三角函数性和e指数形式的傅里叶变换
傅里叶基本公式及证明
傅里叶基本公式及证明三角函数形式的傅里叶级数f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty[a_n\cos(n\omegat)+b_n\sin(n\omega t)]\\a_0=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\mathrm{d}t\\a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos(n\omegat)\mathrm{d}t,\,\,b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t )\sin(n\omega t)\mathrm{d}tf(t)=c_0+\sum_{n=1}^\infty c_n\cos(n\omega t+\phi_n)\\ a_n=c_n\cos\phi_n,\,\,b_n=-c_n\sin\phi_n\\ \tan\phi_n=-\frac{b_n}{a_n}指数形式的傅里叶级数由复变函数知识，即有以下变换： \cos(n\omegat)=\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omegat }}{2},\,\,\sin(n\omega t)=\frac{e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}}{2j}代入三角形式傅里叶级数，整理后即可得：f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty(\frac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega t}+\frac{a_n+jb_n}{2}e^{-jn\omega t})\\令 F(n\omega)=\frac{1}{2}(a_n-jb_n) ，则有：f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty[F(n\omega)e^{jn\omegat}+F(-n\omega)e^{-jn\omega t}]\\不妨令 F(0)=a_0 ， f(t) 即可简化为 f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega)e^{jn\omega t}同时可以得到F(n\omega)=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-jn\omega t}\mathrm{d}t ，证明如下：\begin{aligned} F(n\omega)=&\frac{a_n-jb_n}{2}\\=&\frac{1}{2}[\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos(n\ omega t)\mathrm{d}t-j\times\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin(n\omega t)\mathrm{d}t]\\=&\frac{1}{T}[\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)(cos(n\omega t)-j\sin(n\omega t))\mathrm{d}t]\\=&\frac{1}{T}[\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)(\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega t }}{2}-j\times\frac{e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}}{2j}\mathrm{d}t]\\=&\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-jn\omegat}\mathrm{d}t \end{aligned}同时由 F(n\omega)=\frac{a_n-jb_n}{2} 可推知|F_n|=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2} ，利用此式可推帕塞瓦尔定理，即周期信号 f(t) 的平均功率 P 与傅里叶系数存在如下关系：P=\bar{f^2(t)}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f^2(t)\mat hrm{d}t\\=a_0^2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)=\sum_{-\infty}^{\infty}|F_n|^2利用三角函数的正交性质即可消去交叉项，从而得到倒数第二个等号的关系，再利用上述 |F_n| 与 a_n,b_n 的关系即可得到最后一个等号关系特殊周期信号的傅里叶级数•为偶函数，则仅含有余弦分量•为奇函数，则仅包含正弦分量•为奇谐函数，只含有奇次谐波分量•为偶谐函数，只含有偶次谐波分量非周期信号的傅里叶变换F(j\omega)=\int^\infty_{-\infty}f(t)e^{-j\omegat}\mathrm{d}t, f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega)e^{j\omegat}\mathrm{d}\omega\\F(j\omega)=|F(j\omega)|e^{j\phi(\omega)}=R(\omega)+jX( \omega)傅里叶变换存在的充要条件:无限区间上的绝对可积性。
傅里叶变换概念及公式推导
傅里叶变换概念及公式推导傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换为频域。
傅里叶变换的基本概念是，任何一个周期性函数都可以表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以将原始信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波。
F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(−iωt) dt其中，F(ω)表示频域中的函数，与f(t)相对应。
为了推导傅里叶变换的公式，我们首先将复数e^(−iωt)展开为正弦和余弦函数的形式：e^(−iωt) = cos(ωt) − i sin(ωt)然后将这个展开式代入变换公式中，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) (cos(ωt) − i sin(ωt)) dt为了求解这个积分，我们可以利用欧拉公式，将复数表示为以指数函数的形式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt将第一个积分的积分变量由t替换为−t，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(−t) sin(ωt) dt由于f(t)是一个偶函数（即f(−t)=f(t)）F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t)sin(ωt) dt记F(ω)的实部为Re[F(ω)]，虚部为Im[F(ω)]，我们可以将公式进一步简化为：Re[F(ω)] = ∫[−∞,+∞] f(t) cos(ωt) dtIm[F(ω)] = − ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt这就是傅里叶变换的实部和虚部的计算公式，也称为余弦分量和正弦分量的公式。
通过计算这两个积分，我们可以得到函数在不同频率上的分量。
这些频率分量相当于原始函数在频域中的表现，有助于我们理解原始函数的频率特征。
要注意的是，以上推导过程是针对连续时间信号的傅里叶变换。
三角函数的傅里叶逆变换
三角函数的傅里叶逆变换傅里叶逆变换是将频域中的信号转换回时域的一种数学工具。
在信号处理和通信领域有着广泛的应用。
而三角函数是傅里叶变换的基础，因此也被广泛应用于傅里叶逆变换中。
本文将详细介绍三角函数的傅里叶逆变换。
首先，我们需要了解傅里叶级数展开。
傅里叶级数（Fourier series）是一种将周期函数表达为正弦函数和余弦函数的无穷级数的表示方法。
具体地说，对于一个周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数展开为：f(t) = a0 + ∑(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0为直流分量，an和bn为频率为nω的正弦和余弦分量的振幅。
ω为频率，n为谐波次数。
根据欧拉公式，正弦函数和余弦函数可以用复指数函数来表示。
即：cos(nx) = (e^(inx) + e^(-inx)) / 2sin(nx) = (e^(inx) - e^(-inx)) / (2i)将上述表达式代入傅里叶级数展开中，可以得到：f(t) = a0 + ∑(cn * exp(inωt) + cn* exp(-inωt))其中，cn = (an - ibn) / 2，c*-n = (an + ibn) / 2傅里叶逆变换的目的是将频域信号转换回时域信号，即从信号的频谱还原出原始信号。
对于一个以角频率为ω0的连续频谱信号F(ω)来说，它的傅里叶逆变换为：f(t) = 1 / (2π) * ∫F(ω) * exp(iωt) dω根据欧拉公式，上述表达式可以进一步转化为：f(t) = 1 / (2π) * ∫(Re(F(ω)) * cos(ωt) - Im(F(ω)) *sin(ωt)) dω其中，Re(F(ω))和Im(F(ω))分别为F(ω)的实部和虚部。
将上述表达式进一步展开，可以得到：f(t) = 1 / (2π) * ∫(∑(Cn * exp(inω) + C*-n * exp(-inω))) * exp(iωt) dω将指数函数的乘法法则应用于上述表达式，可以得到：f(t) = 1 / (2π) * ∫∑(Cn * exp(i(nω + ωt)) + C*-n *exp(i(-nω + ωt))) dω再对上述表达式进行求和和积分的换序操作，可以得到：f(t) = ∑(Cn * ∫exp(i(nω + ωt)) dω) + ∑(C*-n *∫exp(i(-nω + ωt)) dω)对于复指数函数exp(i(nω + ωt))和exp(i(-nω + ωt))，其积分值的结果为：∫exp(i(nω + ωt)) dω = (exp(i(nω + ωt)) / (in(n+1)))∫exp(i(-nω + ωt)) dω = (exp(i(-nω + ωt)) / (-in(n-1)))将上述结果代入傅里叶逆变换的表达式中，可以得到三角函数的傅里叶逆变换公式：f(t) = (1 / (2π)) * (∑(Cn * (exp(i(nω + ωt)) /(in(n+1)))) + ∑(C*-n * (exp(i(-nω + ωt)) / (-in(n-1)))))这就是三角函数的傅里叶逆变换的具体表达式。
三角函数形式的傅里叶级数
三角函数形式的傅里叶级数傅里叶级数是数学中一个重要的分析工具，通过将任意周期函数展开成一个无穷级数，可以分析函数的性质和特点。
在实际应用中，傅里叶级数有两种表示方式：指数形式和三角函数形式。
本文将主要介绍三角函数形式的傅里叶级数。
f(x) = a0/2 + ∑(an * cos(nωt) + bn * sin(nωt))其中，an和bn是函数f(x)的傅里叶系数，它们决定了三角函数的振幅。
ω = 2π/T表示角频率，n为正整数，代表了三角函数的谐波。
要求得函数f(x)的傅里叶系数，可以使用以下公式：an = (2/T) * ∫[0,T] (f(x) * cos(nωt)) dtbn = (2/T) * ∫[0,T] (f(x) * sin(nωt)) dt这里的积分表示对周期为T的函数f(x)在一个周期内的积分。
通过计算傅里叶系数，我们可以将函数f(x)展开成一个无穷级数，其中每一项都是一个三角函数的线性组合。
这样的展开形式非常有用，可以用于分析周期函数的性质、特点和变化规律。
三角函数形式的傅里叶级数具有一些重要的性质。
首先，它是周期为T的函数的完备基函数。
也就是说，任意周期为T的函数都可以用三角函数的无穷级数表示，而且级数收敛于原函数。
这个性质使得傅里叶级数成为研究周期函数性质的有力工具。
另外，如果函数f(x)是偶函数或者奇函数，那么其对应的傅里叶级数也具有相应的对称性。
对于偶函数，只有余弦项an存在，而正弦项bn全部为零。
对于奇函数，只有正弦项bn存在，而余弦项an全部为零。
这些对称性使得计算傅里叶系数的过程变得更加简洁。
三角函数形式的傅里叶级数广泛应用于信号处理、图像处理、电路分析等领域。
通过对信号或图像的傅里叶级数展开，可以了解其频谱特征、频率成分以及频率叠加效应。
这样可以方便地对信号进行滤波、频谱分析以及降噪等操作，对于研究信号的性质和提取信号信息非常有帮助。
总结起来，三角函数形式的傅里叶级数是将周期函数展开为三角函数的无穷级数。
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式周期信号的傅里叶级数分析连续时间LTI系统的时域分析：以冲激函数为基本信号系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积傅立叶分析以正弦函数或复指数函数作为基本信号系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分；周期信号：定义在区间(，)，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号，如图所示。
它可表示为f (t)=f ( t+m T )其中m为正整数，T称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
f t周期信号的特点:(1)它是一个无穷无尽变化的信号, 从理论上也是无始无终的,f，则周期信(2)如果将周期信号第一个周期内的函数写成号(t)可以写成(3)周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有1.三角形式的傅立叶级数周期信号f(t)，周期为T ，角频率1该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。
f (t ) a 0 a 1 cos( 1t )b 1 sin( t ) a 2 cos(2 t )b 2 sin( 2 t )兔 cos(n t )b n sin( n t )a 0a n cos(n t )b n sin( n t )n 1a b式中各正、余弦函数的系数 n ， n 称为傅立叶系数，函数通过它 可以完全表示 傅立叶系数公式如下f(t)nf °(t nT)f(t)dtaf(t)dtbf(t)dt前面的级数可展成指数形式系数n1 0 f (t )d tT tI 02 t o TT f (t ) cos n t d t------ 1 02 to Tb n— f (t )sin n t d tT %a 。
a n n 1,2,n 1,2,式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取(0,T )三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式 f (t ) C oc n cos( n tn 1n )或f (t ) d od n sin( n 1n 1n)两种形式之间系数有如下关系：C o a o d 0Cn d ndarctga narctga nb nan c n cos d n Sin n n 1, 2,bn c n sind n cOS n2.指数函数形式的傅里叶级数利用欧拉公式：e jn1e jn1 cos(n门 2 —e jn 1cos(n t) sin( n 1t) sin( n t) j e J「；e jn 1cos(n -) j sin( n t)f(t) a。
傅里叶变换表
傅里叶变换表傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将一个信号在时域中的表示转换为在频域中的表示，这样可以更好地理解信号的性质和特征。
傅里叶变换表是傅里叶变换的一种形式化表示方式，它记录了一些常见信号的傅里叶变换公式和性质，是学习和应用傅里叶变换的重要参考资料。
傅里叶变换表的历史可以追溯到18世纪末，当时法国数学家约瑟夫·傅里叶研究热传导问题时，发现可以将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和，这就是傅里叶级数展开。
后来，傅里叶的学生和继承者们将傅里叶级数推广到了非周期函数和非整数周期函数，并发展出了傅里叶变换的概念和方法，使得信号处理、通信、控制等领域得到了广泛应用。
傅里叶变换表的内容包括：1. 傅里叶变换公式傅里叶变换公式是傅里叶变换的核心内容，它描述了一个函数在频域中的表示和在时域中的表示之间的关系。
对于一个连续时间信号f(t)，其傅里叶变换F(ω)可以表示为：F(ω) = ∫f(t)exp(-jωt)dt其中，ω是角频率，j是虚数单位，exp(-jωt)是旋转复数，可以将其理解为一个在复平面上绕着原点旋转的矢量。
傅里叶变换的逆变换可以表示为：f(t) = (1/2π)∫F(ω)exp(jωt)dω这个公式表示了一个频域信号在时域中的表示，即将频域信号F(ω)通过逆变换得到时域信号f(t)。
2. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有很多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和应用傅里叶变换。
其中一些常见的性质包括：（1）线性性：傅里叶变换是线性的，即对于任意常数a和b，有F(ω)[af(t)+bg(t)] = aF(ω)f(t) + bF(ω)g(t)。
（2）时移性：时域中的信号f(t)向右平移τ秒，其频域表示F(ω)也将向右平移ωτ。
（3）频移性：频域中的信号F(ω)向右平移Ω弧度/秒，其时域表示f(t)也将向右平移tΩ。
（4）对称性：当f(t)是实数函数时，其傅里叶变换F(ω)具有共轭对称性，即F(-ω) = F*(ω)。
033第三章 傅里叶变换
T 0
f
2(t)d t
a02
1 2 n1
an2
bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量 有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
第三章 傅里叶变换
3.1 引言
X
频域分析
第 2
页
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信 号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之 间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤 波、调制和频分复用等重要概念。
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。
第第 2222
页页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
X
第第
1．偶函数
2233
页页
信号波形相对于纵轴是对称的
f (t) f (t)
f (t) E
bn 0
4
an T
T
2 0
f (t)cosn1t d t
0
F
n
F (n1 )
1 2
an
jbn
1 2
an
T
O
n 0
T
t
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。
n
Fn1
――傅里叶变换
第三章傅里叶变换（一）三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数f。
）可由三角函数的线性组合来表示，若f（t）的周期为T，角频率3 =之，频率f ='，傅里叶级数展开表达式 1 1 T 1 T1 1为f (t)= a +£[a cos(〃3t)+ b sin (〃3t)n=1各谐波成分的幅度值按下式计算a = —f t o+T1 f (t)dto T t o a =」t o+T1 f (t)cos (n3 t)dt n T t1ob = — j t o+ T1 f (t)sin(n3 t)dt n T t1o其中n = 1,2, •••狄利赫里条件:（1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个;（2）在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一个周期内，信号是绝对可积的，即』t o+T|f （t）dtt等于有限值。
t o（二）指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即f (t)= £F (n3)ej n31 n1n二一8其中F = — f t o+T1f 0-加3 t dt n T1 t o 其中n为从一8到+8的整数。
3.1m号的傅里叶级!瞬析(三)函数的对称性与傅里叶系数的关系(1)偶函数由于f。
)为偶函数，所以f(t)sin(旭t)为奇函数，则1b = — J t o+ T i f (t)sin (n① t)dt = 0 n T t11 0所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数由于f (t)为奇函数，所以f(t)cos (n o t )为奇函数，则1a =— J t0+T f (tb t = 00 T t10a = — J t0+T1 f (t)cos (n0 t)dt = 0 n T t11t0所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项(3)奇谐函数(f (t )=-f [ t + T ])I 27半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学习必备 欢迎下载
三角级数、傅里叶级数
对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数
系将其展开：
1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……
显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获
得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系
为坐标的投影值a0,an,bn……
一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的
展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0
和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。
傅里叶级数的复数形式
根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，
即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一个
周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1，
e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。
但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将
有所变化。由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系
都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，
一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的
一点，所以cosx，sinx分别表示
学习必备 欢迎下载
一条二维曲线，而e^jx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。
傅里叶变换
周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行.
对实信号做傅立叶变换时，如果按指数e^jωt为核来求，我们将得
到双边频谱。以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两
处的，幅度各为0.5，相角为零的频率特性。实际上，COSΩt就是
e^jΩt与e^j-Ωt两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下
实部。
Ω1与Ω2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度
Ω1+Ω2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系。这一现象正
体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础.
经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率
表示一条整体改变90度相位的螺旋线，它们分别与正频率,实频相对
应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。
连续频谱
周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确,
即整个信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号COSΩt对
应Ω与-Ω处两根谱线.
学习必备 欢迎下载
困难的问题是对连续谱的理解.以下为标准的傅里叶变换对:
由于存在关系式:e^j-wt=cos-wt+j*sin-wt,再联想一个信号在三角函数
系上的展开,可以认为上述傅里叶变换的意义是得到信号x(t)实部的
cos-wt系数以及x(t)虚部的sin-wt系数.又由于cos的偶函数性质,sin
的奇函数性质以及j*j=-1这一定义,对于某一个特定的w',出现在变换
式左边的将是x(t)实部的cosw't系数以及x(t)虚部的sinw't系数,两者
的加和显然可以用e^jwt的系数表示.
假如直接以几何意义来思考,为什么傅里叶变换式两端正负号不一致,
也很有趣.回到三角函数展开,在周期[-pi,pi]上,只有coswx与coswx的
乘积不为零,这也是正交性.而在三维空间中,一条螺旋线与它自身的
乘积再做积分却是零,非要与它每一点的共轭值相乘才不为零.造成这
种形式不统一的根源,可以认为一维是一种特例,而二维是较普遍的表
达,也可以认为实数的共轭是它本身,而复数共轭虚部相反.
连续频谱意义
现在来看连续谱线的含义,它与概率密度函数一样,只有相对的意义,
也就是说,在频谱上高度相同的两点,只表示这两点含对应频率给信号
的贡献相同,而无法得出任一频率分量本身的能量.这与概率密度函数
是相同的,任何一点的概率取值都是零,但概率密度函数曲线相同高度
学习必备 欢迎下载
处代表可能性相同.出现这一问题的根源可能是微积分,或者说是"极
限"带来的困绕,因为物理世界中,时间,能量,都有最小量值,不可再分.
那么,我们可以仅仅把微积分看作只是一种数学处理,对微小离散累加
的近似.因此连续谱线可以理解成相当多,相当细密离散谱线束的近似,
但每一根离散谱线的高度值并非其对信号的贡献,仅仅表示一个相对
的意义.依然可以借助概率密度函数的意义来理解,离散分布律对应的
概率线,线有多高,随机变量取值就有多大可能性,在连续概率密度函
数中,假如化为微小离散的分布律线,将不再是原来的高度,而应该用
该值微笑领域内与原连续曲线所围面积来替代其高度,这一理解与从
频谱回到信号的傅里叶变反换是吻合的.
为了便于理解,我们重新叙述整个问题:1,对于周期信号,由于其由多个
三角函数线性叠加而成,而三角函数本身又具有正交性,那么通过如下
的运算:
即任何基函数与原信号相乘后做区间积分,就可以得到任意特定基函
数在区间平方后曲线所围面积与该基在原信号中加权系数之积.显然,
要把基函数平方曲线所围面积的值去除,才能得到系数净值.因此,在
上述式子前,要除以一个pi,也就是去掉了所围面积.
学习必备 欢迎下载
2,那么,对于非周期信号,首先我们可以视其为一个周期极长的信号,而
且这个信号只在周期中的一部分有非零值,当然,这个信号只有部分非
零并不影响所有的操作和理解.在周期信号的展开中,所有可能包含的
基函数为其周期的分数也即这些基函数频率是原信号频率的倍数.比
如一个2Hz的周期信号,他包含的基函数只可能是偶数Hz的三角函数.
因此,我们假设一个信号的周期特别长,也即频率特别低,会导致什么
呢?当周期长到趋近于极限,频率也同时低到趋近于极限,结合时间量
子的概念,可以认为这个极端是原子频率,即一个最小的频率.那么,对
这个非周期信号展开时,所有频率都有可能对其有贡献,因为原信号的
频率低到了一个原子频率.于是,对一个非周期,或者说是一个周期无
限长信号展开时,我们必须考虑所有可能的频率分量,实际上,这些微
间隙量子化的频率值并不连续,但是由于它们非常细蜜,可以用人类思
维理念中虚拟出来的"连续"这一概念来近似.可以想到的是,由于频率
分量足够多,每一分量的权值系数将非常小,实际上,对比周期信号的
展开式,我们发现,在傅里叶积分式前,并没有去除基函数平方在周期
内所围的面积值,因此,用连续近似繁多离散的频谱起伏曲线只有相对
的意义.