周期信号的傅里叶级数

2
T1
T1
t0 T1 t0
f
(t) cos n1tdt
2
bn 为 n的1 奇函数
iii) bn
f (t),sin n1t sin n1t,sin n1t

t0 T1 t0
f (t) sin n1tdt

2
T1
T1
t0 T1 t0
f
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3.1周期信号的傅立叶级数
i)
a0
f (t),1 1 t0 T1 f (t)dt
1,1
T1 t0
an为 n的1 偶函数
ii)
an
f (t), cos n1t cos n1t, cos n1t

t0 T1 t0
f (t) cos n1tdt
i)三角函数集：
sin 0t,sin 20t,
,1, cos0t, cos 20t,
(t0 ,
t0

2 0
)
ii)复指数函数集： 1, e j0t , e j0t , e j20t , e j20t ,
f(t)=C1 sin w1t+C3 sin w3t+C6 sin w6t
viii)直流分量：c0
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5．周期信号的离散谱
i)幅度(频)谱: cn n1
cn c1 c2 谱线，包络线
c0
c3
ii)相位(频)谱: n n1
n
01 31 n1

01 31 n1
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第三章 傅立叶变换
•引言
时域分析中,以冲激信号δ(t)为基本信号，任意 输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和；
rzs (t) h(t) e(t)
而本章将以正弦信号和虚指数信号e jt为基本信号， 任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信 号或虚指数信号之和。
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•频域分析 从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论
傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数 展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为 傅立叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解， 即分解为三角函数或复指数函数的组合。
(t0 , t0

2 1
)上的完备正交函数集，周期 T1

特点：频谱只出现在某些离散频率点上，离散(频)谱
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二、指数形式的傅立叶级数
1．任意信号的指数傅立叶级数展开
① {1, e j1t , e j1t , e j21t , e j21t ,..., e jn1t , e jn1t ,...}
(t0 , t0

2 1
)上的一个完备正交函数集，周期 T1

2 1
②满足一定条件的任一函数 f

(t)
在区间(t0
,
t0

2 1
)
都可描述为：
f (t) a0 an cos n1t bn sin n1t
n1
f(t)
0 t0
t哈0 尔2滨 /工业1 t大学自动化测试与控制系
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v)基波分量： f1

1 对应的
T1
c1
cos(1t
1 )
vi)奇次谐波分量： 3 f1, 5 f1, 7 f1, ... 对应的
c2k1 cos[(2k 1)1t 2k1]
vii)偶次谐波分量：2 f1, 4 f1, 6 f1, ... 对应的 c2k cos(2k1t 2k )
②一周期内f (t)极值有限个；
③一周期内f (t) 绝对可积，即 t0T1 f (t)dt t0
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4．其它三角形式


i) f (t) c0 cn cos(n1t n ), f (t) d0 dn sin(n1t n )
一种变换域分析方法，其它变换方法的基础； 快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛
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预备知识:完备的正交函数集
信号分解： f (t) c1g1(t) c2 g2 (t) cr gr (t)
常用完备正交函数集：
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2．对于周期函数 f (t) ，由于 a0 , an , bn积分值与积
分区间起始点无关(只要积分区间大小为T1)，故在
t , f (t) 均可以展成傅立叶级数
f (t)
0
t
T1
T1
3．存在的充分非必要条件：狄利克雷条件
①一周期内f (t)间断点有限个；
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3.1周期信号的傅立叶级数
一、三角形式的傅立叶级数
1．任意信号的三角形式傅立叶级数展开
① {1,cos1t,sin1t,cos21t,sin 21t,..., cosn1t,sin n1t,...}是区间
n1
n1
ii) a0 c0 d0 , cn dn an2 bn2 cn 为 n的1 偶函数
iii) an cn cosn dn sinn , bn cn sinn dn cosn
iv)
tgn

bn an
,
tgn

an bn
n ,n 为 n的1 奇函数
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了 信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特 性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽 以及滤波、调制等重要概念。
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本章主要内容
• 周期信号的傅立叶级数 • 非周期信号的傅立叶变换 • 傅立叶变换的基本性质 • 周期信号和抽样信号的傅立叶变换