高考数学抛物线的性质重点题型

抛物线的性质

适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版课时时长（分钟）60

知识点1、抛物线的简单性质2．抛物线性质的应用3．直线与抛物线问题

教学目标

1．知识与技能

(1)探究抛物线的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．

(2) 掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题．

教学过程

课堂导入

太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．

师：抛物线有几个焦点？

【提示】一个．

师：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？

【提示】椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．师：抛物线有对称中心吗？

【提示】没有．

师：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？【提示】有；1条．

一、复习预习

1、复习抛物线的定义及标准方程的内容

2、提问双曲线有哪些几何性质，获取的途径有哪些？

（从范围、对称性、顶点及离心率等研究抛物线的几何性质．）

二、知识讲解考点1 抛物线性质

考点2 直线与抛物线

1、通径：过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且垂直于抛物线的轴的弦AB ，叫做抛物线的通径， 其长为叫做抛物线的2p ．

2、抛物线焦半径公式：设P （x 0,y 0）为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，F 为焦点，则2

0p

x PF +=；y 2=2px(p ＜0＝上任意一点，F 为焦点，则2

0p x PF +

-=； 3、抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2),则有如下结论：（1）AB ＝x 1+x 2+p;（2）y 1y 2=－p 2，x 1x 2=

4

2p ;

三、例题精析

【例题1】

【题干】已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此拋物线的标准方程．

【答案】y2＝±42x.

【解析】由题意，设拋物线方程为y2＝ax(a≠0)．

焦点F(a

4，0)，直线l：x＝a

4

，

∴A、B两点的坐标分别为(a

4，a

2)，(

a

4

，－a

2)，

∴AB＝|a|，

∵△OAB的面积为4，

∴1 2·|a

4|·|a|＝4，∴a＝±42，

∴拋物线的方程为y2＝±42x.

【例题2】

【题干】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆x2

9＋y2

16

＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为

5，求抛物线的方程．

【答案】y2＝20x或y2＝－20x.

【解析】∵椭圆x2

9＋y2

16

＝1的焦点在y轴上，

∴椭圆x2

9＋y2

16

＝1短轴所在的直线为x轴．

∴抛物线的对称轴为x轴．

∴设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)．

∴|m

4|＝5，∴m＝±20.

∴所求抛物线的方程为y2＝20x或y2＝－20x.

【例题3】

【题干】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且AB＝5

2p，求AB所在直线的方程．

【答案】y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)．

【解析】法一 焦点F (p 2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则AB ＝2p <52p .

所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)，k ≠0.由⎩⎨⎧ y ＝k (x －p 2)y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－

2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝－p 2.

∴AB ＝ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

＝ (1＋1

k 2)·(y 1－y 2)2

＝ 1＋1

k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2

＝2p (1＋1k 2)＝5

2p ，解得k ＝±2.

∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p

2)．

法二 如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，

设A 、B 到准线的距离分别为d A ，d B ，

由抛物线的定义知，

AF ＝d A ＝x 1＋p 2，BF ＝d B ＝x 2＋p 2，

于是AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，AB ＝2p <52p ，所以直线AB 与Ox 不垂直．

设直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)．

由⎩⎨⎧ y ＝k (x －p 2)y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2，所以直线AB 的方程为y ＝2(x

－p 2)或y ＝－2(x －p 2

)．