信号与系统教案,第三章 周期信号的傅里叶级数表示
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第三章周期信号的傅立叶级数表示
将两边在一个周期内（从0～T）对t积分，可得
Txtej 0
n0td t T 0
akej k0tej
n0td
t
k
右边交换积分与求和的次序 k ak0Tejkn0tdt
又右边积分
0Tejkn0tdt 0T, ,
nk nk
k ak0 Txtejn 0tdtTna
即 0 Txte jn 0 td t0 T a k ejk n 0 td t T a n k
那么系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合；
②输出式中的系数，可以用输入信号中相应的系数与系统 特征值相乘来求得。
例3.1 已知系统的输入输出关系为 ytxt3，求：
① x1tej2t时，系统的输出 y1t ; ② x 2 t c4 t o 3 s c7 t o 3 时s ，系统的输出y2t 。
中，各个信号分量也仅仅是幅度和频率的不同。
因此，可以用一根线段的长来表示某个分量的幅度，线段 的位置表示相应的频率。如下图示：
e 如分量 j0t、 co s0t2 1ej0t ej0t 可表示为下图
e j0t
co s0t2 1ej0t ej0t
因此，当把周期信号xt 表示成复指数形式的傅里叶
a 2 e s2 t a 2 H s2e s2 t
a 3es3 t a 3H s3es3 t
更一般地，对于
x ta k e s k t y ta k H s k e s k t
k
k
对应地
x n a k z k n y n a k H z k z k n
k
k
上式可以看出：
①如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，
2) LTI系统满足线性、时不变性
Txtej 0
n0td t T 0
akej k0tej
n0td
t
k
右边交换积分与求和的次序 k ak0Tejkn0tdt
又右边积分
0Tejkn0tdt 0T, ,
nk nk
k ak0 Txtejn 0tdtTna
即 0 Txte jn 0 td t0 T a k ejk n 0 td t T a n k
那么系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合；
②输出式中的系数，可以用输入信号中相应的系数与系统 特征值相乘来求得。
例3.1 已知系统的输入输出关系为 ytxt3，求：
① x1tej2t时，系统的输出 y1t ; ② x 2 t c4 t o 3 s c7 t o 3 时s ，系统的输出y2t 。
中，各个信号分量也仅仅是幅度和频率的不同。
因此，可以用一根线段的长来表示某个分量的幅度，线段 的位置表示相应的频率。如下图示：
e 如分量 j0t、 co s0t2 1ej0t ej0t 可表示为下图
e j0t
co s0t2 1ej0t ej0t
因此，当把周期信号xt 表示成复指数形式的傅里叶
a 2 e s2 t a 2 H s2e s2 t
a 3es3 t a 3H s3es3 t
更一般地，对于
x ta k e s k t y ta k H s k e s k t
k
k
对应地
x n a k z k n y n a k H z k z k n
k
k
上式可以看出：
①如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，
2) LTI系统满足线性、时不变性
《信号与系统》奥本海姆第三章
周期性方波序列的频谱
N1 2 N 10
N1 2 N 20
k
k
N1 1 N 10
k
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x ( r )e
j
2 kr N
1 ak m
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4. Paseval定理
DFS x(n) ak
成谐波关系的复指数信号集:
k (n) {e
j (k 2 )n N
}, k 0, 1, 2,...
公共周期为N，集合中只有 N 个信号是彼此独立。 一个周期为N的序列有：
x[ n ] ak e
k j(k 2 )n N
k N
ak e
j (k
2 )n N
,其中 k 为N个相连的整数
2 rn N
N ar
1 N
即
1 ar N
2 rn N
n N
n N
x ( n ) e jr 0 n , 0
2 N
一个周期为N的序列有：
x(n)
ak 1 N
k N
ak e
j
2 kn N
DFS
j 2 kn N
n N
Wang Zhengyong
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3-1周期信号的傅里叶级数
iii) bn
f (t ),sin n1t sin n1t ,sin n1t
t0 T1
t0
f (t ) sin n1tdt T1 2
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
2．对于周期函数 f (t ) ，由于 a0 , a n , bn积分值与积 分区间起始点无关(只要积分区间大小为T1)，故在 t , f (t ) 均可以展成傅立叶级数
E T1
n
01
2
4
0
2
4
2 谱线间隔 1 ( ) T1 2 零值点频率
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信号与系统—signals and systems
指数形式：f t
n
Fn e jn1t
n1 jn1t Sa( 2 )e n
常用完备正交函数集： i)三角函数集： 2 sin 0t ,sin 20t ,,1, cos 0t , cos 20t , (t0 , t0 ) 0 ii)复指数函数集：1, e j0t , e j0t , e j 20t , e j 20t ,
f(t)=C1 sin w1t+C3 sin w3 t+C6 sin w6 t
c2k 1 cos[(2k 1)1t 2k 1 ]
vii)偶次谐波分量：2 f1 , 4 f1 , 6 f1 , ... 对应的
c2 k cos(2k1t 2 k )
viii)直流分量：c0
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信号与系统—signals and systems
信号与系统课程教案
《信号与系统》大纲一、课程基本信息课程名称：《信号与系统》使用教材：《Signals & Systems》(2nd Edtion)， Alan V. Oppenheim，电子工业出版社，2008年4月教学拓展资源：参考书目有《信号与系统》（第二版）上、下册，郑君里等，高等教育出版社；《信号与线性系统分析》，吴大正，高等教育出版社；《信号与系统》，ALANV.OPPENHEIM（刘树棠译），西安交通大学出版社；《信号与线性系统》，管致中等，高等教育出版社。
《信号与系统》校级主干课资源库。
二、课程教学目的《信号与系统》是本科电子信息类专业一门重要的专业基础课程，是联系公共基础课与专业课的一个重要桥梁。
授课对象面向电子信息类的电子科学与技术、通信工程、电子信息工程三个本科专业。
该课程研究确定性信号经线性时不变系统传输与处理的基本概念与基本分析方法，具有很强的理论性和逻辑性，教学内容较抽象，数学运用得很多。
同时，这门课程以通信和控制工程为主要应用背景，具有明显的物理意义和工程背景，具有数学分析物理化，物理现象数学化的特征。
该课程与许多专业课，如通信原理、数字信号处理、高频电路、图象处理等课程有很强的联系，其理论已广泛应用到电子、通信、信号处理和自动控制等各个学科领域，并且直接与数字信号处理的基本理论和方法相衔接。
通过本门课程的学习，使学生掌握信号与系统的基础理论，掌握确定性信号经线性时不变系统传输与处理的基本概念和分析方法，包括信号分析的基本理论和方法、线性时不变系统的各种描述方法、线性时不变系统的时域和频域分析方法、有关系统的稳定性、频响、因果性等工程应用中的一些重要结论等。
通过信号与系统的基本理论和分析方法，学生应能掌握如何建立信号与系统的数学模型，如何经适当的分析方法求解，并将分析结果与物理概念相结合，对所得的结果给出物理解释和赋予物理意义。
该课程的学习将为后续课程的学习奠定基础，同时为今后能够独立地分析与解决信息领域内的实际问题打下坚实的理论基础。
信号与系统第6讲第3章周期信号的傅里叶级数表示
sin(2 k(1/ 4)) k
sin(k k
/ 2)
根据Example3.5的结果，用性质计算傅里叶级数的系数
分析：原函数为x(t),本函数为g(t)
g (t )
x(t
1)
1 2
,周期方波的参数T
4,T1
1,
如果原函数的系数为ak，x(t 1)的系数为bk
bk
a e jk (2 / 4)1 k
在不连续点上，傅里叶级数的收敛趋势-吉伯斯现象
不连续点上收敛于不连续点的平均值 不连续点附近呈现起伏现象，起伏的峰值不随N增加而降低 峰值为不连续点差值的9%
吉伯斯现象的实际意义
不连续信号的傅里叶级数截断近似在接近不连续点有高频起伏 选择足够大的N，可以保证这些起伏的总能量可以忽略
2024/6/10
2024/6/10
信号与系统－第6讲
19
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（4）Example3.8 计算周期冲激串的傅里叶级数系数 根据性质计算周期方波的系数
周期冲激串可表示为x(t) (t kT ) k
ak
1 T
T / 2 (t)e jk 2t /T dt 1
T / 2
T
周期方波为g (t ),它的导数为q(t )
c0为直流分量， c0 2T1 / T
对照前面 例题验证
结果
20
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（5）Example3.9
1.x(t)是实信号
2.x(t)是周期信号，T 4，傅里叶级数系数ak
3.ak 0，k 1
4.傅里叶系数为bk
e
j
k
/
2
a
的信号是奇信号
信号与系统(第3章)信号与线性非时变系统的傅里叶描述
傅里叶变换表示24lim0lim220??jxtkxkxtkxdtetxtttttjk??????????令可证???ttjkdtetxtkx001???????ktjkekxtx0??连续时间傅里叶变换及系数的确定??????????????????ktjkktjkktjkejkxejkxtekxtx000000211???????周期信号非周期信号t????0k?02t??????d???????????dtetxjxtj???????????dejxtxtj212非周期连续信号
§3.1 引言
——自然界一种重要而普遍的信号存在形式；
——最容易产生和控制的一种信号；
——人类最容易应用的一种标准信号；
——目前应用最多和最有效应用的信号。
——特点是什么？
——作为输入信号，经LTI系统后的响应是否与频率有关？
——任何信号是否可以用正弦信号表示？如何表示？条件 是什么？
§3.2 复正弦信号及LTI系统的频率响应
n)0t]
sin[(k
n)0t]dt
0, k T , k
n n
T 0
x(t )e
jn0t dt
cnT
傅里叶系数：
ck
1 T
x(t)e jk0t dt
T
16
x(t)
ck e jk0t
k
傅里叶系数
ck
1 T
T x(t)e jk0t dt
0
傅里叶级数的其他形式
• 若x（t）是实信号： x(t)* x(t) ck ck
M
x(t) ak ()e jkt k 1 M
输出信号： y(t) ak ()H ( jk )e jkt k 1
特点：
1）输出信号也是M个复指数特征函数的加权和；
§3.1 引言
——自然界一种重要而普遍的信号存在形式；
——最容易产生和控制的一种信号；
——人类最容易应用的一种标准信号；
——目前应用最多和最有效应用的信号。
——特点是什么？
——作为输入信号，经LTI系统后的响应是否与频率有关？
——任何信号是否可以用正弦信号表示？如何表示？条件 是什么？
§3.2 复正弦信号及LTI系统的频率响应
n)0t]
sin[(k
n)0t]dt
0, k T , k
n n
T 0
x(t )e
jn0t dt
cnT
傅里叶系数：
ck
1 T
x(t)e jk0t dt
T
16
x(t)
ck e jk0t
k
傅里叶系数
ck
1 T
T x(t)e jk0t dt
0
傅里叶级数的其他形式
• 若x（t）是实信号： x(t)* x(t) ck ck
M
x(t) ak ()e jkt k 1 M
输出信号： y(t) ak ()H ( jk )e jkt k 1
特点：
1）输出信号也是M个复指数特征函数的加权和；
第三章周期信号的傅里叶级数表示
1、复指数傅里叶级数
sk =jk0，即:
eskt e jk0t , k 0, 1, 2,L
一个周期为T的周期信号x(t) 的复指数傅里叶级数：
x(t) ake jk0 t k
0 2 / T
其中系数 ak一般来说是 k0 的复函数。
e jk0t , k 0, 1, 2, 成谐波关系的复指数信号集
0
xˆ4
a4e j 40t
a4e j 40t
0
x(t) ake jk0 t
k
k
即：x(t) a0 xˆ1(t) xˆ3(t) xˆ5(t)
xˆ1 xˆ3 xˆ5 xˆ9 xˆ19
a0 xˆ1 xˆ3 a0 xˆ1 xˆ3 xˆ5 a0 xˆ1 xˆ7 a0 xˆ1 xˆ19 a0 xˆ1 xˆ99 x(t)
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H (z就k ) 是对应的特征值。
7
4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号) 的线性加权和
如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解 为复指数信号的线性加权和：
x(t) ak e skt
因此xn可以分解为n个不同的特征函数的线性加权和其傅里叶级数只需对连续n个独立k值求和记为352傅里叶级数系数的确定两边同乘以并在n内求和范围同的取值其中周期内求和为一个周期正弦信号在以下推导供学有余力同学参考36离散时间周期信号周期为n的傅里叶级数是一个有限项级数n个不同的复指数信号求和但a本身是一个周期为n的周期信号
T x(t)e jn0tdt T
0
0
ak e e jk0t jn0t dt
信号与系统 第三章 周期信号的傅里叶级数展开
1 T
2 n 2
T1
f (t ) dt
F ( n1 )
左边是周期信号f(t)在一个周期里的平均功率（即单位时间内的能量）
2 2 1 1 2 jnt F ( n ) e dt F ( n ) dt F ( n ) 而同时有 T 1 1 1 T1 1 T1 T1
n 1
——余弦形式
x(t ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1
——正弦形式
(1). f (t ) a0 an cosnt bn sin nt
n1
三角函数形式
(2). f (t ) A0 An cos(nt n )
而无物理意义。将来可以看出，指数函数形式比正弦函数形式在数 学上处理起来要方便的多。
§3.2 周期矩形脉冲的谱线特点
x(t )
E
T1
t
2 2
T1
脉冲为 ，脉冲高度为E，周期为T1
1 21 1 E 1 jn1t jn1t 2 X (n1 ) T1 x(t )e dt E e dt e jn1t T1 2 T1 2 T1 jn1 jn jn 1 2E 1 1 2 2 e sin(n1 ) e jn1T1 2 n1T1 sin(n1 ) E E 2 Sa (n1 ) T1 n T1 2 1 2
电子信息与电气工程学院
本章内容
连续时间周期信号的傅立叶级数表示 周期矩形脉冲的谱线特点
§3.1 连续时间周期信号的傅立叶级数表示
{1, cos n1t ,sin n1t} n=1,2, , 是一个完备的正交函数集
2 n 2
T1
f (t ) dt
F ( n1 )
左边是周期信号f(t)在一个周期里的平均功率（即单位时间内的能量）
2 2 1 1 2 jnt F ( n ) e dt F ( n ) dt F ( n ) 而同时有 T 1 1 1 T1 1 T1 T1
n 1
——余弦形式
x(t ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1
——正弦形式
(1). f (t ) a0 an cosnt bn sin nt
n1
三角函数形式
(2). f (t ) A0 An cos(nt n )
而无物理意义。将来可以看出，指数函数形式比正弦函数形式在数 学上处理起来要方便的多。
§3.2 周期矩形脉冲的谱线特点
x(t )
E
T1
t
2 2
T1
脉冲为 ，脉冲高度为E，周期为T1
1 21 1 E 1 jn1t jn1t 2 X (n1 ) T1 x(t )e dt E e dt e jn1t T1 2 T1 2 T1 jn1 jn jn 1 2E 1 1 2 2 e sin(n1 ) e jn1T1 2 n1T1 sin(n1 ) E E 2 Sa (n1 ) T1 n T1 2 1 2
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本章内容
连续时间周期信号的傅立叶级数表示 周期矩形脉冲的谱线特点
§3.1 连续时间周期信号的傅立叶级数表示
{1, cos n1t ,sin n1t} n=1,2, , 是一个完备的正交函数集
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ak 直角坐标形式，
x(t) a0 2[Bk cosk0t Ck sin k0t] (3.32) k 1
由此可见，对实周期函数来说，按(3.25)式所给出的复指数形式 的傅里叶级数，数学上就等效为(3.31 式和(3.32)式这两种形式之一， 即都是三角函数的表示式。 3.3.2 连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定
教学重点、 难点及处 1. LTI 系统对复指数信号的响应； 理安排 2. 连续时间周期信号的傅里叶级数表示。
教学方式、 讲授法 方法
教学 内容 及时 间分
配
3.0 引言 3.1 历史回顾 3.2 LTI 系统对复指数信号的响应 3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
5min 10min 30min 45min
(3.90)式所说明的是：一个周期复指数序列的值在整个一个周期 内求和，除非该复指数是某一常数，否则，其和为零。
根据(3.90)式的恒等关系，(3.92)式右边内层对 n 求和是零，除非 k r 为零或 N 的整倍数。因此，如果把 r 值的变化范围选成与外 层求和 k 值的变化范围一样，而在该范围内选择值的话，那么(3.92) 式右边最内层的求和，在 k r 时，就等于 N ；在 k r 时，就等 于 0 ；因此，(3.92)式右边就演变为 Nar ，于是有
输入能够表示成复指数的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相 同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用
输人中相应的系数 a 分别与特征函数有关的系统特征值相乘来求 k
得。
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
3 .3.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合
周期复指数信号：
x(t) e j0t
与之有关的成谐波关系的复指数信号集就是：
(t) e e jk0t
jk (2 /T )t ，
k 0, 1, 2,
k
于是，一个由成谐波关系的复指数线性组合形成的信号
x(t) a e jk0t a e jk (2 /T )t
k
k
k
k
3.1 历史回顾
（略）
LTI 系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利 的，但这些基本信号应该具有以下两个性质:
1. 由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号； 2. LTI 系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使得系统 对任意输人信号的响应有一个很方便的表示式。 在研究 LTT 系统时，复指数信号的重要性在于这样一个事实，即： 一个 LTI 系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的 只是在幅度上的变化；也就是说：
N 就是基波频率。
备注
[n]中的全部信号，其基波频率都是 2 / N 的整数倍，因
k
0
此他们是成谐波关系的。 由上式给出的信号集中只有 N 个信号是不相同的，这是由于离散
时间复指数信号在频率上相差 2 的整倍数都是一样的缘故。
现在我们希望利用序列k [n]的线性组合来表示更为一般的周
级数的等效表示式。(3.38)式称为综合公式，而(3.39)式则称为分析公
式。系数{a }往往称为 x(t) 的傅里叶数级系数或称为 x(t) 的频谱 k
系数。
a0
1 T
T
x(t)dt
先举几个例子来说明傅里叶级数的展开：
例 3.3 例 3.4 例 3.5 详见教材
开课单位 授课教师 选用教材
课次
里叶级数表示
3.7 离散时间傅里叶级数性质
教学目的 掌握离散时间周期信号的傅里叶级数表示方法，能够计算离散时间周期信号 及要求 的傅里叶级数；掌握离散时间傅里叶级数的性质。
教学重点、 难点及处 理安排
教学方式、
方法
讲授法
教学 内容 及时 间分
配
3.6 离散时间周期信号的表示 3.7 离散时间傅里叶级数性质
教学重点、 连续时间傅里叶级数的性质
难点及处 理安排
教学方式、 讲授法
方法
教学 内容 及时 间分
配
3.4 傅里叶级数的收敛 3.5 连续时间傅里叶级数性质
35min 55min
例题、练习 详见下文
题
作业、思考 题
教
案
内
容
3.4 傅里叶级数的收敛
由于要研究的大多数周期信号在一个周期内的能量都是有限的， 因此它们都有傅里叶级数的表示。然后，狄里赫利得到了另一组条件， 这组条件对于我们所关注的信号也基本上都能满足。这组条件除了在
k
周期，周期性重复。特别是，因为只有 N 个不同的复指数(周期均为 N )，所以离散时间傅里叶级数表示式就是一个 N 项的有限级数。 因此，如果我们在定义傅里叶级数(3.94)式的 N 个连续 k 值上，固定 这 N 个连续 k 值的话，就一定能由(3.95)式求得 N 个傅里叶系数。 另一方面，常常为了方便而要利用不同的一组 N 个 k 值，这样把 (3.94)式看作是在任意 N 个顺序 k 值上求和是很有用的。由于这个缘 故，有时把 ak 也看作是定义在全部 k 值上的一个序列，而在傅里叶 级数表示式中仅仅利用其中某 N 个连续序列值。
期序列，这样一个线性组合就有如下形式：
(3.87)
因为序列人k [n]只在 k 的 N 个相继值的区间上是不同的。因
此，(3.87)的求和仅仅需要包括 N 项。于是，(3.87)式的求和是当 k 在 N 个相继整数的区间上变化时，从任意 k 值开始对 k 进行的。为了 指出这一点，特将求和限表示成 k N ，即
信号与系统 西安交通大学 出版社
13
东北电力大学 教案封皮
课程名称
授课对象
总学时
72
第 3 章 周期信号的傅 3.4 傅里叶级数的收敛
里叶级数表示
3.5 连续时间傅里叶级数性质
教学目的 了解狄里赫利条件、吉伯斯现象，掌握连续时间傅里叶级数的性质，能够利 及要求 用傅里叶级数分析式和性质计算信号的傅里叶级数表达式。
(3.88)
(3.88)式称为离散时间傅里叶级数，而系数
a k
则称为傅里叶级数
系数。
3.6.2 周期信号傅里叶级数表示的确定
求 a 的一种方法可以联立解线性方程组，即 k
然而，以下所用的是采用与连续时间情况下同样的方法，有可能
利用 x[n]来求得 ak 的一个闭式表示式。
导出这一结果的基础是在习题 3.54 中所证明的如下事实: (3.90)
例题、练习 详见下文
题
作业、思考 习题 3.9
题
3.11
教
案
内
容
3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示
3.6.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合
一个离散时间信号 x[n] ，若有
x[n N ] x[n]
就是一个周期为 N 的周期信号。基波周期就是使之成立的最小正整数
N
，而 0
2
/
离散时间傅里叶级数对就为： (3.94) (3.95)
这两个公式对离散时间周期信号所起的作用，如同(3.38)式和(3.39}式
对连续时间周期信号所起的作用是完全一样的，其中(3.94)式就是综 合公式，而(3.95)式则是分析公式。和连续时间情况一样，离散时间
傅里叶级数系数 ak 往往也称为 x[n] 的频谱系数。 倘若我们考虑的 k 值多于 N 个的话，那么 a 的值必定以 N 为
某些对 x(t) 不连续的孤立的 t 值外，保证 x(t) 等于它的傅里叶级数 表示；而在那些 x(t) 不连续的点上，(3.55)式的无穷级数收敛于不连
续点两边值的平均值。
狄里赫利条件是：
条件 1 任何周期内， x(t) 必须绝对可积，即
T x(t) dt
条件 2 在任意有限区间内， x(t) 具有有限个起伏变化；也就是说， 在任何单个周期内 x(t) 的最大值和最小值的数目有限。 条件 3 在 x(t) 的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这
些不连续点上，函数是有限值。
吉伯斯现象：一个不连续信号 x(t) 的傅里叶级数的截断近似 xN (t) ，一般说来，在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量，而且， 若在实际情况下利用这样一个近似式的话，就应该选择足够大的 N ，
以保证这些起伏拥有的总能量可以忽略。
3.5 连续时间傅里叶级数性质
假设 x(t) 是一周期信号，周期为T ，基波频率 2 ，那 0T
证明复指数是 LTI 系统的特征函数：详见教材 128 页 证明复指数序列也是离散时间 LTI 系统的特征函数：详见教材 128 页 一般地说，在连续时间情况下，(3.1)式与叠加性质结合在一起就 意味着：将信号表示成复指数的线性组合就会导致一个 LTI 系统响应
备注
的方便表达式。(证明略) 换句话说，对于连续时间和离散时间来说，如果一个 LTI 系统的
么，若 x(t) 的傅里叶级数系数记作 ak ，则用
备注
来表示一个周期信号及其傅里叶级数系数的一对关系。 3.5.1 线性
则
3.5.2 时移性质 若
则
3.5.3 时间反转 若
则
3.5.4 时域尺度变换 时域尺度变换是一种运算。一般来说，这种运算是会改变受到变
换 的 信 号 周 期 的 。 如 果 x(t) 是 周 期 的 ， 周 期 为 T ， 基 波 频 率
0
2 T
，那么，x(t) ，
T
为一正实数，就是一个周期为
和
基波频率为 的周期信号。因为时间尺度运算是直接加在 x(t) 的 0
每一次谐波分量上的，所以能很容易得出，对于这些谐波分量中每一 个的傅里叶系数仍然是相同的。要强调的是，虽然傅里叶系数没有改 变，但由于基波频率变化了，傅里叶级数表示却改变了。 3.5.5 相乘