傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式

周期信号的傅里叶级数分析 连续时间 LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号
系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号
系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信 号响应的加权和或积分;
规律重复变化的信号，如图所示 。

它可表示为
f (t )=f ( t +m T )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。

f (t )
1
T /2
-1
T
t
周期信号的特点： (1)
它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，
时间范围为
(
-
,
)
(2) 如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信 号 f (t )
可以
写成
周期信号: 定义在区间 (-
, )
，每隔一定时间 T ，按相同
f (t ) =
f 0(t -nT )
n =-
(3)
周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 a +T
b
+T
T
f (t )dt = f (t )dt = f (t )dt
ab 0
1. 三角形式的傅立叶级数
该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。

f (t ) = a + a cos(t ) + b sin(t ) + a cos(2t ) + b
sin(2
t ) + ... + a cos(n t ) + b sin(n t ) + ... = a +
a cos(n t ) +
b sin(n t )
n =1
式中各正、余弦函数的系数 a n ,b n 称为傅立叶系数,函数通过它 可以完全表示。

傅立叶系数公式如下
周期信号 f (t )
= 2
f
，周期为T
1 ，角频率 2
T 1
1f(t)d t
T t0
式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取
TT
0, T)或(-2,2)
三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式
f(t) = c0 +
c n
n=1 cos(n t + )
或
a n
t0 +T
f(t)cos n t d t
b n
t0 +T
f(t)sin
n t d t
n = 1,2,
n = 1,2,
f(t) = d0+ d n sin(n t + )
n=1
两种形式之间系数有如下关系:
c0 = a0 = d0
c n = d
n
= a
n
+ b
n
ba n = -arctg n ,n = arctg n n a n n b n
a n = c n cos n= d n sin n n = 1, 2,
b n = -
c n sin n =
d n cos n
2．指数函数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式:
jn
1
t -jn
1
t
- jn
1
t jn
1
t
cos(n t ) =
+
sin(n t ) = j
-
e jn
1t
= cos(n t ) + sin(n t )e -jn
1t
= cos(n t ) - j sin(n t )
f (t ) = a 0 +
a n cos(n t ) +
b sin(n t )
n = 1
jn
1
t
-
jn
1
t
e + e a
0 +
[a
n
n =1
2
F (n
1
) = (a n - j b n ) 令： 2
= f (t )cos (n
t ) d t - j f (t )sin (n t ) d t
=
1
T
f (t )e -
j n
1
t
d t 由欧拉公式 T
F (-n
1
) = (a n + j b n )
= f (t )cos (n
t )d t + j f (t )sin (n t ) d t
= 1
T
f (t )e j n
1
t
d t T
令：
F (0) = a 0
f (t ) =
F (n
) e
j n
1
t
前面的级数可展成指数形
式系数
n =-
F n = F (n ) = 1
T 1
f (t )e -j n
1t
d t
n 1
T 0
注意 : 这里n 的区间为(-
,),与三角形式不同。

-jn
1
t
jn 1
t
+ jb n e
2
-e
]
a 0 +
[ (a n
- jb n
)e
n =1
2
+ 1
(a n + jb n )e
-jn
1
t
]
周期信号可分解成数信号 e j n1t的线性组合。

如给出F(n1)，则f(t)惟一确定。

注意：F(n1)是一个复数,有模和辐角由于F(n1) = (a n jb n),其模等于+
b
辐角等于arctg n
a n
在傅立叶三角表示式中 :c n = a n2+ b n2;n = -arctg n
a n
可知系数F n的模F(n1) = c n ;辐角等于三角表示的初相角n
2
F(n1)是一个随着频率(n1)变化而变化的复数,他唯一地表示了f(t) 在傅立叶级数中，无论三角函数表示还是指数函数表
示，都是通过三个量完整地表示一个函数：
(1)频率n1
(2)在n1下基底的幅度值F(n1)或c n
(3)在n1下基底的相位值n 指数表示的基底为e jn1t 三角表示的基底为 cos(n1t)。