江苏省灌南高级中学高三数学复习 抛物线1导学案
灌南高级中学高三数学复习导学案：抛物线
学习目标: 1。
掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质。
2.理解数形结合的思想．自主梳理1．抛物线的概念平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质基础检测1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是________．2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点重合，则p 的值为________．3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若错误!＋错误!＋错误!＝0，则｜错误!｜＋|错误!|＋|错误!|＝________.5．已知抛物线方程为y2＝2px（p〉0)，过该抛物线焦点F且不与x 轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么∠MFN ＝________.典型例题例1见导航第152页例1变式训练1 已知点P在抛物线y2＝4x上,那么点P到点Q（2,－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．例2 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M （m,－3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式训练2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1）抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2）过点P（2,－4）．变式训练3 已知AB是抛物线y2＝2px (p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A（x1，y1),B（x2，y2）．求证:(1）x1x2＝错误!;(2）1AF＋错误!为定值．。
江苏省灌南高级中学高三数学复习 立体几何中的向量方法导学案
江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：立体几何中的向量方法 考情分析1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算．2．能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理．3．利用空间向量求空间距离．基础知识1．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则①a ±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3)；②λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)；③a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1， b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.2．立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ n·a ＝0，n·b ＝0.(2)用向量证明空间中的平行关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.(3)用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u .③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.(4)点面距的求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |. 题型一 利用空间向量证明平行问题【例1】►如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .【变式1】 如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .题型二 利用空间向量证明垂直问题【变式2】 如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ；(2)PD ⊥平面ABE .题型三 利用向量求空间距离【例3】►在三棱锥SABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示，求点B 到平面CMN 的距离．【变式3】 (2013江西模拟)如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝2 3.(1)求点A 到平面MBC 的距离；(2)求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值．巩固提高1.如图，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．2.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值________．3如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°.(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)设AB＝AP.(ⅰ)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；(ⅱ)在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？说明理由．。
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 抛物线教案(理)(含解析)苏教版
第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线2x 2＋y ＝0的准线方程为________． 解析：∵抛物线的标准方程为x 2＝－12y ，∴2p ＝12，∴ p 2＝18，故准线方程为y ＝18. 答案：y ＝182．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.答案：15163．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为________．解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－p2.因为点P (2，y 0)到其准线的距离为4，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－2＝4，所以p ＝4.所以抛物线的标准方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是________． 答案：一条直线2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .所以2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·徐州调研)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为________．解析：抛物线y 2＝16x 中，p ＝8，∴准线方程为x ＝－4，∵抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离即为到其准线的距离， ∴d ＝1－(－4)＝5. 答案：52．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则PF 的最小值为________． 解析：设点P 到准线的距离为d ，则有PF ＝d ， 又抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y,则其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即PF 的最小值为18.答案：183．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析：由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于PF ，故动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案：2[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[即时应用]1．(2018·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．解析：由题意AF 与x 轴正半轴所成角为120°，PA ＝PF ，所以△PAF 为正三角形． 因为p ＝3，所以PF ＝AF ＝2p ＝6. 答案：62．(2019·镇江调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点的距离为5，到y 轴的距离为3，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，由题意可得P 到准线的距离为5，又P 到y 轴的距离为3，故p2＝5－3，解得p ＝4.答案：4考点二 抛物线的标准方程与几何性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点． 常见的命题角度有： (1)根据性质求方程； (2)抛物线的对称性；(3)抛物线性质的实际应用．[题点全练]角度一：根据性质求方程1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是________． 解析：设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .答案：y 2＝－x 或x 2＝－8y 角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 因为双曲线的离心率为2，所以1＋b 2a 2＝2，ba＝ 3. 由⎩⎨⎧y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得，2×12×23p 3×2p3＝3，解得p 2＝94，即p ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝－32舍去.答案：32角度三：抛物线性质的实际应用3．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________ m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设水面与拱桥的一个交点为A ，则点A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p＞0)，则22＝－2p ×(－2)，得p ＝1.所以抛物线方程为x 2＝－2y .设水位下降1 m 后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为2 6 m.答案：2 6[通法在握]求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．(3)焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点常设为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22p ，y .[提醒] 求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况．[演练冲关]1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，则该抛物线的方程为________．解析：由题意知，抛物线的焦点在x 轴上． ∵直线3x －4y －12＝0交x 轴于点(4,0)， ∴抛物线的焦点为(4,0)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由p2＝4，得p ＝8，∴该抛物线的方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．解析：依题意设P 在抛物线准线的射影为P ′，抛物线的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离PP ′＝PF ，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和d ＝PF ＋PA ≥AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172. 答案：172考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研 [典例引领]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且OP ＝PB ，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， 所以(－8)2＝2p ×8，所以2p ＝8， 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由直线l 2与l 1垂直，且不过原点，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，所以m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，所以x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， 所以m ＝8或m ＝0(舍去)，所以直线l 2的方程为x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·FM ·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.[由题悟法]解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝|x A |＋|x B |＋p 或AB ＝|y A |＋|y B |＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[即时应用]已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q.(1)设直线Q A ，Q B 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点， OM ―→·ON ―→＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p . 由题意知，点Q(－2,0)， 所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4y 1＋y 2my 1＋4my 2＋4＝－8mp ＋8mpmy 1＋4my 2＋4＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)， 当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ―→·ON ―→＝2，所以4＋y N y M ＝2，即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0y 2＋y 1＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0y 2＋y 1＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p －4p ＋2pmy 0＋y 2－4p ＋2pmy 0＋y 2＝－2，故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p2，由抛物线的定义可知，2＋p2＝4，则p ＝4，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.答案：x ＝－22．(2018·扬州期末)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线x 2－y 2＝8的右焦点为(4,0)，故p2＝4，即p ＝8.答案：83．已知P 为抛物线y 2＝8x 上动点，定点A (3,1)，F 为该抛物线的焦点，则PF ＋PA 的最小值为________．解析：易知点A 在抛物线内部，抛物线的准线方程为x ＝－2，过点P 作准线的垂线，垂足为M ，则PF ＋PA ＝PM ＋PA ，当A ，P ，M 三点共线时取得最小值，所以PF ＋PA ＝3－(－2)＝5.答案：54．(2018·前黄中学检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，所以焦点坐标为 (1,0) . 答案：(1,0)5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－1＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.答案：26．(2019·连云港模拟)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF ＝2，则S △BCFS △ACF＝________. 解析：∵抛物线方程为y 2＝2x ，∴焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12.如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E ，N ，则BF ＝BN ＝x 2＋12＝2，∴x 2＝32，把x 2＝32代入抛物线y 2＝2x ，得y 2＝－3，∴直线AB 过点M (3，0)与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3. 则直线AB 的方程为3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3y －3＝0，与抛物线方程联立，解得x 1＝2， ∴AE ＝2＋12＝52.∵在△AEC 中，BN ∥AE ，∴BC AC ＝BN AE ＝252＝45，故S △BCF S △ACF ＝12BC ·h12AC ·h＝45. 答案：45二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·宿迁一模)抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为________．解析：∵抛物线x 2＝4y 的焦点在y 轴上，开口向上，且2p ＝4，∴p2＝1.∴抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)． 答案：(0,1)2．过抛物线x 2＝－12y 的焦点F 作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．解析：由题意F (0，－3)，将y ＝－3代入抛物线方程得x ＝±6， 所以AB ＝12，所以S △OAB ＝12×12×3＝18.答案：183．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AF BF＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得x 2－5p 3x ＋p24＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以AF BF ＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3.答案：34．(2019·南通调研)已知F 是抛物线C ：y 2＝12x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则FN 的长度为________．解析：∵F (3,0)，∴由题意可得M 的横坐标为32，∴FM ＝32＋3＝92，FN ＝2FM ＝9.答案：95．已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则AB 的最大值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，由抛物线的定义可知，AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知AF ＋BF ≥AB ，AB ≤4，当且仅当直线AB过焦点F 时，AB 取得最大值4.答案：46．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx ＝30°. 直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6. 即得A 的坐标为(6,23)．∴AB ＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 37．(2018·无锡调研)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且PA ＝12AB ，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为PA ＝12AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋2＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.答案：538．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且MF ＝4OF ，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为________．解析：设M (x ，y )，因为OF ＝p 2，MF ＝4OF ，所以MF ＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x9．已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 是抛物线上的动点，点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求取最小值时点P 的坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. 因为6＞2，所以A 在抛物线内部．设抛物线上的点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d .当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以点P 的坐标为(2,2)．10．(2018·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ―→·OB ―→的值；(2)如果OA ―→·OB ―→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3. (2)证明：设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b . 令b 2－4b ＝－4，得b 2－4b ＋4＝0，解得b ＝2. 所以直线l 过定点(2,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·连云港二模)从抛物线x 2＝4y 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积S ＝________.解析：设P (x 0，y 0)，依题意可知抛物线的准线方程为y ＝－1， ∴y 0＝5－1＝4，∴|x 0|＝4×4＝4， ∴△MPF 的面积S ＝12PM ·|x 0|＝12×5×4＝10.答案：102．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于________．解析：依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)．又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4. 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2. 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)． 同理FC ―→·FD ―→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋4.所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k2＋8≤－16.当且仅当k ＝±1时等号成立． 答案：－163.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。
江苏省灌南高级中学高三数学 高三数学周练试卷复习导学案
FED 1C 1B 1BCD A 1A江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：高三数学周练试卷一．填空题1. 已知复数),(R y x yi x z ∈+=，且5)21(=+z i ，则=+y x ． 2．集合{}*523M x x N=--∈，则M 的非空真子集的个数是 ．3. 设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21xf x =+，若()3f a =，则实数a 的值为 ．4. 方程lg(2)1x x +=有 个不同的实数根5. 不等式11112-≥-x x 的解集为 6. 直线(2m 2+m-3)x+(m 2-m)y=4m-1与直线2x-3y=5平行，则m=7. 已知)2sin ,2(),sin ,1(2x b x a ==，其中()0,x π∈，若a b a b ⋅=⋅， 则tan x = ．8. 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则AB CE ⋅= ．9.32121212()1,()[()()]0f x x x mx x x R x x f x f x =+++∈-->对任意满足（21x x ≠），则实数m 的取值范围是10. 已知B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左准线与x 轴的交点， (0,)A b ，若满足2AP AB =的点P 在双曲线上，则该双曲线的离心率为 .11. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCDF ABDV V --= ______.12. 已知函数ln ,1()1(2)(),1x x f x x x a x e≥⎧⎪=⎨+-<⎪⎩（a 为常数，e 为自然对数的底数）的图象在点(,1)A e 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是 ． 二．解答题13.已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（1）求角C 的大小；（2）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长．15. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线f （x ）=1﹣ax 2（a ＞0）的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设P （t ，f （t ））．（1）将△OMN（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数S （t ）；（2）若在t=处，S （t ）取得最小值，求此时a 的值及S （t ）的最小值．16.椭圆C：2222+1x ya b=(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ) 求∆ABP的面积取最大时直线l的方程．13. 解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos A B A B A B C ⋅=-=+=-m n ， 所以cos cos2C C -=，即22cos cos 10C C +-=故1cos 2C =或cos 1C =-（舍）， 又0C π<<，所以3C π=．（Ⅱ）因为18CA CB ⋅=，所以36CA CB ⨯=． ①由余弦定理2222cos60AB AC BC AC BC =+-⋅⋅︒，及6AB =得，12AC BC +=． ② 由①②解得6,6AC BC ==． 14．证明：（Ⅰ）取PD 中点G ，连,AG FG ，因为F 、G 分别为PC 、PD 的中点，所以FG ∥CD ，且12FG CD =． 又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且12AE CD =． 所以AE ∥FG ，AE FG =．故四边形AEFG 为平行四边形．所以EF ∥AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 故EF ∥平面PAD ．（Ⅱ）设AC DE H =，由AEH ∆∽CDH ∆及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==， 又因为2AB =，1BC =，所以3AC =，1333AG AC ==． 所以23AG AB AE AC ==，又BAC ∠为公共角，所以GAE ∆∽BAC ∆． 所以90AGE ABC ∠=∠=︒，即DE AC ⊥． 又DE PA ⊥，PAAC A =，所以DE ⊥平面PAC ． 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． 15. 解：（1）∵曲线f （x ）=1﹣ax 2（a ＞0） 可得f′（x ）=﹣2ax ，P （t ，f （t ））． 直线MN 的斜率为：k=f′（t ）=﹣2at ，可得 L MN ：y ﹣f （t ）=k （x ﹣t ）=﹣2at （x ﹣t ）， 令y=0，可得x M =t+，可得M （t+，0）；令x=0，可得y M =1+at 2，可得N （0，1+at 2），∴S（t ）=S △OMN =×（1+at 2）×=；（2）t=时，S （t ）取得最小值，S′（t ）==，∴S′（）=0，可得12a 2×﹣4a=0，可得a=，此时可得S （t ）的最小值为S （）===；16. (Ⅰ)由题：12c e a ==； (1) 左焦点(﹣c ，0)到点P(2，1)的距离为：22(2)1d c =++=10 (2)由(1) (2)可解得：222431a b c ===，，．∴所求椭圆C 的方程为：22+143x y =．(Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12x ，设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，R(x 0，y 0)．其中y 0＝12x 0．∵A ，B 在椭圆上， ∴220220+12333434422+143A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ⎧=⎪-+⎪⇒==-⨯=-⨯=-⎨-+⎪=⎪⎩．设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣32x m +(m ≠0)，代入椭圆：2222+143333032x y x mx m y x m ⎧=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+⎪⎩＝-．显然222(3)43(3)3(12)0m m m ∆=-⨯-=->．mm ≠0．由上又有：A B x x +＝m ，A B y y +＝233m -．∴|AB|A B x x -|∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：d ==．∴S ∆ABP ＝12d|AB|＝12|m ＋当|m ＋2|m ＝﹣3 或m ＝0(舍去)时，(S ∆ABP )max ＝12．此时直线l 的方程y ＝﹣3122x +． 17. 解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则123451,2,1,2,12a a a d a q a d ===+==+34,12(1)2,42S a d q d q =∴++=+=即又3542a a a +=+，(1)(12)22,32d d q d q ++=+=即，解得2,3d q ==∴对于k N *∈，有12121(1)221,23k k k a k k a --=+-⋅=-=⋅故12,21,23,2nn n n k a k N n k*-=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩- （2）22(121)2(13)13213k k kk k S k +--=+=-+-（3）在数列{}n a 中，仅存在连续的三项123,,a a a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1，下面说明理由若2m k a a =，则由212m m m a a a +++=，得123232(21)k kk -⋅+⋅=+化简得14321k k -⋅=+，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立若21m k a a -=，则由212m m m a a a +++=，得1(21)(21)223k k k --++=⋅⋅化简得13k k -=令1,()3k k k T k N *-=∈，则111120333k k k k kk k k T T +-+--=-=<因此，1231T T T =>>>，故只有11T =，此时1,2111k m ==⨯-=综上，在数列{}n a 中，仅存在连续的三项123,,a a a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1。
高考苏教版数学《抛物线》一轮复习导学案教师版
抛 物 线【知识梳理】1．抛物线定义： 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质解析：∵p2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y .2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是__________ 解析：抛物线的标准方程为x 2＝1a y .则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－18.3．倾斜角为60°的直线l 过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为______解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得焦点F (0，1)，准线方程y ＝－1，直线l ：y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消x 得y 2－14y ＋1＝0，y 1＋y 2＝14，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝(y 1＋y 2)＋2＝16.4．已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：依题意得，|OF |＝a 4，又直线l 的斜率为2，可知|AO |＝2|OF |＝a2，△AOF 的面积等于12·|AO |·|OF |＝a 216＝4，则a 2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2＝8x . 5．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________． 解析：其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，则P 点横坐标x P ＝4，由定义知|PF |＝x P ＋p2＝6.说明：1.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．3．由y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)求焦点坐标时，只需将x 或y 系数除以4，再确定焦点位置即可．【考点探究】考点一 抛物线的定义及应用[例1] (1)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________(2)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是_________[解] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.(2)由题知点A 在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1,2)．【由题悟法】涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．【以题试法】1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝_____.解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2. 由图知，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－2，∴|BF |＝12－(－1)＝32. 考点二抛物线的标准方程及几何性质[例2] (1)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为__________(2)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝___________[解] (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴ca ＝a 2＋b 2a ＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝2 3.【由题悟法】1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p 但要注意判断标准方程的形式．2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．【以题试法】2．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________.解析：过N 作准线的垂线，垂足为H ，则|NF |＝|NH |＝32|MN |， 如图．∴cos ∠MNH ＝32，∴∠MNH ＝π6，∴∠NMF ＝π6. 考点三 直线与抛物线的位置关系[例3] 如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．[解] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎨⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP ·MQ ＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立． 由于MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP ·MQ ＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*) 由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎨⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．【由题悟法】 1．设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 得到关于y 的方程my 2＋ny ＋q ＝0.(1)若m ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点． (2)若m ＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)S △AOB ＝p 22sin θ(θ为AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p.(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． (7)∠CFD ＝90°.【以题试法】3．如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F . (1)若点O 到直线l 的距离为12，求直线l 的方程；(2)设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．点B 是以点F 为圆心，|FA |为半径的圆与x 轴的交点，试判断AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．解：(1)抛物线的焦点F (1,0)，当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1不符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以，|－k |1＋k 2＝12，解得k ＝±33.故直线l 的方程为：y ＝±33(x －1)，即x ±3y －1＝0. (2)直线AB 与抛物线相切，证明如下：设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0. 因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)．所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得：x ＝2x 0yy 0－x 0① 把方程①代入y 2＝4x 得：y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0， Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线相切．【巩固练习】1．抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为_______解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝ 5.∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .2．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为_____解析：设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 20＝2px 0，∴36＝2p ⎝⎛⎭⎫10－p2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18. 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为______ 解析：注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪p 2＋3＝4.又p ＞0，因此有p2＋3＝4，解得p ＝2.4．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为_________解析： ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2), 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2，∴k BC ＝－2. 又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2， ∴BC 中点为(1，－1)， 则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0. 5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一点B 满足OB ,＝OA ＋OF (O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是________．解析：由题可知F (1,0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知k 存在)，则A (0，－k )，∴B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，S △BOF ＝12·|OF |·|y B |＝12×1×2＝1.6．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为________．解析：由题意得l 的方程为y ＝12x ＋1，即x ＝2(y －1)．代入抛物线方程得y ＝(y －1)2，即y 2－3y ＋1＝0.设线段端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段长度为y 1＋y 2＋p ＝5.7．已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的离心率为32，抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2.由e ＝c a ＝4－b 22＝32得b 2＝1，∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)，即抛物线C 2的焦点为(0,1)，故抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x . ∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2.当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1x 2＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(4k )2－4×(－4k )＞0，解得k ＜－1或k ＞0.① 且x 1x 2＝－4k ＝－4，即k ＝1，满足①式，∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.。
灌南高级中学高三数学复习导学案：双曲线(1)
教学目的: 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3. 理解数形结合的思想.知识要点:1. 双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫做________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当________时，P点的轨迹是双曲线；(2)当________时，P点的轨迹是两条________；(3)当________时，P点不存在．判断下列点的轨迹是否为双曲线(请在括号内填写“是”或“否”)(1)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差等于2的点的轨迹；()(2)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差的绝对值等于3的点的轨迹；()(3)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差等于4的点的轨迹；()(4)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹；()(5)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差等于6的点的轨迹；()双曲线为等轴双曲线⇔双曲线离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2种必会方法1. 定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程．2. 待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．3点必须注意1. 区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.2. 求双曲线的离心率e时，只要求出a、b、c的一个齐次方程，再结合c2＝a2＋b2，就可求得e(e>1)，而椭圆的离心率e∈(0,1)．3. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .(1)Ax 2＋By 2＝1表示焦点在y 轴上的双曲线的条件是什么？(2)若双曲线的两条渐近线的夹角是90°，则双曲线的实轴长与虚轴长有何关系？ 基础训练1．若双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于________.2. 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．3．已知方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1的图形是双曲线，那么k 的取值范围是________．4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．6．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率，求1e 21＋1e 22的值．例2:已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．变式:已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________．例3 10．(12分)(2011·广东)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切． (1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．例4已知双曲线x 2－y 22＝1. (1)求证：对一切实数k ，直线kx －y －2k ＋2＝0与双曲线均有公共点； (2)求以点A (2,1)为中点的弦的方程．变式1:过点P (8,1)的直线与双曲线x 2－4y 2＝4相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．变式2：已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？巩固练习1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________．2．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．课后练习1．双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程是______．2．与椭圆x 2＋4y 2＝16有共同焦点，且一条渐近线方程是x ＋3y ＝0的双曲线的方程是________．3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．4．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．5．在平面直角坐标系xOy ，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．6．F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于________．7．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．8．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为________．9．已知P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.10．已知双曲线的中点在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)对于(2)中的点M ，求△F 1MF 2的面积．11．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234. (1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求点M 、点P 的坐标．。
2019-2020学年高三数学 8.8抛物线复习导学案.doc
2019-2020学年高三数学 8.8抛物线复习导学案一、知识梳理: 1． 抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F 叫作抛物线的焦点，直线l 叫作抛物线的准线． 2． 抛物线的标准方程与几何性质2py右1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )2． 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]3． (2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 54． 动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________． 5． 若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．三、典例分析：题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．跟踪练习：已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B．3 C. 5 D.92题型二抛物线的标准方程和几何性质例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．跟踪训练(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x(2)(2013·江西)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于( ) A．2∶ 5 B．1∶2 C．1∶ 5 D．1∶3四、当堂检测：1． 抛物线y ＝－12x 2的焦点坐标是( )A ．(0，18)B ．(－18，0)C ．(0，－12)D ．(－12，0)2． (2013·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 33． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2D ．x ＝－2《抛物线》课后提升1． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 22． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为 ( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)3． (2012·安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为 ( )A.22B. 2C.322D ．2 24． 如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：(x －p2)2＋y 2＝p 24，其中p >0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( ) A ．p 2B.p 24C.p 22D.p 23二、填空题5． 若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是__________．6． 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 7． 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若A M →＝M B →，则p ＝________.三、解答题8． 如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．9．(2013·福建)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．。
江苏省灌南高级中学高三数学 函数与方程复习导学案
江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：函数与方程考情分析预测回顾2008～2011年的高考题，在填空题中主要考查了函数的基本性质(单调性、奇偶性)以及导数的几何意义，即切线问题，难度基础题、中档题、难题都有涉及．在解答题中，有关函数模型的应用题的考查在2009年和2011年都有涉及，在压轴题中2008和2009年考查了函数的基本性质，在2010和2011年考查了用导数研究函数的性质，在这些问题的考查中都有涉及数学思想方法的考查．值得注意的是在2008～2011年的高考题中没有单独考查的内容有：指数和对数的运算、幂函数、函数与方程、导数的概念．这些考试说明中出现的知识要点在复习时要兼顾．预计在2012年的高考题中， (1)填空题依然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用相关的考查，难度不一． (2)在解答题中，函数模型的实际运用依然会是考查热点，函数综合性质的考查依然是考查的难点，数形结合思想和分类讨论思想的是考查的重点．备考策略(1)基本初等函数和函数的应用：掌握以基本初等函数或其组合为模型的函数基本性质(如单调性和奇偶性)研究的基本方法；掌握在对复杂函数的性质进行研究时，借助于函数图象研究和对函数解析式的简化处理(如还原法)的运用；掌握含有量词的命题的常规化归方法．(2)导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究，这是高考命制压轴题的一个考查点．专题一．函数的性质主要包括：单调性、奇偶性、周期性、值域． 2．单调性的研究(1)定义：单调递增函数满足：f x 1－f x 2x 1－x 2>0或f ′(x )>0，单调递减函数满足：f x 1－f x 2x 1－x 2<0或f ′(x )<0；(2)判断方法：定义法、图象法、导数法．复合函数y ＝f (g (x ))可用“同增异减”的法则判断．3.奇偶性的研究 (1)定义：①定义域关于原点对称；②奇函数f (x )＋f (－x )＝0；偶函数f (x )＝f (－x )；(2)判断方法：定义法、图象法、复合函数y ＝f (g (x ))可用“有偶则偶，无偶则奇”的判断法则．4．周期性定义及判断方法定义：f (x ＋T )＝f (x )恒成立，则T 为f (x )的一个周期． 5．值域求解常见思路定义域研究→函数解析式结构的研究→单调性研究→极值判定→比较大小→确定最值 要点热点探究探究点一 动态函数单调性的研究动态函数一般是指函数解析式中含有参数的函数，如y ＝x 2＋ax (x ∈[1,2])，参数取值会影响函数的性质和图象，需要分类进行研究．例1 已知函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋c . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝[f (x )－x 3]·e x，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围．【解答】 (1)因为f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，从而f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3 ⎛⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1. (2)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x. 因为函数g (x )在区间[－3,2]上单调递增，等价于h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在[－3,2]上恒成立，只要h (2)≥0即可，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)． 【点评】 (1)含有参数的动态函数中若参数出现在函数的常数项，则不影响函数的单调性；(2)函数g (x )在[a ，b ]上单调递增，等价为g ′(x )≥0在[a ，b ]上恒成立．(3)在解决本题的第二问中，不难发现形如g (x )＝f (x )·e x或g (x )＝f xex再求导后，所得导函数方程与e x无关．探究点二 函数单调性与奇偶性的综合运用函数性质中的奇偶性反映的是函数整体的性质，单调性反映的是函数局部的性质，故函数奇偶性与单调性结合在一起主要是考查对局部和整体的不同认识．例2 设a (0<a <1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (log a t )>0，则t 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ∪(0，a ) 【解析】 因为f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f (x )的草图． 当t >1时，因为0<a <1，所以log a t <0.由图象可得－12<log a t <0，解得1<t <1a；当0<t <1时，因为0<a <1，所以log a t >0.可得12<log a t ，解得0<t <a ，综上，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ∪(0，a )．【点评】 (1)函数的奇偶性对单调性的影响为：偶函数关于y 轴对称，故单调性相反；奇函数关于原点对称，故单调性不变． (2)对于抽象函数问题的研究，在得到函数的性质之后，可先画出抽象函数的“草图”，再根据图象来解决相关问题，比较直观，利于问题解决．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是________．c >a >b 【解析】 令g (x )＝xf (x )，则由于f (x )是R 上的奇函数，所以g (x )为R 上的偶函数，又当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，即g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0成立，故当x ∈(－∞，0)时，g (x )单调递减，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又由于1<30.3<2，log π3∈(0,1)，log 319＝－2，所以g (－2)＝g (2)>g (30.3)>g (log π3)，即c >a >b .探究点三 动态函数的值域求解动态函数值域的研究的基础是其单调性的研究，值域是作为单调性研究的一个应用而存在的．在这类问题处理时，也需要分类讨论思想．例3 已知函数f (x )＝x 2＋a ln x (a 为实常数)．(1)若a ＝－2，求证：函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数； (2)求函数f (x )在[1，e]上的最小值及相应的x 值．【解答】 (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x .当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝x 2－x>0，故函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)f ′(x )＝2x 2＋ax，当x ∈[1，e]时，2x 2＋a ∈[a ＋2，a ＋2e 2]．若a ≥－2，f ′(x )在[1，e]上非负(仅当a ＝－2，x ＝1时，f ′(x )＝0)，故函数f (x )在[1，e]上是增函数，此时[f (x )]min ＝f (1)＝1.若－2e 2<a <－2，当x ＝－a 2时，f ′(x )＝0；当1≤x <－a 2时，f ′(x )<0，此时f (x )是减函数；当－a2<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )是增函数． 故[f (x )]min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a 2. 若a ≤－2e 2，f ′(x )在[1，e]上非正(仅当a ＝－2e 2，x ＝e 时，f ′(x )＝0)，故函数f (x )在[1，e]上是减函数，此时[f (x )]min ＝f (e)＝a ＋e 2.综上可知，当a ≥－2时，f (x )的最小值为1，相应的x 值为1；当－2e 2<a <－2时，f (x )的最小值为a 2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a 2，相应的x 值为－a 2；当a ≤－2e 2时，f (x )的最小值为a ＋e 2，相应的x 值为e.【点评】 一般地，在求动态函数的最值问题时，需要进行分类讨论．第一级讨论为讨论导函数方程根的个数问题；第二级讨论为讨论f ′(x )＝0根的个数与所给区间的关系；第三级讨论为极值与区间端点函数值大小比较．本题只涉前两级讨论． 规律技巧提炼1．函数性质研究以函数单调性研究为重点和难点．单调性研究主要有：一是单调区间的求解；二是根据所给区间内函数的单调性求参数范围；三是应用单调性解不等式；四是用分类讨论的思想研究动态函数的单调性．2．函数的奇偶性和周期性在函数性质研究中是“配角”，它们所起到的共同作用是由部分而知整体．3．动态函数的性质的研究，首先应该观察参数的位置，然后再研究参数对函数性质的影响．在用分类讨论的思想时要注意做到不重不漏，多积累分类讨论的标准的制定依据．例 [2011·江苏卷] 已知a ，b 是实数，函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝x 2＋bx, f ′(x )和g ′(x )分别是f (x )和g (x )的导函数，若f ′(x )g ′(x )≥0在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性一致．(1)设a >0，若f (x )和g (x )在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b 的取值范围； (2)设a <0且a ≠b ，若f (x )和g (x )在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a －b |的最大值．【分析】 第一小问给出新定义，研究动态函数的单调性问题以及导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，属于中档题；第二小问中由于参数a ，b 大小关系不清楚，所以需要进行分类讨论，对于二元问题的处理可以用线性规划思想解决，属于难题．【解答】 f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2x ＋b .(1)由题意知f ′(x )g ′(x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立．因为a >0，故3x 2＋a >0，进而2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在区间[－1，＋∞)上恒成立，所以b ≥2.因此b 的取值范围是[2，＋∞)．(2)令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a3. 若b >0，由a <0得0∈(a ，b )．又因为f ′(0)g ′(0)＝ab <0，所以函数f (x )和g (x )在(a ，b )上不是单调性一致的．因此b ≤0.现设b ≤0.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－－a 3时，f ′(x )>0.因此当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－－a 3时，f ′(x )g ′(x )<0.故由题设得a ≥－－a3且b ≥－－a 3，从而－13≤a <0，于是－13≤b ≤0，因此|a －b |≤13，且当a ＝－13，b ＝0时等号成立．又当a ＝－13，b ＝0时，f ′(x )g ′(x )＝6x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－19，从而当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0时f ′(x )g ′(x )>0，故函数f (x )和g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0上单调性一致．因此|a －b |的最大值为13.已知定义域为D 的函数f (x )，如果对任意x ∈D ，存在正数K ，都有f (x )≤K |x |成立，那么称函数f (x )是D 上的“倍约束函数”．已知下列函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4；③f (x )＝x －1；④f (x )＝xx 2－x ＋1.其中是“倍约束函数”的是________(写出所有满足要求的函数的序号)．①③④ 【解析】 ①当K ＝2时，2x ≤2|x |恒成立，故①是“倍约束函数”； ②当x ＝0时，f (0)＝2>K ×0，故不存在相应K ，使②为“倍约束函数”；③因为f x |x |＝x －1x 2＝－1x 2＋1x ≤14＝12，故存在K ≥12，满足题意； ④因为f x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1x 2－x ＋1x ，－1x 2－x ＋1x，所以f x |x |≤43，故存在K ≥43，满足题意． 故符合条件的序号为①③④.专题二 分段函数 主干知识整合1．分段函数(1)分段函数定义：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数．(2)定义域：各段函数定义域的并集． (3)值域：各段函数值域的并集． 2．分段函数的常见问题(1)分段函数的图象．(2)分段函数的函数值．(3)分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可．(4)分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇(偶)函数，再由x ＞0，－x ＜0，分别代入各段函数式计算f (x )与f (－x )的值，若有f (x )＝－f (－x )，当x ＝0有定义时f (0)＝0，则f (x )是奇函数；若有f (x )＝f (－x )，则f (x )是偶函数． 要点热点探究探究点一 分段函数的单调性分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减，不符合，则必须分开说明单调性．例1 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx ，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋x 是R 上的单调递增．．函数，则实数a 的取值范围为________． [4,8) 【解析】 因为f (x )是定义在R 上的增函数，故y ＝a x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2均为增函数，所以a >1且4－a2>0，即1<a <8. 又画出该分段函数图象，由图象可得，该函数还必须满足：a 1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2×1＋2，即a ≥4.综上，a 的取值范围为4≤a <8.【点评】 在处理分段函数的单调性时，易错在当每一段函数为单调递增时，误以为整个函数也是单调递增，还需要看分界点处的函数值的关系，如本题所给图象． 探究点二 分段函数的值域由于分段函数的值域为每一段函数值域的并集，所以分段函数的值域一般需要进行比较各段最值之间的大小关系后，才能明确．例2 已知函数f (x )＝x 2＋a |ln x －1|(a >0)．(1)当a ＝1时，求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值； (2)当x ∈[1，＋∞)时，求f (x )的最小值．【解答】 (1)当a ＝1，x ∈[1，e]时，f (x )＝x 2－ln x ＋1，f ′(x )＝2x －1x≥f ′(1)＝1，所以f (x )在[1，e]上单调递增，所以f (x )max ＝f (e)＝e 2. (2)①当x ≥e 时，f (x )＝x 2＋a ln x －a ，f ′(x )＝2x ＋a x，∵a >0，∴f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在[e ，＋∞]上为增函数，故当x ＝e 时，y min ＝f (e)＝e 2.②当1≤x <e 时，f (x )＝x 2－a ln x ＋a ，f ′(x )＝2x －a x ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2.(i)当a2≤1，即0<a ≤2时，f ′(x )在(1，e)上为正数，所以f (x )在区间[1，e)上为增函数，故当x ＝1时，y min ＝1＋a ，且此时f (1)<f (e)＝e 2； (ii)当1<a2<e ，即2<a <2e 2时，f ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 2上小于0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，e 上大于0， 所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，a 2上为减函数，在⎝⎛⎭⎪⎫a 2，e 上为增函数， 故当x ＝a 2时，y min ＝3a 2－a 2ln a 2，且此时f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2<f (e)＝e 2； (iii)当a2≥e，即a ≥2e 2时，f ′(x )在(1，e)上为负数，所以f (x )在(1，e)上为减函数，故当x ＝e 时，y min ＝f (e)＝e 2.综上所述，函数y ＝f (x )的最小值y min＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ，0<a ≤2，3a 2－a 2ln a2，2<a <2e 2，e 2，a ≥2e 2.【点评】 一般地，含有绝对值符号的函数也是一种分段函数，如本题所给函数f (x )＝x 2＋a |ln x －1|，所以在研究其值域时，首先要通过分类讨论去掉其绝对值，再讨论每一段函数的单调性，最后再比较各段函数的最小值，从而求得函数的最小值． 探究点三 实际问题中的分段函数模型在函数的实际应用问题中经常出现分段函数的模型，在将题干中的文字语言转化为函数模型时，要注意不同情况下，所对应的不同函数模型．某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x4＋x ，6x －2x，当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的值．【解答】 (1)因为m ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ，24x －2x当0<x ≤4时，x ＋8≥4，显然符合题意；当x >4时，24x －2≥4⇒4<x ≤8.综上，0<x ≤8.所以自来水达到有效净化一共可持续8天．(2)由y ＝m ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 4＋2mx ，6mx －2x知在区间(0,4]上单调递增，即2m <y ≤3m ，在区间(4,7]上单调递减，即6m 5≤y <3m ，所以6m5≤y ≤3m .为使4≤y ≤10恒成立，只要6m 5≥4且3m ≤10即可，即m ＝103.所以为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，投放的药剂质量m 应该为103.【点评】 本题的实际应用题所给函数模型为分段函数模型，模型无需建立(变式题需要建立模型)，本题的难点所在是对“有效净化”和“最佳净化”这两个词语的转化．[2011·湖北卷] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【解答】 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x <20，13－x ，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x <20，13x －x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝100003. 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 规律技巧提炼1．分段函数在概念上的理解易出问题，会以为它是几个函数，要明确的是分段函数不论分几段，都是一个函数，只不过是每一个部分有着不同的解析式和图象．2．分段函数的函数值和相关不等式是高考的常考点，难度不大，如2010和2011年所考查的题．分段函数的单调性和值域以及实际问题中分段函数的模型是高考考查分段函数的重点，尤其是含参数的分段函数性质，此时用好分类讨论和数形结合这两个思想，会起到事半功倍的效果．3．分段函数的奇偶性很少考查，如有涉及，可画出分段函数的图象，转化为图象的对称性进行研究．例 [2011·江苏卷] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．【答案】 －34【解析】 当a >0时，f (1－a )＝2－2a ＋a ＝－1－3a ＝f (1＋a )，a ＝－32<0，不成立；当a <0时，f (1－a )＝－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ＝f (1＋a )，a ＝－34.[ 2011·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3A 【解析】 由已知，得f (1)＝2；又当x >0时，f (x )＝2x>1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a <0，∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x >0.若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．(－2,1) 【解析】 画出函数的图象，如下图所示，由图象可得，该函数是定义在R 上的增函数，故2－x >x ，解得－2<x <1. 专题三 函数的切线 主干知识整合1．导数的几何意义函数f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))的切线斜率． 2．函数的切线方程对于函数f (x )(可导函数)，其在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，其中切线斜率k ＝f ′(x 0)．3．公切线(1)定义：同时切于两条或两条以上曲线的直线，叫做曲线的公切线． (2)两个函数的公切线：y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)与y －g (x 2)＝g ′(x 2)(x －x 2)为同一直线．其中若切点为同一点P (x 0，f (x 0))，则⎩⎪⎨⎪⎧fx 0＝g x 0，f x 0＝g x 0要点热点探究探究点一 公切线问题公切线问题是函数切线求解一个更深层次的问题，主要是求解两个函数图象与一条直线相切于同一个点的问题．例1 [2011·湖北卷] 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l .(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3. 由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线， 故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立． 特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，得m <0. 由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2. 对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0， 则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0， 又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数f (x )＋g (x )－mx 在x ∈[x 1，x 2]的最大值为0.于是当－14<m <0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. 【点评】 两个函数在同一点的公切线的方程求解，主要是解⎩⎪⎨⎪⎧f x 0＝g x 0，f x 0＝g x 0，但要注意如果切点不在同一点时，不可以用该方程组，而是需要求两次切线方程，并证明切线方程重合．设a >0，f (x )＝xx －a，g (x )＝e xf (x )(其中e 是自然对数的底数)，若曲线y ＝f (x )与y＝g (x )在x ＝0处有相同的切线，求公切线方程．【解答】 (1)f ′(x )＝－ax －a 2，g ′(x )＝e x[f (x )＋f ′(x )]＝x 2－ax －a x x －a 2.f ′(0)＝－1a ，g ′(0)＝－1a.又f (0)＝0，g (0)＝f (0)＝0.所以，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处有相同的切线y ＝－x a.探究点二 切线条数的问题过一点作函数切线的条数问题，应该先求出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，然后再论证关于切点的方程的根的个数问题．例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，且在x ＝0处的切线的斜率为－ 3.(1)求f (x )的解析式；(2)若过点A (2，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．【解答】 (1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .依题意⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝3a ＋2b ＋c ＝0，f －＝3a －2b ＋c ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，3a ＋c ＝0.又f ′(0)＝－3，∴c ＝－3，∴a ＝1，∴f (x )＝x 3－3x .(2)设切点为(x 0，x 30－3x 0)，∵f ′(x )＝3x 2－3，∴f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，又切线过点A (2，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(2－x 0)，∴m ＝－2x 30＋6x 20－6.令g (x )＝－2x 3＋6x 2－6，则g ′(x )＝－6x 2＋12x ＝－6x (x －2)， 由g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，g (x )极小值＝g (0)＝－6，g (x )极大值＝g (2)＝2，画出草图知，当－6<m <2时，m ＝－2x 3＋6x 2－6有三解， 所以m 的取值范围是(－6,2)．【点评】 本题中方程m ＝－2x 3＋6x 20－6的三个根判定的问题，需要借助于图形来进行研究，先求导研究函数g (x )＝－2x 3＋6x 2－6的性质，再求出极值，即可求出m 的范围 探究点三 与切线有关的多边形问题函数的切线与其他线，如坐标轴所围成图形的面积或者线段长度的最值问题是难点问题．例3 如图3－1，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．【解答】 解法一：以O 建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧OC 的方程为 y ＝ax 2(0≤x ≤2)，∵点C 的坐标为(2,1)，∴22a ＝1，a ＝14，故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2(0≤x ≤2)，要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2(0<t <2)，∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2＝t2(x －t )，即y ＝12tx －14t 2.由此可求得E ⎝⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14t 2. ∴|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14t 2－－＝1－14t 2， |BE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －14t 2－－＝－14t 2＋t ＋1. 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝－12(t －1)2＋52≤52，∴当t ＝1时，S (t )＝52，故S (t )的最大值为2.5，此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75. 答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为y ＝ax 2＋1(0≤x ≤2)．∵点C 的坐标为(2,2)，∴22a ＋1＝2，a ＝14，故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2＋1(0≤x ≤2)．要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2＋1(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2－1＝12t (x －t )，即y ＝12tx －14t 2＋1，由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2＋1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14t 2＋1. ∴|AF |＝1－14t 2，|BE |＝－14t 2＋t ＋1，设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AB |·(|AF |＋|BE |)＝1－14t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋t ＋1＝－12t 2＋t ＋2 ＝－12(t －1)2＋52≤52.∴当t ＝1时，S (t )＝52，故S (t )的最大值为2.5.此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75. 答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5m 2.【点评】 与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点P 的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y ＝－x 3＋1上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值为________．3324【解析】 解法1：依题意设切点为(x 0，－x 30＋1)，易知x 0∈(0,1)，从而切线的斜率为k ＝－3x 20，切线方程为y －(－x 30＋1)＝－3x 20(x －x 0)⇒y ＝－3x 20x ＋2x 30＋1，从而可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 30＋13x 20，0，B (0,2x 30＋1)， 所以S △AOB ＝12OA ·OB ＝12·(2x 30＋1)·2x 30＋13x 20＝4x 60＋4x 30＋16x 20＝23x 40＋23x 0＋16x 20，x 0∈(0,1)．记f (x )＝23x 4＋23x ＋16x2，x ∈(0,1)，则f ′(x )＝83x 3＋23－26x 3⇒f ′(x )＝8x 6＋2x 3－13x 3＝x 3＋x 3－3x 3. 又x ∈(0,1)，令f ′(x )＝0⇒4x 3－1＝0⇒x ＝314，易知f (x )在x ＝314时取得极小值且为最小值，所以当x 30＝14时有S △AOB 的最小值为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×14＋16×⎝⎛⎭⎪⎫3142＝3324.解法2：得到三角形的面积后可利用基本不等式S △AOB ＝12OA ·OB ＝12·(2x 30＋1)·2x 30＋13x 20＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 30＋1x 02＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 20＋12x 0＋12x 02≥16·⎝ ⎛⎭⎪⎫33122＝3324，当且仅当2x 20＝12x 0即x 30＝14时等号成立． 规律技巧提炼1．函数切线的求解主要包括以下问题 (1)求函数在某一点的切线方程；(2)求两个函数在某一点处的公切线方程； (3)求过一点作函数的切线或切线条数的求解．这三个问题，主要还是先求出在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再进行相关论证．2．与切线有关的问题与切线有关的多边形的面积或长度的最值问题，切线方程求解不难，主要是建立函数后对所建立函数的研究，难度会因为所建函数不同而不同．例 [2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．【分析】 高考在考查函数切线问题时，主要是以切线为背景函数的其他知识，如2011年与切线有关的两点纵坐标差的最值问题研究，属于难题．【答案】 4【解析】 设直线为y ＝kx (k >0)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x⇒x 2＝2k，y 2＝k 2x 2＝2k ，所以PQ ＝2OP＝x 2＋y 2＝22k＋2k ≥224＝4.设曲线y ＝(ax －1)e x 在点A (x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y ＝(1－x )e －x在点B (x 0，y 2)处的切线为l 2，若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 【解析】 依题意由y ＝(ax －1)e x ，得y ′＝a e x ＋(ax －1)e x ＝(ax ＋a －1)e x ，所以kl 1＝(ax 0＋a －1)e x 0.由y ＝(1－x )e －x＝1－x e x ，得y ′＝－e x －－x xx 2＝x －2e x ，所以kl 2＝x 0－2e x 0.因为l 1⊥l 2，所以kl 1·kl 2＝－1，即(ax 0＋a －1)e x 0·x 0－2e x 0＝－1，即(ax 0＋a －1)·(x 0－2)＝－1，从而a ＝x 0－3x 20－x 0－2，其中x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 令f (x )＝x －3x 2－x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32，则f ′(x )＝－x －x －x 2－x －2， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 又因为f (0)＝32，f (1)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝65，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32. 专题四 函数的零点 主干知识整合1．函数的零点：使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点． (1)函数的零点⇔方程的根；(2)零点存在理论：在区间[a ，b ]上连续；f (a )·f (b )<0. 2．常见求解方法(1)直接解方程，如一元二次方程； (2)用二分法求方程的近似解； (3)一元二次方程实根分布规律；(4)用数形结合法将方程的根转化为函数零点．画出y ＝f (x )图象可用到以下方法： ①用图象变换法则画复杂函数图象；②用求导得出较复杂函数的单调性，然后再画图象，如y ＝ln xx；③可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程e xln x ＝1，转化为y ＝ln x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ； ④如果是带有参数的方程，可以进行参数分离变为m ＝g (x )，再画y ＝g (x )与y ＝m (常数函数)的图象． 要点热点探究探究点一 用零点存在定理判断函数零点零点存在定理是间接判断方程的根或函数零点的间接方法．只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数，不能够准确求解零点的值．例 1 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20112011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 20112011，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ](a <b ，a ，b ∈Z)内，则b －a 的最小值为________．【解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3. 由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线， 故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14.9 【解析】 由F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)可知，函数F (x )的零点即为f (x ＋3)的零点或g (x －3)的零点．f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010，当x >－1时，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010＝1＋x 20111＋x>0成立，f ′(－1)＝2011>0；当x <－1时，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010＝1＋x 20111＋x>0也成立，即f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010>0恒成立，所以f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20112011在R 上单调递增．f (0)＝1，f (－1)＝(1－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12010－12011<0， f (x )的惟一零点在[－1,0]内，即f (x ＋3)的惟一零点在[－4，－3]内． 同理，g (x －3)的惟一零点在[4,5]内，因此b ＝5，a ＝－4，b －a ＝9.可知a<0(2)设t＝f(x)，则原方程即化为t2＋at＋b＝0，由t＝f(x)图象如下：可得：当t＝1时，有三解，当>0且≠1时，有两解．又t1＋t2＝－a，所以当t1＝1，t2∈(0,1)∪(1，＋∞)时，原方程有5个解，即a∈(－∞，－2)∪(－2，－1)．【点评】 (1)和(2)中的方程根都不能够解出，所以用图象进行研究比较简单．第(1)题中直接画题干所给的三个函数的图象不容易，故转化为两个较为简单函数，再画图象可以判断零点大小；第(2)题中是一个符合的方程，需要进行换元，分两步进行研究，一是t＝f(x)；二是t2＋at＋b＝0.探究点三 不定方程的根的判断所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组．常见问题有：(1)求不定方程的解；(2)判定不定方程是否有解；(3)判定不定方程的解的个数．例3 设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为________．{0,3,14,30} 【解析】 原命题等价为f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10＝0有整根，即方程m ＝2x ＋1010－x ＋1有整数解．因为m ∈N ，所以2x ＋10≥0，且10－x ≥0，所以x ∈[－5,10]，且x ∈Z ，又10－x ∈Z ，当x ＝－5时，m ＝0；当x ＝1时，m ＝3；当x ＝6时，m ＝223(舍去)；当x ＝9时，m ＝14；当x ＝10时，m ＝30.【点评】 含有参数的方程整数解的问题，可以考虑将参数和未知数x 分离，再利用整除(有理、奇偶、约数)来得到参数和未知数的特征，通过逐一代入得到结果． 探究点四 含参数的方程根的问题含有参数的方程根的问题，随着参数取值不同，方程根的个数不同，所以需要借助于数形结合和分类讨论的思想来解决．例4 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)讨论方程f (x )＝0的解的个数，并说明理由．【解答】 (1)因为f ′(x )＝x －a x(x >0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln2＝2＋b ，2－a2＝1，解得：a ＝2，b ＝－2ln2.(2)当a ＝0时，f (x )在定义域(0，＋∞)上恒大于0，此时方程无解； 当a <0时，f ′(x )＝x －ax>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数．∵f (1)＝12>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1a ＝12e 2a－1<0，所以方程有惟一解；当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x ＋a x －ax，因为当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a )内为减函数； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)内为增函数．所以当x ＝a 时，f (x )有极小值即为最小值f (a )＝12a －a ln a ＝12a (1－ln a )，当a ∈(0，e)时，f (a )＝12a (1－ln a )>0，此方程无解；当a ＝e 时，f (a )＝12a (1－ln a )＝0.此方程有惟一解x ＝a ，当a ∈(e ，＋∞)时，f (a )＝12a (1－ln a )<0，。
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江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：抛物线1
高考要求： A
导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.
2.理解数形结合的思想．
自主梳理
1．抛物线的概念
平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程与几何性质
基础检测
1．抛物线22x y =的焦点坐标为 。
2．设抛物线x y 82=上的一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 。
3．已知动点P 到定点)0,2(的距离和它到定直线2:-=x l 的距离相等，则点P 的轨迹方程为 。
4．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点坐标在坐标原点O ，并且经过点),2(0y M ，若点M
到该抛物线焦点的距离为3，则=OM
若抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点与双曲线14122
2=-y x 的右焦点重合,则p 的值为______. 6．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F （1,0），直线l 与抛物线C 相交于B A ,两点，若AB 的中点为)2,2(，则直线l 的方程为 。
例题精讲
例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求PA ＋PF
的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．。