嵌套函数问题
是__________．
a 2
2 sin x,0 x , 变式 2：设函数 f ( x) 2 ，则函数 y f [ f ( x)] 1 x , x 0
4 的零点个数为_______.
变式 3：已知 a，b 是实数，1 和 1 是函数 f ( x) x 3 ax 2 bx 的两个极 值点． （1）求 a 和 b 的值； （ 2）设 h( x) f ( f ( x)) c ，其中 c [2 ， 2] ，求函数 y h( x) 的 零点个数．
问题 1：嵌套函数问题
2 2 x 2 x 2, x 0 设函数 f ( x) 2 ，若 f ( f (a)) 2 ，则 a ＝_______ ． x0 x ,
x 2 +x，x 0 变式 1：设函数 f(x)＝ 2 ,若 f(f(a))≤2,则实数 a 的取值范围 x , x 0
1
3．已知关于 x 方程 x3 ax 2 bx c 0 的三个根可以作为一椭圆，一双曲线， b 一抛物线的离心率．则 的取值范围 ． a
设函数 f ( x) x2 2x 1 a ln x 有两个极值点 x1 ，x 2 ，且 x1 x2 ，则 f ( x2 ) 的 取值范围为 ．
设 x, y R ，则 (3 4 y cos x)2 (4 3 y sin x)2 的最小值 为 ．
若实数 a，b，c 满足 a≤b≤c 且 ab+bc+ca=0，abc=1，不等式|a+b|≥k|c| 恒成立，则实数 k 的最大值为_______．
x2 y 2 2．设椭圆 C : 2 2 1(a b 0) 的左顶点为 A，右焦点为 F， M 为椭圆上一 a b 20 16 点（异于长轴端点） ，且 MA MF ．若点 M 的横坐标为 ， OF MF ， 3 9 则椭圆的离心率为 ．
18 5
b 2c a
x y 2 ≥ 0, 若实数 x，y 满足 x ≤ 2, 则 x2 y2 的取值范围是 y ≤ 2,
.
2x y 3 的取值范围是 . x 1 2 x2 y 2 4 x 2 y 3 变式 2： 的取值范围是 xy x y 1
1 a
1
变式 3 已知 a， b 为正实数， 且
2 1 4 则 的最小值为 ， b 3 a 1 b 1
1
1 4 6
．
6 变式 4 已知 a，b 为正实数，且 2 ，则 的 a b a b 2a b a 2b
最小值为 ．
变式 已知三个正数 a， b， c 满足 a≤b+c≤3a， 3b2≤a （a+c） ≤5b2， 则 的最小值为 ．
设 f (x)= x - ae x (a Î R) ， x Î R . 已 知 函 数 y = f (x) 有 两 个 零 点
x1 , x2 ，且 x1 < x2 .(1)求 a 的取值范围；
解析: (1). f ( x ) 1 ae x .1)a 0, f ( x ) 0, f ( x ) 设; 2)a 0, 由 f ( x ) 0 x ln ，不合题
2
y g ( x) ax 恰有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围为
．
已知数列 an n 16 , bn (1)n n 15 ,其中 n N (1)求满足 an 1 = bn 的所有正整数 n 的集合
*பைடு நூலகம்
bn (2)n 16,求数列 的最大值和最小值 an
(3)记数列 anbn 的前 n 项和为 Sn ,求所有满足 S2m S2n (m<n)的有序 整数对(m,n)
则 a 的最大值为 .
1 变式 已知一元二次不等式 ax 2 2 x b 0 的解集为 x | x ，且 a
a b ，则
a2 b2 ab
的最小值为
．
1 y e2 2 变式 2 若 x，y 满足 log 2 4cos xy ln y ln ， 2 4cos xy 2 2 则 y cos 4 x 的值为 ．
1 1．已知函数 f x ，点 O 为坐标原点, 点 An n, f n (n N * ) ， 向 x 1
量 i 0,1 ， n 是向量 OAn 与 i 的夹角， 则 值为 ．
cos 1 cos 2 sin 1 sin 2
cos 2015 的 sin 2015
设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a， b， c 为常数)的导函数为 f′(x)． 对 b2 任 意 x ∈ R ， 不 等式 f(x) ≥ f′(x) 恒 成 立 ，则 2 2 的 最 大 值 为 a +c ▲ ．
已知函数 f ( x) (a 1) ln x ax 2 1 . ⑴讨论函数 f ( x) 的单调性； ⑵设 a ≤ 2 ， 证明： 对任意 x1 , x2 (0, ) ，| f ( x1 ) f ( x2 ) |≥ 4 | x1 x2 |
取 2 2ln
1 1 ln , a a 1 e
ln x
1 1 1 1 1 x f (2 ) 2ln 2 0 . e a a ea a
故 a 的取值范围是 (0, ) . 【注】赋值是关键，巧赋值是难点.
x ≤ 2, f ( x), 6 ． 已 知 函 数 f ( x) x x a ， g ( x) 且函数 f ( x 1) 2, x 2,
k 2 x k 1 a 2 , x ≥ 0, 已知函数 f ( x) 其中 a R ． 若对任意的 非 2 2 2 x a 4a x 1 a , x 0,
零实数 x1 ，存在唯一的非零实数 x2 ( x1 x2 ) ，使得 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立，则 k 的取值范围是 ．
kx k , x ≤ 0, f ( x) ln x, x 0, （k≥0） 变式 5：已知函数 ，若函数
y f ( f ( x)) 1 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是____.
变式 6：已知函数 f ( x) x 1 ，关于 x 的方程 f 2 ( x) f ( x) k 0 ，给 出下列四个命题： ① 存在实数 k ，使得方程恰有 2 个不同的实根； ② 存在实数 k ，使得方程恰有 4 个不同的实根； ③ 存在实数 k ，使得方程恰有 5 个不同的实根； ④ 存在实数 k ，使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中真命题的序号为____________ ． ①②③④
变式 1： 变式 3：
.
y 1 的最小值是 2 x
.
变式
在平 面直 角坐 标系 xOy ， 已知 平面 区域 A {( x, y) | x y 1, 且 x 0, y 0} ，则平面区域 B {( x y, x y) | ( x, y) A} 的面积为______．
1.
ex p xp ( x , p 0). 5. e x 1; ex e ; e ( ) ( x , p 0);ln x p ep
x x x
2．已知 x，y 为正实数，且 2 x y
1 x
1 y
6 ，则 xy 的取值范围为
．
x x2 5．已知 a 为正的常数,若不等式 1 x 1 对一切非负实数 x 恒成立, 2 a
lg x 2 ，x 2 变式 5：定义在 R 上的函数 f ( x) ,关于 x 的方程 x =2 1，
f 2 ( x) bf x c 0 有 5 个不同的实数根 x1，x2，x3，x4，x5，
则 f (x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝________.
2 2
上存在点 P，使得∠APB=90°，则 a 的最大值为
．
一类与 ln x, e x 有关的重要不等式:
x 1 1 ; 2. ln x x 1 ln x x ； x e x 1 2( x 1) x2 1 ln x x 1; 3. x 1 时， x x1 2x x 1 x2 1 2( x 1) ln x x 1; 4. 0 x 1 时， x 2x x 1
x 1 5 1, x 0, 变式 4：设定义域为 R 的函数 f ( x) ，若关于 x 的 2 x 4 x 4, x 0
方程 f ( x) (2m 1) f ( x) m2 0 有 7 个不同的实数解，则
2
2 . m _______
已知实数 a ， b ， c ， d 满足 ab c 2 d 2 1 ，则 a c b d 的最小值
2 2
为
．
若曲线 y ax 2 （ a 0 ）与 y e x 存在公切线，则 a 的取值范围为
．
已知圆 C： x 3 y 4 1 和两点 A a,1 ， B(a, 1) ，且 a 0 ，若圆 C
x 1 5 1, x 0, 变式 5：设定义域为 R 的函数 f ( x) ，若关于 x 的 2 x 4 x 4, x 0
方程 f ( x) (2m 1) f ( x) m2 0 有 8 个不同的实数解，则实
2
数 m 的取值范围是
.
1 (极大值点，列表略)， 题设等价于 a
1 1 f (ln ) 0 0 a a e 1 1 ln , f ( ) 0, 取 1 0 ln , f (1 ) a 0; 1 1 a a 1 ln , f ( 2 ) 0. 2 a
嵌套函数的经典例题
嵌套函数的经典例题嵌套函数指的是在一个函数内部定义了另一个函数。
这种嵌套定义的函数被称为内部函数，而包含内部函数的函数被称为外部函数。
嵌套函数的经典例题可以是计算阶乘的问题。
考虑一个求n的阶乘的函数factorial(n)。
使用嵌套函数的方式，可以编写一个递归的解法来实现阶乘的计算。
内部函数fact(n)负责计算n的阶乘，如果n为0或1时，直接返回1；否则，将n乘以内部函数fact(n-1)的返回值，然后返回这个结果。
外部函数factorial(n)调用内部函数fact(n)，并将其返回结果作为最终的阶乘计算结果返回。
以下是使用Python语言编写的嵌套函数计算阶乘的经典例题：```pythondef factorial(n):def fact(n):if n == 0 or n == 1:return 1else:return n * fact(n-1)return fact(n)print(factorial(5)) # 输出 120```在上述例子中，我们定义了一个外部函数factorial(n)来计算阶乘。
在该外部函数中嵌套定义了内部函数fact(n)，用来执行阶乘的递归计算。
外部函数factorial(n)调用内部函数fact(n)，并返回计算结果。
通过以上的代码，我们可以看到嵌套函数的一个重要特性：内部函数可以访问外部函数的局部变量。
在这个例子中，内部函数fact(n)可以访问外部函数factorial(n)的参数n，以及内部函数fact(n-1)的返回值。
这种函数之间的数据共享使得嵌套函数非常灵活且强大。
嵌套函数的一个常见的应用是在需要将某些通用的代码段封装成函数时，可以将内部函数定义在外部函数的内部，从而减少代码的冗余性。
此外，嵌套函数还可以用于解决一些特定问题，如递归问题、动态规划等。
总结起来，嵌套函数是一种在函数内部定义另一个函数的方式。
它可以让我们更灵活地利用函数组织代码，并实现一些特定的算法或者功能。
嵌套函数的零点问题
嵌套函数作为复合函数的一种形式,在高考命题中经常出现㊂嵌套函数分同一个函数间的嵌套与不同函数间的嵌套,利用复合函数的形式加以合理嵌套,巧妙融入零点及其应用问题,成为高考中的一类比较综合的创新应用问题,倍受大家的关注㊂一㊁整体思维,分类讨论对于一些相对简单的嵌套函数的零点问题,可以将其内层函数加以整体化处理,借助整体思维进行合理转化,由内到外通过分类讨论,达到解决问题的目的㊂例1已知函数f (x )=x +1,x ɤ0,l o g 2x ,x >0,则函数y =f [f (x )]+1的所有零点构成的集合为㊂分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点问题为对应的方程问题,利用分段函数中变量的取值范围,通过内层方程的求解,由内到外结合外层方程的求解来确定原方程的解,从而可得对应嵌套函数的零点㊂解:依题意可令y =f [f (x )]+1=0,所以f [f (x )]=-1㊂当x ɤ0时,由f (x )=x +1=-1得x =-2,由f (x )=-2得x +1=-2或l o g 2x =-2,解得x =-3或x =14;当x >0时,由f (x )=l o g 2x =-1得x =12,由f (x )=12得x +1=12或l o g 2x =12,解得x =-12或x =2㊂综上可得,函数y =f [f (x )]+1的所有零点构成的集合为-3,-12,14,2㊂涉及简单的嵌套函数的零点问题,可结合内外层函数之间的关系,通过内层函数的整体思维,先内层处理,由内及外,后外层求解,分层分析,分类讨论,结合内外层函数所对应的方程,达到解题的目的㊂整体思维解决嵌套函数的零点问题,是换元解套思维的简单形式㊂二㊁换元解套,数形结合对于一些相对复杂的嵌套函数的零点问题,可以将内层函数进行换元处理,通过换元,引入新参数,转化为新参数的外层函数问题,进而回归问题本源加以分析与处理㊂例2已知函数f (x )=x +2,x <0,x 2+12x ,x ȡ0,则函数y =f [f (x )]-1的零点个数为㊂分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点问题为对应的方程问题,通过内层函数的换元处理,结合换元后方程的求解,以及分段函数的图像来确定对应曲线与直线的交点个数,即确定方程的解的个数,从而得到相应函数的零点个数㊂解:依题意可令y =f [f (x )]-1=0,可得f [f (x )]=1㊂令f (x )=t ,由f (t )=1,可得t +2=1或t 2+12t =1,解得t =-1或t =-1+174t =-1-174<0,舍去㊂ 图1作出分段函数y =f (x )的图像,如图1所示㊂结合函数y =f (x )的图像,可知方程f (x )=-1有1个解,方程f (x )=-1+174有2个解,所以函数y =f [f (x )]-1的零点个数为3㊂32知识结构与拓展高一数学 2023年11月换元解套是处理嵌套函数的零点问题的主要方法,解答的两个步骤是:换元解套,通过换元t=g(x),引入参数,则y=f(t),将一个嵌套函数的零点问题巧妙拆解为两个简单函数t=g(x)与y=f(t)的零点问题;解方程,利用方程f(t)=0,确定参数t的值,代入方程t=g(x)求出x的值㊂在利用换元解套思维解题时,可借助函数的图像进行数形结合,从而达到直观处理问题的目的㊂三㊁逆向思维,参数范围解决一些含参数的嵌套函数的零点问题,可以通过整体思维应用或换元解套思维突破,加以合理的逆向思维,结合图像的直观分析来确定参数的取值范围㊂例3已知函数f(x)=-x2-2x,函数g(x)=x+14x,x>0,x+1,xɤ0,若函数y=g[f(x)]-a有4个不同的零点,则实数a的取值范围是㊂分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点问题为对应的方程问题,利用函数y=f(x)的值域,结合内层函数的换元处理,确定外层函数y=g(t)(t<1)与y=a的图像的交点个数,从而借助数形结合来确定对应参数的取值范围㊂解:由题意知函数y=g[f(x)]-a有4个不同的零点,所以方程g[f(x)]-a=0有4个不同的实数根㊂令t=f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1ɤ1,由方程g[f(x)]-a=0,可得方程g(t)=a(tɤ1)有4个不同的实数根㊂易知方程f(x)=t在tɪ(-ɕ,1)内有2个不同的实数根,即函数y=f(x)=-x2-2x与直线y=t(t<1)有2个不同的交点,所以方程g(t)-a=0有4个不同的实数根等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图像有2个不同的交点㊂易得g(1)=1+14=54㊂当x>0时,g(x)=x+14xȡ2x㊃14x=1,当且仅当x=14x,即x=12时,等号成立㊂图2画出函数y=g(t)(t<1)的图像,如图2所示㊂结合图像可知当1ɤa<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,所以实数a的取值范围是1,54㊂解决含参数的嵌套函数的零点问题,可借助整体思维或换元解套思维来分析内外层函数的图像与性质,通过分离参数,结合对应的图像来确定参数的取值范围㊂利用数形结合分析参数的取值范围时,要注意图像的关键点(如区间的端点㊁函数的极值点等)的位置关系,从而加以合理的取舍㊂(多选题)已知x0是函数f(x)=e x+x-2的零点(其中e=2.71828 为自然对数的底数),下列说法正确的是()㊂A.x0ɪ(0,1)B.l n(2-x0)=x0C.x0-e-x0<0D.x2-x00>e提示:对于A,函数f(x)=e x+x-2为增函数,则f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以零点x0ɪ(0,1),A正确㊂对于B,x0是方程f(x)=e x+x-2的零点,则e x0+x0-2=0,变形可得e x0=2-x0,两边同时取对数得l n(2-x0)=x0,B正确㊂对于C,x0是函数f(x)=e x+x-2的零点,则e x0+x0-2=0,即x0=2-e x0,所以x0-e-x0=2-e x0-e-x0=2-(e x0+e-x0)㊂又x0ɪ(0,1),所以e x0+e-x0>2,所以x0-e-x0<0,C正确㊂对于D,x0ɪ(0,1),所以2-x0ɪ(1,2),所以x2-x00<1<e,D不正确㊂应选A B C㊂作者单位:甘肃省肃南裕固族自治县第一中学(责任编辑郭正华) 42知识结构与拓展高一数学2023年11月。
嵌套函数的零点问题
嵌套函数的零点问题1.已知$f(x)=|e^x-1|+1$，若函数$g(x)=(f(x))^2+(a-2)f(x)-2a$有三个零点，则实数$a$的取值范围是什么？2.若函数$f(x)=\begin{cases} x+1.& x\leq 0 \\ \ln x。
& x>0 \end{cases}$，则函数$y=f(f(x))+1$的零点个数是多少？3.已知$f(x)=|e^x-1|$，$g(x)=f^2(x)-tf(x)$，若满足$g(x)=-1$的$x$有三个，则$t$的取值范围是什么？4.若函数$f(x)=e^x$，则方程$3f(f(x))-e^3=0$的根的个数是多少？5.已知函数$f(x)=\begin{cases} | \log(-x) |。
& x<0 \\ x^2+x-6x+4.& x\geq 2 \end{cases}$，若关于$x$的方程$f^2(x)-bf(x)+1=0$有8个不同的根，则实数$b$的取值范围是什么？6.已知函数$f(x)=\begin{cases} x^2+2x。
& x>0 \\ \ln(1-x)+4.& x\leq 0 \end{cases}$，那么关于$x$的方程$f(x^2-4x)=6$的不同实数根的个数是多少？7.已知函数$y=f(x)$是定义域为$\mathbb{R}$上的偶函数，当$x\geq 2$时，$f(x)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)$，当$-2\leq x\leq 2$时，$f(x)=\frac{1}{4}(1-x^2)$。
若关于$x$的方程$(f(x))^2+af(x)+\frac{1}{16}=0$，$a\in\mathbb{R}$有且仅有8个不同的实数根，则实数$a$的取值范围是什么？8.已知函数$f(x)=x$，$g(x)=f(f(x)-1)$，其中$t>0$。
2023新高考数学函数压轴小题专题突破 专题5 函数嵌套问题(解析版)
专题5 函数嵌套1．已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e-=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为( ) A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6【解析】解：22()(21))(1)(2)x x x f x e x x x e e x x '=-++--=+-， ∴当2x <-或1x >时，()0f x '>，当21x -<<时，()0f x '<，()f x ∴在(,2)-∞-上单调递增，在(2,1)-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()f x 的极大值为25(2)f e -=，()f x 的极小值为f （1）e =-． 作出()f x 的函数图象如图所示：25()()()f x mf x m Re -=∈，25()()0f x mf x e∴--=，△2200m e=+>， 令()f x t =则，则125t t e=-．不妨设120t t <<，（1）若1t e <-，则2250t e<<，此时1()f x t =无解，2()f x t =有三解； （2）若1t e =-，则225t e =，此时1()f x t =有一解，2()f x t =有两解； （3）若10e t -<<，则225t e >，此时1()f x t =有两解，2()f x t =有一解； 综上，25()()f x mf x e-=有三个不同的实数解． 故选：A ．2．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A．(1,1) B．(0 C ．1(1,1)e+D．,1)【解析】解：化简可得0()0x f x x =<，当0x >时，()0f x，12()x x e x f x e '===， 当102x <<时，()0f x'>，当12x>时，()0fx '<， 故当12x=时，函数()f x有极大值21()2f e====； 当0x <时，2()0x xxe x e x xf x x e --'==<，()f x 为减函数，作出函数()f x 对应的图象如图：∴函数()f x 在(0,)+∞上有一个最大值为1()2f ；设()t f x =， 当t >()tf x =有1个解， 当t =()t f x =有2个解， 当0t <<时，方程()t f x =有3个解， 当0t =时，方程()t f x =有1个解， 当0t <时，方程()m f x =有0个解，则方程2()()10f x mf x m -+-=等价为210t mt m -+-=，等价为方程21(1)[(1)]0t mt m t t m -+-=---=有两个不同的根1t =，或1t m =-， 当1t =时，方程()t f x =有1个解，要使关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实数根， 则1t m =-∈，即01m <-<11m <<+，则m的取值范围是1)+ 故选：A ．3．已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围()A ．(4,2)--B．(4,--C ．(3,2)--D．(3,--【解析】解：令()f x t =，则方程2()()20f x bf x ++=⇔方程220t bt ++=． 如图是函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，的图象，根据图象可得：方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根⇔方程220t bt ++=．有两个不等实数解1t ，2t 且1t ，2(1,2)t ∈．可得22280112032220122b b b b b ⎧=->⎪++>⎪⎪⇒-<<-⎨++>⎪⎪<-<⎪⎩． 故选：D ．4．已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+>=⎨-+<⎩，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(,0)-∞B ．[1，)+∞C ．(,0)[2-∞，)+∞D ．(-∞，0)(1⋃，)+∞【解析】解：函数22,0()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+>=⎨-+<⎩的图象如图：方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有四个相异的实数根， 必须()f x 由两个解，一个()1f x >，一个()(0f x ∈，1)， 或者()(0f x ∈，1)，另一个()0f x ，2()2()10()f x af x a a R -+-=∈，可得()f x a =，当1a >时，1a >，(0,1)a ．满足题意．当1a =时，2a ，0a =，不满足题意． 考察选项可知，D 正确； 故选：D ．5．已知函数33,0()1,0x x x x f x x lnx x ex ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩，若关于x 的方程2()()10f x mf x --=恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2-，11e + )B ．(2-，0 )(⋃ 0，11e + )C ．2321(,)2e e e+-+D ．( 32-，0 )(⋃ 0，221)e e e++【解析】解：当0x 时，3()3f x x x =-，则2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+， 令()0f x '=得：1x =-，∴当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，且(1)2f -=-，(0)0f =，当0x >时，1()x x lnx f x e x +=+，则21()x x lnxf x e x--'=+，显然f '（1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，且f （1）11e=+， 故函数()f x 的大致图象如图所示：，令()t f x =，则关于x 的方程2()()10f x mf x --=化为关于t 的方程210t mt --=， △240m =+>，∴方程210t mt --=有两个不相等的实根，设为1t ，2t ， 由韦达定理得：12t t m +=，1210t t =-<，不妨设10t >，20t <， 关于x 的方程2()()10f x mf x --=恰好有6个不相等的实根， ∴由函数()f x 的图象可知：1101t e<<+，220t -<<，设2()1g t t mt =--，则(2)0(0)01(1)0g g g e ⎧⎪->⎪<⎨⎪⎪+>⎩，解得：23212e m e e+-<<+，故选：C ．6．已知函数|1|221,0()21,0x x f x x x x -⎧-=⎨++<⎩，若关于x 的方程22()(1)()20f x m f x m -++=有五个不同实根，则m 的值是( ) A ．0或12B ．12C ．0D ．不存在【解析】解：画出函数()f x 的图象，如图所示：，当()1f x =时，有三个根，把()1f x =代入方程22()(1)()20f x m f x m -++=得，21(1)20m m -++=， 解得：0m =或12， 当0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m -++=为2()()0f x f x -=，所以()0f x =或1，所以有五个根， 当12m =时，方程22()(1)()20f x m f x m -++=为231()()022f x f x -+=，所以()1f x =或12，所以有7个根，舍去，综上所求，0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m -++=有五个不同实根， 故选：C ．7．已知函数2(2),0()|2|,0x x f x x x ⎧+=⎨->⎩，方程2()()0f x af x -=（其中(0,2))a ∈的实根个数为p ，所有这些实根的和为q ，则p 、q 的值分别为( ) A ．6，4 B ．4，6C ．4，0D ．6，0【解析】解：2()()0f x af x -=，()0f x ∴=或()f x a =．作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知()0f x =有两解，()f x a =有四解． 6p ∴=．由图象可知()0f x =的两解为2x =-，2x =，()f x a =的四个解中，较小的两个关于直线2x =-对称，较大的两个关于直线2x =对称， 0q ∴=．故选：D ．8．已知函数()(1)(1)g x a x ln x =++的图象在点2(1e -，2(1))g e -处的切线与直线610x y ++=垂直( 2.71828e =⋯是自然对数的底数），函数()f x 满足3()(1)0xf x g x x +--=，若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b -+=，c R ∈，且0)c <在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，则实数b 的取值范围是() A ．21(1,2]e + B ．221[2,2]e e +-C ．2221[2,]e e e-+ D ．221(2,]e e+ 【解析】解：函数()(1)(1)g x a x ln x =++的导数为()(1)g x aln x a '=++， 可得()g x 图象在点2(1e -，2(1))g e -处的切线斜率为3a ， 由切线与直线610x y ++=垂直，可得36a =， 解得2a =，()2(1)(1)g x x ln x =++，3()(1)0xf x g x x +--=，可得2()2f x x lnx =-， 导数为222(1)(1)()2x x f x x x x -+'=-=， 当1x >时，()0f x '>，()f x 递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减． 即有1x =处()f x 取得最小值1． 则()f x 在1[e，]e 的图象如右：若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b -+=，c R ∈，且0)c < 在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，可令()t f x =，则20t bt c -+=，（1） 可得t 的范围是[1，22]e -，方程（1）判别式为240b c ->，必有两不同的实数解， 设为1t ，2t ，12t t b +=， 可得11t =，22112t e<+， 即21112b e <-+， 解得2123b e <+，① 又212122t e e+<-， 22112t e <+， 则21222113t t b e e e+<+=+，② 由①②求并可得2212b e e <+， 故选：D ．9．已知函数()1xf x x =+，(1,)x ∈-+∞，若关于x 的方程2()|()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是( ) A ．3(2-，0)B ．3(2-，4)3-C ．3(2-，4]3-D ．4(3-，0)【解析】解：1()11f x x -=++，|()|y f x =，(1,)x ∈-+∞的图象如下：设|()|f x t =，则2|()||()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根， ①0t =时，代入2230t mt m +++=得32m =-，即2302t t -=，另一根为32只有一个交点，舍去②一个在(0,1)上，一个在[1，)+∞上时， 设2()23h t t mt m =+++(0)230(1)1230h m h m m =+>⎧⎨=+++⎩，解得3423m -<-． 故选：C ．10．已知函数2()x x f x e=，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．1(1,2)e-C ．24{1,1}e -D ．24(1,1)e -【解析】解：函数2()x x f x e =的导数为22()xx x f x e-'=， 当02x <<时，()0f x '>，()f x 递增； 当2x >或0x <时，()0f x '<，()f x 递减， 可得()f x 在0x =处取得极小值0， 在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象， 设()t f x =，关于x 的方程2()()10f x mf x m ++-=， 即为210t mt m ++-=， 解得1t =-或1t m =-， 当1t =-时，()1f x =-无实根； 由题意可得当241(0,)t m e=-∈， 解得241m e-=或1m =， 所以24(1m e ∈-，1) 故选：D ．11．已知函数()1x x f x e=-，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值集合是( )A ．(-∞，2)(2⋃，)+∞B ．1(2,)e-+∞C ．1(2,2)e -D ．12e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】解：由题意1()x x f x e -'=．令1()0x xf x e-'==，解得1x =； 且1x >时，()0f x '<，1x <时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 在1x =处取极大值11e=-．()f x 大致图象如下：令()t f x =，则2[()]()10f x mf x m ++-=可化为210t mt m ++-=． 假设2m =，则2210t t ++=．解得1t =-，即()1f x =-． 根据()f x 图象，很明显此时只有一个解， 故2m =不符合题意，由此排除B 选项；假设3m =，则2320t t ++=，解得12t =-，21t =-． 即()2f x =-，或()1f x =-．根据()f x 图象，很明显此时方程只有两个解， 故3m =不符合题意，由此排除A 选项．假设12m e =-时，则211(2)10t t e e +-+-=，解得111t e =-，21t =-．即()1f x =-或1()1f x e=-，根据()f x 的图象，很明显此时方程只有两个根， 故12m e=-不符合题意，由此排除D故选：C ．12．已知函数||||()1x x f x e =+，2(),0()2,0f x x g x x x a x ⎧=⎨-+>⎩，且g （1）0=，则关于x 的方程(())10g g x t --=实根个数的判断正确的是( )A ．当2t <-时，方程(())10g g x t --=没有相异实根B ．当110t e-+<<或2t =-时，方程(())10g g x t --=有1个相异实根C ．当111t e<<+时，方程(())10g g x t --=有2个相异实根D ．当111t e -<<-+或01t <或11t e=+时，方程(())10g g x t --=有4个相异实根 【解析】解：当0x 时，||||()111x x x x xf x xe e e--=+=+=-+， 因为g （1）0=， 所以120a -+=， 所以1a =，所以21,0()21,0x xe x g x x x x ⎧-+=⎨-+>⎩，图象如图所示：当0x 时，0x -，0x e >，则11x xe -+，当且仅当0x =时等号成立， ()g x 在(,1)-∞-上是增加的，在(1,0)-上是减少的；当0x >时，()f x 在(0,1)上是减少的，在(1,)+∞上是增加的， 故()(1)0g x g -=恒成立．故()g x 在(,1)-∞-上是增加的，在(1,1)-上是减少的，在(1,)+∞上是增加的． 令()m g x t =-，则()10g m -=， 解得：0m =或2m =， 当0m =即()0g x t -=时， ()g x t =，当2t <-时，()2g x <-，无解， 当2m =即()2g x t -=时， ()2g x t =+，当2t <-时，()0g x <，无解， 故方程(())10g g x t --=没有相异实根， 故A 正确；当2t =-时，由A 可知：()0g x =，解得1x =， 当110t e -+<<时，12(1,2)t e+∈+， 由上可知()f x 在1x =-时取得极大值为1(1)1g e-=+，结合图象可知，此时2y t =+与()g x 有且仅有一个交点， 故B 正确；当111t e<<+时，()g x t =或()2g x t =+，若()g x t =，结合图象可知()g x 与y t =有三个不同的交点， 若()2g x t =+，12(3,3)t e+∈+，此时()g x 与y t =有一个交点，故方程(())10g g x t --=有4个相异实根， 故C 错误； 当111t e -<<-+时，1()2(1,1)g x t e=+∈+， 由C 可知此时有三个不等实根， 当01t <时，()g x t =或()2g x t =+， 当()g x t =时，由图可知有两个不等实根， 当()2g x t =+时，由图可知有一个实根， 当11t e=+时，()g x t =或()2g x t =+，当()g x t =时，由图可知有两个不等实根， 当()2g x t =+时，由图可知有一个实根， 故此时方程(())10g g x t --=共有9个不等实根， 故D 错误． 故选：AB ．13．已知函数,1()1,12lnx x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()(()1)g x f f x =+的零点是 1 ，若()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x +的最小值是 ．【解析】解：()(()1)g x f f x =+，,1()1,12lnx x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，当1x 时，0lnx ，()11f x +，则(()1)(1)f f x ln lnx +=+， 当1x <时，1112x -+>，则(()1)(2)2xf f x ln +=-． (1),1()(()1)(2),12ln lnx x g x f f x xln x +⎧⎪∴=+=⎨-<⎪⎩， 令()0g x =，则1(1)0x ln lnx ⎧⎨+=⎩或1(2)02x xln <⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得1x =．故函数()(()1)g x f f x =+的零点是1； 由上可知，(()1)(()1)f f x ln f x +=+，()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，即(()1)ln f x m +=-有两根，也就是()1m f x e -+=，()1m f x e -=-有两根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x 时，21m lnx e -=-，当1x <时，1112m x e --=-， 令112m t e -=->，则 2lnx t =，2t x e =，112x t -=，122x t =-， ∴1222t x x e t +=+-，12t >， 设()22t t e t ϕ=+-，12t >， 则()2t t e ϕ'=-，可得当1(2t ∈，)lnt 时，()0t ϕ'<，当(,)t lnt ∈+∞时，()0t ϕ'>， 则()t ϕ的最小值为(2)422ln ln ϕ=-． 12x x ∴+的最小值是422ln -．故答案为：1；422ln -．14．已知函数,1()1,12lnx x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()(()1)F x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x 的取值范围(-∞ ．【解析】解：当1x 时，()0f x lnx =，则()11f x +， (()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+，当1x <时，1()122x f x =->，则3()12f x +>， (()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+，综上可知，()(()1)(()1)F x f f x m ln f x m =++=++，令()0F x =，得()1m f x e -+=，依题意，()1m f x e -=-有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x 时，21m lnx e -=-，当1x <时，1112m x e --=-， 令112m t e -=->，则1221,,1,222t x lnx t x e t x t ==-==-， ∴121(22),2t x x e t t =->， 设1()(22),2t g t e t t =->，则()20t g t te '=-<，()g t ∴在1(,)2+∞上单调递减，∴1()()2g t g <=12x x ∴的取值范围为(-∞．故答案为：(-∞．15．已知函数,2()48,25xexx e f x x x x⎧⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程22()3|()|20f x a f x a -+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 12{}[2e ，4)5．【解析】解：当2x 时，令()0xe exf x e -'==，解得1x =， 所以当1x 时，()0f x '>，则()f x 单调递增，当12x 时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当2x >时，4848()555x f x x x -==-单调递增，且()[0f x ∈，4)5作出函数()f x 的图象如图：（1）当0a =时，方程整理得2()0f x =，只有2个根，不满足条件；（2）若0a >，则当()0f x <时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a ++=++=， 则()20f x a =-<，()0f x a =-<，此时各有1解，故当()0f x >时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a -+=--=， ()2f x a =有1解同时()f x a =有2解，即需21a =，12a =，因为f （2）22212e e e==>，故此时满足题意；或()2f x a =有2解同时()f x a =有1解，则需0a =，由（1）可知不成立； 或()2f x a =有3解同时()f x a =有0解，根据图象不存在此种情况，或()2f x a =有0解同时()f x a =有3解，则21245a a e >⎧⎪⎨<⎪⎩，解得245a e <， 故2[a e ∈，4)5（3）若0a <，显然当()0f x >时，()2f x a =和()f x a =均无解， 当()0f x <时，()2f x a =-和()f x a =-无解，不符合题意． 综上：a 的范围是12{}[2e ，4)5故答案为12{}[2e ，4)516．已知函数231,0()26,0ax x f x xlnx x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是 (2,0)- ．【解析】解：已知定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的函数231,0()26,0ax x f x xlnx x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩， 若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解 等价于231a y x x =++关于原点对称的函数231ay x x=-+-与函数()26(0)f x lnx x x =->的图象有两个交点，联立可得226310alnx x x x-+-+=有两个解， 即23263a xlnx x x x =-++，0x >， 可设23()263g x xlnx x x x =-++，0x >， 2()32129g x lnx x x '=+-+， 22()1812218120g x x x x x''=+-=，可得()g x '在(0,)+∞递增， 由g '（1）0=，可得01x <<时，()0g x '<，()g x 递减；1x >时，()0g x '>，()g x 递增， 即()g x 在1x =处取得极小值且为2-，作出()y g x =的图象，可得20a -<<时，226310alnx x x x-+-+=有两个解， 故答案为：(2,0)-．17．已知函数21,0()21,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 (0,1) ．【解析】解：作()f x 的图象如下，，2()()()(())0f x af x f x f x a -=-=，()0f x ∴=或()f x a =； ()0f x =有两个不同的解，故()f x a =有三个不同的解， 故(0,1)a ∈； 故答案为：(0,1)．18．已知函数()|1|33f x x x x =--+． （1）求函数()f x 的零点；（2）若关于x 的方程2()()0(f x mf x n m -+=、)n R ∈恰有5个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】解：（1）由题得2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x ⎧--+<=--+=⎨-+⎩，①当1x <时，令()0f x =，得3x =-或1x =（舍)； ②当1x 时，令()0f x =，得1x =或3x =， ∴函数()f x 的零点是3-，1，3；（2）作出函数2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x ⎧--+<=--+=⎨-+⎩的大致图象，如图：令()t f x =，若关于x 的方程2()()0f x mf x n -+=恰有5个不同的实数解， 解法一：则函数2()g t t mt n =-+的零点分布情况如下：①当11t =-，2(1,4)t ∈-时，则(1)0(4)0142g g b a ⎧⎪-=⎪>⎨⎪⎪-<-<⎩，得101640142m n m n m ⎧⎪++=⎪-+>⎨⎪⎪-<<⎩，故(2,3)m ∈-；②当14t =，2(1,4)t ∈-时，则(4)0(1)0142g g b a ⎧⎪=⎪->⎨⎪⎪-<-<⎩，得164010142m n m n m ⎧⎪-+=⎪++>⎨⎪⎪-<<⎩，故(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈-，3)(3⋃，8)； 解法二：则方程20t mt n -+=的根的情况如下：①当11t =-，2(1,4)t ∈-时，由11t =-得10m n ++=，则方程2(1)0t mt m --+=，即(1)(1)0t t m +--=，故21(1,4)t m =+∈-，所以(2,3)m ∈-；②当14t =，2(1,4)t ∈-时，由14t =得1640m n -+=，则方程24(4)0t mt m -+-=，即(4)(4)0t t m --+=，故24(1,4)t m =-∈-，所以(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈-，3)(3⋃，8)．19．已知函数2()sin()2cos 1,468f x x x x R πππ=--+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()()24410,43f x mf x x ⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭在内有实数解，求实数m 的取值范围． 【解析】解：（1）23()sin()2cos 1sin cos cos sin cos cos 3sin()4684646442443f x x x x x x x x ππππππππππππ=--+=----⋯（3分） ∴函数()f x 的最小正周期为8．⋯（4分）令222432k x k ππππππ--+，k Z ∈，求得2108833k x k -+，k z ∈，故函数的单调递增区间为210[8,8]33k k -+，k Z ∈⋯（6分）（2）设()t f x =，4(3x ∈，4)，∴2(0,)433x πππ-∈，()(0f x ∴∈，∴方程2410t mt -+=在(0t ∈内有实数解，即当(0t ∈时方程有实数解．⋯（10分） 11442t t t +=当且仅当时取等号，4m ∴，⋯（8分） 故实数m 的取值范围是[4，)+∞．⋯（12分） 20．已知函数()g x 对一切实数x ，y R ∈都有()()(22)g x y g y x x y +-=+-成立，且g （1）0=，()(1)(h x g x bx c b =+++，)c R ∈，()()g x f x x=． （Ⅰ）求(0)g 的值和()g x 的解析式；（Ⅰ）记函数()h x 在[1-，1上的最大值为M ，最小值为m ．若4M m -，当0b >时，求b 的最大值；（Ⅰ）若关于x 的方程2(|21|)30|21|x x k f k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）令1x =，0y =得g （1）(0)1g -=-，g （1）0=，(0)1g ∴=，令0y =得()(0)(2)g x g x x -=-，即2()21g x x x =-+．（Ⅰ）2()(1)h x g x bx c x bx c =+++=++．①当12b -<-，即2b >时，M m h -=（1）(1)24h b --=>，与题设矛盾②当102b --<时，即02b <时，M m h -=（1）2()(1)422b b h --=+恒成立， 综上可知当02b <时，b 的最大值为2．（3）当0x =时，210x -=则0x =不是方程的根，方程2(|21|)30|21|x x k f k -+-=-可化为： 2|21|(23)|21|(12)0x x k k --+-++=，|21|0x -≠，令|21|x t -=，则方程化为2(23)(12)0t k t k -+++=，(0)t >，方程2(|21|)310|21|x x k f k -+--=-有三个不同的实数解， ∴由|21|x t =-的图象知，2(23)(12)0t k t k -+++=，(0)t >，有两个根1t 、2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =．记2()(23)(12)h t t k t k =-+++，则(0)210(1)0h k h k =+>⎧⎨=-<⎩，此时0k >， 或(0)210(1)032012h k h k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，此时k 无解，综上实数k 的取值范围是(0,)+∞．。
高考数学函数嵌套问题
高考数学函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一：“()()=f f x k ”型问题题型二：“()()=f g x k ”型问题题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【解题思路】1.嵌套函数形式：形如2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套，转化为t ＝g (x )与y ＝f (t )的零点．(2)依次解方程，令f (t )＝0，求t ，代入t ＝g (x )求出x 的值或判断图象交点个数．注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．【典型例题】题型一：“()()=f f x k ”型问题例1．设函数()|2|f x x x =-，0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，若0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．例2．设函数()|2|f x x x =-，则当(0,2)x ∈时，函数()f x 的最大值等于，若0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，且0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．例3．已知函数2|(1)|,(1,3)()5,[3,)log x x f x x x +∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，则函数()(())1g x f f x =-的零点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6变式1．已知函数22log (1),0()4,0x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，则函数()[()]1g x f f x =-的零点个数为()A ．4B ．7C ．8D ．9变式2．已知函数2log (),(0)()2,(0)x x f x x x -<⎧=⎨-⎩，则函数()[()1]g x f f x =+的零点个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式3．已知函数2()f x x x q =++，集合{|()0A x f x ==，}x R ∈，{|(())0B x f f x ==，}x R ∈，若B 为单元素集，试求q 的值．题型二：“()()=f g x k ”型问题例4．已知函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩（1）求[g f （1）]的值；（2）若方程[()]0g f x a -=有4个实数根．求实数a 的取值范围．例5．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩，()[()]h x g f x =．（1）求函数()h x 的单调递增区间．（2）若关于x 的方程()0h x a -=有4个不同的实数很，求实数a 的取值范围．例6．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩，()[()]h x g f x =，求函数()h x 的单调递增区间．变式4．已知函数2()2f x x x =--，1;0()1;04x x g x x x x +⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若函数[()]y g f x a =-有4个零点，则实数a 的取值范围是．变式5．已知函数32()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪---⎩，则当方程[()]0g f x a -=有6个解时a 的取值范围是()A ．514a <<B ．54a >或81a -<C ．54a >D ．01a题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题例7．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1(0)f x ax b x b a =++-≠．（1）当1a =，3b =时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 的中点C 在函数22()541ag x x a a =-+-+的图象上，求b 的最小值．例8．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点．已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．()I 当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围．例9．设函数()0f x x =>，a R ∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是．变式6．设函数2()f x x x c =++．若对任意x R ∈，均有(())f f x x >，则实数c 的取值范围是．变式7．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”，若(())f f x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”，记{|()}A x f x x ==，{|(())}B x f f x x ==，则下列说法错误的是()A ．对于函数()f x x =，有AB =成立B ．若()f x 是二次函数，且A 是空集，则B 为空集C ．对于函数1()()2x f x =，有A B =成立D ．对于函数()bf x x=，存在(0,)b ∈+∞，使得A B =成立变式8．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”：若00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”，如果函数2()1()f x ax a R =+∈的稳定点恰是它的不动点，那么a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．3(,)4-+∞C ．31[,]44-D ．1(1,]4-变式9．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”；若00(())f f x x =，则称0x 为函数()f x 的“稳定点”．如果函数2()()f x x a a R =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a 的取值范围是()A ．(-∞，1]4B ．3(4-，)+∞C ．3(4-，1]4D ．3[4-，14变式10．设函数())f x a R =∈．若存在[0b ∈，1]，使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是()A ．[0，14B ．[1，2]C ．[0，1]D ．1[4，1]变式11．设函数()f x a R =∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使[f f （b ）]b =成立，则a 的取值范围()A ．[1，]e B ．[0，]e C ．[2，]e D ．[1，1]e +变式12．设函数())f x a R =∈，若存在[1b ∈，]e ，使得(f f （b ）)b =成立，则实数a 的取值范围是()A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1-，0]变式13．设函数())f x a R =∈．若方程(())f f x x =有解，则a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．1(0,8C ．1(,]8-∞D ．[1，)+∞题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题例10．设()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，若函数(())y f g x x =-有零点，则函数(())g f x 不可能是()A ．215x -B ．215x +C ．215x x +-D ．215x x ++例11．()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，且方程[()]0x g f x -=有实数解，则[()]f g x 不可能是()A ．32x-B ．23x -C ．4|1|5x --+D ．4|1|5x -+。
微专题22 函数嵌套问题(解析版)
微专题22函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一：“()()=f f x k ”型问题题型二：“()()=f g x k ”型问题题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【典型例题】题型一：“()()=f f x k ”型问题例1．设函数()|2|f x x x =-，0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，若0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．【解析】解：函数()|2|f x x x =-，当(0,2)x ∈时，2()|2|(2)(1)11f x x x x x x =-=-=--+ ；作函数()|2|f x x x =-的图象如下：解(2)1x x -=，得到1x =或1x =+又0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，所以(0)1f x =+f （2）01=<，f （3）31=>+，因为0(x k ∈，1)()k k Z +∈，所以2k =，故答案为：2．例2．设函数()|2|f x x x =-，则当(0,2)x ∈时，函数()f x 的最大值等于，若0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，且0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．【解析】解：当(0,2)x ∈时，2()|2|(2)(1)11f x x x x x x =-=-=--+ ；作函数()|2|f x x x =-的图象如下，解|2|1x x -=得，1x =或1x =+；又0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，0()1f x ∴=+；且f （2）01=<+f （3）31=>+；故2k =．故答案为：1，2．例3．已知函数2|(1)|,(1,3)()5,[3,)log x x f x x x +∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，则函数()(())1g x f f x =-的零点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：令()(())10g x f f x =-=，可得1()2f x =-或()1f x =或()4f x =，函数2|(1)|,(1,3)()5,[3,)log x x f x x x +∈-⎧=⎨-∈+∞⎩的图象如图所示，由图象可知，当1()2f x =-时，有1个解；当()1f x =时，有3个解；当()4f x =时，有1个解．综上所述，函数()(())1g x f f x =-的零点个数为5个．故选：C ．变式1．已知函数22log (1),0()4,0x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，则函数()[()]1g x f f x =-的零点个数为()A ．4B ．7C ．8D ．9【解析】解：令()1f x =，解得2x =或1x =-，则令()0g x =，可得()2f x =±()1f x =-，作出函数()f x 的图象如图所示，由图象可知，()2f x =+3个零点，()2f x =-3个零点，()1f x =-有1个零点，故函数()g x 有7个零点．故选：B ．变式2．已知函数2log (),(0)()2,(0)x x f x x x -<⎧=⎨-⎩，则函数()[()1]g x f f x =+的零点个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】解：设()1M f x =+，解()0f M =，得2M =或1M =-，①当1M =-时，由()11f x +=-，得2log ()2x -=-或22x -=-，即得0x =或14x =-；②当2M =时，由()12f x +=得()1f x =，即2log ()1x -=或21x -=，即2x =-或3x =，综合①②得：函数()[()1]g x f f x =+的零点为：2x =-或3x =或0x =或14x =-共4个；故选：D ．变式3．已知函数2()f x x x q =++，集合{|()0A x f x ==，}x R ∈，{|(())0B x f f x ==，}x R ∈，若B 为单元素集，试求q 的值．【解析】集合{|()0A x f x ==，}，{|(())0}B x f f x ==A B∴⊆2211{|(()0}{|()()0}{|[(()]}24B x f f x x f x f x q x f x q ∴===++==++-B 为单元集，1()2f x ∴=-，1{}4B q ∴=-，2{|()0}{|0A x f x x x x q ===++=，}x R ∈，当A =∅时，B =∅不符题意，故A ≠∅，当1{|}2A x x ==-时，△140q =-=，解得：14q =，222111(())()()0444f f x x x x x ∴=++++++=，△11404=-⨯=21142x x ∴++==-，2304x x ++=，方程无解，不符B 为单元集，故1{|}2A x x ≠=-．∴方程20x x q ++=有2个不相等的实数解：12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，A ∴=A B⊆∴B14q =-，解得：134q -+=或234q --=（舍去）．B时有：1q =或2q =．综上，1q =题型二：“()()=f g x k ”型问题例4．已知函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩ （1）求[g f （1）]的值；（2）若方程[()]0g f x a -=有4个实数根．求实数a 的取值范围．【解析】解：（1）f （1）123=--=-，[g f （1）](3)312g =-=-+=-，即[g f （1）]2=-．（2）令()f x t =，则原方程化为()g t a =，易知方程()f x t =在(,1)t ∈-∞内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数()y g t =(1)t <与y a =的图象有2个不同的交点，作出函数()y g t =(1)t <的图象，如图；g （1）15144=+=，11()2142g x x x =+=⨯= ，由图象可知，当514a <时，函数()y g t =，(1)t <与y a =有2个不同的交点，即所求a 的取值范囿是[1，5)4．例5．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩ ，()[()]h x g f x =．（1）求函数()h x 的单调递增区间．（2）若关于x 的方程()0h x a -=有4个不同的实数很，求实数a 的取值范围．【解析】解：（1）令220x x --=得，0x =，或2x =-；∴当2x - ，或0x 时，()0f x ，当20x -<<时，()0f x >；()()()21,20421,20f x x f x h x x x x x ⎧+-<<⎪∴=⎨⎪--+-⎩或 ；①当2x - 时，函数()h x 为增函数；0x 时，函数()h x 为减函数；②当20x -<<时，令()f x t =，01t <<，设()y h x =，则：14y t t=+，01t <<，22414t y t -'=，1(0,)2t ∴∈时，0y '<，14y t t =+为减函数，1(2t ∈，1)时，0y '>，14y t t=+为增函数；令21()22f x x x =--=，则212x =-±，当212x -<<--时，()f x 为增函数，()g x 为减函数，故()h x 为减函数；当112x --<<-时，()f x 为增函数，()g x 为增函数，故()h x 为增函数；当11x -<<-+()f x 为减函数，()g x 为增函数，故()h x 为减函数；当10x -+<<时，()f x 为减函数，()g x 为减函数，故()h x 为增函数；综上所述，函数()h x的单调递增区间为[12--，1]-，[12-+，)+∞，(-∞，2]-；（2）由（1）可得，当0x 或2x - 时，()1h x ；1x =-时，()h x 取得极大值54；1x =-时，()h x 取得极小值1；12x =-+时，()h x 取得极小值1．由方程()0h x a -=有4个不同的实数很，即为()y h x =的图象与直线y a =有4个交点．则a 的取值范围是[1，5)4．例6．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩ ，()[()]h x g f x =，求函数()h x 的单调递增区间．【解析】解：令220x x --=得，0x =，或2x =-；∴当2x - ，或0x 时，()0f x ，当20x -<<时，()0f x >；∴()()()21,20421,2,0f x x f x h x x x x x ⎧+-<<⎪=⎨⎪--+-⎩或 ；（1）当2x - 时，函数()h x 为减函数；（2）当20x -<<时，令()f x t =，01t <<，设()y h x =，则：14y t t=+，01t <<，22414t y t -'=；∴1(0,)2t ∈时，0y '<，14y t t =+为减函数，1(,1)2t ∈时，0y '>，14y t t=+为增函数；令21()22f x x x =--=，则12x =-±，当2212x -<<--时，()f x 为增函数，()g x 为减函数，故()h x 为减函数；当11x -<-时，()f x 为增函数，()g x 为增函数，故()h x 为增函数；当112x -<<-+时，()f x 为减函数，()g x 为增函数，故()h x 为减函数；当102x -+<<时，()f x 为减函数，()g x 为减函数，故()h x 为增函数；（3）当0x 时，()h x 为增函数；综上所述，函数()h x的单调递增区间为[12--，1]-，[12-+，)+∞．变式4．已知函数2()2f x x x =--，1;0()1;04x x g x x x x +⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若函数[()]y g f x a =-有4个零点，则实数a 的取值范围是．【解析】解：由题意可得函数[()]y g f x =与函数y a =有4个交点，如图所示：，结合图象可得514a < ，故答案为[1，5)4．变式5．已知函数32()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪---⎩ ，则当方程[()]0g f x a -=有6个解时a 的取值范围是()A ．514a <<B ．54a >或81a -<C ．54a >D ．01a 【解析】解：函数32()31f x x x =-+，21,0()()468,0x x g x g x xx x x ⎧+>⎪==⎨⎪---⎩ ，2()36f x x x ∴'=-，令()0f x '=得：0x =，或2x =，故当0x =时，函数()f x 取极大值1，当2x =时，函数取极小值3-；则()f x 与y m =的交点情况为：当3m <-，或1m >时，有一个交点；当3m =-，或1m =时，有两个交点；当31m -<<时，有三个交点；()g x 与y a =的交点情况为：当01a <<时有两个交点，一个在区间(4,3)--上，一个在区间(3,2)--上；当1a =时有两个交点，一个为3-，一个为12；当1a >时有两个交点，一个在区间1(0,)2上，一个在区间1(2-，1)上．若方程[()]0g f x a -=有6个解，()0g m a -=有两个根，均在(3,1)-上，故5(1,4a ∈，故选：A ．题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题例7．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．（1）当1a =，3b =时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 的中点C 在函数22()541ag x x a a =-+-+的图象上，求b 的最小值．【解析】解：（1）2()42f x x x =++，由242x x x ++=，解得2x =-或1x =-，所以所求的不动点为1-或2-．（2）令2(1)1ax b x b x +++-=，则210ax bx b ++-=①，由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△24(1)0b a b =-->，即2440b ab a -+>恒成立，则△216160a a =-<，故01a <<．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，12()x x ≠，22()541ag x x a a =-+-+，又AB 的中点在该直线上，所以12121222()225412x x x x x x ag a a +++=-+=-+，∴1222541ax x a a +=-+，而1x ，2x 应是方程①的两个根，所以12b x x a +=-，即22541b aa a a -=-+，∴2222222111541()4()5(2)1a b a a a a a =-=-=--+-+-+，∴当1(0,1)2a =∈时，2min b =-．例8．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点．已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．()I 当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）当1a =，2b =-时，2()3f x x x =--，因为0x 为()f x 的不动点，所以20003x x x --=，即20230x x --=解得01x =-，03x =，所以1-和3是2()3f x x x =--的不动点．（Ⅱ）因为()f x 恒有两个相异的不动点，即方程()f x x =恒有两个不同的解，即2()10f x ax bx b =++-=有两个不相等的实数根，所以24(1)0b a b -->恒成立，即对任意b R ∈，2440b ab a -+>恒成立，所以2(4)440a a --⨯<，所以20a a -<，所以01a <<，所以a 的取值范围为(0,1)．例9．设函数()0f x x =>，a R ∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是．【解析】解：存在[0b ∈，1]，使(f f （b ）)b =成立∴存在[0b ∈，1]，使f （b ）1f -=（b ）即函数()f x 与其反函数1()f x -在[0，1]上有交点()f x =[0，1]上为增函数∴函数()f x 与其反函数1()f x -在[0，1]的交点在直线y x =上，即函数()f x 与其反函数1()f x -的交点就是()f x 与y x =的交点令：22x e x a x +-=，则方程在[0，1]上一定有解x a e ∴=，1a e ∴ ．故答案为：1a e ．变式6．设函数2()f x x x c =++．若对任意x R ∈，均有(())f f x x >，则实数c 的取值范围是．【解析】解：函数2()f x x x c =++．若对任意x R ∈，均有(())f f x x >，即为2()f x x c x ++>，即222()2x x c x x c x +++++>，可得222()20x x c x c ++++>恒成立，由222()0x x c x +++ ，即有0c >，故答案为：0c >．变式7．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”，若(())f f x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”，记{|()}A x f x x ==，{|(())}B x f f x x ==，则下列说法错误的是()A ．对于函数()f x x =，有AB =成立B ．若()f x 是二次函数，且A 是空集，则B 为空集C ．对于函数1()()2x f x =，有A B =成立D ．对于函数()bf x x=，存在(0,)b ∈+∞，使得A B =成立【解析】解：对于A ：函数()f x x =，{|}A x x x R B ====，故A 正确；对于B ：若()f x 为二次函数，A 是空集，则对任意实数x ，方程()f x x =无解，这样(())f f x x =也无解，所以B 也为空集，故B 正确；对于C ：函数1()(2x f x =为单调减函数，任取0x A ∈，则001(2x x =，而00001(())(())()2x f f x f f x x ===，即A B ⊆，反之，任取0y B ∈，则001(())2y f y =，若001()2y y >，则001(())2y y <，出现矛盾，若001()2y y <，则001(())2y y >，出现矛盾，所以001()2y y =，则B A ⊆，综上所述，A B =，故C 正确；对于D ：对于函数()b f x x=，由()bf x x x==，得2x b =，当0b >时，x =所以{A =，又(())()b bf f x f x b xx===，所以{|0}B x x =≠，所以A B ≠，故D 错误；故选：D ．变式8．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”：若00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”，如果函数2()1()f x ax a R =+∈的稳定点恰是它的不动点，那么a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．3(,)4-+∞C ．31[,]44-D ．1(1,]4-【解析】解：0x 为函数()f x 的“不动点”，则方程()f x x =，即210ax x +-=有实根，故△140a =- ，14a ∴，如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根0x 为方程(())f f x x =，即21ax x +=的实根，方程(())f f x x =可化为：22(1)1a ax x ++=，即2222(1)1a ax ax ax x +-++=，利用平方差公式分解因式得，222(1)(1)()0a ax x ax x x a x ∴+++-++-=，22()(1)0a x a x x x a ∴+-+++=，函数2()1()f x ax a R =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，∴方程210x x a +++=无实数根，14(1)0a ∴-+<，∴34a >-，综上，1344a >- ，故选：C ．变式9．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”；若00(())f f x x =，则称0x 为函数()f x 的“稳定点”．如果函数2()()f x x a a R =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a 的取值范围是()A ．(-∞，1]4B ．3(4-，)+∞C ．3(4-，1]4D ．3[4-，14【解析】解：0x 为函数()f x 的“不动点”，则方程()f x x =，即20x a x +-=有实根，故△140a =- ，∴14a，如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根0x 为方程(())f f x x =，即2x a x +=的实根，方程(())f f x x =可化为：22()x a a x ++=，即2222()x a x x a x +-++=，利用平方差公式分解因式得，222()()()0x a x x a x x a x ∴+++-++-=，22()(1)0x a x x x a ∴+-+++=，函数2()()f x x a a R =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，∴方程210x x a +++=无实数根，14(1)0a ∴-+<，∴34a >-，当34a =-时，221104x x a x x +++=++=解得12x =-，此时22304x a x x x +-=--=的解为112x =-，232x =，两方程具有相同的实根，能同时满足20x a x +-=有实根且22()(1)0x a x x x a +-+++=有实根，因此34a =-满足题意．综上，3144a - ，故选：D ．变式10．设函数())f x a R =∈．若存在[0b ∈，1]，使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是()A ．[0，14B ．[1，2]C ．[0，1]D ．1[4，1]【解析】解：由(f f （b ）)b =，可得f （b ）1f -=（b ），其中1()f x -是函数()f x 的反函数因此命题“存在[0b ∈，1]使(f f （b ）)b =成立”，转化为“存在[0b ∈，1]，使f （b ）1f -=（b ）”，即()y f x =的图象与函数1()y f x -=的图象有交点，且交点的横坐标[0b ∈，1]，()y f x =的图象与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，()y f x ∴=的图象与函数1()y f x -=的图象的交点必定在直线y x =上，由此可得，()y f x =的图象与直线y x =有交点，且交点横坐标[0b ∈，1]，x =，化简整理得2x a x -=．[0x ∈，1]，即2a x x =-，[0x ∈，1]，∴根据二次函数的性质得出：104a即实数a 的取值范围为[0，1]4．故选：A ．变式11．设函数()f x a R =∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使[f f （b ）]b =成立，则a 的取值范围()A ．[1，]e B ．[0，]e C ．[2，]e D ．[1，1]e +【解析】解：因为存在[0b ∈，1]，使[f f （b ）]b =成立，所以存在[0b ∈，1]，使f （b ）1f -=（b ），即函数()f x 与其反函数在[0，1]上有交点，因为函数()f x =[0，1]上为单调递增函数，所以函数()f x 与其反函数在[0，1]的交点在直线y x =上，即函数()f x 与其反函数的交点即为()f x 与y x =的交点，x =，即22x e x x a x ++-=在[0，1]上有解，所以x a e x =+在[0，1]上有解，因为x a e x =+在[0，1]上单调递增，所以11a e + ，则a 的取值范围为[1，1]e +．故选：D ．变式12．设函数())f x a R =∈，若存在[1b ∈，]e ，使得(f f （b ）)b =成立，则实数a 的取值范围是()A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1-，0]【解析】解：由(f f （b ）)b =，可得f （b ）1f -=（b ），其中1()f x -是函数()f x 的反函数因此命题“存在[1b ∈，]e 使(f f （b ）)b =成立”，转化为“存在[1b ∈，]e ，使f （b ）1f -=（b ）”，即()y f x =的图象与函数1()y f x -=的图象有交点，且交点的横坐标[1b ∈，]e ，()y f x =的图象与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，()y f x ∴=的图象与函数1()y f x -=的图象的交点必定在直线y x =上，由此可得，()y f x =的图象与直线y x =有交点，且交点横坐标[1b ∈，]e ，x =，化简整理得lnx a =．记()F x lnx =，()G x a =，由[1x ∈，]e ，可得()[0F x ∈，1]，即01a ．即实数a 的取值范围为[0，1]．故选：A ．变式13．设函数())f x a R =∈．若方程(())f f x x =有解，则a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．1(0,]8C ．1(,]8-∞D ．[1，)+∞【解析】解：设()f x t =，0t ，则方程(())f f x x =等价为()f t x =，即tx==，t x ∴=，即()f x x =，∴x =在0x 时有解，即2x a x -=，2a x x ∴=-+在0x 时成立，设22211()()()24g x x x x x x =-+=--=--+，x ∴当12x =时，()g x 取得最大值14，1()4g x ∴，即14a，故选：A ．题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题例10．设()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，若函数(())y f g x x =-有零点，则函数(())g f x 不可能是()A ．215x -B ．215x +C ．215x x +-D ．215x x ++【解析】解：函数(())y f g x x =-有零点，∴方程(())f g x x =有解，((()))()g f g x g x ∴=，(())g f x x ∴=有解，若21(())5g f x x =-，则可判断215x x -=有解，故成立；若21(())5g f x x =+，则可判断215x x +=有解，故成立；若21(())5g f x x x =+-，则可判断215x x x +-=有解，故成立；若21(())5g f x x x =++，则可判断215x x x ++=无解，故不成立；故选：D ．例11．()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，且方程[()]0x g f x -=有实数解，则[()]f g x 不可能是()A ．32x-B ．23x -C ．4|1|5x --+D ．4|1|5x -+【解析】解：因为[()]0x g f x -=，所以[()]g f x x =，得{[()]}()f g f x f x =，即[()]f g x x =，所以[()]g f x x =与[()]f g x x =是等价的，即[()]x g f x =有解，[()]f g x x =也有解，也就是说有解得都是有可能的，A ．当32x x -=时，1x =成立；B ．当23x x -=时，23x x =+结合图象有解；C ．当4|1|5x x --+=时，即4|1|5x x -=-，当1x 时，得910x =，舍去；当1x <时，无解，故方程无解，C 错误；D ．当4|1|5x x -+=时，得910x =有解．故选：C ．例12．函数()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，若[()]x g f x =方程有解，则函数[()]g f x 不可能是()A ．215x x +-B ．215x -C ．215x x ++D ．215x +【解析】解：[()]x g f x =方程有解，得[()]g f x x =方程有实根，直接把四个答案分别代入，发现只有C 无解；题目要我们选不可能的，所以只能选无解的那个C ．故选：C ．题型五：含参二次函数复合型零点问题例13．设定义域为R 的函数|1|251,0()44,0x x f x x x x -⎧-=⎨++<⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则(m =)A ．6m =B ．2m =C ．6m =或2D ．6m =-【解析】解：当2m =时，由2()5()40f x f x -+=得()1f x =或()4f x =，当0x 时，|1|()51x f x -=-，由|1|511x --=得51log 2x =±均符合，由|1|514x --=得0x =，2x =均符合，当0x <时，2()44f x x x =++，由2441x x ++=得1x =-，3x =-均符合，由2444x x ++=得0x =（舍)，4x =-符合，故2m =时，关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，所以排除A 和D ；当6m =时，由2()13()90f x f x -+=得()4f x =或()9f x =，当()4f x =时，已经解出0x =，2x =，4x =-均符合；当()9f x =时，由|1|0519x x -⎧⎨-=⎩ ，解得51log 10x =+，由20449x x x <⎧⎨++=⎩得5x =-，故6m =时，原方程只有5个不同实根，不符合题意，故排除C ．故选：B ．例14．设定义域为R 的函数|1|251,0()44,0x x f x x x x -⎧-=⎨++<⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则(m =)A ．6B ．4或6C ．6或2D ．2【解析】解：题中原方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数根，结合函数()f x 的图象可得，令()t f x =，则关于t 的方程22(21)0t m t m -++=有一根为4t =，另一个根大于4或等于0．把4t =代入方程22(21)0t m t m -++=求得2m =或6m =．当2m =时，关于t 的方程22(21)0t m t m -++=有一根为4t =，另一个根等于1，不满足条件．当6m =时，关于t 的方程22(21)0t m t m -++=有一根为4t =，另一个根等于9，满足条件．故选：A．例15．设定义域为R 的函数1(1)|1|()1(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解，则b c +值为()A ．0B ．1C ．1-D ．不能确定【解析】解：作函数1(1)|1|()1(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩的图象，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解，∴方程20x bx c ++=有2个不同的实数解1，1x ，11x b ∴+=-，11x c =，故1111b c x x +=--+=-，故选：C．变式14．设定义域为R 的函数|1|21,(1)(),(1)x x f x a x --⎧+≠=⎨=⎩，若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．3(0,)2C ．(1,2)D ．33(1,)(,2)22【解析】解：作出()f x 的图象如图：设()t f x =，则方程等价为22(23)30t a t a -++=，由图象可知，若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，∴即要求对应于()f x 等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出()f x 的简图：由图可知，只有当()f x a =时，它有三个根．所以有：12a <<①．再根据22()(23)()30f x a f x a -++=有两个不等实根，则判别式△2(23)4230a a =+-⨯⨯>，解得32a ≠，故312a <<或322x <<，故选：D．变式15．设定义域为R 的函数|1|(1)()1()1(1)2x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．11(0,)(,1)22C ．(1,2)D ．33(1,)(,2)22【解析】解：题中原方程22()(23)()30f x a f x a -++=有且只有5个不同实数解，∴即要求对应于()f x 等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出()f x 的简图：由图可知，只有当()f x a =时，它有三个根．所以有：12a <<①．再根据22()(23)()30f x a f x a -++=有两个不等实根，得：△23(23)42302a a a =+-⨯⨯>⇒≠②结合①②得：312a <<或322a <<．故选：D ．变式16．设定义域为R 的函数2,1()|(1)|,1x x f x lg x x ⎧=⎨->⎩ ，若关于x 的方程2()()0f x bf x +=有4个不同的实根，则实数b 的取值范围为()A ．(2,)+∞B ．(0，2]C ．[2-，0)D ．(,2)-∞-【解析】解：作函数2,1()|(1)|,1x x f x lg x x ⎧=⎨->⎩的图象如下，，2()()0f x bf x +=，()0f x ∴=或()f x b =-，结合图象可知，方程()0f x =有且仅有一个根2x =，故方程()f x b =-有3个不同的根，故02b <- ，故20b -< ，故选：C ．变式17．（多选题）函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称，据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p 关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集不可能是()A ．{1，2}B ．{1，3，6，9}C ．{1，2，3，4}D ．{1，4，16，64}【解析】解：2()f x ax bx c =++的对称轴为直线2b x a=-，设方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解为1()f x ，2()f x ，则必有211()f x y ax bx c ==++，222()f x y ax bx c ==++，那么从图象上看，1y y =，2y y =是一条平行于x 轴的直线，它们与()f x 有交点，由对称性，则方程21y ax bx c =++的两个解1x ，2x 要关于直线2b x a =-对称，即12b x x a+=-，同理方程22y ax bx c =++的两个解3x ，4x 也要关于直线2b x a =-对称，即34b x x a+=-，在A 中，可以找到对称轴为直线32x =，在C 中，可以找到对称轴为直线 2.5x =，在B 中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案B 不可能，在D 中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案D 不可能，故选：BD ．变式18．设定义域为R 的函数2|1|,0()(1),0x x f x x x +⎧=⎨->⎩，找出一组b 和c 的值，使得关于x 的方程2()()0f x b f x c +⋅+=有7个不同的实根．【解析】解：()f x 的图象如图所示：32b =-，12c =满足条件，理由如下：设()f x t =，20t bt c ++=，由图象可得以上有关于t 的方程必须有一解为1，另一解a 在区间(0,1)中，才会使得关于x 的方程2()()0f x b f x c +⋅+=有7个解．其中，()1f x =有3个解，()(0f x a =∈，1)有四个解．所以可令11t =，212t =，即可得方程231022x x -+=，则32b =-，12c =．故答案为：32b =-，12c =．变式19．设定义域为R 的函数|1|2,(0)(),(0)x a x f x x bx c x -⎧=⎨++<⎩，f （2）4=，(3)(1)1f f -=-=．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，求实数m 的值．【解析】解：（1）由题意，f （2）4a ==；(3)931f b c -=-+=，(1)11f b c -=-+=；则4a =，4b =，4c =；故|1|24,0()44,0x x f x x x x -⎧=⎨++<⎩ ；（2）作|1|24,0()44,0x x f x x x x -⎧=⎨++<⎩的图象如下，则若使关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则22(21)0t m t m -++=有两个不同的实数解，且有一个解为1或4；若1是22(21)0t m t m -++=得解，则21(21)0m m -++=；故0m =或2m =；若0m =，则22(21)0t m t m -++=的两个解为1，0；不成立；若2m =，则22(21)0t m t m -++=的两个解为1，4；由图知不成立；若4是22(21)0t m t m -++=得解，则2164(21)0m m -++=；故6m =或2m =；若6m =，则22(21)0t m t m -++=的两个解为4，9；不成立；故不存在．题型六：零点求和问题例16．设定义域为R 的函数1,11()1,11,11x x f x x x x⎧>⎪-⎪==⎨⎪⎪<-⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的解1x ，2x ，3x ，则222123x x x ++的值是()A ．1B ．3C ．5D ．10【解析】解：令()f x t =，做出()f x 的函数图象如下：由图象可知当1t =时，()f x t =有三解，当01t <<或1t >时，()f x t =有两解，当0t 时，方程()f x t =无解．关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的解1x ，2x ，3x ，()1f x ∴=，当1x <时，令111x=-解得0x =，当1x >时，令111x =-解得2x =，当1x =时，显然1x =是()1f x =的解．不妨设123x x x <<，则10x =，21x =，32x =，∴2221235x x x ++=．故选：C ．例17．设定义域为R 的函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，则222123x x x ++等于()A ．5B ．4C ．1D ．0【解析】解：分段函数的图象如图所示：由图可知，只有当()1f x =时，它有三个根．由11|1|x =-，即|1|1x -=，解得0x =，2x =或1x =．∴关于x 的方程2()()0f x af x b ++=有且只有3个不同实数解，解分别是2，1，0，即12x =，21x =，30x =，2221234105x x x ∴++=++=，故选：A ．例18．设定义域为R 的函数|2|,2()4,2lg x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解(1i x i =，2，3，4，5)，则12345(2)(f x x x x x +++++=)A ．12B ．14C ．2D ．1【解析】解：画出()f x 的图象，由于关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解，令()f x t =，则20t bt c ++=有两个不等的实数根，且其中一个为2，画出直线(2)y m m =≠，得到5个交点，其横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，设32x =，且12345x x x x x <<<<，由于|2|y lg x =-的图象关于直线2x =对称，则15244x x x x +=+=，即有1234510x x x x x ++++=，则12345(2)(12)101f x x x x x f lg +++++===，故选：D ．变式20．（多选题）设定义域为R 的函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且123x x x <<．下列说法正确的是()A ．2221235x x x ++=B ．10a b ++=C ．1322x x x +>D ．132x x +=-【解析】解：因为函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，作出函数图象如图所示，关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解，由图象可知，只有当()1f x =时，方程有三个根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，故12x =-，21x =-，30x =，所以2221235x x x ++=，故选项A 正确；当()1f x =时，由2[()]()0f x af x b ++=，可得10a b ++=，故选项B 正确；因为1322022x x x +=-+=-=，故选项C 错误；因为13202x x +=-+=-，故选项D 正确；故选：ABD ．变式21．设定义域为R 的函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则12345x x x x x ++++=．【解析】解：作出函数1,1|1|()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩的图象，如图所示，令()f x t =，由图象可知，当1t =时，方程()f x t =有3个根，当01t <<或1t >时，方程()f x t =有2个根，则方程2()()0f x bf x c ++=，等价于20t bt c ++=，因为方程2()()0f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，所以等价于方程20t bt c ++=有两个实数解11t =，或201t <<，或21t >，可得这5个根也关于直线1x =对称，所以123455x x x x x ++++=．故答案为：5．题型七：其他型例19．已知()f x 是定义域为(0,)+∞的单调函数，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有13[()log ]4f f x x +=，且方程|()3|f x a -=在区间(0，3]上有两解，则实数a 的取值范围是()A ．01a <B ．1a <C ．01a <<D ．1a 【解析】解：()f x 是定义域为(0,)+∞的单调函数，对任意的(0,)x ∈+∞，都有13[()log ]4f f x x +=，∴必存在唯一的正实数a ，满足13()log f x x a +=，f （a ）4=①，f ∴（a ）13log a a +=②，由①②得：134log a a +=，即13log 4a a =-，41(3a a -∴=，解得3a =．故13()log 3f x x a +==，13()3log f x x ∴=-，由方程|()3|f x a -=在区间(0，3]上有两解，即有13|log |x a =在区间(0，3]上有两解，作出13|log |y x =的图象，如图所示：，结合题意，01a < ，故选：A ．例20．已知定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，若对任意(0,)x ∈+∞，都有12[()log ]3f f x x +=”，则方程()2f x =+()A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】解：定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，满足12[()log ]3f f x x +=，()2f x =+，∴必存在唯一的正实数a ，满足12()log f x x a +=，f （a ）3=，①∴12()log f a a a +=，②由①②得：123log a a +=，12log 3a a =-，31()2a a -=，左增，右减，有唯一解2a =，故12()log 2f x x a +==，12()2log f x x =-，由122log 2x -=+，得2log x =∴x =，令0t =>，则22t t =，此方程只有两个正根2t =，或4t =，4x ∴=，或16x =．故方程()2f x =+2．故选：B ．例21．已知定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有12[()log ]3f f x x +=，则方程3()2f x x =-的解的个数是．【解析】解：定义域为(,)O +∞的单调函数()f x ，满足12[()log ]3f f x x +=，3()2f x x =-，∴必存在唯一的正实数a ，满足12()log f x x a +=，f （a ）3=，①f ∴（a ）12log a a +=，②由①②得：123log a a +=，12log 3a a =-，31()2a a -=，左增，右减，有唯一解2a =，故12()log 2f x x a +==，12()2f x log x =-，由31222log x x -=-，得312log x x =，∴由函数图象可知3()2f x x =-的解只有一个．故答案为1．。
嵌套函数问题
嵌套函数问题嵌套函数，就是指在某些情况下，您可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.一般地，对于定义在区间D 上的函数()y f x =（1）若存在0x D ∈,使得00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在0x D ∈,使00(())f f x x =,则称0x 是函数()y f x =的二阶不动点,简称稳定点.类型一 嵌套函数中不动点稳定点问题 典例1 (){}|A x f x x ==，()(){}|B x f f x x ==.（1）求证：A B ⊆；（2）若()()21,f x ax a R x R =-∈∈，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围； （3）若()f x 是R 上的单调递增函数，0x 是函数的稳定点，问0x 是函数的不动点吗？ 若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.【解析】（1）若A =∅，则A B ⊆显然成立；若A ≠∅，设t A ∈，()()()(),f t t f f t f t t ===，t B ∴∈，故A B ⊆.（2）2,1A ax x ≠∅∴-=有实根，14a ∴≥-.又A B ⊆，所以()2211a ax x --=， 即3422210a x a x x a --+-=的左边有因式21ax x --，从而有()()222110ax x a x ax a --+-+=A B =，2210a x ax a ∴+-+=要么没有实根，要么实根是方程210ax x --=的根.若2210a x ax a +-+=没有实根，则34a <； 若2210a x ax a +-+=有实根且实根是方程210ax x --=的根，则由方210ax x --=， 得22a x ax a =+，代入2210a x ax a +-+=，有210ax +=.由此解得12x a=-， 再代入得111042a a +-=，由此34a =，故a 的取值范围是13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （3）由题意：x 0是函数的稳定点, 则00))((x x f f =，① 若00)(x x f >，)(x f 是R 上的单调增函数，则)())((00x f x f f >，所以)(00x f x >，矛盾 ② 若)(00x f x >，)(x f 是R 上的单调增函数，则))(()(00x f f x f >，所以00)(x x f >，矛盾 故00)(x x f =，所以x 0是函数的不动点.类型二 嵌套函数中零点个数问题典例2若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x a f x b ++=的不同实根的个数是_____.【解析】函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，说明方程2'()320f x x ax b =++=的两根为1x ，2x ， ∴方程()()()2320f x af x b ++=的解为1()f x x =或2()f x x =，若12x x <，即1x 是极大值点，2x 是极小值点，由于()11f x x =，∴1x 是极大值，1()f x x =有两解，12x x <，21()()f x x f x =>只有一解，∴此时只有3解，若12x x >，即1x 是极小值点，2x 是极大值点，由于()11f x x =，∴1x 是极小值，1()f x x =有2解，12x x >，21()()f x x f x =<只有一解，∴此时只有3解.类型三 嵌套函数中参数问题典例3 已知函数()()221,0,0x ax a x f x ln x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩ ()212g x x a =+-.若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是________. 【解析】令()()0,f t t g x ==当10a -<时()f t 有两个零点121,1t t =->，需1211a a --∴当1=0a -时()f x 有三个零点， 1231,0,=2t t t =-=， 121a -=- 所以()()y f g x =有5个零点，舍； 当10a ->时，由于121a ->-所以24440a a ∆=+-> ，且2112a a a a +->- 5-11a << 综上实数a 的取值范围是()511,⎫-⋃+∞⎪⎪⎝⎭【小结】求解复合方程问题时，往往把方程[()]0f g x =分解为()0f t =和()g x t =处理，先从方程()0f t =中求t ，再带入方程()g x t =中求x 的值．巩固1. 设函数a x e x f x -+=)(（a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线x y sin =上存在点),(00y x ，使00))((y y f f =成立，则a 的取值范围是__________ 【解析】由题意可得 y 0=si nx 0∈[-1，1]，f （y 0）=e y 0+y 0-a ，∵曲线y =si nx 上存在点（x 0，y 0）使得f （f （y 0））=y 0，∴存在y 0∈[0，1]，使f （y 0）=y 0成立， 即f （x ）=x 在[0，1]上有解，即 e x +x -x 2=a 在[0，1]上有解． 令g （x ）=e x +x -x 2，则a 为g （x ）在[0，1]上的值域．∵当x ∈[0，1]时，g ′（x ）=e x +1-2x ＞0，故函数g （x ）在[0，1]上是增函数， 故g （0）≤g （x ）≤g （1），即1≤a ≤e ， 故答案为：[1，e ]巩固2．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是_____.【解析】作出5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象如下，又∵函数()y f x =是定义域为R 的偶函数， 且关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，,a b R ∈有且仅有6个不同实数根，∴20x ax b ++=的两根分别为154x =，2514x <<或101x <≤，2514x <<， 由韦达定理可得a x x -=+21，若451,4521<<=x x ，则2549<-<a ，即4925-<<-a ，若101x <≤，2514x <<，则491<-<a ，即149-<<-a ，从而可知4925-<<-a 或149-<<-a巩固3．已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．【解析】(1) f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，得a ＝0，b ＝－3 (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0，故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2. (3)令f (x )＝t ，则h (x )＝f (t )－c .先讨论关于x 的方程f (x )＝d 根的情况，d ∈[－2,2]．当|d |＝2时，由(2)可知，f (x )＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f (x )是奇函数，所以f (x )＝2的两个不同的根为－1和2.当|d |＜2时，因为f (－1)－d ＝f (2)－d ＝2－d ＞0，f (1)－d ＝f (－2)－d ＝－2－d ＜0， 所以－2，－1,1,2都不是f (x )＝d 的根．由(1)知f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)． ①当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，于是f (x )是单调增函数，从而f (x )＞f (2)＝2， 此时f (x )＝d 无实根．同理，f (x )＝d 在(－∞，－2)上无实根．②当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0，于是f (x )是单调增函数，又f (1)－d ＜0，f (2)－d ＞0，y ＝f (x )－d 的图象不间断，所以f (x )＝d 在(1,2)内有唯一实根．同理，f (x )＝d 在(－2，－1)内有唯一实根．③当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )是单调减函数，又f (－1)－d ＞0，f (1)－d ＜0，y ＝f (x )－d 的图象不间断，所以f (x )＝d 在(－1,1)内有唯一实根．由上可知：当|d |＝2时，f (x )＝d 有两个不同的根x 1，x 2满足|x 1|＝1，|x 2|＝2； 当|d |＜2时，f (x )＝d 有三个不同的根x 3，x 4，x 5满足|x i |＜2，i ＝3,4,5. 现考虑函数y ＝h (x )的零点．当|c |＝2时，f (t )＝c 有两个根t 1，t 2满足|t 1|＝1，|t 2|＝2，而f (x )＝t 1有三个不同的根，f (x )＝t 2有两个不同的根，故y ＝h (x )有5个零点．当|c |＜2时，f (t )＝c 有三个不同的根t 3，t 4，t 5满足|t i |＜2，i ＝3,4,5，而f (x )＝t i (i ＝3,4,5)有三个不同的根，故y ＝h (x )有9个零点．综上可知，当|c |＝2时，函数y ＝h (x )有5个零点；当|c |＜2时，函数y ＝h (x )有9个零点．巩固4.已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论.2()(1)0f x x ax b x c -=+-+=无实数根，2(1)40b ac ∆=--<.(())0f f x x -=即为222()()0a ax bx c b ax bx c c x ++++++-=， 22222()()0a ax bx c ax ax b ax bx c c x ++-+++++-=，2222()()(1)(1)(1)0a ax bx c x ax bx c x b ax b x c b +++++-+++-++=，222(1)(1)(1)(1)0a ax b x c ax b x c b ax b x c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++-++++-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 222(1)(1)10ax b x c a x a b x b ac ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦.于是有2(1)0ax b x c +-+=或22(1)10a x a b x b ac +++++=.21(1)40b ac ∆=--<；2222222(1)4(1)(1)4440a b a ac b a b ac a ⎡⎤∆=+-++=---<-<⎣⎦.故均不存在实数根.巩固5.设x b ax x x f cos )(2++=，{}{}∅≠==∈=0)]([,0)(x f f x R x x f x ，则满足条件的所有实数b a ,的取值分别为___________.【解析】由0)0(=f 易得0=b .a x x x f -==⇒=21,00)(（i ） 当0=a 时，显然成立（ii ） （ii ）当0≠a 时，记{}0)]([==x f f x B ，令t x f =)(，则0)(=t f ，可知a t t -==21,0 即0)(=x f 和a x f -=)(的解只能为a -,0，故a x f -=)(必须无解，解得40<<a 综上：40,0<≤=a b巩固6.设R x ∈，若函数)(x f 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有1])([+=-e e x f f x（e 是自然对数的底数），则)2(ln f 的值等于_______.【解析】由()1x f f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦，采用换元()xt f x e =+，即有： ()1f t e =+……(1) ()x f x e t =+……(2)；可知：()1f e t =+……(3)；又已知函数()f x 为增函数，可知1t =，代入(2)式有()1x f x e =+；因此()ln2ln 213f e =+=；巩固7.)(x f 是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x ˃ 0，都有[()ln ]1e f f x x -=+，则(1)f = ______．【解析】()ln f x x -必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为1e +，与单调函数矛盾． 所以可设()ln f x x c -=．则()ln f x x c =+． 将c 代入，得()1e f c =+，即ln c c +1e =+． ∵ln y x x =+是单调增函数， 当c = e 时，ln c c +1e =+成立， ∴()ln e f x x =+．则(1)e f =．巩固8. 已知定义在()∞+，0上的函数)(x f 为单调函数，且1)1)(()(=+xx f f x f ，则_______)1(=f . 【解析】设b f =)1(，可求得答案为251±.巩固9.设定义域为R 的函数|1|25 1 0()4 4 0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =_____.【解析】∵题中原方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数根 ∴即要求对应于()f x 等于某个常数有3个不同实数解和4个不同的实数解 ∴故先根据题意作出()x f 的简图：由图可知，只有当()4f x =时，它有三个根故关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有一个实数根4 ∴()2244-4210m m ⋅++=，∴2m =或6=m ，6=m 时方程22()(21)()0f x m f x m -++=()()()4036132=⇔=+-⇔x f x f x f或()9=x f ,有5个不同的实数根∴2=m。
嵌套函数的经典例题
嵌套函数的经典例题
嵌套函数是指在一个函数内部定义另一个函数的情况。
这种情况下，内部函数可以访问外部函数的变量，这种特性使得嵌套函数成为编程中一个非常有用的工具。
经典的例题之一是关于嵌套函数的作用域和闭包的概念。
假设我们有一个外部函数outer，内部函数inner，我们希望inner函数能够访问outer函数的参数和局部变量。
一个经典的例题是计算器程序，我们可以使用嵌套函数来实现。
外部函数可以用来初始化计算器的状态，内部函数可以实现加法、减法等操作。
这样可以避免全局变量的使用，提高程序的封装性和可维护性。
另一个经典的例题是使用嵌套函数来实现递归算法。
递归算法通常需要一个辅助函数来实现递归调用，这时候就可以使用嵌套函数。
例如，我们可以实现一个计算阶乘的函数，外部函数用来检查输入的合法性，内部函数用来实现递归计算。
此外，嵌套函数还可以用来实现一些特定的编程模式，比如装饰器。
装饰器是Python中的一种高级函数用法，它可以用来在不修改原函数代码的情况下，为函数添加额外的功能。
通过嵌套函数，
我们可以轻松地实现装饰器模式，这在Python中是非常常见的用法。
总之，嵌套函数在编程中有着广泛的应用，可以帮助我们更好
地组织代码、提高程序的可读性和可维护性。
通过经典的例题，我
们可以更好地理解嵌套函数的作用和优势，为我们的编程工作带来
更多的灵活性和便利性。
专题01 嵌套函数问题-冲刺2121年高考数学压轴题微切口突破(原卷版)
专题01嵌套函数问题嵌套函数，就是指在某些情况下，您可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.一般地，对于定义在区间D 上的函数()y f x =（1）若存在0x D ∈,使得00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在0x D ∈,使00(())f f x x =,则称0x 是函数()y f x =的二阶不动点,简称稳定点.类型一嵌套函数中不动点稳定点问题典例1(){}|A x f x x ==，()(){}|B x ff x x ==.（1）求证：A B ⊆；（2）若()()21,f x ax a R x R =-∈∈，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 是R 上的单调递增函数，0x 是函数的稳定点，问0x 是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.类型二嵌套函数中零点个数问题典例2若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是_____.类型三嵌套函数中参数问题典例3已知函数()()221,0,{ ,0,x ax a x f x ln x x --+≥=-<()212g x x a =+-.若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a的取值范围是________.1.设函数a x e x f x -+=)(（a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线x y sin =上存在点),(00y x ，使00))((y y f f =成立，则a 的取值范围是__________2．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数.当0x ≥时，5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是_____.3．已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．4.已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论.5.设x b ax x x f cos )(2++=，{}{}∅≠==∈=0)]([,0)(x f f x R x x f x ，则满足条件的所有实数b a ,的取值分别为___________.6.设R x ∈，若函数)(x f 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有1])([+=-e e x f f x （e 是自然对数的底数），则)2(ln f 的值等于_______.7.已知函数是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x ˃0，都有，则=________．8.已知定义在()∞+，0上的函数)(x f 为单调函数，且1)1)(()(=+xx f f x f ，则_______)1(=f .9.已知{}{}n n f ,3,2,13,2,1:→，（N n n ∈≥,3）满足)())((x f x f f =，求这样的函数个数有多少个？10.设定义域为R 的函数|1|25 1 0()4 4 0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m=_____.。
嵌套函数的导数问题
嵌套函数的导数问题
介绍
嵌套函数是一种在一个函数内部定义另一个函数的方式。
在数学中，我们常常需要求解嵌套函数的导数。
本文将探讨嵌套函数导数的一般性质和求解方法。
嵌套函数导数的一般性质
嵌套函数导数的一般性质如下：
1. 外部函数对嵌套函数的导数可以视为常数。
2. 内部函数对自变量的导数需要考虑链式法则。
求解方法
对于一般的嵌套函数，求解方法如下所示：
1. 对外部函数求导：对外部函数的自变量求导，结果为常数。
2. 对内部函数求导：对内部函数的自变量求导，按照链式法则进行计算。
3. 将外部函数和内部函数的导数结果相乘。
下面是一个示例，说明如何求解具体的嵌套函数导数：
示例
设函数f(x) = g(h(x))，其中g(u)和h(x)分别为嵌套函数。
我们要求解函数f(x)对自变量x的导数。
首先，对外部函数g(u)求导，得到g'(u)。
然后，对内部函数h(x)求导，得到h'(x)。
最后，将g'(u)和h'(x)相乘，得到f(x)对自变量x的导数。
总结
嵌套函数的导数求解涉及到外部函数和内部函数的连续求导过程。
通过应用链式法则，可以将嵌套函数的导数问题转化为简单的求导计算。