傅里叶Fourier级数的指数形式与傅里叶变换
积分变换第1讲傅里叶(Fourier)级数展开
-
fT (t )e
j nw t
dt
因此可以合写成一个式子 cn
T
1
T 2 T 2
-
fT (t )e
- jwn t
dt ( n 0, 1, 2,)
fT (t )
ce
n n -
jwn t
2 jwnt - jwn d e -T fT ( )e T n - 2 1
前面计算出
cn 1 2 Sa (wn ) ( n 0, 1, 2,) 2p T np 2 , 可将cn以竖线标在频率图上
wn nw n
w
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构 造一周期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t )
f (t 8n),
n -
如令wn=nw (n=0,1,2,...)
且令c0 cn c- n a0 2 , n 1,2,3, , n 1,2,3, ,
an - jbn 2 an jbn 2
f T (t ) c0 cn e
n 1
jw n t
c- n e
- jw n t
积分变换
第1讲
信号Fourier变换整理
傅立叶变换是一种很重要的算法，在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
在数字信号处理领域的应用尤其广泛。
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的算法即为傅立叶变换。
傅里叶函数的三角函数级数表达式：直流系数余弦分量系数正弦分量系数下面是积分形式的傅里叶函数 (注: x 等同于t)()()()0()cos sin 11cos sin k k k k f x a kx b kx dka f x kxdxb f x kxdxππ∞∞∞-∞-∞=+==⎰⎰⎰复指数形式的傅里叶函数由欧拉公式，得到三角函数形式和复指数形式的傅里叶函数系数间关系：傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的。
傅里叶变换后，只不过是从频率的角度去理解。
傅里叶变换就是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。
它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
傅里叶变换表达式：ωωπωd e F t f tj ⋅=⎰∞∞-)(21)( dt e t f w F t j ωπ-∞∞-⋅=⎰)(21)()sin cos (2)(11101t n b t n a a t f n n n ωω++=∑∞=⎰+=100).(210T t t dtt f T a ⎰+=100.cos ).(211T t t n dt t n t f T a ωdtt n t f T b T t t n .sin ).(210011⎰+=ω1()(0,1,2,)jn t n n f t C e n ω∞=-∞==±±∑011011()t T jn tn t C f t e dtT ω+-=⎰0000C f d a ===1()2n j n n n n C C e a jb ϕ==-22212121nn n n n b a d f C +===1()(0,1,2,)jn tnn f t C en ω∞=-∞==±±∑下面图示一些例子，表明时域和频域的区别t()1()t f()ωF 1ωt21ω()π0t 2121-()t sgn 21ωt1()t uω()ωF ()πdt t df )(τE22τ2τ-tτE2-τE2τE2τE4-2τ2τ-22)(dtt f d t)(ωF 0ω22τE τπ22τ-2ττ2E τ-τt)(t f拉普拉斯变换，也是工程数学中常用的一种积分变换。
第一节傅立叶级数与傅里叶积分
理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),
因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速
Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
Fourier 变换是在周期函数的 Fourier
6. 离散频谱与频谱图 a n jbn a0 a n jbn , , c n 分析 由 c0 , cn 2 2 2
An 1 2 2 a n bn ， 得 c0 A0 , | cn | | c n | 2 2
arg cn arg c n θn , ( n 0) .
1 j t j t (D) f (t ) [ f ( t ) e d t ] e dω 2π 1 在 f (t ) 的间断处，公式的左端应为 [ f ( t 0) f ( t 0)] . 2
级数的基础上发展起来的。在微积分课程
中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，
因此本节将先简单地回顾一下 Fourier
级数展开。
§8.1 Fourier 级数与Fourier 积分
一、周期函数的 Fourier 级数 二、非周期函数的 Fourier级数即
Fourier积分
一、周期函数的 Fourier 级数
n 1
A0 a n cos n 0 t bn sin n 0 t
n 1
A0 An cos(n 0 t n ) .
n 1
3. Fourier 级数的三角形式 定理 ( Dirichlet 定理)设 fT (t )是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T /2 , T /2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)： (1) 连续或只有有限个第一类续点处有
傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中常见且重要的概念，它们在信号处理、图像处理、电路分析以及物理学等领域中起着重要的作用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本原理、应用以及它们之间的关系。
一、傅里叶级数傅里叶级数是将一个周期性函数表示为正弦函数和余弦函数的无限级数。
在数学上，一个周期为T的函数f(t)可以表示为傅里叶级数的形式：f(t) = a0/2 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0表示直流分量，an和bn分别表示函数f(t)在一个周期内的cosine分量和sine分量，n为正整数，ω0为角频率，ω0 = 2π/T。
傅里叶级数的基本原理是，任何一个函数都可以用一系列基本的正弦和余弦函数来表示。
通过计算函数f(t)在一个周期内的各种正弦和余弦分量的系数，我们可以将函数f(t)展开成傅里叶级数的形式。
傅里叶级数在信号处理中有广泛的应用，例如音频信号的分析与合成、图像压缩等。
通过对信号进行傅里叶级数分解，我们可以得到信号的频率成分，从而对信号进行频域分析和处理。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个非周期性函数或一个有限区间内的函数表示为连续频谱的方法。
傅里叶变换可以将一个时域上的函数转换为频域上的函数，从而能够更方便地观察信号在不同频率上的分量。
函数f(t)的傅里叶变换定义为：F(ω) = ∫f(t) * exp(-jωt) dt其中，F(ω)表示函数f(t)的频域表示，ω为频率。
傅里叶变换将函数f(t)从时域转换到频域，提供了频域上对信号进行分析和处理的方法。
傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用，例如频率滤波、信号去噪、图像处理等。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号表示为一系列复指数函数的线性组合，从而得到信号的频谱信息。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换之间存在着密切的关系。
事实上，傅里叶级数可以看作是傅里叶变换的一种特殊形式，即周期为T的函数的傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在频率上的离散表示。
傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质
傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质傅里叶级数和傅里叶变换是数学中很重要的概念，它们在物理学、通信工程、信号处理等领域中得到广泛的应用。
傅里叶级数是将周期函数分解为无穷多个简单的正弦函数和余弦函数的和，而傅里叶变换则是将信号在频域上分解为各个频率分量的和。
本文将从数学的角度探讨傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质。
一、傅里叶级数的性质傅里叶级数是将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无限和，因此它具有一些很有趣的性质。
首先，傅里叶级数是周期函数，其周期与原函数相同。
其次，傅里叶级数是线性的，即如果有两个函数的傅里叶级数分别是a_n和b_n，那么它们的线性组合c_n=a_n+b_n的傅里叶级数就是这两个函数的线性组合。
第三，若原函数为偶函数，则傅里叶级数只包含余弦项，若原函数为奇函数，则傅里叶级数只包含正弦项。
傅里叶级数的性质还包括Parseval定理，它是对傅里叶级数的能量守恒原理的定量表述。
具体而言，Parseval定理指出，如果S是傅里叶级数的系数，则原函数在一个周期内的平方积分与各个傅里叶系数的平方和相等，即∫|f(x)|^2 dx=∑|S_n|^2。
二、傅里叶变换的性质傅里叶变换是将信号在频域上分解的方法。
在实际应用中，我们通常将连续时间信号离散化，因此离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）的应用更为广泛。
傅里叶变换也具有许多重要的性质。
首先，傅里叶变换是线性的，它满足叠加原理。
具体而言，若x和y分别是两个信号的傅里叶变换，则它们的线性组合z=ax+by的傅里叶变换就是ax的傅里叶变换和by的傅里叶变换的和。
其次，傅里叶变换具有频移性质。
如果x(t)的傅里叶变换是X(f)，则x(t)cos(2πf0t)的傅里叶变换是X(f-f0)/2+X(f+f0)/2。
这个性质表明，将一个信号乘上一个不同频率的正弦波，等价于将原信号在频域上移动到新的频率处。
最后，傅里叶变换还有卷积定理。
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换,那就过来掐死我吧
如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……一、嘛叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
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(4)
2
T
2
T
f (t)dt
傅里叶（Fourier ）级数的指数形式与傅里叶变换
专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅 里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。
在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种 信号与系统进行分析。
通过对描述实际对象数学模型的数学分析、
求解，对所得结果给以物
理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。
这种数学分析方法主要针对确定性信号 的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换 域分析。
所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的 z 变换。
而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。
傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数
的指数形式。
不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里 叶级数。
因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。
我们 承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展 式的唯一性问题。
傅里叶级数的指数形式
一个以T 为周期的函数f （t ），在［-T ,T ］上满足狄里克莱条件：1o f （t ）连续或只有
2 2
数。
在连续点处
有限个第一类间断点;
2。
只有有限个极值点。
那么f （t ）在nT,T ］上就可以展成傅里叶级
f(t)
a
0 ,.
(a n cosn ・t b n sin n ・t)
(1)
其中
a n
T
2
f (t) cosn tdt, (n 二 0,1,2,)，
_2
根据欧拉（Euler ）公式:
b n
；认）州艸（n=1,2,3,），
(3)
e" - cos ： j si ， （1）式化为
f(t)二色二 a 2 J
e jn
e" n
jn ・ £ j jn ・ t
+b e —e
M n
2j
若令
a n - j
b n
一 2
jn ;.-：t . a n jb n ©弓曲
2 」，
可以证明(详细过程可参阅文 [46])，当T > ::时，有
1 -ter -fee
f (t )= 2兀
⑴e j05t g ，
公式(8)称为傅里叶积分公式。
从而得到一个非周期函数可用傅里叶积分公式表示的傅里 叶积分定
理。
傅里叶变换
根据傅里叶积分定理，设
& =別 心=1 匚 f(t)cosn tdt — jZ 2r f(t)sinn tdt 2 T 匕 "- T
7 .........
T -2 1 2r f (t)[cosn t 一 j sin n t]dt 二一¥f(t)e 」n t
dt, n =1,2,3, T
~2
JgeP 2,2,3,
综合c 0, c n , c 』，可合并成一个式子
T
舟 f(t)e 』Pt,
n =0, _1, _2,…，
(5)
右令」n = n ；：： , n = 0,丄1，工2,，则(1 )式可写为
f(t)二Co • v ©e j nt
• je"1 nt
) = 7 5e j nt
,
n z !
n -.：:
(6)
这就是傅里叶(Fourier)级数的指数形式。
或写成
4 二 T
f (t)=—迟 If 2r f (£)e
e
T ~2
r nt。
(7)
傅里叶积分定理
因为任何一个非周期函数 f(t)都可以看成是由某个周期函数
f T (t)当T >
时转化
而来的，即lim f T (t) =f(t)。
于是有
T T H
(8)
(9)
F( “ 二f(t)「t dt，
1 咼
f (t) F ( ‘)e d ■ , (10)
2兀8
从上两式可以看出， f (t)和F(・J通过指定的积分运算可以相互表达。
(9)式叫做f (t)的傅里叶变换，记为
F()二F[f(t)].
FC )叫做f(t)的象函数，(10)式叫做F(「)的傅里叶逆变换，记为
-1
f(t)= F [F( )].
f(t)叫做F(「)的原象函数。