 2 n
20
4 cosn n
f(x)4n 1 (1n)n1sinn2x 精品课件
其中
an 1 F(z)co nzd sz bn1 F(z)sinn zdz
(n0,1,2, ) (n1,2,3, )
令z x
l
an
1 l
l
l
f(x)consxdx
l
(n0,1,2, )
bn1 l llf(x)sinnlxdx (n1,2,3, )
( 在 f (x) 的 连续点 证毕
处精品课)件
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f(x ) x 1 8 2k 1 (2 k1 1 )2c( o 2 k s 2 1 )x(0x2)
说明: 此式
也成立,
对 据此有
1
k1(2k 1)2
2
8
由此还可导出
y
o2
x
x0是 F (x)的 连 续 点
1
n1 n 2
1 n1n2
2
6
精品课件
2 8
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