傅立叶级数的指数形式(图)
第三章周期信号的傅立叶级数表示
Txtej 0
n0td t T 0
akej k0tej
n0td
t
k
右边交换积分与求和的次序 k ak0Tejkn0tdt
又右边积分
0Tejkn0tdt 0T, ,
nk nk
k ak0 Txtejn 0tdtTna
即 0 Txte jn 0 td t0 T a k ejk n 0 td t T a n k
那么系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合；
②输出式中的系数，可以用输入信号中相应的系数与系统 特征值相乘来求得。
例3.1 已知系统的输入输出关系为 ytxt3，求：
① x1tej2t时，系统的输出 y1t ; ② x 2 t c4 t o 3 s c7 t o 3 时s ，系统的输出y2t 。
中，各个信号分量也仅仅是幅度和频率的不同。
因此，可以用一根线段的长来表示某个分量的幅度，线段 的位置表示相应的频率。如下图示：
e 如分量 j0t、 co s0t2 1ej0t ej0t 可表示为下图
e j0t
co s0t2 1ej0t ej0t
因此，当把周期信号xt 表示成复指数形式的傅里叶
a 2 e s2 t a 2 H s2e s2 t
a 3es3 t a 3H s3es3 t
更一般地，对于
x ta k e s k t y ta k H s k e s k t
k
k
对应地
x n a k z k n y n a k H z k z k n
k
k
上式可以看出：
①如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，
2) LTI系统满足线性、时不变性
信号与系统第6讲第3章周期信号的傅里叶级数表示
sin(2 k(1/ 4)) k
sin(k k
/ 2)
根据Example3.5的结果，用性质计算傅里叶级数的系数
分析：原函数为x(t),本函数为g(t)
g (t )
x(t
1)
1 2
,周期方波的参数T
4,T1
1,
如果原函数的系数为ak，x(t 1)的系数为bk
bk
a e jk (2 / 4)1 k
在不连续点上，傅里叶级数的收敛趋势-吉伯斯现象
不连续点上收敛于不连续点的平均值 不连续点附近呈现起伏现象，起伏的峰值不随N增加而降低 峰值为不连续点差值的9%
吉伯斯现象的实际意义
不连续信号的傅里叶级数截断近似在接近不连续点有高频起伏 选择足够大的N，可以保证这些起伏的总能量可以忽略
2024/6/10
2024/6/10
信号与系统－第6讲
19
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（4）Example3.8 计算周期冲激串的傅里叶级数系数 根据性质计算周期方波的系数
周期冲激串可表示为x(t) (t kT ) k
ak
1 T
T / 2 (t)e jk 2t /T dt 1
T / 2
T
周期方波为g (t ),它的导数为q(t )
c0为直流分量， c0 2T1 / T
对照前面 例题验证
结果
20
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（5）Example3.9
1.x(t)是实信号
2.x(t)是周期信号，T 4，傅里叶级数系数ak
3.ak 0，k 1
4.傅里叶系数为bk
e
j
k
/
2
a
的信号是奇信号
周期信号的傅立叶变换
H ( j) YZS ( j) F( j)
H ( j) 是线性系统的频率传输函数，有时也叫系统频响 函数。它的定义是零状态响应傅氏变换与激励傅氏变换 之比。
X
2、H ( j)与 h(t)的关系
Q yzs (t) f (t)*h(t) 令 f (t) (t) 则yzs (t) h(t)
F [h(t)] Y(j) H(j)F(j) H(j)
抽样原理图：
f (t)
fs (t ) A/D
f (n)
量化编码
周期 信号
p( t )
需解决的问题
:
fs (t) Fs j与F
由fs t能否恢复f
j 的关系
t
X
二．抽样信号的频谱（单位冲激序列抽样）
f(t)
f(t)
连续信号
1
F j
1
F jft
抽样信号
fs t
o
ot
t
p(t) f(tp)(f(t)t)
F n e jn1t
n
FT j F fT t
F
n
•
F
n
e jn1t
n
•
F
nF
e jn1t
•
F n 2π n1 n
•
2π F n n1 n
X
几点认识
•
FT j 2π F n n1
1 fTt的频谱由冲激序列组成;
(2)这些冲激函数位于谐波频率处: n1 谐波频率
mommoommoomPPPmmmmjjj
(1p(()(11((11tp)))))(t)EEEE
o
ooo TTTSSS o TffSSSfTS(((ttS))t) fS(ftS)(t)
033第三章 傅里叶变换
T 0
f
2(t)d t
a02
1 2 n1
an2
bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量 有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
第三章 傅里叶变换
3.1 引言
X
频域分析
第 2
页
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信 号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之 间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤 波、调制和频分复用等重要概念。
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。
第第 2222
页页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
X
第第
1．偶函数
2233
页页
信号波形相对于纵轴是对称的
f (t) f (t)
f (t) E
bn 0
4
an T
T
2 0
f (t)cosn1t d t
0
F
n
F (n1 )
1 2
an
jbn
1 2
an
T
O
n 0
T
t
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。
n
Fn1
周期信号的傅里叶级数表
分量e j0t 可表示为
1
0
cos 0t
1 2
(e
j0t
e
j0tபைடு நூலகம்
)
表示为
1
1
2
2
0 0 0
因此，当把周期信号 x(t)表示为傅里叶级数
x(t) ake jk0t时，就可以将 x(t) 表示为 k
a1a0 a1
a3a2
a2 a3
0 0
这样绘出的图
称为频谱图
18
频谱图其实就是将 a随k 频率的分布表示出来，
14
有 x(t) ake jk0t , k 0, 1, 2
k
显然 x(也t)是以
为2周 期的。该级数就是傅里叶级
0
数， 称为a傅k 立叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐 波分量。
例1：
x(t)
cos 0t
1 e j0t 2
6
3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人 不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为之献 出了生命。历史的经验告诉我们, 要想在科学的 领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我 们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长 的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对， 也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法 在许多领域已发挥了巨大的作用。
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n)
ak
Z
n k
k
y(t) ak H (sk )eskt
k
第3章傅里叶级数
同频率
cos(t )
LTI
A cos(t )
LTI系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号
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复指数信号激励LTI系统的情况。
e
st
LTI
?
s ( t )
y(t ) h(t ) * e h( )e
st
d
e
st
x(t )
a0 1
k 3
a e
k
3
jk 2t
a1 a1 1 / 4
a3 a3 1 / 3
a2 a2 1 / 2
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解：
1 j 2t j 2t x(t ) 1 (e e ) 4 1 j 4t 1 j 6t j 4t j 6t (e e ) (e e ) 2 3
sincossincossincos322傅里叶级数系数的确定正交函数集t的周期函数正交函数集的概念一个以t为周期的周期函数在一段长度为t的区间上的积分与起始位置无关jkdtsincostdttdt正弦波的上波瓣和下波瓣的面积相等对于高次谐波而言无非是在一个周期之内上对于高次谐波而言无非是在一个周期之内上波瓣和下波瓣多了一些但是上波瓣的总面积和波瓣和下波瓣多了一些但是上波瓣的总面积和下波瓣的总面积还是相等的下波瓣的总面积还是相等的sincosjkdt构成了一个正交函数集
周期函数的一个基本性质。
x(t ) x(t T )
T a
a
x(t )dt x(t )dt
a
T
T a
T
x(t )dt
第4(5)章 傅里叶级数和变换
t0
2 2
f (t ) cos( n1t )dt
2 T1
2
E cos( n1t )dt
4 T1
0
E cos( n1t )dt
2
4E 1 sin n1t T1 n1
变
0
不 变
2E n an sin n T1
n sin 2E n T1 n n T1 T1 2 E n Sa ( ) T1 T1
§4.1 引言 信号与系统的时域分析→变换域分析（频域分析）
第四章 连续系统的频域分析P116
任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示
1822年，法国数学家傅里叶提出；
Poisson、Gauss等将其应用到电学中；
20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立 叶分析的应用开辟了广阔的前景 周期信号——傅里叶级数 非周期信号——傅里叶变换
T 2 T 2 T 2 T 2
(3) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
-T/2
T/2
t
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦 的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
(4) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇 次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
④ t =±π，±2π，…±nπ；Sa(t)=0
正弦分量的幅度： bn
2 T1
t 0 T1
2 2
t0
f (t ) sin( n1t )dt
2 T1
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
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傅立叶级数的指数形式（图）
上一回说到，利用傅立叶级数（Fourier Series，简称FS）这个数学法宝，可以将一般的周期信号分解为直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加，从而方便地确定其频谱。
但上述的傅立叶级数表达式只是傅立叶级数的三角形式，在实用中还有傅立叶级数的指数形式，本文介绍。
一、傅立叶级数的三角形式
对于一个周期为T的周期函数f T（t），在一定条件下可以在连续点t处展开为傅立叶级数的三角形式，即：
（1）其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率，也就是信号的基频；傅立叶系数分别为
（2）
（3）
（4）在信号分析理论中a0叫做直流分量，a n叫做余弦分量系数，b n叫做正弦分
量系数。
二、傅立叶级数的指数形式
根据欧拉公式有
（5）其中j为虚数单位，即
（6）不难从傅立叶级数的三角形式导出傅立叶级数的指数形式：
（7）其中傅立叶系数一般为复数
（8）
三、傅立叶级数的指数形式与三角形式的关系
根据欧拉公式由式（7）有
（9）不难看出傅立叶级数的指数形式与三角形式可以描述同一个周期信号，只是数学形式不同而已。
其中两种形式的傅立叶系数关系如下：
（10）或
（11）可以看出傅立叶级数的指数形式中的傅立叶系数不再是实数，而是复数。
四、周期信号的频谱分析
从傅立叶级数的指数形式也可以进行频谱分析。
由式（9）得
（12）可知，周期函数f T（t）包含的直流分量为
（13）基波分量的振幅为
（14）基波初相位为
各高次谐波分量的振幅为
（16）各高次谐波分量的初相位为
（17）这样，周期信号f T（t）的振幅频谱函数可表示为
（18）
五、为什么需要傅立叶级数的指数形式？
实际上，如果考虑信号的双边频谱，用傅立叶级数的指数形式更方便。
在双边频域（∞，－∞）内，周期信号的频谱函数就是傅立叶系数，即
（19）傅立叶系数一般为复数，可写成
（20）其模就是双边的振幅频谱
其幅角φn就是双边频率各次谐波成分的初相位，其中n为整数。
再看看傅立叶级数的指数形式可写成
（22）其数学含义就是说，一般周期信号可以分解为无穷多个离散频率分量的叠加，各分量的频率是基频的整数倍，振幅是傅立叶系数C n的复模，初相位是傅立叶
系数C n的幅角。
注意：当n=0时傅立叶系数C0为大于或等于0的实数，其代表的成分就是周期信号的直流分量；当n=±1时所代表的双边频率成分就是周期信号的基波分量；而其余各对双边频率成分就是周期信号的各个高次谐波分量。
可见采用指数形式的傅立叶级数，分析周期信号的频谱更为直截了当。
六、周期矩形脉冲信号的频谱分析
例如：前面讲过的周期矩形脉冲信号，波形如下图：
图1 周期矩形脉冲的时域波形
可根据傅立叶级数的指数形式，直接求其双边频谱函数为
（23）其中
（24）称之为抽样函数或Sa（x）函数，是信号分析技术中非常有用的函数，其图象如下：
图2 抽样函数的图象
由上可知，周期矩形脉冲信号的双边频谱函数的模为
（25）其双边振幅频谱如下图所示：
图3 周期矩形脉冲函数的双边振幅频谱
频谱函数的幅角，即各次谐波分量的初相位为
（26）相位频谱如下图：
图4 周期矩形脉冲信号的相位频谱
可以看出，对于一个以T为周期的周期矩形脉冲信号f T（t），可以利用傅立叶级数的指数形式方便地分析出其离散频谱。
基频ω1越低（即周期T越长），或脉冲宽度τ越小，其频谱的谱线越密。
上述的就是周期信号的傅立叶分析方法。
那么对于非周期信号如何分析其频谱呢？且听下回分解。
（作者：周法哲2009-7-5于广东中山）。