武进区 高三数学期中试卷(理)
2018届第一学期期中考试
高三理科数学试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．已知{}11P x x =-<<，{}02Q x x =<<，则=Q P ▲ .
2．函数πsin 23y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
的最小正周期为 ▲ . 3．设x ∈R ，则“30x -≥”是“|1|2x -≤”的 ▲ 条件. （用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）
4．已知数列{}n a 中，112a =
，对*N n ∈成立，则2018a 的值为 ▲ . 5．已知向量(2,3)a =- ，(,2)b m = ，且a b ⊥ ，则实数m 的值为 ▲ . 6．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c
，若c =
b =120B = ，则角C 等于 ▲ .
7．等比数列{}n a 中，1231a a a ++=，公比132q =，其前n 项的和为n S ，则15S = ▲ .
8．已知锐角α的终边上一点()1cos80,sin80P +︒︒，则锐角α= ▲ ．
9．函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤，则实数a 的取值范围是 ▲ .
10
，则24sin cos cos x x x -的值为 ▲ ． 11．设函数210()40
x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足()(1)2f x f x +-≥的x 的取值范围是 ▲ . 12．已知0x >，0y >，22x y +=，则222121
x y x y --++的最大值为 ▲ . 13．已知点P 为矩形ABCD 所在平面上一点，若1PA = ，2PB = ，3PC = ，则PD = ▲ .
14．已知数列{}n a 中，12a =比为2:1，若对*N n ∈，则4a 的值为 ▲ .
2017．11
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
如图为函数()()sin (0,0,π)y f x A x A ωϕωϕ==+>><图像的一部分，其中点4π,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是图像的一个最高点，点π,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是与点P 相邻的图像与x 轴的一个交点. ⑴ 求函数()f x 的解析式；
⑵ 若将函数()f x 的图像沿x 轴向右平移π3
个单位，再把所得图像上每一点的横坐标都变为原来的14（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =的单调递增区间.
16．（本题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -，()1,1B ，()2,0C ，点P 是平面直角坐标系xOy 上一点，且OP mAB nAC =+ （m ，R n ∈），
⑴ 若1m =，且OP //BC ，试求实数n 的值；
⑵ 若点P 在ABC ∆三边围成的区域(含边界)上，求3m n +的最大值．
已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，32()f x x x =+.
⑴ 求()f x 在R 上的解析式；
⑵ 当[](),0x m n m n ∈<<时，若f (x )的值域为22321,321m m n n ⎡⎤+-+-⎣⎦，求实数m ，
n 的值．
18．（本题满分16分）
某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）. ⑴ 求θ关于x 的函数关系式；
⑵ 已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出y 的最大值.
θ
O
在数列{}n a
N n *∈． ⑴ 求证：数列{}n b 为等差数列；
⑵ 设1cos πn n n c b b n +=，N n *∈，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若当N n *∈且n 为偶数时，
2n T tn ≤恒成立，求实数t 的取值范围；
⑶ 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，试求数列{}2n n S S -的最大值.
20．（本题满分16分）
已知函数()()2ln 21a x f x ax x +=--，R a ∈．
⑴ 若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()2,11，求实数a 的值； ⑵ 若函数()f x 在区间()2,3上单调，求实数a 的取值范围；
⑶ 设()1sin 8
g x x =，若对()10,x ∀∈+∞，[]20,πx ∃∈，使得12()()2f x g x +≥成立，求整数a 的最小值．。
2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷(理)
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1. 已知，，则________.【答案】【解析】即答案为2. 函数的最小正周期为________.【答案】【解析】函数的最小正周期为3. 设R，则“”是“”的________条件. （用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）【答案】必要不充分【解析】故是必要不充分条件，故答案为：必要不充分4. 已知数列中，，对都有成立，则的值为________.【答案】【解析】根据题意，，则，则，，由此分析可得，则故答案为．【点睛】本题考查数列的递推公式，解题的关键是分析数列，发现数列变化的周期性规律．5. 已知向量，，且，则实数的值为________.【答案】3【解析】根据题意，向量若，则解可得；故答案为：3．6. 的内角、、的对边分别为、、，若，，，则角等于________. 【答案】【解析】由正弦定理，可得则．即答案为．7. 等比数列中，，公比，其前项的和为，则________.【答案】31【解析】等比数列中，，公比，，解得，故答案为31．8. 已知锐角的终边上一点，则锐角_______．【答案】或【解析】∵锐角的终边上一点，则∴锐角．故答案为．9. 函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】又由题设可知函数在区间上是单调递减函数，故不等式可化为，解之得或，应填答案。
点睛：本题将函数的单调性、奇偶性、对称性有机整合在一起，旨在考查函数的单调性、奇偶性、对称性等基础知识及综合运用。
求解时先依据对称性判定出函数在区间上是单调递减函数，然后借助函数的单调性将不等式进行等价化归，通过解不等式使得问题获解。
10. 已知，且，则的值为________．【答案】【解析】由题，且，，①两边平方可得，解得，，②∴联立①，②解得：，故答案为11. 设函数，则满足的x的取值范围是________.【答案】【解析】∵函数，则满足当时，，，解得不成立；当，即时，，解得当时，，解得综上，的取值范围是故答案为【点睛】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函分段函数性质的合理运用12. 已知，，，则的最大值为________.【答案】【解析】由题，而即，当且仅当，即时取等号则，故答案为．13. 已知点为矩形所在平面上一点，若，，，则______. 【答案】【解析】建立平面直角坐标系，如图所示；设由，，，得…①；…②；….③；②-①得，…..④；③-④得，；．故答案为14. 已知数列中，，点列在内部，且与的面积比为，若对都存在数列满足，则的值为______.【答案】80【解析】在上取点，使得，则在线段上．，三点共线，，即故答案为：80．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图为函数图像的一部分，其中点是图像的一个最高点，点是与点相邻的图像与轴的一个交点.⑴ 求函数的解析式；⑵ 若将函数的图像沿轴向右平移个单位，再把所得图像上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，求函数的单调递增区间.【答案】(1) ⑵【解析】试题分析：（1）由函数的图象求出和的值，写出的解析式；（2）根据函数图象平移法则，写出平移后的函数解析式，求出它的单调增区间．试题解析：（1）由图像可知，又，，，又点是函数图像的一个最高点，则，，，，故⑵由⑴得，，把函数的图像沿轴向右平移个单位，得到，再把所得图像上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到，由得，∴的单调增区间是.16. 在平面直角坐标系中，已知点，，，点是平面直角坐标系上一点，且（，），⑴ 若，且，试求实数的值；⑵ 若点在三边围成的区域(含边界)上，求的最大值．【答案】⑴ (2)【解析】试题分析：（1）直接利用向量的线性运算求出对应的值．（2）利用线性规划问题求出对应的结果．试题解析：⑴由题设知：，，，，又，，，得，所以，满足题意的实数.(2)设，，，，，令，由图知，当直线过点时，取得最大值，故的最大值为.17. 已知是定义在R上的奇函数，当时，.⑴ 求在R上的解析式；⑵当时，若f (x)的值域为，求实数m，n的值．【答案】(1) (2) ，......................试题解析：(1) 当时，，故当时，则，，由于是奇函数，则，又，故当时，(2)∵当时，，∴，∴在上单调递增，∴∴，∴，为的两个正实数根，，∴，为的两个正实数根，又由题意可知：，∴，.18. 某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）.⑴求关于的函数关系式；⑵ 已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为，求关于的函数关系式，并求出的最大值.【答案】⑴⑵的最大值为【解析】试题分析：（1）根据扇形的周长公式进行求解即可．（2）结合花坛的面积公式，结合费用之间的关系进行求解即可．试题解析：⑴由题可知，所以.⑵花坛的面积为，装饰总费用为，所以花坛的面积与装饰总费用之比为，令，，则，当且仅当取等号，此时，，故花坛的面积与装饰总费用之比为，且的最大值为【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合扇形的周长和面积公式以及函数的性质是解决问题的关键19. 在数列中，，，，其中．⑴ 求证：数列为等差数列；⑵ 设，，数列的前项和为，若当且为偶数时，恒成立，求实数的取值范围；⑶ 设数列的前项的和为，试求数列的最大值.【答案】⑴见解析⑵⑶⑴证明：，，⑵由⑴可知，，故.因为，当且为偶数时，设，则要使对且为偶数恒成立，只要使对且为偶数恒成立，即使对为正偶数恒成立，，，故实数的取值范围是；⑶由⑴得，，，，设，，当时，，即，当时，，即，，因此数列的最大值为．【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明（1）的关键是分析得到与的关系式．20. 已知函数，．⑴ 若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；⑵ 若函数在区间上单调，求实数的取值范围；⑶ 设，若对，，使得成立，求整数的最小值．【答案】⑴⑵⑶【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数求导，由导数的几何意义分析可得曲线在点处的切线方程，代入点，计算可得答案；（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；（3）由题意得，分析可得必有，对求导，对分类讨论即可得答案．试题解析：⑴由题意得，，，，曲线在点处的切线方程为，代入点，得，.⑵，若函数在区间上单调递增，则在恒成立，，得；若函数在区间上单调递减，则在恒成立，，得，综上，实数的取值范围为；⑶由题意得，，，，即，由，当时，，则不合题意；当时，由，得或（舍去），当时，，单调递减，当时，，单调递增．，即，整理得，，设，，单调递增，，为偶数，又 ，，，故整数的最小值为。
常州市2023-2024学年高三上学期期中学业水平监测数学试题(含答案)
常州市2023-2024学年上学期期中学业水平监测高三数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}310,1A x x B xx ⎧⎫=-≥=≤⎨⎬⎩⎭，则()RA B =ð（ ）A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,3D ．[]1,32．i 是虚数单位，复数i1i+在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．函数()()22ln 1f x x x =-的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．4．某学生社团举办数学史知识竞赛，经海选，甲、乙、丙、丁四位同学参加最后一轮的现场决赛，角逐唯一的冠军．有四位观赛同学对冠军的预测如下：“甲或乙是冠军”、“甲是冠军”、“丁是冠军”、“乙、丙两人都不是冠军”．若赛后发现，这四位同学中有且只有两位预测正确，则冠军是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 5．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos2sin 1αα+=，则（ ） A ．()2sin 3πα-=B ．()2cos 3πα-=-C ．sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭ D ．cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭6．已知四棱台1111ABCD A B C D -的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直若119,6,3AB AD A B ===，棱台的体积为 ）A ．60B ．C ．60D ．60+7．已知函数()cos (0)f x x ωω=>，点,A B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB △为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭ В．⎫⎪⎝⎭ C ．()D ．⎫+∞⎪⎝⎭8.．居民的某疾病发病率为1%，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果99%呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果1%呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（ ）A ．0.99B ．0.9C ．0.5D ．0.1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()31120f f f -<-==≤，则（ ） A ．2a =- B ．1b = C ．03c <≤ D ．12c -<≤10．某高校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机调查了40名男生和50名女生，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如下表，则（ ）参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：A ．该校某位学生为古文迷的概率的估计值为0.6B ．随机调查的男女生人数符合分层抽样的抽样方法C ．有99%的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系D ．没有99%的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系11．设ABC △内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，则下列说法正确的有（ ） A ．若2sin sin sin A B C ⋅>，则3C π<B ．若sin sin 2sin A BC +>，则3C π<C ．若2C π>，则可能有444a b c += D ．若2C π<，则可能有112a b c +<12．已知AB 为圆柱的母线，BD 为圆柱底面圆的直径，且4AB BD O ==,为AD 的中点，点C 在底面圆周上运动（不与点,B D 重合），则（ ） A ．平面ABC ⊥平面OCDB ．当BC CD =时，点A 沿圆柱表面到点C C ．三棱锥D OBC -的体积最大值是163D ．AC 与平面ABD 所成角的正切值的最大值是12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为_________（用数字作答） 14．在提醒ABCD 中，已知,2,1,60AB DC AB AD BC ABC ===∠=︒∥，点,E F 分别在线段BC 和CD 上，则AE AF ⋅的最大值为_________． 15．若关于x 的方程ln 2xt x =-有两个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是_________．16．在平面凸四边形ABCD 中，CB CD AB AD ===，且60,90B A D BCD ∠=︒∠=︒，将四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使点A 到达点E 的位置．若二面角E BD C --的大小范围是5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则三棱锥E BCD -的外接球表面积的取值范围是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某校数学建模学生社团进行了一项实验研究，采集了x y 、的一组数据如下表所示：该社团对上述数据进行了分析，发现y 与x 之间具有线性相关关系．附：在线性回归方程y a bx =+中，1221ˆˆˆ,()niii nii x ynxybay bx xn x ==-==--∑∑，其中,x y 为样本平均值． （1）画出表中数据的散点图，并指出y 与x 之间的相关系数r 是正还是负； （2）求出y 关于x 的线性回归方程，并写出当9x =时，预测数据y 的值．18．（12分）已知ABC △中，90BAC ∠=︒，点,M N 在边BC 上，,AM AN 三等分BAC ∠，M 靠近,B N 靠近C ．（1）若2AN MN =，且4AB =，求BM ； （2）若11BC BM =，求BNBM． 19．（12分）已知函数()()2212ln ,2a f x x a x x a =+--∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）对于[][)1,e ,2,x b ∀∈∃∈+∞，使得()f x b ≥，求实数a 的取值范围．20．（12分）盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．（1）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色．假设展示的这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是多少？（2）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，放回后，再随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色．两次展示的颜色中，黑色的次数记为X ，求随机变量X 的分布和数学期望．21．（12分）已知三棱柱111ABC A B C -，2AB AC ==，111360AA A AB A AC BAC =∠=∠=∠=︒，,M N 为线段11,AC BA 上的点，且满足11(01)AM BNt t AC BA ==<<．（1）求证：MN ∥平面ABC ； （2）求证：1BB BC ⊥；（3）设平面MNA 平面ABC l =，已知二面角M l C --t 的值． 22．（12分）已知函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象．（1）求函数()f x 的解析式，并直接写出函数()(),g x h x 的解析式； （2）若()()2F x g x ah x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在()()*0,n n π∈N 内恰有2023个零点，求实数a 与正整数n 的值．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．.1．【答案】C【解析】{}{}{}R 1,03,03A x x B x x x B x x =≥=<≥=≤<或ð，{}R 13A B x x =≤<ð，选C ．2．【答案】A【解析】()2i 1i i i i 1i 1i 222--+===+位于第一象限，选A ． 3．【答案】D【解析】()f x 为奇函数关于原点对称，排除BC ，12x <<时，()0f x <，排除A ，选D ． 4．【答案】D【解析】若甲是冠军，则三位预测正确，A 错． 若乙是冠军，则一位预测正确，B 错． 若丙是冠军，则没人预测正确，C 错． 若丁是冠军，则两人预测正确，D 对，选D ． 5．【答案】A【解析】3cos2sin 1αα+=，则()2312sinsin 1αα-+=，则()22sin sin 33απα=-=，A 对．()cos cos 3παα-=-=-，В错．sin cos 2παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，C 错，2cos sin 23παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，D 错，选A ．6．【答案】D【解析】54S =上，326S =⨯=下，(15463V h =++=，h ∴=侧棱14AA ==，()11111393ABB A CDD C S S =+==， ()11111622ADD A BCC B S S =+⋅==，60S =+底D ． 7．【答案】B【解析】2,1,,1,A B AOB ππωω⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△为锐角三角形，2220,10OA OB πω⋅>∴->，20,202AO AB πωω><⋅⋅∴+>恒成立；0BO BA ⋅>，2220πω∴-+>，2ω∴>，选B ． 8．【答案】C【解析】记“阳性”为A ，记“患病”为B ，()99%P A B =，()1%P B A =，()()()()1%99%1%P AB P AB P B P B ===，()99%1%P AB ∴=⨯，()()()1%99%1%P A P A P AB B =+=+⨯，()()()99%1%0.51%99%1%P AB P B A P A ⨯===+⨯， 选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】AD【解析】()()()()112f x x x x m =+--+，30m -<≤，2c m =+，12c -<≤，D 对，C 错．112,2a a -++=-∴=-，A 对．()111212,1b b -⨯+-⨯+⨯=∴=-，B 错．本题考查知识点：三次函数韦达定理：()32f x ax bx cx d =+++有三个零点123,,x x x ，则123bx x x a++=-， 121323123,c dx x x x x x x x x a a++==-． 10．【答案】BC 【解析】6010.69000150=≠，A 错． 4000:500040:50=，B 对．2290(20102040)9 6.63560304050K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，C 对，D 错，选BC ．11．【答案】ABD【解析】2sin sin sin A B C >，则2ab c >，2222221cos ,22223a b c a b ab ab ab C C ab ab ab π+-+--=>≥=∴<，A对．sin sin 2sin ,2,2a bA B C a b c c ++>∴+><， ()2222222222()4424cos 228a b a b a b a ab b a b c C ab ab ab ++-+-+++-=>=22332621,8823a b ab ab ab C ab ab π+--=≥=∴<，B 对．2C π>，则2220a b c +-<，即222a b c +<，则442242a b a b c ++<与444a b c +>矛盾，C 错．2C π<，则222a b c +>，不妨设2,1a b c ===，则122+<，D 对．选ABD ．12．【答案】AB【解析】C 在以BD 为直径的圆上，CD CB ∴⊥，又,AB CD CD ⊥∴⊥面ABC ，∴面ABC ⊥面OCD ，A 对．BC CD =时，C 为半圆中点，展开后BC π=，min AC ∴=B 对．O 到面BCD 的距离为2，14242BCD S ≤⨯⨯=△，184233O BCD V -∴≤⨯⨯=，C 错． BD 为直径作EF BD ⊥为另一条直径，EF 为面ABD 的直径，以BD 中点建系，面ABD 的法向量的()1,0,0n =，()0,2,4A -，()4cos ,4sin ,0C θθ，()4cos ,4sin 2,4AC θθ=+-设AC 与面ABD 所成的角为α，sin cos ,16cos AC n α=〈〉====，[]4sin 9,5,13,sin t t θα⎡+=∈=⎢⎣，max 1sin 2α=，tan α最大值不是12，D 错，选AB ． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】216【解析】5本书送4人共有2454C A 240=，甲，乙送一人有44A 24=个结果，24024216-=． 14．【答案】3【解析】如图建系，()12,0,2B BM AN ==，32C ⎛∴ ⎝⎭，设13,,22E m m ⎛⎡⎤∈ ⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令BF BC λ=，[]2,0,12F λλ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 3333322224424224m m AE AF m m m m λλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=+-≤+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭93344≤+=．15．【答案】()0,+∞【解析】()()()22122ln 1ln ln ,2(2)(2)x x x x x x f x f x x x x '----===---， ()()2222121ln ,0,2xg x x g x x x x x x-=--=-==='， ()g x 在()0,2，()2,+∞，()max ()211ln20g x g ==--<，()0f x ∴'<． ()f x ∴在()0,2，()2,+∞，01x <<时，()0f x >；2x >时，()0f x >；12x <<，()0f x <，()f x t ∴=有两个根0t ⇔>．16．【答案】1628,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】90,2CB CD BCD BD AB AD ==∠=︒∴===，利用双距离单交线公式，EBD △外心1O 到BD的距离123m =⨯⨯= BCD △的外心2O 到BD 的距离0,n E BD C =--交线2l BD ==，设二面角E BD C --平面角为θ，外接球半径为R ，22222212cos 531,,sin 4sin 36m n mn l R θππθθθ+-⎡⎤∴=+=+∈⎢⎥⎣⎦， 22147sin 1,433R θ∴≤≤∴≤≤， ∴三棱锥E BCD -外接球的表面积216284,33S R πππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦表． 应填：1628,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：第16题考得是进阶班第二讲外接球的公式，双距离单交线公式的运用．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）r 是负．（2）23456752.54540302517.54.5,3566x y ++++++++++==== 66211882.5,139ii i i i x y x ====∑∑ 61622216822.56 4.535ˆ71396 4.56ii i i i x y xy b xx ==--⨯⨯∴===--⨯-∑∑ˆˆ35(7) 4.566.5ay bx =-=--⨯=，∴关于x 线性回归方程为66.57y x =-当9x =时， 3.5y =．18．【解析】（1）30BAM MAN NAC ∠︒∠=∠==，在AMN △中，,2sin sin30AN MN AN MN AMN ==∠︒，sin 1,90,4sin302AMN AMN BM ∴∠=∴∠=︒∴=︒=．（2）设BM t =，1111BC BM t ∴==，故10CM t =，在ACM △中，由正弦定理()sin 90sin 60AM CM B ⇒=︒-︒10cos AM t B B ⇒==， 在ABM △中，由正弦定理2sin sin sin30AM BM AM t B B =⇒=︒⇒，2sin ,tan t B B =∴= 在AMN △中，()sin sin 30sin 120sin 30AM MN AM MN ANM B =⇒=∠︒︒-︒2013t MN ∴==， 20331313t t BN BM t +∴==． 19．【解析】（1）()()()()221212221ax a x ax x f x ax a x x x+---'+=+--==， ①当0a ≤时，()()0f x f x '<，在()0,+∞上；②当0a >时，令()10f x x a=⇒='． 且当10x a <<时，()()0,f x f x <'；当1x a >时，()()0,f x f x >'．（2）()min 2f x b ≥=对[]1,e x ∀∈恒成立．①当1a <时，()51122a f =-<，舍去． ②当1a ≥时，()()0f x f x '≥，在[]1,e 上，故只需()5611225a f a =-≥⇒≥符合． 综上：65a ≥． 20．【解析】（1）记事件A 为展示的一面颜色是红色，事件B 为剩下一面的颜色也是红色 ()()()()()11111,,33223P AB P B A P A P AB P A ∴==+⨯==， ()123132P B A ∴==． （2）随机抽出一张卡片，颜色是黑色的概率为()112P A -=， 12,2X B ⎛⎫∴~ ⎪⎝⎭的二项分布X 的所有可能取值为0，1，2 ()211024P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()212111C 22P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()124P X ==， X 的分布列如下：()11122E X =+=或由()1212E X nP ==⨯=． 21．【解析】（1）过,M N 分别作1ME CC ∥交AC 于点1,E NF A A ∥交AB 于点F ， 11ME AM CC AC ∴=且111111,,NF BN AM BN ME NF AA BA AC BA CC AA ==∴=， ME NF ∴∥，∴四边形MEFN 为平行四边形，MN EF MN ∴∴∥，∥平面ABC ．（2）11113,2,BB BC B C AC AB AC AB AA ===-=--， 2111144922222322313222B C ∴=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， 1B C ∴=22211BB BC B C ∴+=，1BB BC ∴⊥．（3）取BC 中点D ，连接1,,A D AD ABC △为等边三角形且2AB =，AD ∴=在1A AB △中，1A B ==111,A AB A AC AC ∴=△≌△在1AAC △中，D 为BC 中点，1A D BC ∴⊥，1A D ∴== 222111,A D AD AAA D AD ∴+=∴⊥如图，分别以1,,DA DB DA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．)()()((11,0,1,0,0,1,0,,A B C A C ∴--．()13,AM t AC M t =⇒--，又1BN tBA=，()0,1N t ∴-， ()()233,1,0,2,MN t AM t ∴=-=--，设平面AMN 的一个法向量(),,n x y z =，(101,30x y n ty ⎧-+=⎛⎫⎪∴⇒=- ⎪⎨⎝⎭⎪--+=⎩ 而平面ABC 的一个法向量()122120,0,1n n n n n ⋅==，3==，12t =或722． 22．【解析】（1）由图象知()f x 周期2,2T ππωπ=∴==，且52,12k k πϕπ⨯+=∈Z 5,0,,626k πππϕπϕϕ⎛⎫⇒=-∈∴= ⎪⎝⎭． 再由()()01sin 12,2sin 26f A A f x x πϕ⎛⎫=⇒=⇒=∴=+ ⎪⎝⎭， ()()2sin 22sin 22cos2,2cos 662g x x x x h x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． （2）()()22cos22cos 212sin 2sin 02F x x a x x a x π⎛⎫=+⋅=--= ⎪⎝⎭22sin sin 10x a x ⇒+-=令2sin ,210x t t at =∴+-=两根记为12,t t ，其中120t t <<， 作出sin y x =在()0,x n π∈上的大致图象如下：显然12,t t 中有一个为1-或1．①当11t =-时1a =，此时212t =，当n 为偶数时，1sin 2t =有n 个交点，sin 1t =-有2n 个交点，此时2023,2n n n +=∈Z 舍去． 当n 为奇数时，1sin 2t =有1n +个解，sin 1t =-有12n -个解，有3120232n n +=⇒∈Z ，舍去． ②当21t =时，1a =-，此时112t =-． 当n 为偶数时，sin 1t =有2n 个交点，1sin 2t =-有n 个交点，此时32023,2n n =∈Z 舍去． 当n 为奇数时，sin 1t =有12n +个解，1sin 2t =-有1n -个解． 11202313492n n n +∴+-=⇒=，故1,1349a n =-=．。
数学-常州市武进区2012届高三第一学期期中统考数学试题(理科)
常州市武进区2012届高三第一学期期中统考数学试题（理科）一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．已知集合{}a A ,1-=，{}b B a,2=，若{}1=B A ，则=B A ．2．已知平面向量()1,2a = ， ()2,b m =- ， 且//a b ， 则23a b +=．3．函数ln(y e =-的定义域为 ．4．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a = ．5．若二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且()(0)(1)f a f f ≤<，则实数a 的取值范围是 ．6．满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，则目标函数y x k +=3的最大值为 ．7．若*,x R n N ∈∈，规定：(1)(2)(1)n xx x x x n H=++⋅⋅⋅⋅⋅+-，例如：44(4)(3)(2)(1)24H -=-∙-∙-∙-=，则函数52()x f x x H -=∙的奇偶性为 ． 8．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若7916a a +=，77S =，则12a = ． 9．在ABC ∆中，若222,8AB AC BC =+=，则ABC ∆面积的最大值为 ． 10．若sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值为2-，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为3π，又图像过点(0,1)，则其解析式是 ．11．若自然数n 使得作竖式加法n (n 1)(n 2)++++均不产生进位现象，则称n 为“可连数”；如：32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象，23不是“可连数” ，因为23+24+25产生进位现象，那么自然数中小于100的“可连数”的个数为 ．12．已知定义在R 上偶函数)(x f ，且0)1(=f ，当0>x 时有0)()(2'>-xx f x xf ，则不等式0)(>x xf 解集为 ．13．已知)2,0(,∈y x ，且xy ＝1，则yx -+-4422的最小值是 ． 14．已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4M N ==，定义函数:f M N →且点(1,(1)),A f (2,(2)),(3,(3))B f C f ；若ABC∆的内切圆圆心为D ，且()DA DC DB λλ+=∈R，则下列结论正确的有 ．（填上正确命题的序号）① ABC ∆必是等腰三角形；② ABC ∆必是直角三角形； ③ 满足条件的实数λ有3个；④ 满足条件的函数有12个． 二.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点6(,0)cos ,sin 5A P αα，（），其中20πα<<．⑴ 若,65cos =α求证：PA PO ⊥ ；⑵ 若PA PO = ，求)42sin(πα+的值．16．（本题满分14分）设函数sin ()2cos xf x x=+．⑴ 求()f x 的单调区间；⑵ 证明：对任意的0x ≥，都有()x x f 31≤．17．（本题满分14分） 我们将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数()()y f x x D =∈，对任意,,2x y x y D +∈均满足1()[()()]22x y f f x f y +≥+，当且仅当x y =时等号成立。
江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学(理)试题含答案
- 1 - 2019届第一学期期中考试
高三理科数学试题
一、填空题（本大题共
14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．设集合{2A x x ，2{1}y y B x ，则A B ▲ ．
2．已知向量,1a
x ，1,2b ，若a b ，则实数x 的值为▲ ．3．设x R ，则38x 是2x 的▲ 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充
要”，“既不充分也不必要”）．
4．已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若23108a a a ，则9S ▲ ．
5．已知f
x 是函数sin cos f x x x 的导函数，实数满足3f f ，则tan 2
的值为▲ ．6．已知(1,)a ，(2,1)b
，若向量2a b 与(8,6)c 共线，则实数的值为▲ ．7．已知函数()(1)()f x x px q 为偶函数，且在
(0,)单调递减，则(3)0f x 的解集为▲ ．8．在平面直角坐标系中，
?AB ，?CD ，?EF ，?GH 是圆221x y 上的四段弧（如图），点P 在其中一段弧上，角以Ox 为始边，OP 为终边．若tan
cos sin ，则P 所在的圆弧
是▲ ．9．函数log 31a y x (0a 且1a )的图象恒过定点A ，若点A 在直线10
mx ny 上，其中0mn ，则1
1m n
的最小值为▲ ．10．已知R ，函数2
45,1,x x x
x f x e x ，若函数f x 恰有2个零点，则实数的取
2018．11
y x E F O G H A B
C
D。
【附加15套高考模拟试卷】江苏省常州市武进区2020届高三下学期期中考试数学(理)试题含答案
江苏省常州市武进区2020届高三下学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为P ，则四面体P AEF -的高为A ．13B ．23C ．34 D ．12．近年来.随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的加剧，我国经济发展的“人口红利”在逐渐消退，在当前形势下，很多二线城市开始了“抢人大战”，自2018年起，像西安、南京等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前，至2019年发布各种人才引进与落户等政策的城市已经有16个。
某二线城市与2018年初制定人才引进与落户新政（即放宽政策，以下简称新政）：硕士研究生及以上可直接落户并享有当地政府依法给与的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户。
高中及以下学历人员在当地工作10年以上可以落户。
新政执行一年，2018年全年新增落户人口较2017年全年增加了一倍，为了深入了解新增落户人口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年（即2017年）与新政执行一年（即2018年）新增落户人口学历构成比例，得到如下饼图：则下面结论中错误的是（ ）A ．新政实施后，新增落户人员中本科生已经超过半数B ．新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少C ．新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响D ．新政对专科生在该市落实起到了积极的影响 3．已知πα0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos2α5=，则2πsin α4⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．1 5B．25C．35D．454．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．2(1)i i+B．()21i i-C．2(1)i+D．()1i i+5．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，点Q是线段11C D上的动点，点P为正方体对角线1AC上的动点，若三棱锥11A B PQ-的体积为正方体体积的19，则直线1A P与底面1111DCBA所成角的正切值为（）A2B3C．2 D56．在等比数列{}n a中，32a=，78a=，则5a=（）.A．4 B．-4 C．±4 D．57．设双曲线221mx ny+=的一个焦点与抛物线218y x=的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为A．2B3C．2D．238．若6axx⎛⎝展开式的常数项为60，则a值为( )A．4B．4±C．2D．2±9．抛物线214y x=的准线方程为（）A．1y=-B．1y=C．1x=-D．116x=-10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．3π923++B ．3π623++C ．4π623++D ．4π643++11．函数2sin()y x ωϕ=+(0,||)ωϕπ><的部分图像如图所示，则函数的解析式为（ ）A ．12sin 66y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．12sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．12cos 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．12cos 63y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 12．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，则向量AD =u u u r（ ）A ．a b +r rB ．12a b +r rC ．12a b +r rD ．23a b +r r 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江常州市武进高中高三期中考试理科数学
江苏省常州市武进高中20XX-20XX学年高三期中考试数学（理）试题考生注意：1.本试卷共2页，乞括埃空题（第1题一第14薄）、解答题（第15题一第20题）两局部• 本试卷总分值160分，考试时间120分钟.2.移翅疏，诺您务必将自己的姓名、府考证号用0.5圣米,女邑字迹的冬字宅城写在试卷的拍定位置。
3.作答各避时，必须用书写黑色字迹的0.5肥米签字笔写在试卷的指定位里，在其它位王作答一律无效。
4.如有作图霜安.可用2B钮笔作咨.并请加黑加粗.描写滑斐。
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.清把答案填写在答题卡相应位置上.】、假设集合4 = {^|2<2¥<8）,集合S = {.v|log2x>l},那么集合AC|8 = 4・2、tan 20XX°的值为▲.3、存在实数，使得/-4庭+祐<0成立，那么力的取值范围是4.4、己知向量“ = （],〃），五=（一1,〃），假设2a-b与B垂直，那么I 〃 1= ▲.5、△ABC中，三内角，、C所对边的长分别为、b、,己知8 = 60。
，不等式一，+6x-8>0的解堪为{x\a<x<c}•那么b = ▲ .6、己知函数/Cv） = 3sin（s*-£）（池>0）和g（x） = 3cos（2x +。
）的图象的对称中心6完全相同，假设xe[0^].那么，⑴的取值范围是A・7、假设函数/（x）=41nx,点Pg）在曲线y = f\x）上运动，作PM lx轴,垂足为材，那么4PCM（O为坐标原点）的周长的最小值为・8、己知/（局=孑+ 丁/'（1） + 3.寸'（一1）,那么广（1） +广（一1）的值为▲ .9、△人BC中，〃、b、c分别为匕A、NB、匕C的对边.如果。
、欢c成等差数列，ZB = 30° ,△ABC的面积为2,那么b= A .210、如果函数/（X）在区间上是“凸函数"，那么对于区间内任意的if*/有朋）+小2）+...〃此）"『••• +勺成立,己知函数尸血.,在区间［0,勿］上是“凸函数)那么在△A8C中，sinA + sinB + sinC的最大值是A11、己知|a|=2|^|*0. 11关于的函数/(犬)=；«?+!济*+小位在上宥极值. 那么％与B的夹角范围为12、设函数/•⑴=一《二(。
2018届江苏省常州市武进区高三上学期期中考试理科数学试题及答案 精品
2018届第一学期期中考试高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1．已知集合{}213M x x =-<，集合{}13N x x =-<<，则M N =▲ ．2．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z = ▲ ． 3．已知命题2:(0,),2,p x x x ∀∈+∞≥-则命题p 的否定是 ▲ ． 4．函数)(x f 的定义域是]1,1[-，则函数)(log 21x f 的定义域为 ▲ ．5．执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数x 的个数为 ▲ ． 6．已知tan 2α=，则1sin cos αα=⋅ ▲ ．7．若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则3x y +的取值范围是▲ ．8．已知向量)1,0(),2,1(==，设k +=，-=2，若//，2018．11第5题图则实数k 的值为 ▲ ．9．已知函数()72sin ,0,63f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象与直线y m =的三个交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x ，其中123xx x <<，那么1232x x x ++的值为▲ ．10．已知x 、y 为正实数，且21x y +=，则1y xy+的最小值为 ▲ ．11．设函数()=2f x mx +，()22g x x x =-，[]01,2x ∀∈-，[]11,2x ∃∈-，使得()()01f x g x >，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 12．已知非零向量，满足||332||||a b a b a =-=+，则+与的夹角为 ▲ ．13．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()'f x ，当(],0x ∈-∞时，恒有()()'xf x f x <-，则满足()()()1212133x f x f --<的实数x 的取值范围是 ▲ ．14．定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在R 上至少有四个零点，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 4cos cos b C a B c B =-. ⑴ 求cos B 的值;⑵ 若32BA BC ⋅= ，3b =，求a 和c .16．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2,2==BC AB ，点E 是BC 边的中点，点F在边CD 上．⑴ 若O 是对角线AC 的中点， )(R AD AE AO ∈+=μλμλ、，求μλ+的值；⑵ 若2=⋅BF AE ，求线段DF 的长．17．（本题满分14分）如图所示，AB 是半径长为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形ABCD ，设梯形ABCD 的面积为y .⑴ 设2CD x =，将y 表示成x 的函数关系式并写出其定义域； ⑵ 求梯形ABCD 面积y 的最大值.18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在单位圆O 上，xOA α∠=，且 62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． ⑴ 若11cos()313πα+=-，求1x 的值；⑵ 若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3AOB π∠=．过点A B 、分别做x 轴的垂线，垂足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ．设()12f S S α=+，求函数()f α的最大值．19．（本题满分16分）已知点(p ，q )是平面直角坐标系错误！未找到引用源。
江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2019届第一学期期中考试一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1.设集合}{2A x x =?，2{1}B y y x ==-，则A B?______． 【答案】{}21x x-＃ 【解析】【分析】解不等式得到集合A ，根据函数的值域得到集合B ，然后可得A B Ç．【详解】由题意得}}{2{22A x x x x =?-＃，2{1}{1}B y y x y y ==-=?， 所以{}21A B x x ?-＃． 故答案为：{}21x x -＃．【点睛】本题以集合的运算为载体，考查二次函数的值域和简单的绝对值不等式的解法，属于基础题．2.已知向量(),1a x =，()1,2b =-，若a b ^，则实数x 的值为______．【答案】2【解析】【分析】由向量垂直得到数量积为零，进而得到关于x 的方程，解方程可得所求．【详解】因为a b ^，所以20a b x ?-=，解得2x =．故答案为2．【点睛】本题考查向量数量积的应用，解题时根据数量积的坐标表示直接求解即可，属于简单题． 3.设x ÎR ，则38x >是2x >的______条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．【答案】充分不必要【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断后可得结论．【详解】由38x >得2x >；由2x >，得2x <-或2x >．所以由“38x >”可得“2x >”，反之不成立，所以“38x >”是“2x >”充分不必要条件．故答案为：充分不必要【点睛】充分、必要条件的判断方法（1）利用定义进行判断，即直接判断“若p ，则q ”，“若q ，则p ”的真假．在判断时，首先要分清条件是什么、结论是什么．（2）从集合的角度判断，利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23108a a a ++=，则9S =______．【答案】24【解析】【分析】由23108a a a ++=可得583a =，然后再根据等差数列的前n 项和公式求解即可． 【详解】因为23108a a a ++=，所以13128a d +=， 所以15843a d a +==， 所以19959()9242a a S a +===． 故答案为24．【点睛】本题考查等差数列的基本运算，解题的关键是得到5a 以及合理运用项的下标和的性质，属于基础题．5.已知()f x ¢是函数()sin cos f x x x =-的导函数，实数a 满足()()3f f a a ¢= ，则tan 2a 的值为______． 【答案】43-【解析】【分析】求导后根据()()3f f a a ¢=得到tan 2a =，然后根据倍角公式得到所求． 【详解】由()sin cos f x x x =-可得'()cos sin f x x x =+， 因为()()3f f a a ¢= 所以cos sin 3(sin cos )a a a a +=-，整理得tan 2a =， 所以22tan 4tan 21tan 3a a a ==--． 故答案为43-． 【点睛】本题考查导数的基本运算和简单的三角变换，解题的关键是正确运用公式，属于基础题． 6.已知(1,)a l =，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则实数l 的值为______．【答案】1【解析】【分析】先求出2a b +的坐标，然后根据向量的共线得到l 的值．【详解】因为()1,a l =，()2,1b =，所以()24,21a b l +=+.又向量2a b +与()8,6c =共线，所以()82124l +=，解得1l =．故答案为1．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量共线的充要条件，解题的关键是熟知向量运算的坐标表示． 7.已知函数()()()1f x x px q =-+为偶函数，且在()0,+?上单调递减，则不等式()30f x -<的解集为______．【答案】()(),24,-ト+? 【解析】【分析】根据函数为偶函数和函数的单调性可求得函数的解析式，然后再解不等式可得所求的结果．【详解】由题意得()()2()1()f x x px q px q p x q =-+=+--， 因为函数()f x 为偶函数，所以p q =， 所以2()f x px p =-．又()f x 在()0,+?上单调递减， 所以0p <．由()23(3)0f x p x p -=--<，得2(3)10x -->，解得：2x <或4x >，所以不等式的解集为()(),24,-ト+?． 故答案为()(),24,-ト+?．【点睛】本题考查函数性质的应用和二次不等式的解法，解题的关键是得到函数的解析式，然后再根据一元二次不等式的解法可得所求，体现了函数与方程间的关系．8.在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段弧上，角a 以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin a a a <<，则P 所在的圆弧是______．【答案】EF【解析】【分析】根据四段弧所在的位置并结合三角函数线，分别判断出tan ,cos ,sin a a a 的大小关系后可得结果．【详解】（1）当点P 在AB 上时，由于弧的位置在第一象限靠近x 轴的一方，所以cos sin a a >，不合题意；（2）当点P 在CD 上时，由于弧的位置在第一象限靠近y 轴的一方，所以tan 1a >，而0cos sin 1a a <<<，所以不合题意；（3）当点P 在EF 上时，由于弧在第二象限靠近y 轴的一方，所以sin 0,cos 0,tan 0a a a ><<，且tan cos a a <，所以tan cos sin a a a <<，符合题意．（4）当点P 在GH 上时，由于弧在第三象限，所以sin 0,cos 0,tan 0a a a <，所以不合题意． 由以上分析可得点P 所在的圆弧是EF ．故答案为EF ．【点睛】解答本题的关键是根据三角函数线得到各个三角函数值的符号，解题中要注意正弦线、余弦线、正切线分别对应的有向线段，进而得到三角函数值的正负和大小关系，体现了数形结合在解题中的作用．9.函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ¹的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为_______．【答案】3+【解析】试题分析：由题意可知，令x+3=1，则y=-1，即x=-2,y=-1，所以A （-2，-1），可得2m+n=1， 所以()11112233n m m n m n m nm n 骣琪+=++=++?琪桫当且仅当2{21n m m n m n =+=，即2{21m n -==时，等号成立，所以11m n+的最小值为3+考点：本题考查基本不等式求最值点评：解决本题的关键是求出A 点坐标，注意利用基本不等式的条件10.已知l ÎR ，函数()245,1,x x x x f x e x l lì--<ï=í-?ïî，若函数()f x 恰有2个零点，则实数l 的取值范围是______．【答案】(]()1,05,-??【解析】【分析】画出函数的图象，然后结合图象分析后可得所求的范围．【详解】画出函数()f x 的图象，如下图所示．结合图象可得：当1l ?时，函数()f x 有1个零点，即点B 的横坐标；当10l -<?时，函数()f x 恰有2个零点，即点A,B 的横坐标；当05l <?时，函数()f x 有1个零点，即点A 的横坐标；当5l >时，函数恰有2个零点，即点A ，C 的横坐标．综上可得当10l -<?或5l >时，函数有两个零点．所以实数l 的取值范围是(]()1,05,-??．【点睛】已知函数的零点(方程的根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 11.在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2AB =，1AD =，60DAB??，若3BC CE =，AF AB l =，且1AE DF?-，则实数的值为______． 【答案】14 【解析】依题意得AB ∥CD ,2,?1AB AD BC ===，60DAB ABC ??.∵3BC CE = ∴43BE BC =∴442cos120333BE DA BC DA BC DA ??装=- ∵AF AB l =∴444cos120333BE AFBC AB BC AB l l l ??装=- ∵1AE DF ?- ∴42()()21cos12022133AE DF AB BE DA AF AB DA AB AF BE DA BE AF l l ?++=????创??-=-∴14l =故答案为14. 12.已知不等边ABC D （三条边都不相等的三角形）的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若()()221cos cos 2a b B c C b c -=-，则A Ð的弧度数为______． 【答案】23p 【解析】【分析】 在()()221cos cos 2a b B c C b c -=-中运用余弦定理并进行变形后得到 222b c a bc +-=-，再根据余弦定理的推论可得角A 的大小．【详解】∵()()221cos cos 2a b B c C b c -=-， ∴222cos 2cos ab B ac C b c -=-， 即222222222222a c b a b c ab ac b c acab +-+-??-， ∴22222222a c b a b c b c b c c b +-+-??-∴2222222222()()()b a c b c a b c bc b c +--+-=-∴22422422()a b b c a c bc b c --+=-整理得222222222()()()()a b c b c b c bc b c --+-=-，由题意得b c ¹，∴222()a b c bc -+=，即222b c a bc +-=-． 由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-， 又0A p <<，∴23A p =． 故答案为23p ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用、考查计算能力，由于解题中需要用到大量的化简、计算，所以在解题时要注意运算的合理性和准确性，属于基础题．13.已知定义在R 上的函数()xf x =a ，使得对任意实数x 都有()f x a k -<成立，则实数k 的最小值为______． 【答案】12 【解析】【分析】由题意得()()f x k a k f x -<<+对任意实数x 恒成立，又根据函数()f x 的值域可得()1k f x k k -<-<-，()1k f x k k <+<+，故可得1k k -?，解不等式可得所求．【详解】∵()f x a k -<， ∴()a k f x a k -<<+．由题意得()()f x k a k f x -<<+对任意实数x 恒成立，又()1xf x =-的值域是（0,1） 所以()1k f x k k -<-<-，()1k f x k k <+<+所以由题意得1k k -?，解得12k ³， ∴实数k 的最小值为12． 故答案为12． 【点睛】解决不等式恒成立问题时，可通过分离参数的方法转化为求函数最值的问题，当()a f x >恒成立时，只需max ()a f x >即可，若()f x 的最大值不存在，则利用函数值域的端点值来代替，此时需要注意等号能否成立．14.若正实数x 、y 满足229x xy y -+=，且229x y -<，则xy 的取值范围为______．【答案】(]6,9【解析】【分析】由229x xy y -+=结合重要不等式得到9xy £；由229x y -< 两边平方后变形，再根据重要不等式得到6xy >，进而可得所求的范围．【详解】由229x xy y -+=，得2292xy x y xy +=+?，当且仅当x y =时等号成立，所以9xy £． 由229x y -<，得222()81x y -<，即22222()481x y x y +-<所以222(9)481xy x y +-<即23()188181xy xy -++<，解得6xy >．所以69xy <?．故xy 的取值范围为(]6,9．【点睛】本题考查综合应用不等式知识解决问题，考查变形应用的能力，解题时要根据所求选择合适的不等式，同时要正确判断是将式子进行放大还是进行缩小，特别要注意等号能否成立．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.ABC D 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()sin A B C +8sin sin sin 7B C A +=，7a =.⑴ 求角A 的值； ⑵ 求ABC D 的面积．【答案】（1）23p ；（2 【解析】 【分析】（1）由题意可得()sin sin 2sin 3A B C A A A p骣琪+=-=-=琪桫 23A p =；（2）由8sin sin sin 7B C A +=得到87b c a +=，然后根据余弦定理得到15bc =，于是可得所求的面积．【详解】（1）∵()sin A B C +∴sin A A -∴2sin 3A p骣琪-=琪桫又2333A p p p-<-<， ∴ 33A p p -=， ∴23A p =． （2）由8sin sin sin 7BC A +=及正弦定理得87b c a +=，∵7a =， ∴8b c +=，由余弦定理得22222cos ()22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--， 所以4964264bc bc bc =-+=-， ∴15bc =，∴ ABC D 的面积为11sin 152224bc A =创=．【点睛】（1）本题考查正弦定理、余弦定理的应用，解题时注意三角变换的运用，同时还要注意三角形中三内角间的关系．（2）余弦定理常与三角形的面积公式结合在一起考查，解题时注意余弦定理中的变形，如222()2b c b c bc +=+-等．16.已知O 为坐标原点，()cos ,1OA x =，()2cos OB x x =，R x Î，若()f x OA OB =?. ⑴ 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；⑵ 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4p个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在5,1212p p轾-犏犏臌上的最小值． 【答案】（1）,,36k k k Z p pp p 轾-+?犏犏臌；（2）2 【解析】 【分析】（1）由题意得到()2216f x sin x p骣琪=++琪桫，进而可得函数的周期和单调增区间；（2）根据图象变换得到()52112g x sin x p 骣琪=++琪桫，根据x 的范围得到512x p+的取值范围，然后可得()g x 的最小值．【详解】(1)由题意()cos ,1OA x =，()2cos OB x x =， 所以()22cos 3sin2cos23sin212sin 216f x x x x x x p骣琪=+=++=++琪桫， 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==， 由222,262k x k k Z p p p p p -???， 得,36k x k k Z p pp p -＃+?， 所以()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z p pp p 轾-+?犏犏臌.(2)由(1)得()2sin 216f x x p骣琪=++琪桫， 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数为2sin 16y x p 骣琪=++琪桫；再将得到的图象向左平移4p个单位，得到的图象对应的函数为 52sin 12sin 14612y x x p p p骣骣琪琪=+++=++琪琪桫桫， ∴()52sin 112g x x p骣琪=++琪桫，∵5,1212x p p轾?犏犏臌， ∴55,1236x p p p轾+?犏犏臌， ∴当55126x p p +=，即512x p =时，()g x 有最小值，且()min552sin 12126g x g p p骣琪==+=琪桫， ∴函数()y g x =在5,1212p p轾-犏犏臌上的最小值为2． 【点睛】（1）解决三角函数的有关问题时，一般将所给的函数化为()φy Asin x w =+的形式，然后将φx w +作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质进行求解．（2）求函数()φy Asin x w =+在给定区间上的最值或范围时，先由所给的范围得到φx w +的范围，然后结合函数的图象求解．17.常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t＃，N t Î．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t＃时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ?时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t . ⑴ 求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； ⑵ 若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）1040；（2）120 【解析】 【分析】（1）根据题意得到()p t 的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为Q 的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值．【详解】（1）由题意知()()2120010,2101200,1020k t t p t t ì--?ï=íï＃î，N t Î，（k 为常数），∵()()221200102120064560p k k =--=-=，∴10k =，∴()()2210200200,21012001010,2101200,10201200,1020t t t t t p t t t ìì-++?--?镲==眄＃镲＃îî， ∴()()261200101061040p =-?=，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人． （2）由()63360360p t Q t-=-，可得()236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020t t t t t t t Q t t t t ìì骣-++-ïï琪-+?-?琪ïï桫==眄镲-＃-＃镲ïîî， ①当210t?时，36840608406012120Q t t骣琪=-+??琪桫，当且仅当6t =时等号成立； ②当1020t＃时，7200336036038436024Q t-=-?=，当10t =时等号成立，∴当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 答：当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.【点睛】（1）本题考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小后可得分段函数的最值．（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．18.已知函数22()ln f x x ax a x =--． ⑴ 讨论()f x 的单调性；⑵ 若()0f x ³恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递减区间是0,2a 骣琪-琪桫，单调递增区间是,2a骣琪-+?琪桫.（2）342e ,1轾犏-犏臌【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导()()()2222x a x a x ax a f x x x-+-=¢-=，定义域为()0,+?，由()0f x ¢=，可得x a =或2ax =-进而讨论导函数的正负得函数单调性即可； （Ⅱ）若()0f x ³恒成立，只需()min0f x ³即可，讨论函数单调性求最值即可.试题解析：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+?，()()()2222x a x a x ax af x x x-+-=¢-=. 由()0f x ¢=，可得x a =或2ax =-， 当0a =时，()0f x ¢>在()0,+?上恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()0,+?，没有单调递减区间；当0a >时，()(),,x f x f x ¢的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +?.当0a <时，()(),,x f x f x ¢的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间是0,2a骣琪-琪桫，单调递增区间是,2a 骣琪-+?琪桫.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a =时，()20f x x =>，符合题意. 当0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +?，所以()0f x ³恒成立等价于()min0f x³，即()0f a ³，所以222ln 0a a a a --?，所以01a <?. 当0a <时，()f x 的单调递减区间是0,2a骣琪-琪桫，单调递增区间是,2a 骣琪-+?琪桫，所以()0f x ³恒成立等价于()min 0f x³，即02a f 骣琪-?琪桫. 所以222ln 0422a a a a 骣琪+--?琪桫，所以342e 0a -?. 综上所述，实数a 的取值范围是342e ,1轾犏-犏臌.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max()0f x ?；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） . 19.设函数()()()3f x x tm x t =---，其中t ，R m Î．⑴ 若1t =，0m =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；⑵ 若9m =，求()f x 的极值；⑶ 若曲线()y f x =与直线()y x t =---有三个互异的公共点，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）31y x =-；（2）见解析；（3）()7,+?【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解可得结果；（2）先根据导函数的符号得到函数()f x 的单调性，进而得到极大值和极小值；（3）由()()f x x t =---()()()3x tm x t x t ---=---象有三个互异公共点的问题转化为方程有三个不同解的问题处理，然后根据函数的单调性、极值求解可得结果．【详解】（1）当1t =，0m =时，()()31f x x =-，∴()()231f x x =¢-，∴()03f ¢=，又()01f =-，∴曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为13y x +=，即31y x =-．（2）当9m =时，()()()39f x x t x t =---，∴()()(2393f x x tx t x t =--=---¢，令()0f x ¢=，解得x t =x t =-当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：由上表可得，当x t =-时，函数有极大值，且极大值为(((39f t -=--?=当x t =(3f t =-=-（3）由()()f x x t =---()()()3x t m x t x t ---=---∴()()()310x tm x t -+--+=，令u x t =-，可得()310u m u +-+=．设函数()()31g x x m x =+-+则曲线()y f x =与直线()y x t =---()y g x =有三个不同的零点；又()()231g x x m ¢=+-，（ⅰ）当1m £时，()0g x ¢³恒成立，此时()g x 在R 上单调递增，不合题意；（ⅱ）当1m >时，令()0g x ¢=，解得1x =-2x = ∴ ()g x 在()1,x -?上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +?上也单调递增；∴ ()g x 的极大值为()()321109m g x g -=-=+；极小值为()()32219m g x g --==+①若()20g x ³，由()g x 的单调性可知，函数()g x 至多有两个零点，不合题意；②若()20g x <，即()321m ->7m >，2x >，0g =>，且1x -，(()610g m -=--<，从而由()g x 的单调性可知，()y g x =在区间()1x -，()12,x x ，(2x 内各有一个零点，符合题意．综上可得m 的取值范围是()7,+?．【点睛】（1）本题考查导数的应用，解题时注意根据导函数的符号得到函数的单调性，进而可得函数的极值、最值等，然后再结合题意进行求解即可．（2）研究方程根的情况时，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个直观的展现．20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知()()*623N n n S n a n n =++?，设()()412121n n a c n n -=-+.⑴ 求证：当2n ³时，1n n c c --为常数； ⑵ 求数列{}n a 的通项公式；⑶ 设数列{}n b 是正项等比数列，满足：11b a =，32b a =，求数列{}n n a b 的前n 项的和n T ． 【答案】（1）证明见解析；（2）2n a n =；（3）()22323n n T n n =-+- 【解析】 【分析】（1）由题意求出()()1211223n n n aa n n -+-=?-，然后通过作差可得10nn cc --=，故结论成立；（2）根据（1）中的结论，即{}n c 是常数列且11n c c ==，可得2n a n =；（3）由题意得12n n b -=，所以212n n n a b n -=?，故利用错位相减法求和．【详解】（1）证明：由题意知，当n=1时，1116651S a a ==+， ∴11a =；当2n ³时，()116211n n S n a n --=++-， ∴()()1623211n n n a n a n a -=+-++， ∴()()123211,n n n a n a --=+- ∴()121123n n n aa n -+-=-，∴()()()()11414121212321n n n n a a c c n n n n -----=--+--()()()()()1121141412321212321n n n a a n n n n n --+----=--+-- ()()()()11414123212321n n a a n n n n ----=----- 0=，∴当2n ³时，1n n c c --为常数0. （2）由（1）得，{}n c 是常数列. ∵1141113a c -==´， ∴11n c c ==， ∴()()4112121n n a c n n -==-+，∴2n a n =.（3）由（2）知131,4b b ==， ∵数列{}n b 是正项等比数列， ∴公比为2， ∴12n n b -=．∴2321142921622n n T n -=+???鬃??……③， ∴2322242922n n T n =+??鬃??……④， ③-④得：()231213252722122n n n T n n --=+???鬃?--?，设()2311325272212n n P n -=+???鬃?-……⑤，∴()()2312123252232212n n n P n n -=???鬃?-+-……⑥，⑤-⑥得：()231122222222212n nn P n --=+???鬃??-，()()12121221212n nn --=+?--()()1222212n n n =+--- ()3322n n =-+-，∴()2323n n P n =-+， ∴()()22332222323n n n n T n n n n =-+-+?-+-． 【点睛】用错位相减法求和的注意事项（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．。
江苏省武进高中2011届高三上学期期中考试(数学理)
2010—2011学年度第一学期 中学 高三年级 数学试题（2010.11理科）考生注意：1．本试卷共2页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两部分。
本试卷满分160分，考试时间120分钟。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的 指定位置。
3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置 作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1、若集合{|228}xA x =≤≤，集合2{|log 1}B x x =>，则集合AB =___▲___．2、tan 2010︒的值为___▲___．3、存在实数x ，使得0342<+-b bx x 成立，则b 的取值范围是___▲___． 4、已知向量(1,)a n =，(1,)b n =-，若2a b -与b 垂直，则||a =___▲___．5、△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知60B =︒，不等式2680x x -+->的解集为{|}x a x c <<，则b =___▲___．6、已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心 完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是___▲___ ． 7、若函数()4ln f x x =，点(,)P x y 在曲线'()y f x =上运动，作PM x ⊥轴，垂足为M ， 则△POM （O 为坐标原点）的周长的最小值为___▲___ ．8、已知32()'(1)3'(1)f x x x f xf =++-，则'(1)'(1)f f +-的值为___▲___． 9、△ABC 中， a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，30B ∠=︒，△ABC 的面积为23，那么b =___▲___．10、如果函数)(x f 在区间D 上是“凸函数”，则对于区间D 内任意的nx x x ,,,21 ，有)()()()(2121n x x x f n x f x f x f nn +++≤+++ 成立. 已知函数x y sin =在区间[0,]π上是“凸函数”，则在△ABC 中，C B A sin sin sin ++的最大值是___▲___．11、已知||2||0a b =≠，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx=++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为___▲___．12、设函数()(01xxa f x a a =>+，且1)a ≠，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则函数11[()][()]22f x f x -+--的值域是___▲___ ． 13、如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动.设顶点(,)P x y 的纵坐标与横坐标的函数关系式是()y f x =，记()f x 的最小 正周期为T ；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴 所围区域的面积记为S ，则S T ⋅=___▲___．14、如果关于x 的方程213ax x +=在区间(0,)+∞上有且仅有一个解，那么实数a 的取值范围为___▲___．二、解答题：本大题共六小题，共计90分。
常州市武进区礼嘉中学2020届高三理科数学上学期期中调研卷附答案详析
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