直角坐标与极坐标的互化
极坐标和直角坐标的互化公式
极坐标和直角坐标的互化公式
极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
直角坐标是另一种描述平面上点位置的坐标系，它由x轴和y轴两个参数组成。
在实际应用中，我们经常需要将极坐标和直角坐标进行互化，以便更好地理解和计算。
极坐标和直角坐标的互化公式如下：
直角坐标系中的点(x,y)可以表示为极坐标系中的点(r,θ)，其中：
r = √(x² + y²)
θ = arctan(y/x)
反之，极坐标系中的点(r,θ)可以表示为直角坐标系中的点(x,y)，其中：
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
这些公式可以帮助我们在不同的坐标系之间进行转换。
例如，如果我们知道一个点在极坐标系中的位置，但需要将其转换为直角坐标系中的位置，我们可以使用上述公式计算出x和y的值。
同样地，如果我们知道一个点在直角坐标系中的位置，但需要将其转换为极
坐标系中的位置，我们也可以使用上述公式计算出r和θ的值。
极坐标和直角坐标的互化公式在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们经常需要计算旋转物体的位置和速度。
这些计算通常使用极坐标系，因为它更适合描述旋转运动。
然而，在计算机辅助设计和制造中，我们通常使用直角坐标系，因为它更适合描述平面上的几何形状。
极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
通过使用极坐标和直角坐标的互化公式，我们可以在不同的坐标系之间进行转换，以便更好地理解和计算。
二重积分极坐标与直角坐标的互化
二重积分极坐标与直角坐标的互化
极坐标与直角坐标的互化是指将一个二重积分由一种坐标系转换为另一种坐标系来进行计算。
下面是极坐标与直角坐标的互化公式：
极坐标到直角坐标的转换：
x = r * cosθ
y = r * sinθ
直角坐标到极坐标的转换：
r = sqrt(x^2 + y^2)
θ = arctan(y/x)
其中，r 表示极径，θ 表示极角，(x, y) 表示直角坐标系中的点。
在进行二重积分时，通过使用这些转换公式，可以将被积函数在一个坐标系下的积分转化为另一个坐标系下的积分。
通过这种转换，可以简化计算，尤其是当被积函数在另一种坐标系下的表达形式更简单或对称性更强时。
极坐标与直角坐标的互化
§2. 2 点的极坐标与直角坐标的互化
一、知识回顾、引入新课
（一）知识回顾
1.什么是极坐标系（如图所示）及其四要素
①极点； ②极轴；
●
01
x
③长度单位； 极坐标系
④角度单位（弧度）及它的正方向（逆时针方向）。
2.点的极坐标表示方法及点与其极坐标除极点外一一对应
的限制条件 M (, ) 限制条件 0,0 2
x
分别将直角坐标（ 3，3），（ 2， 2
3），（ 7 ,0）
代入公式得各点的极坐标分别为 (2
3,
),
(4,
4
2
), (
7
,0).
6 32
因为直角坐标（0， 5 ）在y轴负半轴上，所以可取 3
3Hale Waihona Puke 2注意：当直角坐标落在y轴上时，极角 的取值。
例3 在极坐标系中，已知两 点A（5，2 ），B（2，7 ），
3.极坐标与直角坐标的区别 主要区别:在于平面内一点的直角坐标是唯一的，
而极坐标有无数种。
(二)引入新课
平面内一点既可以用直角坐标表示，也可以用
极坐标表示，那么这两种坐标之间有什么关系呢？
二、新课讲授
1. 极坐标与直角坐标的互化
M (, )
如图1，设点 M 是平面内任意一点，
它的直角坐标是(x, y)，若把直角坐标系的
3
6
求A, B两点间的距离.
分析：在直角坐标系中，我们有两点距离公式
若已知平面内任意两点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
则 A, B间的距离为 AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
解：由极坐标化成直角坐标的公式
直角坐标方程和极坐标方程的互化
直角坐标方程和极坐标方程的互化1. 直角坐标系简介在数学中，直角坐标系是最常用的坐标系统之一。
它使用直角来描述二维平面上的点的位置。
直角坐标系由两个相互垂直的直线构成，这两条直线被称为坐标轴。
通常我们将水平的坐标轴称为x轴，垂直的坐标轴称为y轴。
通过将点的位置表示为(x, y)的有序对，我们可以在直角坐标系中准确地定位点的位置。
2. 直角坐标方程直角坐标方程是指使用x和y的关系式来表示一个图形或者一条曲线。
通常情况下，直角坐标方程可以用来描述线性方程、二次方程、三次方程等各种曲线。
直角坐标方程的一般形式可以写作：F(x, y) = G(x, y)其中F(x, y)和G(x, y)是关于x和y的函数。
通过将不同的函数F(x, y)和G(x, y)代入上述表达式，我们可以获得各种不同形状的曲线。
例如，当F(x, y) = x^2 +y^2，G(x, y) = 1时，我们可以获得一个圆形。
3. 极坐标系简介与直角坐标系类似，极坐标系也是一种用于描述二维平面上点的位置的坐标系统。
极坐标系使用两个参数，一个是径向距离r，另一个是极角θ。
极坐标系中，点的位置可以表示为(r, θ)的有序对。
其中，r表示点到原点的距离，θ表示点与正向x轴之间的夹角。
4. 极坐标方程极坐标方程是指使用极坐标中的参数r和θ的关系式来描述一个图形或者一条曲线。
与直角坐标方程类似，极坐标方程可以用来描述各种各样的曲线。
极坐标方程的一般形式可以写作：r = f(θ)其中，f(θ)表示关于θ的函数。
通过选择不同的函数f(θ)，我们可以得到各种形状的曲线。
例如，当f(θ) = a·cos(θ)时，我们可以获得一个以原点为中心的椭圆。
5. 直角坐标方程和极坐标方程的互化直角坐标系和极坐标系可以通过一些简单的转换关系相互转化。
通过这种互化，我们可以从不同的视角来理解和分析相同的曲线。
以下是一些常见的直角坐标方程和极坐标方程的互化关系：•从直角坐标方程到极坐标方程的转换：x = r·cos(θ)y = r·sin(θ)当我们已知一个曲线的直角坐标方程时，可以通过将x和y用r和θ表示来转换为极坐标方程。
极坐标和直角坐标的互化公式
极坐标和直角坐标的互化公式
极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系统，它们各自有自己的特点和优劣。
在不同的问题中，我们需要使用不同的坐标系统来描述和解决问题。
但是，有时候我们需要将一个点的极坐标和直角坐标相互转换。
这就需要用到极坐标和直角坐标的互化公式。
首先，我们来看如何将一个点的极坐标转换为直角坐标。
一个点在极坐标系中由极径和极角两个量来确定，分别用 r 和θ表示。
然而，我们在直角坐标系中描述一个点时需要用 x 和 y 坐标值。
为了将一个点的极坐标转换为直角坐标，我们可以使用以下公式：
x = r * cosθ
y = r * sinθ
其中，cosθ和 sinθ分别表示极角θ的余弦和正弦值。
这些值可以通过查表或使用计算器来求得。
接下来，我们来看如何将一个点的直角坐标转换为极坐标。
一个点在直角坐标系中由 x 和 y 坐标值来确定，我们需要找到它们对应的极径和极角。
为了将一个点的直角坐标转换为极坐标，我们可以使用以下公式：
r = sqrt(x^2 + y^2)
θ = atan(y/x)
其中，sqrt 表示平方根，atan 表示反正切函数。
注意，当 x=0 时，θ的值为π/2 或 -π/2，取决于 y 的正负。
此时，我们需要特别处理。
极坐标系与直角坐标的互化 课件
点的极坐标和直角坐标的互化 1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点 ，x 轴的正半轴作为 极轴 ，并在两
种坐标系中取相同的 长度单位 ，如图所示．
2．互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ， θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
故点的极坐标为2
2，34π.
(2)由 ρ＝ x2＋y2＝1，
tan θ＝xy＝－ 33，
且角 θ 的终边经过点 23，－12， 当 θ∈[0,2π)时，θ＝116π，
故点的极坐标为1，116π. (3)由 ρ＝ x2＋y2＝ 6，且角 θ 的终边经过点(0，－ 6)，当 θ∈[0,2π)时，θ＝32π，
故点的极坐标为
6，32π.
点的直角坐标化为极坐标的注意事项 化点的直角坐标为极坐标时，一般取 ρ≥0，θ∈[0,2π)，即 θ 取最小正角，由 tan θ＝xy(x≠0)求 θ 时，必须根据角 θ 的终边经过点(x，y)所在的象限来确定 θ 的值．
2．已知点的直角坐标分别为 A(3，－ 3)，B0， 35，C(－2,2 3)，求它们的极坐标， 其中极角 θ∈[0,2π)． 解析：根据 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)，
[解析] (1)∵x＝ρcos θ＝2cosπ3＝1， y＝ρsin θ＝2sinπ3＝ 3， ∴点的极坐标2，π3化为直角坐标为(1， 3)． (2)∵x＝ρcos θ＝4cos－π2＝0， y＝ρsin θ＝4sin－π2＝－4， ∴点的极坐标4，－π2化为直角坐标为(0，－4)．
(3)∵x＝ρcos θ＝5cos(－5)＝5cos 5， y＝ρsin θ＝5sin(－5)＝－5sin 5， ∴点的极坐标(5，－5)化为直角坐标为(5cos 5，－5sin 5)．
点的极坐标与直角坐标的互化
(2)∵ρ＝ 62＋－ 22＝2 2， tan θ＝xy＝－ 33，θ∈R. 由于点( 6，－ 2)在第四象限，所以 θ＝161π＋2kπ，(k ∈Z)． ∴点的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标为 (2 2，161π＋2kπ)，(k∈Z).
在极坐标系中， A(2，π4)，B(2，54π)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点 C 的极坐标与该三角形 的面积？
2．互化公式
设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
(2013·洛阳质检)把下列各点的极坐标化为直角坐标，并 判断所表示的点在第几象限．
(1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－3π)；(4)(2，－2)．
【解】 (1)由题意知 x＝2cos43π＝2×(－12)＝－1，y＝ 2sin43π＝2×(－ 23)＝－ 3.
∴点(2，43π)的直角坐标为(－1，－ 3)，是第三象限内 的点．
2．将直角坐标化为极坐标时如何确定 ρ 和 θ 的值？
【提示】 由 ρ2＝x2＋y2 求 ρ 时，ρ 不取负值；由 tan θ ＝yx(x≠0)确定 θ 时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当 x≠0 时，θ 角才能由 tan θ＝yx按上述方法确定．当 x＝0 时， tan θ 没有意义，这时又分三种情况：(1)当 x＝0，y＝0 时，θ 可取任何值；(2)当 x＝0，y＞0 时，可取 θ＝2π；(3)当 x＝0， y＜0 时，可取 θ＝32π.
点的极坐标与直角坐标的互化
解： x cos 4cos 4 4cos( )
1 4cos 4 2； 3 2 4 y sin 4sin 4sin( ) 3 3
4sin
3
3
3
4
3
2
2 3
点M的直角坐标为（-2,-2 3）.
点的极坐标与直角 坐标的互化
y
M
主讲：张艳琴
单位：石泉中学
o
N
x
微回顾
1、极坐标系的组成有： 极点、 角的正方向、 极轴、
单位长度；
M
O
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2、点M的极坐标( , )中， = OM , xOM .
微前提
如图，建立一个平面直角坐标系，
y
（1）原点作为极点；
（2）x轴的正半轴作为极轴； （3）两种坐标系中单位长度相同.
微例题
题型二：直角坐标化为极坐标
例2、将点M ( 3, 1)的直角坐标化为极坐标。
2 2 解： 2 =x2 y 2 =（- 3） （-1） 4，
2.
y 1 3 ， tan = 点M 在第三象限， 3 3 x 7 = + = . 6 6 7 点M 的极坐标是（2， ） . 6
o
x
微推导
如图，设点 M是平面内
y
M
的任意一点，它的直角
坐标是 ,极坐标 （x, y）
是 . （ ,）
x cos = sin y
o
y
x
N
x
x cos y sin
2 x2 y 2 y （x 0） tan x
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32
ysin5sin 25 3.
32
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
解: (1) xco s5co2s5,
32
ysin5sin 25 3.
32
所以, 点M的直角坐标为 ( 5 , 5 3 ). 22
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
ρ
θ
x
y
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半
轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
x cos
x
4x
即y x( y 0)
（ 2）极坐标 si方 n2程 co所 s 表示
曲线是
（ 2）极坐标 si方 n2程 co所 s 表示
曲线是
解：将极坐标方程化为 直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定 的不恒等于零，用 同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为 x2 y 2 y 2x
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
解: (1) xco s5co2s5,
32
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
2.将下列各点的直角坐标化为极坐标:
(1,1)(,0,5)(,3,1).
试一试
（1） 3的直角坐标方程是
4
试一试
（1） 3的直角坐标方程是
4
解：根据极坐标的定义
tan y tan 3 y
x
4x
即y x( y 0)
试一试
（1） 3的直角坐标方程是
4
解：根据极坐标的定义
tan y tan 3 y
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点 (1, 1 )为圆心，
24
2
半径为 5 的圆。 2
（ 2）极坐标 si方 n2程 co所 s 表示
曲是
解：将极坐标方程化为 直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定 的不恒等于零，用 同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为 x2 y 2 y 2x
tany 1 3,
x 3 3
因为点M在第三象限, 所以
7
6
.
因此, 点M的极坐标为 (2, 7 ).
6
试一试
1.将下列各点的极坐标化为直角坐标:
( 2,)(,6,)(,2,11 )(,5,).
43 6
试一试
1.将下列各点的极坐标化为直角坐标:
( 2,)(,6,)(,2,11 )(,5,).
43 6
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点 (1, 1 )为圆心，
24
2
半径为 5 的圆。 2
课堂小结
1、极坐标化为平面直角坐标 2、平面直角坐标化为极坐标
课外作业
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点 (1, 1 )为圆心，
24
2
半径为 5 的圆。 2
（ 2）极坐标 si方 n2程 co所 s 表示
曲线是
解：将极坐标方程化为 直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定 的不恒等于零，用 同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为 x2 y 2 y 2x
问题解析
解: (2) x2y2(3)2( 1 )22
问题解析
解: (2) x2y2(3)2( 1 )22
tany 1 3,
x 3 3
问题解析
解: (2) x2y2(3)2( 1 )22
tany 1 3,
x 3 3
因为点M在第三象限, 所以
7
6
.
问题解析
解: (2) x2y2(3)2( 1 )22
极坐标和直角坐标的 互化
思考
平面内的一个点既可以用直角坐标 表示，也可以用极坐标表示，那么，这 两种坐标之间有什么关系呢？
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位.
y
ρ
θ
x
y
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半
轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
ρ
θ
x
y
x
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;