中考数学压轴题汇总91408
(完整)中考数学压轴题精选含答案
一、解答题1．综合与探究．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与x轴交于A，C两点，点A（﹣1，0），C （3，0），与y轴交于点B，抛物线的顶点为D，直线l经过B，C两点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若P为抛物线上一点，横坐标为m，过点P作PM⊥y轴于点M，交线段BC于点N，当N是线段BC的黄金分割点时，求点P到x轴的距离；(3)若将抛物线向上平移个单位长度，点D的对应点为D′，坐标轴上是否存在点Q，使∠BD′Q＝30°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．矩形OABC中，OA＝8，OC＝10，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上．在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC沿CE折叠．（1）i：如图①，当点O落在AB边上的点D处时，点E的坐标为；ii：如图②，将矩形OABC变为正方形，OC＝10，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度．（2）如图③，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC于点G，设H（t，s），用含s的代数式表示t．3．【基础巩固】（1）如图1，点A ，F ，B 在同一直线上，若∠A ＝∠B ＝∠EFC ，求证：△AFE ∼△BCF ；【尝试应用】（2）如图2，AB 是半圆⊙O 的直径，弦长AC ＝BC ＝42，E ，F 分别是AC ，AB 上的一点，∠CFE ＝45°，若设AE ＝y ，BF ＝x ，求出y 与x 的函数关系及y 的最大值． 【拓展提高】（3）已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上．如图3，如果AD ：BD ＝1：2，求CE ：CF 的值．4．给出定义：有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形．（1）如图1，在倍对角四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，∠A ＝2∠C ，求∠B 与∠C 的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC 内接于⊙O ，若边AB 上存在一点D ，使得BD ＝BO ，∠OBA 的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，∠AFE ＝2∠EAF ．求证：四边形DBCF 是倍对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作DG ⊥OB 于点H ，交BC 于点G ．当4DH ＝3BG 时，求△BGH 与△ABC 的面积之比．5．抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知(1,0)A -，(0,2)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，求出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当四边形CDBF 的面积最大时，求点E 的坐标．6．如图，抛物线2:C y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-，且抛物线经过(1,0),(0,3)M D 两点，与x 轴交于点N ．（1）点N 的坐标为_______．（2）已知抛物线1C 与抛物线C 关于y 轴对称，且抛物线1C 与x 轴交于点1,A B （点A 在点1B 的左边）．①抛物线1C 的解析式为_________；②当抛物线1C 和抛物线C 上y 都随x 的增大而增大时，请直接写出此时x 的取值范围． （3）若抛物线n C 的解析式为(1)(2)(1,2,3)y x x n n =-+--=，抛物线n C 的顶点为n P ，与x 轴的交点为,n A B （点A 在点n B 的左边）．①求123100AB AB AB AB ++++的值；②判断抛物线的顶点123,,,,n P P P P 是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由．7．在平面直角坐标系xOy 中，规定：抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 的“伴随直线”为y ＝a （x ﹣h ）+k ．例如：抛物线y ＝2（x +1）2﹣3的“伴随直线”为y ＝2（x +1）﹣3，即y ＝2x ﹣1．（1）在上面规定下，抛物线y ＝（x +1）2﹣5的顶点坐标为_____，“伴随直线”为_____． （2）如图，顶点在第一象限的抛物线y ＝a （x ﹣1）2﹣4a （a ≠0）与其“伴随直线”相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与x 轴交于点C ，D ． ①若△ABC 为等腰三角形时，求a 的值；②如果点P （x ，y ）是直线BC 上方抛物线上的一个动点，△PBC 的面积记为S ，当S 取得最大值274时，求a 的值．8．如图1，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是菱形，其中点E 在BC 的延长线上，点G 在DC的延长线上，点H在BC边上，连结AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH．（1）求证：△ABH≌△HEF；（2）如图2，当H为BC中点时，连结DF，求DF的长；（3）如图3，将菱形CEFG绕点C逆时针旋转120°，使点E在AC上，点F在CD上，点G在BC的延长线上，连结EH，BF．若EH⊥BC，请求出BF的长．9．如图，对称轴x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），（1）求抛物线和直线BC的函数表达式；（2）若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点，求△BQC的面积的最大值；（3）点P为抛物线上的一个动点，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若点P在第四象限内，当OD＝4PE时，△PBE的面积；（4）在（3）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．(1)如图，若点A ，E ，D 第一次在同一直线上，BG 与CE 交于点H ，连接BE ． ①求证：BE 平分∠AEC ．②取BC 的中点P ，连接PH ，求证：PH ∥CG ． ③若BC ＝2AB ＝2，求BG 的长．(2)若点A ，E ，D 第二次在同一直线上，BC ＝2AB ＝4，直接写出点D 到BG 的距离． 11．在平面直角坐标系中，三角形ABC 为等腰直角三角形，AC BC =，BC 交x 轴于点D ．（1）若()4,0A -，()0,2C ，直接写出点B 的坐标 ；（2）如图，三角形OAB 与ACD △均为等腰直角三角形，连OD ，求AOD ∠的度数；（3）如图，若AD 平分BAC ∠，()4,0A -，(),0D m ，B 的纵坐标为n ，求2n m +的值．12．已知抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D 是直线BC下方抛物线上的动点．(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，过D作DE∥y轴交BC于E，点P是BC下方抛物线上的动点（P在D的右侧），过点P作PQ∥y轴交BC于Q，若四边形EDPQ为平行四边形．且周长最大．求点P的坐标；(3)如图2，当D点横坐标为1时，过A且平行于BD的直线交抛物线于另一点E，若M在x轴上，是否存在这样点的M，使得以M、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，OB＝4，OA＝3，F是BC边上一个动点（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝kx（k＞0）的图象与边AC交于点E．(1)当BF＝13BC时，求点E的坐标；(2)连接EF，求∠EFC的正切值；(3)将△EFC沿EF折叠，得到△EFG，当点G恰好落在矩形AOBC的对角线上时，求k的值．14．在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点A，B（点B 在点A的右侧）．抛物线顶点为C点，△ABC为等腰直角三角形．(1)求此抛物线解析式．(2)若直线与抛物线有两个交点，且这两个交点与抛物线的顶点所围成的三角形面积等于6，求k的值．(3)若点，且点E，D关于点C对称，过点D作直线2l交抛物线于点M，N，过点E作直线轴，过点N作于点F，求证：点M，C，F三点共线．15．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，将一张和△ABC一样大的纸片和△ABC重叠放置，点E是边BC上一点（不含点B、C），将△OCE 沿着OE翻折，点C落在点P处．(1)直接写出∠OBC、∠OCB的数量关系是．(2)连接DE，设△OPE的面积为S1，△ODE的面积为S2，在点E取边BC上每一点（除点B、C）的过程中，S1+S2的值是否变化？如果变化，请求出它的取值范围；如果不变，请求出S1+S2的值；(3)分别连接PD、PC，当点P与点B重合时，易知PO•PC＝PE•PD，当点P不与点B重合时，PO•PC＝PE•PD是否成立？请在图3、图4中选一种情况进行证明．16．如图，ABD△内接于O中，弦BC交AD于点E，连接CD，BG CD⊥交CD的延长线于点G，BG交O于点H，2∠=∠．ABC GBD(1)如图1，求证：DB平分GDE∠；(2)如图2，CN AB⊥于点N，CN＝CG，求证：AN＝HG；(3)如图3．在（2）的条件下，点F在AE上，连接BF、CF，且BF CF⊥，∠=∠，BC＝5．求AE的长．BCN CBF217．【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD的取值范围是__________【应用】如图②，如图，在△ABC中，D为边BC的中点、已知AB＝10，AC＝6，AD＝4，求BC的长．【拓展】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作D F⊥DE交边AC于点F，连结EF．已知BE＝5，CF＝6，则EF的长为__________.18．如图，点P是矩形ABCD的边AB的其中一个四等分点（点P靠近点A），8AB ，将直角三角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AD、DC于点E，F，（如图1）．(1)当点E与点D重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求AD的长；(2)探究：将直尺从图2中的位置开始，绕点P逆时针旋转，当点E和点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；②求出从点E与D重合开始，到点E与点A重合结束，线段EF的中点经过的路线的长度．19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．(1)求证：△DEF ∽△GDF ： (2)求证： BC 是⊙O 的切线： (3)若cos∠CAE ＝32，DF ＝102，求线段GF 的长． 20．如图，抛物线y ＝－212x ＋32x ＋2与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，点C 在y 轴右侧的抛物线上，且AC ＝BC ，求点C 的坐标；（3）如图2，将△ABO 绕平面内点P 顺时针旋转90°后，得到△DEF （点A ，B ，O 的对应点分别是点D ，E ，F ），D ，E 两点刚好在抛物线上． ①求点F 的坐标； ②直接写出点P 的坐标．【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题 1．(1) 51或(3)存在，点Q的坐标为（﹣2﹣3，0）或（0，）或（1，0）【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）MP∥CO，则，进而求解；（3）当点Q在BD′的右侧时，连接BD′，过点D′分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F （1，0）、E，tan∠EBD′=，故∠EBD′=30°=∠BD′F，故点Q与点F重合时，∠BD′F=∠BD′Q=30°；当点Q在BD′的左侧时，设点Q′D′交x轴和y轴分别为点Q′、Q″，求出直线D′Q′的表达式，即可求解．(1)解：将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：；(2)∵MP∥CO，则，∵N是线段BC的黄金分割点，∴或，即或，而OB＝1，故MO＝512-或，即点P到x轴的距离为：512-或；(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，点D（1，43），则将抛物线向上平移个单位长度，点D的对应点为D′的坐标为（1，3+1），①当点Q在BD′的右侧时，连接BD′，过点D′分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F（1，0）、E，则BE3﹣13ED′＝1，∴tan∠EBD′＝，故∠EBD′＝30°＝∠BD′F，故点Q与点F重合时，∠BD′F＝∠BD′Q＝30°，即点Q的坐标为（1，0）；②当点Q在BD′的左侧时，设点Q′D′交x轴和y轴分别为点Q′、Q″，则∠BD′Q′＝30°，故∠Q′Q″O＝30°+30°＝60°，则∠D′Q′O＝90°﹣60°＝30°，故设直线Q′D′的表达式为y 3+t，将点D′的坐标代入上式得：3t，解得t＝，故直线D′Q′的表达式为y＝33x+，对于y＝33x+，令y＝33x+＝0，解得x＝﹣2﹣3，令x＝0，则y＝，故点Q′、Q″的坐标分别为（﹣2﹣3，0）、（0，），综上，点Q的坐标为（﹣2﹣3，0）或（0，）或（1，0）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．2．（1）i：（0，5）；ii：AT=52；（2）t=120s2+5．【解析】【分析】（1）i：如图①中，根据翻折变换的性质以及勾股定理得出BD的长，进而得出AE，EO的长即可得出答案．ii：如图②中，连接ET．证明△CET是直角三角形，由勾股定理得2222ED TD TC EC+=-，代入数据计算即可求出AT．（2）根据H点坐标得出各边长度，进而利用勾股定理求出t与s的关系即可．【详解】解：（1）i：如图①中，∵OA=8，OC=10，根据折叠的性质，∴OC=DC=10，∵BC=OA=8，∴BD2222108CD BC--，∴AD=10-6=4，设AE =x ，则EO =8-x ，∴x 2+42=（8-x ）2，解得：x =3，∴AE =3，则EO =8-3=5，∴点E 的坐标为：（0，5）；故答案为：（0，5）； ii ：如图②中，连接ET ．∵点E 是AO 的中点，∴EA =EO ，∵OE =ED ，EC =EC ，∠EOC =∠EDC =90°，∴Rt △ECD ≌Rt △ECO （HL ），∴∠CEO =∠CED ，同法可证，Rt △ETA ≌Rt △ETD （HL ），∴∠AET =∠DET ，∴∠DET +∠CED =90°，即∠CET =90°，由折叠的性质得：ED =EO =12OA =5，OC =CD =10，AT =TD ， 222125EC EO OC =+=， 设AT =x ，则TD =x ，∵2222ED TD TC EC +=-，即()222510125x x +=+-， 解得：52x =∴AT =52； （2）如图③中，过点H 作HW ⊥OC 于点W ，根据折叠的性质得：∠1=∠2，∵EG∥OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴EH=HC，设H（t，s），∴EH=HC=t，WC=10-t，HW=s，∴HW2+WC2=HC2，∴s2+（10-t）2=t2，∴t与s之间的关系式为：t=120s2+5．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，熟练构建直角三角形利用勾股定理得出相关线段长度是解题关键．3．（1）见解析；（2）y2x22（0≤x≤8），23）4：5【解析】【分析】（1）利用已知得出∠E=∠CFB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到y 和x的数量关系，进而求出y与x的函数关系式；（3）首先证明△ADE∽△BFD，表示出ED，DF，EA，DB，AD，BF，再利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）证明：∵∠A＝∠EFC，∴∠E+∠EFA＝∠EFA+∠CFB，∴∠E＝∠CFB，∵∠A＝∠B，∴△AFE∽△BCF；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝22AC BC+＝8，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠A＝∠B＝∠CFE＝45°，由（1）可得△AFE∽△BCF，∴AE AFBF BC=，即842y xx-=，∴y＝﹣28x2+2x（0≤x≤8），∴当x＝4时，y最大＝22；（3）解：连接DE，DF，∵△EFC与△EFD关于EF对称，∴∠EDF＝∠ECF＝60°，EC＝ED，FC＝FD，∵∠BDF+∠EDF＝∠BDE＝∠A+∠DEA，∵∠EDF＝∠A＝60°，∴∠BDF＝∠DEA，∴△ADE∽△BFD，设AD＝x，CE＝DE＝a，CF＝DF＝b，∵AD：BD＝1：2，∴DB＝2x，∴AB＝3x＝AC＝BC，∴AE＝3x﹣a，BF＝3x﹣b，∵△ADE∽△BFD，∴DE EA AD DF DB BF==，∴323a x a xb x x b-==-，由前两项得，2ax＝b（3x﹣a），由后两项得，（3x﹣a）（3x﹣b）＝2x2，即：3x（3x﹣a）﹣b（3x﹣a）＝2x2，∴3x（3x﹣a）﹣2ax＝2x2，∴a ＝75x ， ∴3425a x ab x -==， ∴CE ：CF ＝4：5．【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，圆的有关知识，勾股定理以及二次函数最值等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．4．（1）120°；（2）见解析；（3）215 【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360°，即可得出答案；（2）利用SAS 证明△BED ≌△BEO ，得∠BDE ＝∠BEO ，连接OC ，设∠EAF ＝α，则∠AFE ＝2α，则∠EFC ＝180°−∠AFE ＝180°−2α，可证∠EFC ＝∠AOC ＝2∠ABC 即可；（3）过点O 作OM ⊥BC 于M ，由（1）知∠BAC ＝60°，再证明△DBG ∽△CBA ，得2ΔΔ()DBG ABC S BD S BC =，再根据4DH ＝3BG ，BG ＝2HG ，得DG ＝52GH ，则ΔΔBHG BDG S S ＝HG DG =25，从而解决问题．【详解】（1）解：在倍对角四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，∠A ＝2∠C ，∵∠A +∠B +∠C +∠D ＝360°，∴3∠B +∠3∠C ＝360°，∴∠B +∠C ＝120°，∴∠B 与∠C 的度数之和为120°；（2）证明：在△BED 与△BEO 中，BD BO EBD EBO BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BED ≌△BEO （SAS ），∴∠BDE ＝∠BEO ，∵∠BOE ＝2∠BCF ，∴∠BDE ＝2∠BCF连接OC ，设∠EAF ＝α，则∠AFE ＝2α，∴∠EFC ＝180°﹣∠AFE ＝180°﹣2α，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝α，∴∠AOC ＝180°﹣∠OAC ﹣∠OCA ＝180°﹣2α，∴∠EFC ＝∠AOC ＝2∠ABC ，∴四边形DBCF 是倍对角四边形；（3）解：过点O 作OM ⊥BC 于M ，∵四边形DBCF 是倍对角四边形，∴∠ABC +∠ACB ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∴BC ＝2BM 33，∵DG ⊥OB ，∴∠HGB ＝∠BAC ＝60°，∵∠DBG ＝∠CBA ，∴△DBG ∽△CBA ， ∴2ΔΔ()DBG ABC S BD S BC ＝13， ∵4DH ＝3BG ，BG ＝2HG ， ∴DG ＝52GH ，∴ΔΔBHG BDG S S ＝25HG DG =， ∵ΔΔ15315DBG ABC S S == ∴ΔΔBHG ABC S S ＝215． 【点睛】本题是新定义题，主要考查了圆的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，读懂题意，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．5．（1）213222y x x =-++；（2）存在，13(,4)2P ，235(,)22P ，335(,)22P -；（3）点()2,1E【解析】【分析】（1）把()1,0A -，()0,2C 代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求解抛物线的对称轴3,2x = 再求解CD 的长，由CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，可得123CP DP DP CD ===．再作CH ⊥对称轴于点H ，从而可得答案；（3）先求解()4,0B ．再求解直线BC 的解析式为122y x =-+．过点C 作CM EF ⊥于M ，设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，根据BCD CEF BEF CDBF S S S S =++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅列函数关系式，从而可得答案.【详解】解：（1）∵抛物线212y x mx n =-++经过()1,0A -，()0,2C ， ∴10,22,m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩解得3,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++． （2）∵22131325222228y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴抛物线的对称轴是直线32x =．∴32OD =． ∵()0,2C ，∴2OC =．在Rt OCD △中，由勾股定理，得2235222CD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ∵CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，∴123CP DP DP CD ===．作CH ⊥对称轴于点H ，∴12HP HD ==．∴14DP =．∴13(,4)2P ，235(,)22P ，335(,)22P -． （3）当0y =时，由2132022x x -++=，解得11x =-，24x =， ∴()4,0B ．设直线BC 的解析式为y kx b =+，得2,40,b k b =⎧⎨+=⎩解得1,22.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为122y x =-+． 过点C 作CM EF ⊥于M ，设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭． ∵BCD CEF BEF CDBF S S S S =++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅ 2215111122(4)2222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225134(2)22a a a =-++=--+． ∴根据题意04a ≤≤，∴当2a =时，CDBF S 四边形的最大值为132，此时点()2,1E ． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数与等腰三角形，图形面积的最值问题，灵活运用二次函数的图象与性质解决问题是解题的关键.6．（1）(3,0)-；（2）①2(1)4y x =--+；②1x <-；（3）①5350；②不在，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，点N 和点M 关于1x =-轴对称，求解即可；（2）①先求得抛物线C 的解析式，再根据关于y 轴对称，求得抛物线1C 即可；②根据二次函数的性质，求解即可；（3）①由抛物线解析式可得抛物线n C 与x 轴交点的坐标为(1,0)A -，(2,0)n B n +，求得线段1AB 、2AB 、……、100AB 的值，即可求解；②求得顶点1P 、2P 、3P ，求得13P P 的解析式，然后验证2P 是否在直线上．【详解】解：（1）由题意可得，点N 和点M 关于1x =-轴对称∵(1,0)M∴点(3,0)N -故答案为(3,0)-（2）①由（1）得，抛物线C 过点(1,0)M 、(3,0)N -、(0,3)D抛物线C 的解析式为31y a x x =+-()()，将点(0,3)D 代入解析式得：(03)(01)3a +-=解得1a =-∴22(3)(1)(23)(1)4y x x x x x =-+-=-+-=-++，顶点坐标为(1,4)-∵抛物线C 与抛物线1C 关于y 轴对称∴抛物线1C 的顶点为(1,4)，开口与抛物线C 相同∴抛物线1C 解析式为2(1)4y x =--+②抛物线C 的解析式为2(1)4y x =-++，由二次函数的性质可得，当1x <-时，y 随x 的增大而增大，抛物线1C 解析式为2(1)4y x =--+，由二次函数的性质可得，当1x <时，y 随x 的增大而增大， ∴当1x <-时，抛物线C 和抛物线1C 上y 都随x 的增大而增大， （3）①抛物线n C 的解析式为(1)(2)(1,2,3)y x x n n =-+--=可得抛物线n C 与x 轴交点的坐标为(1,0)A -，(2,0)n B n +，即1(3,0)B ，2(4,0)B ，……，100(102,0)B∴14AB =，25AB =，……，100103AB = ∴123100103455350AB AB AB AB =+++++=++②当1n =时，抛物线1C 的解析式为2(1)(3)(1)4y x x x =-+-=--+，1(1,4)P 当2n =时，抛物线2C 的解析式为2325(1)(4)()24y x x x =-+-=--+，2325(,)24P当3n =时，抛物线3C 的解析式为2(1)(5)(2)9y x x x =-+-=--+，3(2,9)P 设直线13P P 的解析式为y kx b =+，将点1(1,4)P ，3(2,9)P 代入得429k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得51k b =⎧⎨=-⎩，即51y x =- 当32x =时，3132551224y =⨯-=≠ ∴点2325(,)24P 不在直线13P P 上∴抛物线的顶点123,,,,n P P P P 不在一条直线上【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，涉及了待定系数法求解二次函数和一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．7．（1）（﹣1，﹣5），y ＝x ﹣4；（2）①a 的值为a ＝﹣2． 【解析】 【分析】（1）由“伴随直线”的定义即可求解；（2）①先求y ＝a （x −1）2−4a 的伴随直线为y ＝ax −5a ，再联立方程组2(1)45y a x ay ax a ⎧=--⎨=-⎩，求出A （1，−4a ），B （2，−3a ），C （−1，0），D （3，0），由于当△ABC 为等腰三角形时，只存在一种可能为AC ＝BC ，即可求a 的值；②先求直线BC 解析式为y ＝−ax −a ，过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ，设点P 的横坐标为x ，则P [x ，a （x −1）2−4a ]，Q （x ，−ax −a ），23127()228PBC S a x a ∆=--，即可求面积的最大值，进而求a 的值． 【详解】（1）∵抛物线y ＝（x +1）2﹣5，∴顶点坐标为（﹣1，﹣5），“伴随直线”为y ＝x ﹣4， 故答案为：（﹣1，﹣5），y ＝x ﹣4；（2）①由“伴随直线”定义可得：y ＝a （x ﹣1）2﹣4a 的伴随直线为y ＝ax ﹣5a ，联立2(1)45y a x a y ax a ⎧=--⎨=-⎩，解得14x y a =⎧⎨=-⎩或23x y a=⎧⎨=-⎩，∴A （1，﹣4a ），B （2，﹣3a ），在y ＝a （x ﹣1）2﹣4a 中，令y ＝0可解得x ＝﹣1或x ＝3， ∴C （﹣1，0），D （3，0）， ∴AC 2＝4+16a 2，BC 2＝9+9a 2，∵当△ABC 为等腰三角形时，只存在一种可能为AC ＝BC ，∴AC 2＝BC 2，即4+16a 2＝9+9a 2，解得=a ∵抛物线开口向下，∴a =∴若△ABC 为等腰三角形时，a 的值为 ②设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ， ∵B （2，﹣3a ），C （﹣1，0），∴200k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得k a b a =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 解析式为y ＝﹣ax ﹣a ，如图，过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ，设点P 的横坐标为x ， ∴P [x ，a （x ﹣1）2﹣4a ]，Q （x ，﹣ax ﹣a ）， ∵P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，∴22219(1)4(2)()24PQ a x a ax a a x x a x ⎡⎤=--++=--=--⎢⎥⎣⎦，∴23127()228PBC S a x a ∆=--， ∴当12x =时，△PBC 的面积有最大值278-a ， ∴S 取得最大值274时，即272784-=a ，解得a ＝﹣2．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题转化为直线与抛物线的知识是解题的关键．8．（1）见解析；（2）7；（3）2193．【解析】【分析】（1）根据两个菱形中，点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上这一特殊的位置关系和CE＝BH可证明相应的边和角分别相等，从而证明结论；（2）由AB＝BC，∠ABC＝60 ，可证明△ABC是等边三角形，从而证明∠AHB＝90°，再由△ABH≌△HEF，得∠HFE＝∠AHB＝90°，再得∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，在Rt△DPF 中用勾股定理求出DF的长；（3）作FM⊥BG于点M，当EH⊥BC时，可证明CH＝CM＝12CG＝12BH，从而求出BM、FM的长，再由勾股定理求出BF的长．【详解】解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，∴AB＝BC，CE＝EF，∵CE＝BH，∴BH＝EF，∵BH+CH＝CE+CH，∴BC＝HE，∴AB＝HE；∵点E 在BC 的延长线上，点G 在DC 的延长线上， ∴AB ∥DG ∥EF ， ∴∠B ＝∠E ， 在△ABH 和△HEF 中， BH EF B E AB HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABH ≌△HEF （SAS ）．（2）如图2，设FH 交CG 于点P ，连结CF ，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∵BH ＝CH ， ∴AH ⊥BC ， ∴∠AHB ＝90°，由（1）得，△ABH ≌△HEF ， ∴∠HFE ＝∠AHB ＝90°， ∵DG ∥EF ，∴∠DPF ＝180°﹣∠HFE ＝90°， ∴PF ⊥CG ，∵CG ＝FG ，∠G ＝∠E ＝∠B ＝60°， ∴△GFC 是等边三角形， ∴PC ＝PG ＝12CG ；∵BC ＝AB ＝2， ∴CG ＝EF ＝BH ＝12BC ＝1，∴PC ＝12；∵CD ＝AB ＝2， ∴PD ＝12+2＝52， ∵CF ＝CG ＝1，∴PF 2＝CF 2﹣PC 2＝12﹣（12）2＝34， ∴22253()724DF PD PF =+=+=．（3）如图3，作FM ⊥BG 于点M ，则∠BMF ＝90°，∵EH ⊥BC ，即EH ⊥BG ， ∴EH ∥FM ，∵∠CEF ＝∠ACB ＝60°， ∴EF ∥MH ，∴四边形EHMF 是平行四边形， ∵∠EHM ＝90°， ∴四边形EHMF 是矩形， ∴EH ＝FM ；∵EF ＝EC ，∠CEF ＝60°， ∴△CEF 是等边三角形， ∴CE ＝CF ，∵∠EHC ＝∠FMC ＝90°， ∴Rt △EHC ≌Rt △FMC （HL ）， ∴CH ＝CM ＝12CG ；∵CG ＝CE ＝BH ， ∴CH ＝12BH ，∴CM ＝CH ＝13BC ＝13×2＝23，∴CF ＝CG ＝2CM ＝2×23＝43， ∴2FM ＝（43）2﹣（23）2＝43，∵BM ＝2+23＝83，∴2224876219()339BF FM BM =++==． 【点睛】本题主要考查了几何综合，其中涉及到了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质等，熟悉掌握几何图形的性质和合理做出辅助线是解题的关键．9．（1）抛物线表达式为211242y x x =-++；直线表达式为122y x =-+；（2）△BQC的面积的最大值为2（3）△PBE 的面积为58（4）点N的坐标为（5（5235，45-）或（92，14）． 【解析】 【分析】（1）首先根据二次函数的对称性求出点B 的坐标，然后利用待定系数法把点的坐标代入表达式求解即可；（2）过Q 点作QH 垂直x 轴交BC 于点H ，连接CQ ，BQ ，由二次函数表达式设点Q 的坐标为（x ，211242x x -++），表示出△BQC 的面积，根据二次函数的性质即可求出△BQC的面积的最大值；（3）根据题意设出点P 坐标为（m ，211m m 242-++），E 点坐标为（m ，122m -+），D 点坐标为（m ，0），表示出OD 和PE 的长度，根据OD ＝4PE 列出方程求出m 的值，即可求出PE 和BD 的长度，然后根据三角形面积公式求解即可；（4）当BD 是菱形的边和对角线时两种情况分别讨论，设出点M 和点N 的坐标，根据菱形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x ＝1，A （﹣2，0）， ∴B 点坐标为（4，0），∴将A （﹣2，0），B （4，0），C （0，2），代入y ＝ax 2+bx +c 得，42016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：14122a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的表达式为211242y x x =-++；设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，∴将B （4，0），C （0，2），代入y kx b =+得，4002k b b +=⎧⎨+=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为122y x =-+． （2）如图所示，过Q 点作QH 垂直x 轴交BC 于点H ，交x 轴于点M ，连接CQ ，BQ ，设点Q 的坐标为（x ，211242x x -++），点H 的坐标为（x ，122x -+），∴HQ =221111224224x x x x x ⎛⎫-++--+=-+ ⎪⎝⎭，∴()221111111422222242QBC QHC QHB S S S QH OM QH BM QH OM BM QH OB x x x x ⎛⎫=+=+=+==⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭△△△， ∴当221222bx a=-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，2122222S =-⨯+⨯=， ∴△BQC 的面积的最大值为2；（3）设点P 坐标为（m ，211m m 242-++），E 点坐标为（m ，122m -+），D 点坐标为（m ，0），∴221111222424PE m m m m m ⎛⎫=-+--++=- ⎪⎝⎭，OD m =，∵OD ＝4PE ，∴21=44m m m ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，整理得：250m m -=，解得：10m =(舍去)，25m =，∴2211555444PE m m =-=⨯-=，D 点坐标为（5，0）， ∴BD =1，∴115512248PBE S PE BD ==⨯⨯=△； （4）如图所示，当BD 是菱形的边时，BM 是菱形的边时，∵四边形BDNM 是菱形， ∴BD =BM =MN ，∴设M 点坐标为（a ，122a -+），N 点坐标为（a +1，122a -+），又∵B 点坐标为（4，0），D 点坐标为（5，0）， ∴BD =1，()221422BM a a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭， ∵BD =BM ， ∴BD 2=BM 2， ∴()2214212a a ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭， 整理得：2540760a a -+=， 解得：1225254455a a =+=-，， ∴N 点坐标为（2555+，55-）或（2555-，55）， 当BD 是菱形的边时，DM 是菱形的边时，∵四边形BDMN 是菱形，B 点坐标为（4，0），D 点坐标为（5，0）， ∴BD =MN =DM =1，∴设M 点坐标为（b ，122b -+），N 点坐标为（b -1，122b -+）， ∴DM2=()221522b b ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭， ∵BD =DM ， ∴BD 2=DM 2，∴()2215212b b ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭， 整理得：25481120b b -+=， 解得：122845b b ==，(舍去)， ∴N 点坐标为（235，45-）；当BD 是菱形的对角线时，∵四边形BMDN 是菱形，B 点坐标为（4，0），D 点坐标为（5，0）， ∴M 点横坐标为45922+=， 将92x =代入122y x =-+得：y =14-， ∴M 点的坐标为（92，14-），又∵点M 和点N 关于x 轴对称， ∴点N 的坐标为（92，14）．综上所述，点N 的坐标为（25552555235，45-）或（92，14）． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数表达式的求法，二次函数的性质，二次函数中三角形最大面积问题，菱形存在性问题等知识，解题的关键是根据题意设出点的坐标，表示出三角形面积，根据菱形的性质列出方程求解．10．(1)①见解析；②见解析；③7 (2)57221+77【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质得到CB CE =，求得EBC BEC ∠=∠，根据平行线的性质得到EBC BEA ∠=∠，于是得到结论；②如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，根据角平分线的性质得到AB BQ =，求得=CG BQ ，根据全等三角形的性质得到BH GH =，根据三角形的中位线定理即可得到结论； ③如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，解直角三角形即可得到结论．（2）如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，根据旋转的性质得到4==CE BC ，2CD AB ==，解直角三角形得到1NG =，3PG =，根据三角形的面积公式即可得到结论．(1)解：①证明：矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，CB CE ∴=，EBC BEC ∴∠=∠，又//AD BC ，EBC BEA ∴∠=∠， BEA BEC ∴∠=∠，BE ∴平分AEC ∠；②证明：如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，BE 平分AEC ∠，BA AE ⊥，BQ CE ⊥，AB BQ ∴=，CG BQ ∴=，90BQH GCH ∠=∠=︒，BQ AB CG ==，BHQ GHC ∠=∠， ()BHQ GHC AAS ∴∆≅∆，即点H 是BG 中点， 又点P 是BC 中点，//PH CG ∴；③解：如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，22BC AB ==，1BQ ∴=，30BCQ ∴∠=︒，90ECG ∠=︒， 60GCM ∴∠=︒， 1CG AB CD ===，32GM ∴=，12CM =， 222253()()722BG BM MG ∴=+=+=；(2)解：如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，24BC AB ==，2AB ∴=，将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，4CE BC ∴==，2CD AB ==，点A ，E ，D 第二次在同一直线上，90CDE，12CD CE ∴=，60DCE ∴∠=︒，30NCG ∴∠=︒，2CG =， 1NG ∴=，3PG =，523DBG DBC DCG BCG S S S S ∆∆∆∆∴=++=+，2227BG BP PG =+=，25722177DBG S DM BG ∆∴==+． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是正确地作出辅助线．11．（1）(2,2)-；（2）90°；（3）4- 【解析】 【分析】（1）如图1中，作BH y ⊥轴于H ．只要证明()ACO CBH AAS △≌△即可解决问题； （2）过C 作CK x ⊥轴交OA 的延长线于K ，求证ACK DCO △≌△即可求出AOD ∠的度数可求；（3）作BE x ⊥轴于点E ，并延长交AC 的延长线于点F ，证明()ABE AFE ASA △≌△，由全等三角形的性质得出BE FE =，证明()ACD CBF ASA △≌△，得出BF AD =，则可得出答案． 【详解】解：（1）如图1中，作BH y ⊥轴于H ．(4,0)-A ，(0,2)C ，4∴=OA ，2OC =，90AOC ACB BHC ∠=∠=∠=︒，90ACO BCH ∴∠+∠=︒，90CAO ACO ∠+∠=︒，CAO BCH ∴∠=∠，在ACO △与CBH 中，AOC BHCCAO BCH AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACO CBH AAS ∴△≌△，4CH OA ∴==，2BH OC ==， 2OH CH OC ∴=-=，(2,2)C ∴-，故答案为：(2,2)-；（2）如图所示，过C 作CK x ⊥轴交OA 的延长线于K ，则90OCK ∠=︒，∵AOB 为等腰直角三角形， ∴45AOB ∠=︒， 又∵90OCK ∠=︒，∴9045K AOB AOB ∠=︒-∠=︒=∠， ∴OC CK =，ACD 为等腰直角三角形， 90ACD ∴∠=︒，AC DC =，90ACO OCD ∴∠+∠=︒，又∵90OCK ∠=︒，90ACO ACK ∴∠+∠=︒， ACK OCD ∴∠=∠，在ACK 与DCO 中，CK OC ACK OCD AC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACK DCO SAS ∴△≌△，45DOC K ∴∠=∠=︒， 90AOD AOB DOC ∴∠=∠+∠=︒；（3）如图2中，作BE x ⊥轴于点E ，并延长交AC 的延长线于点F ，(4,0)-A ，(,0)D m ，4AD m ∴=+，AD 平分BAC ∠， BAE FAE ∴∠=∠，∵BE x ⊥轴于点E ，90AEB AEF ∴∠=∠=︒，在ABE △和AFE △中， AEB AEF AE AEBAE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABE AFE ASA ∴△≌△，BE FE ∴=，∵B 的纵坐标为n ，且点B 在第四象限，BE FE n ∴==-， 2BF BE FE n ∴=+=-， 90ACB AEB ∠=∠=︒，90CAD CDA CBF BDE ∴∠+∠=∠+∠=︒，又∵CDA BDE ∠=∠，CAD CBF ∴∠=∠，在ACD △和BCF △中，ACD BCF AC BCCAD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ACD CBF ASA ∴△≌△，AD BF ∴=，42m n ∴+=-，即：24m n +=-， ∴2n m +的值为4-． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，坐标与图形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．12．(1)y＝x﹣4(2)P（4）(3)存在，M（，0）或（﹣17，0）【解析】【分析】（1）先分别求出A、B、C三点的坐标，即可利用待定系数法求出直线BC的解析式；（2）设E（x1，x1﹣4），Q（x2，x2﹣4），则D（x1，x12﹣3x1﹣4），P（x2，x22﹣3x2﹣4），由平行四边形的性质得到ED＝QP，即（x1﹣4）﹣（x12﹣3x1﹣4）＝（x2﹣4）﹣（x22﹣3x2﹣4），从而推出x1+x2＝4，再由四边形EDPQ的周长（0＜x＜4），即可利用二次函数的性质得到答案；（3）分△AEB∽△BDM和△AEB∽△BM′D，利用相似三角形的性质求解即可．(1)解：∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，∴令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x2﹣3x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴C（0，﹣4），A（﹣1，0），B（4，0），设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），∴把B、C坐标代入上式得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4；(2)解：如图1，过D作轴交BC于E，点P是BC下方抛物线上动点（P在D的右∥轴交BC于Q，侧），过点P作PQ y又∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，直线BC的解析式为：y＝x﹣4，∴设E（x1，x1﹣4），Q（x2，x2﹣4），则D（x1，x12﹣3x1﹣4），P（x2，x22﹣3x2﹣4），若四边形EDPQ为平行四边形，则ED＝QP，即（x1﹣4）﹣（x12﹣3x1﹣4）＝（x2﹣4）﹣（x22﹣3x2﹣4），∴，∴解得：x1＝x2（不合题意，应舍去），x1+x2＝4，∵，ED＝4x1﹣x12，又∵四边形EDPQ的周长把x2＝4﹣x1代入上式得：四边形EDPQ的周长（0＜x＜4），∵﹣2＜0，∴当时，四边形EDPQ的周长有最大值12，此时，∴P（，）；(3)解：如图2，若DM∥EB，则∠DMB＝∠EBM，∵AE∥DB，∴∠EAB＝∠DBM，∴△AEB∽△BDM，∴，∵xD＝1，∴yD＝1﹣3﹣4＝﹣6，∴D（1，﹣6），∵B（4，0），D（1，﹣6），∴yBD＝2x﹣8，∵AE∥BD，∴设yAE＝2x+n并把A（﹣1，0）代入得：yAE＝2x+2，联立，解得：（与A重合，应舍去）或，∴，，∴，∴，∴,∴M（，0），②如图3，若∠DM′B＝∠BEA且∠EAB＝∠DBM′，∴△AEB∽△BM′D，∴，∴，∴BM′＝21，∴OM′＝BM′﹣BO＝21﹣4＝17，∴M′（﹣17，0），综上所述，M（，0）或（﹣17，0）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，二次函数与平行四边形，二次函数与相似三角形，一次函数与二次函数综合等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．13．(1)E（43，3）(2)4 3(3)k＝6【解析】【分析】（1）由OB=4、OA=3，求出点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（4，0）、（4，3），由BF=13BC得到点F（4，1），进而求解；（2）F点的横坐标为4，则F（4，），E的纵坐标为3，则E（，3），进而求解；（3）当点G落在对角线AB上时，得到EF∥AB，则MF是△CGB的中位线，则点F是BC 的中点，即可求解；当点G落在OC上时，由①知，CG⊥AB，如果G落在OC上，则OC⊥AB，由题意得AB和OC不垂直，故该情况不存在．(1)解：∵OB=4，OA=3，∴点A、B的坐标分别为：（0，3）、（4，0）∵四边形OACB为矩形，则点C（4，3），当BF=13BC时，点F（4，1），将点F的坐标代入y=kx并解得：k=4，故反比例函数的表达式为：y=4x，当y=3时，x=43，故E（43，3）；(2)解：∵F点的横坐标为4，点F在反比例函数上，∴F（4，），∴CF=BC-BF=3-=，∵E的纵坐标为3，∴E（，3），∴CE=AC-AE=4-13k=，在Rt△CEF中，tan∠EFC==43；(3)①当点G落在对角线AB上时，在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACBC=43=tan∠EFC，故EF∥AB，连接CG交EF于点M，则MG=MC，即点M是CG的中点，而EF∥AB，故MF是CGB的中位线，则点F是BC的中点，故点F的坐标为（4，32），将点F的坐标代入反比例函数表达式得：k=4×32=6；②当点G落在OC上时，由①知，CG⊥AB，如果G落在OC上，则OC⊥AB，由题意得AB和OC不垂直，故点G不会落在OC上；综上，k=6．【点睛】。
中考数学压轴题100题精选(71-80题)
中考数学压轴题100题精选（71-80题）【071】已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（第24题图）【072】如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4．①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当42<<t 时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．上是否存在点P ，使PDE ∆为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．【073】)如图，半径为O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．(1)求证：PA·PB=PC·PD；(2)设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD：(3)若AB=8，CD=6，求OP的长．第23题图【074】如图，在平面直角坐标系中，点1O 的坐标为(40) ，，以点1O 为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A B ，两点，过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°的角，且交y 轴于C 点，以点2(135)O ，为圆心的圆与x 轴相切于点D ． （1）求直线l 的解析式；（2）将2O ⊙以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，当2O ⊙第一次与1O ⊙外切时，求2O ⊙平移的时间．【075】如图11，已知抛物线b ax ax y --=22（0>a ）与x 轴的一个交点为(10)B -，，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ． ①求抛物线的解析式；②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以E F A B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．图11【076】如图，抛物线n mx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，四边形OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D （5，2），连结BC 、AD . （1）求C 点的坐标及抛物线的解析式；（2）将△BCH 绕点B 按顺时针旋转90°后 再沿x 轴对折得到△BEF （点C 与点E 对应），判断点E 是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点E 的直线交AB 边于点P ，交CD 边于点Q . 问是否存在点P ，使直线PQ 分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【077】已知直线m x y +-=43与x 轴y 轴分别交于点A 和点B ，点B 的坐标为（0，6） （1）求的m 值和点A 的坐标；（2）在矩形OACB 中，点P 是线段BC 上的一动点，直线PD ⊥AB 于点D ，与x 轴交于点E ，设BP=a ，梯形PEAC 的面积为s 。
中考数学28道压轴题含答案解析
中考数学选填压轴题练习一．根的判别式（共1小题）1．（2023•广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（）A．﹣1B．1C．﹣1﹣2k D．2k﹣3【分析】首先根据关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，得判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，由此可得k≤1，据此可对进行化简．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，∴判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，整理得：﹣8k+8≥0，∴k≤1，∴k﹣1≤0，2﹣k＞0，∴＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k）＝﹣1．故选：A．二．函数的图象（共1小题）2．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．【解答】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣40＝45（分钟），小温游玩行走的时间为205﹣100＝105（分钟），设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米由图象可得：，解得：x+y+z＝2700，∴游玩行走的速度为：（2700﹣2100）÷10＝60 （米/分），由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为：3x+3y＝105×60＝6300，∴x+y＝2100，∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）．故选：B．三．动点问题的函数图象（共1小题）3．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．D．【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AO＝，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知AO＝OB＝，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO•cos30°，进而得出等边三角形ABC的边长．【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，\结合图象可知，当点P在AO上运动时，，∴PB＝PC，，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，∴OB＝，即AO＝OB＝，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3，∴AB＝AD+BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6．故选：A．四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）4．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x 轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC ＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为12，a的值为9．【分析】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D （﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．【解答】解：设A（m，），∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，∴E（，）．∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，∴B（﹣2m，﹣）．∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，∴D（﹣2m，﹣）．∵△ABE的面积为9，∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m••＝＝9．∴a﹣b＝12．∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，∴S△BDE＝DB•（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）••（）•m＝3（）＝5．∴a＝﹣3b．又a﹣b＝12．∴a＝9．故答案为：12，9．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）5．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA的中点，AC，BD交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式（）A．y＝﹣B．C．D．【分析】先根据函数图象经过点B和点E，求出a和b，再由所得函数解析式即可解决问题．【解答】解：由题知，A（6，0），B（6，3），C（0，3），令直线AC的函数表达式为y1＝k1x+b1，则，解得，所以．又因为点D为OA的中点，所以D（3，0），同理可得，直线BD的函数解析式为y2＝x﹣3，由得，x＝4，则y＝4﹣3＝1，所以点E坐标为（4，1）．将B，E两点坐标代入函数解析式得，，解得．所以，则，将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数解析式为：．故选：D．6．如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．（1）k＝；（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为4．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出A、B两点坐标，作出辅助线，证得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，∴，∴，∵C是OB的中点，∴OC＝BC＝AC＝2，如图，过点C作CP⊥OA于P，∴△OPC≌△APC（HL），∴，在Rt△OPC中，PC＝，∴C（，1）．∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，∴，解得k＝．故答案为：．（2）设直线AC的解析式为y＝k1x+b（k≠0），则，解得，∴AC的解析式为y＝﹣x+2，∵AC∥BD，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，∴联立得，解得，，当D的坐标为（2+3，）时，BD2＝＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；当D的坐标为（2﹣3，）时，BD2＝+＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；综上，OB2﹣BD2＝4．故答案为：4．六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）7．（2023•湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠﹣2），点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数的图象上．当p﹣m与q﹣n的积为负数时，t的取值范围是（）A．或B．或C．﹣3＜t＜﹣2或﹣1＜t＜0D．﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得k1＝k2．令k1＝k2＝k，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出p﹣m与q﹣n的表达式，代入解不等式（p﹣m）（q﹣n）＜0并求出t的取值范围即可．【解答】解：∵y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，∴k1＝k2．令k1＝k2＝k（k＞0），则y＝k1x＝kx，＝．将点A（t，p）和点B（t+2，q）代入y＝kx，得；将点C（t，m）和点D（t+2，n）代入y＝，得．∴p﹣m＝kt﹣＝k（t﹣），q﹣n＝k（t+2）﹣＝k（t+2﹣），∴（p﹣m）（q﹣n）＝k2（t﹣）（t+2﹣）＜0，∴（t﹣）（t+2﹣）＜0．∵（t﹣）（t+2﹣）＝•＝＜0，∴＜0，∴t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0．①当t＜﹣3时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴t＜﹣3不符合要求，应舍去．②当﹣3＜t＜﹣2时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，∴﹣3＜t＜﹣2符合要求．③当﹣2＜t＜0时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴﹣2＜t＜0不符合要求，应舍去．④当0＜t＜1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，∴0＜t＜1符合要求．⑤当t＞1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴t＞1不符合要求，应舍去．综上，t的取值范围是﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1．故选：D．七．二次函数图象与系数的关系（共3小题）8．（2023•乐至县）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2，其中正确的结论是（）A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．∴﹣＝﹣2，a+b+c＝0，∴b＝4a，∴a+b+c＝a+4a+c＝0，故5a+c＝0，故②正确，∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c取得最小值，∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即2b+bm≥4a﹣am2（m为任意实数），故③错误，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，∴y1＜y2，故④正确；故选：C．9．（2023•丹东）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc＞0；②E（x1，y1），F（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx（a≠0）上的两个点，若x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程ax2+b（x﹣2）+c ＝﹣4（a≠0）无实数根，则b的取值范围是b＜1．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．【解答】解：根据所给函数图象可知，a＞0，b＞0，c＜0，所以abc＜0，故①错误．因为抛物线y＝ax2+bx的图象可由抛物线y＝ax2+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到，所以抛物线y＝ax2+bx的增减性与抛物线y＝ax2+bx+c的增减性一致．则当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，又x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，若x2＜﹣1，则E，F两点都在对称轴的左侧，此时y1＞y2．故②错误．作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，此时PC+PD的值最小．将A（﹣3，0）代入二次函数解析式得，9a﹣3b+c＝0，又，即b＝2a，所以9a﹣6a+c＝0，则c＝﹣3a．又抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），则点C坐标为（0，﹣3a），所以点C′坐标为（0，3a）．又当x＝﹣1时，y＝﹣4a，即D（﹣1，﹣4a）．设直线C′D的函数表达式为y＝kx+3a，将点D坐标代入得，﹣k+3a＝﹣4a，则k＝7a，所以直线C′D的函数表达式为y＝7ax+3a．将y＝0代入得，x＝．所以点P的坐标为（，0）．故③正确．将方程ax2+b（x﹣2）+c＝﹣4整理得，ax2+bx+c＝2b﹣4，因为方程没有实数根，所以抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝2b﹣4没有公共点，所以2b﹣4＜﹣4a，则2b﹣4＜﹣2b，解得b＜1，又b＞0，所以0＜b＜1．故④错误．所以正确的有③．故选：A．10．（2023•河北）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）A．2B．m2C．4D．2m2【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解．【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，若m＞0，则m2＝2m，∴m＝2，若m＜0时，则m2＝﹣2m，∴m＝﹣2．∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x＝，∴这两个函数图象对称轴之间的距离＝＝2．故选：A．八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）11．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac 的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，∵四边形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，设A（m，m），则B（0，2m），∴，解得am＝﹣1，m＝，∴ac的值为﹣2，故选：B．九．二次函数与不等式（组）（共1小题）12．（2023•西宁）直线y1＝ax+b和抛物线（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②抛物线与x轴一定有两个交点；③关于x的方程ax2+bx＝ax+b有两个根x1＝﹣4，x2＝1；④若a ＞0，当x＜﹣4或x＞1时，y1＞y2.其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．②③D．①④【分析】根据直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．得到b＝4a，于是得到＝ax2+4ax，求得抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；根据Δ＝16a2＞0，得到抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；把b＝4a，代入ax2+bx＝ax+b得到x2+3x﹣4＝0，求得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；根据a＞0，得到抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，于是得到结论．【解答】解：∵直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．∴﹣4a+b＝0，∴b＝4a，∴＝ax2+4ax，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；∵＝ax2+4ax，∴Δ＝16a2＞0，∴抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；∵b＝4a，∴方程ax2+bx＝ax+b为ax2+4ax＝ax+4a得，整理得x2+3x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；∵a＞0，抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，∴当x＜﹣4或x＞1时，y1＜y2.故④错误，故选：B．一十．三角形中位线定理（共1小题）13．（2023•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 1.2.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是3≤S≤4．【分析】依据题意，根据三角形中位线定理可得DE＝AM＝1.2；设AM＝x，从而DE＝x，由DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，FG＝AM，进而DE∥FG，DE＝FG，从而四边形DEFG是平行四边形，结合题意可得DE边上的高为（4﹣x），故四边形DEFG面积S＝4x﹣x2，进而利用二次函数的性质可得S的取值范围．【解答】解：由题意，点D，E分别是AB，MB的中点，∴DE是三角形ABM的中位线．∴DE＝AM＝1.2．如图，设AM＝x，∴DE＝AM＝x．由题意得，DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，FG＝AM，∴DE∥FG，DE＝FG．∴四边形DEFG是平行四边形．由题意，GF到AC的距离是x，BC＝＝8，∴DE边上的高为（4﹣x）．∴四边形DEFG面积S＝2x﹣x2，＝﹣（x﹣4）2+4．∵2.4＜x≤6，∴3≤S≤4．故答案为：1.2；3≤S≤4．一十一．矩形的性质（共2小题）14．（2023•宁波）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（）A．△ABE的面积B．△ACD的面积C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积【分析】作AG⊥ED于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形，AF⊥BC，可推导出S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，所以只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，于是得到问题的答案．【解答】解：作AG⊥ED于点G，交BC于点F，∵四边形BCDE是矩形，∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，∴S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，故选：C．15．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为2或1+．【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：①如图1，当∠MND＝90°时，则MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴MN∥AB，∵M为对角线BD的中点，∴AN＝DN，∵AN＝AB＝1，∴AD＝2AN＝2；如图2，当∠NMD＝90°时，则MN⊥BD，∵M为对角线BD的中点，∴BM＝DM，∴MN垂直平分BD，∴BN＝DN，∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，∴BN＝AB＝，∴AD＝AN+DN＝1+，综上所述，AD的长为2或1+．故答案为：2或1+．一十二．正方形的性质（共2小题）16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（）A．B．C．D．【分析】由正方形ABCD的边长为4及BG＝3CG，可求出BG的长，进而求出AG的长，证△ADE∽△GAB，利用相似三角形对应边成比例可求得AE、DE的长，证△ABF≌△DAE，得AF＝DE，根据线段的和差求得EF的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AGB，∵BG＝3CG，∴BG＝3，∴在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，∴AG＝，∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△GAB，∴AD：GA＝AE：GB＝DE：AB，∴4：5＝AE：3＝DE：4，∴AE＝，DE＝，又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝90°，又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF（同角的余角相等），∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE＝，∴EF＝AF﹣AE＝，∴tan∠EDF＝，故选：A．17．（2023•湖州）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是4cm．（2）若，则tan∠DAH的值是3．【分析】（1）将AE和FC用BE表示出来，再代入AE+FC＝11cm，即可求出BE的长；（2）由已知条件可以证明∠DAH＝∠CDG，从而得到tan∠DAH＝tan∠CDG，设AH＝x，DG＝5k，GH ＝4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan∠DAH＝tan∠CDG列方程，解出x，从而求出tan∠DAH 的值．【解答】解：（1）∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∵AE+FC＝11cm，∴BE+BF＝11cm，即BE+BE+EF＝11cm，即2BE+EF＝11cm，∵EF＝3cm，∴2BE+3cm＝11cm，∴BE＝4cm，故答案为：4；（2）设AH＝x，∵，∴可设DG＝5k，GH＝4k，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝EF＝FG＝GH＝4k，∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∠ABE＝∠CBF＝45°，∴CG＝CF+GF＝BF+4k＝BE+8k＝AH+12k＝x+12k，∠ABC＝∠ABE+∠CBF＝45°+45°＝90°，∵四边形ABCD对角互补，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠CDG＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠AHD＝∠CGD＝90°，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠CDG，∴tan∠DAH＝tan∠CDG，∴，即，整理得：x2+12kx﹣45k2＝0，解得x1＝3k，x2＝﹣15k（舍去），∴tan∠DAH＝＝＝3．故答案为：3．一十三．正多边形和圆（共1小题）18．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：（1）∠α＝30度；（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为2（结果保留根号）．【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON＝OM+BE，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出OM，BE即可．【解答】解：（1）作图如图所示，∵多边形是正六边形，∴∠ACB＝60°，∵BC∥直线l，∴∠ABC＝90°，∴α＝30°；故答案为：30°；（2）取中间正六边形的中心为O，作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，∴四边形ABFG为矩形，∴AB＝GF，∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，∴△ABC≌△GFH（SAS），∴BC＝FH，在Rt△PDE中，DE＝1，PE＝，由图1知AG＝BF＝2PE＝2，OM＝PE＝，∵，∴，∴，∵，∴，∴．∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2，故答案为：2．一十四．扇形面积的计算（共1小题）19．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为5．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为．【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得r，连接OE，取ED的中点T，连接OT，在Rt△OET中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，依题意，GH＝2＝GQ，∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4，又NK⊥QL，∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径，∵OH＝r﹣KH＝r﹣2，在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5；连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，过点O作OU⊥AM于点U.连接OA．由△OUN∽△NPM，可得＝＝，∴OU＝．MN＝2，∴NU＝，∴AU＝＝，∴AN＝AU﹣NU＝2，∴AN＝MN，∵AB∥PN，∴AB⊥OT，∴AS＝SB，∴NS∥BM，∴NS∥MP，∴M，P，B共线，又NB＝NA，∴∠ABM＝90°，∵MN＝NB，NP⊥MP，∴MP＝PB＝2，∴NS＝MB＝2，∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1，∴OS＝3，∵，设EF＝ST＝a，则，在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即，整理得5a2+12a﹣32＝0，即（a+4）（5a﹣8）＝0，解得：或a＝﹣4，∴题字区域的面积为．故答案为：．一十五．轴对称-最短路线问题（共1小题）20．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（）A．P A+PB的最小值为3B．PE+PF的最小值为2C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为3【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM 是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，P A+PB＝P A'+PB最小，即可得P A+PB 最小值A'B＝＝2，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF 最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为2，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE＝AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得S四边形ABCD＝（m﹣1）2+3，即知四边形ABCD面积的最小值为3，判断选项D正确．【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，∴DE∥BM，CE∥AM，∴四边形DECM是平行四边形，∵P为CD中点，∴P为EM中点，∵E在线段AB上运动，∴P在直线l上运动，由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，P A+PB ＝P A'+PB最小，此时P A+PB最小值A'B＝＝＝2，故选项A错误，符合题意；∵PM＝PE，∴PE+PF＝PM+PF，∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，∵F为AB的中点，∴MF⊥AB，∴MF为等边三角形ABM的高，∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴KE＝AE，TE＝BE，∴KT＝KE+TE＝AB＝2，∴CD≥2，∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，∴DE+CE+CD≥6，∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK＝AK＝m，CT＝BT＝2﹣m，∴S△ADK＝m•m＝m2，S△BCT＝（2﹣m）（2﹣m）＝m2﹣2m+2，S梯形DKTC ＝（m+2﹣m）•2＝2，∴S四边形ABCD＝m2+m2﹣2m+2+2＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意；故选：A．一十六．翻折变换（折叠问题）（共2小题）21．（2023•乐至县）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上移动，将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC，则OD的最大值为+1．【分析】过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，在Rt△ABO 中利用斜边中线性质求出OE，根据OE+DE≥OD确定当D、O、E三点共线时OD最大，最大值为OD ＝OE+DE．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，∵等边三角形ABC的边长为2，∴AB＝2，∠ABC＝60°，由翻折可知：∠DBC＝∠ABC＝60°，DB＝AB＝2，∴∠DBF＝60°，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠BDF＝30°，∴BF＝BD＝1，∴DF＝BF＝，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝OE＝AB＝1，∴EF＝BE+BF＝2，∴DE＝＝＝，∴OD≤DE+OE＝+1，∴当D、E、O三点共线时OD最大，最大值为+1．故答案为：+1．22．（2023•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝cm．【分析】作EH⊥BC于点H，由CF＝4cm，FB′＝1cm，求得B′C＝5cm，由折叠得BC＝B′C＝5cm，由菱形的性质得BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，因为CB′⊥AD于点F，所以∠BCB′＝∠CFD ＝90°，则∠BCE＝∠B′CE＝45°，DF＝＝3cm，所以∠HEC＝∠BCE＝45°，则CH＝EH，由＝sin B＝sin D＝，＝cos B＝cos D＝，得CH＝EH＝BE，BH＝BE，于是得BE+BE ＝5，则BE＝cm．【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，∵CF＝4cm，FB′＝1cm，∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm），由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，∵CB′⊥AD于点F，∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，∴∠BCE＝∠B′CE＝∠BCB′＝×90°＝45°，DF＝＝＝3（cm），∴∠HEC＝∠BCE＝45°，∴CH＝EH，∵＝sin B＝sin D＝＝，＝cos B＝cos D＝＝，∴CH＝EH＝BE，BH＝BE，∴BE+BE＝5，∴BE＝cm，故答案为：．一十七．旋转的性质（共1小题）23．（2023•西宁）如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接P A，将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′，连接CA′，若AD＝9，AB＝5，CA′＝2，则BP＝2．【分析】过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，根据旋转的性质得到P A＝P A′，再证明△ABP≌△PHA′得到PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝4﹣x，然后在Rt△A′CH中利用勾股定理得到x2+（4﹣x）2＝（2）2，于是解方程求出x即可．【解答】解：过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝9，∠B＝90°，∵将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′，∴P A＝P A′，∵∠P AB+∠APB＝90°，∠APB+∠A′PH＝90°，∴∠P AB＝∠A′PH，在△ABP和△PHA′中，，∴△ABP≌△PHA′（AAS），∴PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝9﹣x﹣5＝4﹣x，在Rt△A′CH中，x2+（4﹣x）2＝（2）2，解得x1＝x2＝2，即BP的长为2．故答案为：2．一十八．相似三角形的判定与性质（共2小题）24．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝（结果用含k的代数式表示）．【分析】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2•AB，即可求出的值．方法二：证明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，进而可以解决问题．【解答】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DF A，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DF A，∴∠FDE＝∠DF A，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴＝，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝＝，∴EC＝BC，∵＝k，∴BC＝k•AB，∴EC＝k•AB，∴＝，∴CF＝k2•AB，∴＝＝＝＝．方法二：如图，连接BF，∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB＝DF，∴BF⊥AC，设AB＝AC＝1，则BC＝k，设CF＝x，则AF＝1﹣x，由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，∴x＝，∴AF＝1﹣x＝，∴＝．故答案为：．25．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为15．【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．【解答】解：如图，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴＝，∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴阴影梯形的面积＝（HK+GF）•GH＝（1+4）×6＝15．故答案为：15．一十九．相似三角形的应用（共1小题）26．（2023•南京）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB 的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【分析】过点B作BC⊥AH，垂足为C，再证明A字模型相似△AOH∽△ABC，从而可得＝，过点A作AD⊥BH，垂足为D，然后证明A字模型相似△ABD∽△OBH，从而可得＝，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴∠AHO＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠OAH，∴△AOH∽△ABC，∴＝，∴＝，如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D，∵OH⊥BD，AD⊥BD，∴∠OHB＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠OBH，∴△ABD∽△OBH，∴＝，∴＝，∴+＝+，∴+＝，∴+＝1，解得：OH＝36，∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm，故选：A．二十．解直角三角形（共1小题）27．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C在x 轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为（﹣2，0）；点D的坐标为（﹣1﹣2，2+）或（﹣1+2，2﹣）．【分析】过点C作CE⊥AB于E，先求处AB＝5，再设BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，进而得BC ＝，由三角形的面积公式得S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即5×2t＝4×（3+OC），则OC＝﹣3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得，由此解出t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），此时OC＝﹣3＝2，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，由△BCD为等边三角形得，整理：，②﹣①整理得m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1＝0，解得n＝，进而再求出m即可得点D的坐标．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：∵点A（3，0），B（0，4），由两点间的距离公式得：AB＝＝5，设BE＝t，∵tan∠ABC＝2，在Rt△BCE中，tan∠ABC＝，∴＝2，∴CE＝2t，由勾股定理得：BC＝＝t，∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，∴S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即：5×2t＝4×（3+OC），∴OC＝﹣3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2﹣OB2＝OC2，即，整理得：t2﹣12t+20＝0，解得：t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），∴t＝2，此时OC＝﹣3＝2，∴点C的坐标为（﹣2，0），设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，∵△BCD为等边三角形，∵BD＝CD＝BC，∴，整理得：，②﹣①得：4m+8n＝12，∴m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）2+n2﹣8n＝4，整理得：n2﹣4n+1＝0，解得：n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，∴点D的坐标为或．故答案为：（﹣2，0）；或．二十一．解直角三角形的应用（共1小题）28．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5B．4C．3D．2【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，进而可求解n的值．【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故选：C．。
中考数学压轴题100题精选及答案(全)
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作 轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得 的面积最大，求出点D的坐标．
【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形 的两顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在原点.现将正方形 绕 点顺时针旋转，当 点第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中， 边交直线 于点 ， 边交 轴于点 （如图）.
【020】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为。
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
【008】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1） 求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
【009】一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 与 交于点 ，连接 ．
（3）设直线 与y轴的交点是 ，在线段 上任取一点 （不与 重合），经过 三点的圆交直线 于点 ，试判断 的形状，并说明理由；
（4）当 是直线 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．
中考数学综合压轴题100题(含答案)
中考数学综合压轴题100题（含答案）一、中考压轴题1．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC＝m，AF＝n，用含n的代数式表示m．【分析】（1）由等边三角形的性质知，OBA＝∠CBD＝60°，易得∠OBC＝∠ABD，又有OB＝AB，BC＝BD故有△OBC≌△ABD；（2）由1知，△OBC≌△ABD⇒∠BAD＝∠BOC＝60°，可得∠OAE＝60°，在Rt△EOA 中，有EO＝OA•tan60°＝，即可求得点E的坐标；（3）由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝，由切割线定理知，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，由勾股定理知，AE＝＝2，故建立方程：（）2＝（2﹣）（2+n），就可求得m与n关系．【解答】解：（1）两个三角形全等．∵△AOB、△CBD都是等边三角形，∴OBA＝∠CBD＝60°，∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠OBC＝∠ABD；∵OB＝AB，BC＝BD，△OBC≌△ABD；（2）点E位置不变．∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°；在Rt△EOA中，EO＝OA•tan60°＝，或∠AEO＝30°，得AE＝2，∴OE＝∴点E的坐标为（0，）；（3）∵AC＝m，AF＝n，由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝；又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，AE＝＝2，（）2＝（2﹣）（2+n）即2n2+n﹣2m﹣mn＝0解得m＝．【点评】命题立意：考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识，并且将这些知识与坐标系联系在一起，考查综合分析、解决问题的能力．2．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．3．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1∴Q点坐标为（﹣2，1）将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，∴可得k＝﹣2；（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．4．如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．【分析】（1）由△AOB的面积为2，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知k的值，得出反比例函数的解析式，然后把x＝4代入，即可求出b的值；（2）把点A的坐标代入y＝ax﹣3，即可求出这个一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，A（4，b），∴OB×AB＝2，×4×b＝2，∴AB＝b＝1，∴A（4，1），∴k＝xy＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，即k＝4，b＝1．（2）∵A（4，1）在一次函数y＝ax﹣3的图象上，∴1＝4a﹣3，∴a＝1．∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣3．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．5．如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，M是线段PQ的中点．如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2，P7，P100的坐标．【分析】通过作图可知6个点一个循环，那么P7的坐标和P1的坐标相同，P100的坐标与P4的坐标一样，通过图中的点可很快求出．【解答】解：P2的坐标是（1，﹣1），P7的坐标是（1，1），P100的坐标是（1，﹣3）．理由：作P1关于A点的对称点，即可得到P2（1，﹣1），分析题意，知6个点一个循环，故P7的坐标与P1的坐标一样，P100的坐标与P4的坐标一样，所以P7的坐标等同于P1的坐标为（1，1），P100的坐标等同于P4的坐标为（1，﹣3）．【点评】解决本题的关键是读懂题意，画出图形，仔细观察，分析，得到相应的规律．6．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，∵△BEC是等边三角形，∴CE＝BE，又AE＝DE，∴△AEC≌△DEB．（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥DC，AB＝＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，又∵BE＝CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，∴BF＝FC，∠EFB＝90°．∴OF＝AB＝×2＝1，∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝60°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB•cos30°＝，在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，∴BF＝BE•cos60°＝，EF＝BE•sin60°＝，∴OE＝EF﹣OF＝＝，∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE∴S阴影＝2S△AOE＝2וEO•BF＝2×××＝（cm2）．【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．7．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．8．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．9．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．10．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．11．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AB＝2，M、N分别是边AB、AC的中点，直线MN交⊙O于E、F两点，BD∥AC交直线MN于点D．求出图中线段DM上已有的一条线段的长．【分析】连接OA交MN于点G，则OA⊥BC，由三角形的中位线的性质可得MN的长，易证得△BMD≌△AMN，有DM＝MN，由相交弦定理得ME•MF＝MA•MB，就可求得EM，DE的值．【解答】解：∵M，N分别是边AB，AC的中点∴MN∥BC，MN＝BC＝1又∵BD∥AC∴∠DBA＝∠A＝60°∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMN∴△BMD≌△AMN∴DM＝MN＝1连接OA交MN于点G，则OA⊥BC∴OA⊥EF∴EG＝FG，MG＝FN由相交弦定理得：ME•MF＝MA•MB∴EM（EM+1）＝1解得EM＝（EM＝不合题意，舍去）∴DE＝DM﹣EM＝∴DE（3﹣DE）＝1解得DE＝（DE＝不合题意，舍去）．【点评】本题利用了三角形的中位线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的解法求解．12．如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；（4）求OA的长．[（2），（3），（4）中的结果保留π]．【分析】（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；（2）根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论；（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH＝＝即可∠NPH、∠MP A的度数，进而可得出的长，【解答】解：（1）∵⊙P的直径＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（3）点N所经过路径长为＝2π，S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π．（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣P A＝1，于是sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°．∴∠MP A＝60°．从而的长为＝，于是OA的长为π+4+π＝π+4．【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系．13．（1）已知一元二次方程x2+px+q＝0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q．（2）已知抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【分析】（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d＝|x1﹣x2|可知d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4 x1•x2＝p2，再由（1）中x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q即可得出结论．【解答】证明：（1）∵a＝1，b＝p，c＝q∴△＝p2﹣4q∴x＝即x1＝，x2＝∴x1+x2＝+＝﹣p，x1•x2＝•＝q；（2）把（﹣1，﹣1）代入y＝x2+px+q得1﹣p+q＝﹣1，所以，q＝p﹣2，设抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）∵d＝|x1﹣x2|，∴d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝p2﹣4q＝p2﹣4p+8＝（p﹣2）2+4当p＝2时，d2的最小值是4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解答此题的关键．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且＝，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB＝BP；（2）由（1）可得OB＝OP，即可求得AP的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．【解答】解：（1）OB＝BP．理由：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°，∵OA＝OC，∠OAC＝30°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠COP＝60°，∴∠P＝30°，在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP；（2）由（1）得OB＝OP，∵⊙O的半径是2，∴AP＝3OB＝3×2＝6，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，∵∠P＝30°，∴∠E＝90°，在Rt△AEP中，AE＝AP＝×6＝3．【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．15．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．16．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．（1）试求口袋里绿球的个数；（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．（2）红一红二黄绿红一红二，红一黄，红一绿，红一红二红一，红二黄，红一绿，红二黄红一，黄红二，黄绿，黄绿红一，绿红二，绿黄，绿故，P（两次都摸到红球）＝．【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）所求概率为；（2）方法①（树状图法）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为，方法②（列表法）1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．18．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．19．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．21．如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求的长；（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．【解答】解：（1）连接OE、OF，∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OF A＝90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝∴的长＝＝π．（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，连接OM1、OR，∵M1N1∥MN∴∠DM1N1＝∠DMN＝60°∴∠EM1N1＝120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O＝∠EM1N1＝60°在Rt△EM1O中，EM1＝＝＝1∴DM1＝AD﹣AE﹣EM1＝+5﹣﹣1＝4．过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK＝DM1×sin∠DM1K＝4×sin∠60°＝2即d＝2，∴当d＝2时，直线MN与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d＝DK+OR＝2+＝3＞4，∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．22．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；（3）B n∁n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，则∠B n AD＝，在直角△AB n D中，．【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．23．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．。
中考数学综合题压轴题100题精选(附答案解析)
中考数学综合题压轴题100题精选（附答案解析）一、中考压轴题1．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．2．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，∵△BEC是等边三角形，∴CE＝BE，又AE＝DE，∴△AEC≌△DEB．（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥DC，AB＝＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，又∵BE＝CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，∴BF＝FC，∠EFB＝90°．∴OF＝AB＝×2＝1，∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝60°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB•cos30°＝，在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，∴BF＝BE•cos60°＝，EF＝BE•sin60°＝，∴OE＝EF﹣OF＝＝，∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE∴S阴影＝2S△AOE＝2וEO•BF＝2×××＝（cm2）．【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．3．如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，M是线段PQ的中点．如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2，P7，P100的坐标．【分析】通过作图可知6个点一个循环，那么P7的坐标和P1的坐标相同，P100的坐标与P4的坐标一样，通过图中的点可很快求出．【解答】解：P2的坐标是（1，﹣1），P7的坐标是（1，1），P100的坐标是（1，﹣3）．理由：作P1关于A点的对称点，即可得到P2（1，﹣1），分析题意，知6个点一个循环，故P7的坐标与P1的坐标一样，P100的坐标与P4的坐标一样，所以P7的坐标等同于P1的坐标为（1，1），P100的坐标等同于P4的坐标为（1，﹣3）．【点评】解决本题的关键是读懂题意，画出图形，仔细观察，分析，得到相应的规律．4．（1）已知一元二次方程x2+px+q＝0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q．（2）已知抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【分析】（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d＝|x1﹣x2|可知d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4 x1•x2＝p2，再由（1）中x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q即可得出结论．【解答】证明：（1）∵a＝1，b＝p，c＝q∴△＝p2﹣4q∴x＝即x1＝，x2＝∴x1+x2＝+＝﹣p，x1•x2＝•＝q；（2）把（﹣1，﹣1）代入y＝x2+px+q得1﹣p+q＝﹣1，所以，q＝p﹣2，设抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）∵d＝|x1﹣x2|，∴d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝p2﹣4q＝p2﹣4p+8＝（p﹣2）2+4当p＝2时，d2的最小值是4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解答此题的关键．5．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ 求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，∴y＝．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，∵AP＝CQ，∴S BPQC＝，∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），∴当x＝4时，S有最小值12，当x＝或x＝时，S有最大值．∴12≤S≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．7．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．8．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC＝m，AF＝n，用含n的代数式表示m．【分析】（1）由等边三角形的性质知，OBA＝∠CBD＝60°，易得∠OBC＝∠ABD，又有OB＝AB，BC＝BD故有△OBC≌△ABD；（2）由1知，△OBC≌△ABD⇒∠BAD＝∠BOC＝60°，可得∠OAE＝60°，在Rt△EOA 中，有EO＝OA•tan60°＝，即可求得点E的坐标；（3）由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝，由切割线定理知，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，由勾股定理知，AE＝＝2，故建立方程：（）2＝（2﹣）（2+n），就可求得m与n关系．【解答】解：（1）两个三角形全等．∵△AOB、△CBD都是等边三角形，∴OBA＝∠CBD＝60°，∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠OBC＝∠ABD；∵OB＝AB，BC＝BD，△OBC≌△ABD；（2）点E位置不变．∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°；在Rt△EOA中，EO＝OA•tan60°＝，或∠AEO＝30°，得AE＝2，∴OE＝∴点E的坐标为（0，）；（3）∵AC＝m，AF＝n，由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝；又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，AE＝＝2，（）2＝（2﹣）（2+n）即2n2+n﹣2m﹣mn＝0解得m＝．【点评】命题立意：考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识，并且将这些知识与坐标系联系在一起，考查综合分析、解决问题的能力．9．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．10．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．11．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1∴Q点坐标为（﹣2，1）将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，∴可得k＝﹣2；（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．12．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．13．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y ＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x2﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）【分析】根据题意可知，方程x2﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．【解答】解：∵x≠0，∴将x2﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得x﹣1﹣＝0，即＝x﹣1，把x2﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．如图：∴正数解约为1.1．【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．14．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．15．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC 并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．16．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．17．图（1）是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面的两个问题：（1）在图（1）中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2，且△A1B1C1与△ABC的相似比是2，△A2B2C2与△ABC的相似比是；（2）在图（2）中用与△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2全等的格点三角形（每个三角形至少使用一次），拼出一个你熟悉的图案，并为你设计的图案配一句贴切的解说词．【分析】（1）△A1B1C1与△ABC的相似比是2，则让△ABC的各边都扩大2倍就可．△A2B2C2与△ABC的相似比是；△ABC的直角边是2，所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度．斜边为2．依此画图即可；（2）拼图有审美意义即可，答案不唯一．【解答】解：【点评】本题主要考查了相似图形的画法，做这类题时根据的是相似图形的性质，即相似比相等．对应角相等．18．如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求的长；（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．【解答】解：（1）连接OE、OF，∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OF A＝90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝∴的长＝＝π．（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，连接OM1、OR，∵M1N1∥MN∴∠DM1N1＝∠DMN＝60°∴∠EM1N1＝120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O＝∠EM1N1＝60°在Rt△EM1O中，EM1＝＝＝1∴DM1＝AD﹣AE﹣EM1＝+5﹣﹣1＝4．过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK＝DM1×sin∠DM1K＝4×sin∠60°＝2即d＝2，∴当d＝2时，直线MN与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d＝DK+OR＝2+＝3＞4，∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．19．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；（3）B n∁n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，则∠B n AD＝，在直角△AB n D中，．【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．20．二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而推出所得结论．【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，图象过点（0，1），c＝1，图象过点（1，0），a+b+c＝0，∴b＝﹣（a+c）＝﹣（a+1）．由题意知，当x＝﹣1时，应有y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+（a+1）+1＞0，∴a＞﹣1，∴实数a的取值范围是﹣1＜a＜0．【点评】根据开口判断a的符号，根据与x轴，y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式．难点是推断出当x＝﹣1时，应有y＞0．21．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？【分析】（1）设降低的百分率为x，则降低一次后的数额是25（1﹣x），再在这个数的基础上降低x，则变成25（1﹣x）（1﹣x）即25（1﹣x）2，据此即可列方程求解；（2）每人减少的税额是25x，则4个人的就是4×25x，代入（1）中求得的x的值，即可求解；（3）每个人减少的税额是25x，乘以总人数16000即可求解．【解答】解：（1）设降低的百分率为x，依题意有，25（1﹣x）2＝16，解得，x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）；（2）小红全家少上缴税25×20%×4＝20（元）；（3）全乡少上缴税16000×25×20%＝80 000（元）．答：降低的增长率是20%，明年小红家减少的农业税是20元，该乡农民明年减少的农业税是80 000元．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？【分析】（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；（3）∵∠DEF＝90°，只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．【解答】解：（1）∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90°﹣∠CED＝∠CDE，又∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴＝，即＝，解得y＝；（2）由（1）得y＝，将m＝8代入，得y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+2，所以当x＝4时，y取得最大值为2；（3）∵∠DEF＝90°，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝m，此时m＝8﹣x，解方程＝，得x＝6，或x＝2，当x＝2时，m＝6，当x＝6时，m＝2．【点评】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．23．在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，由D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．设DE＝a，DF＝b，且实数a，b满足9a2﹣24ab+16b2＝0，并有＝2566，∠A使得方程x2﹣x•sin A+sin A﹣＝0有两个相等的实数根．（1）试求实数a，b的值；（2）试求线段BC的长．【分析】（1）由题意可知：2a2b＝2566，则2a2b＝248，则a2b＝48．化简9a2﹣24ab+16b2＝0得：（3a﹣4b）2＝0，则3a﹣4b＝0，即3a＝4b，则根据，可求得a与b的值；（2）要求BC的长需求出BD和CD的长，知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边．又知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C，则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可，要求∠B或∠C的读数需求的∠A的读数，根据判别式可以求得∠A的读数．【解答】解：（1）由条件有，解得；（2）又由关于x的方程的判别式△＝sin2A﹣sin A+＝（sin A﹣）2＝0，则sin A＝，而∠A为三角形的一个内角，所以∠A1＝60°或∠A2＝120° 2分当∠A＝60°时，△ABC为正三角形，∠B＝∠C＝60°于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中有BD＝，CD＝所以BC＝BD+DC＝．当∠A＝120°时，△ABC为等腰三角形，∠B＝∠C＝30°同上方法可得BC＝14． 3分所以线段BC的长应为或14．【点评】考查了解直角三角形以及判别式的应用．24．某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）存在函数关系P＝25x；年新房销售面积Q（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）的函数关系为Q＝﹣10；（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；（2）在（1）的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少？变化了多少？结合年新房销售总额和积压面积的变化情况，请你提出一条合理化的建议．（字数不超过50）【分析】（1）根据“新建商品房的面积与年新房销售面积相等”作为相等关系求x的值即可；（2）分别求算出市场新房均价上涨1千元后的新建商品房面积P，年新房销售面积Q再来求算其变化的量和积压的情况．【解答】解：（1）根据题意得：25x＝﹣10，解得x1＝2，x2＝﹣（舍去），则Q＝﹣10＝50万平方米，所以市场新房均价为2千元．则年新房销售总额为2000×500000＝10亿元．（2）因为Q＝﹣10＝30万平方米，。
(完整)中考数学压轴题精选含答案
一、解答题1．平面直角坐标系中，点在y轴正半轴，点在x轴正半轴，以线段AB为边在第一象限内作等边ABC，点C关于y轴的对称点为点D，连接AD，BD，且BD交y 轴于点E．(1)补全图形，并填空；①若点，则点D的坐标是__________；②若，则________．(2)若，求证：AD垂直平分BC；(3)若时，探究的数量关系，并证明．2．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b(k>0，b>0)的图象与x轴交于A，与y轴交于C．双曲线y＝ax（x＞0）的图象交一次函数的图像于第一象限内的点B，BD⊥x轴于D．E是AB中点，直线DE交y轴于F，连接AF．（1）若k=1，点B(2，6)时．①求一次函数和反比例函数的解析式；②求AFD的面积．（2）当k=2，a=12时，求AFD的面积．（3）求证：当k，b，a为任意常数时，AFD的面积恒等于1 2 a3．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．（1）如图1，当∠MBN 绕B 点旋转到AE =CF 时，求证：AE +CF =EF ．（2）如图2，当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE ，CF ，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明． （3）当∠MBN 绕B 点继续旋转到图3位置时，AE =10，CF =2．求EF 的长度．4．抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知(1,0)A -，(0,2)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，求出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当四边形CDBF 的面积最大时，求点E 的坐标．5．如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么我们称抛物线1C 与2C 关联．（1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++；③221y x x =++与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）抛物线211:(1)28C y x =+-，动点P 的坐标为(,2)t ，将抛物线绕点(,2)P t 旋转180︒得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式．（3）点A 为抛物线211:(1)28C y x =+-的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC ，使其直角顶点C 在y 轴上，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知二次函数2y x bx c =+-图象通过两点(1,),(2,10)P a Q a ． （1）如果a ，b ，c 是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 值．（2）设二次函数2y x bx c =+-图象和x 轴交点为A 、B ，和y 轴交点为C ．如果有关x 方程20x bx c +-=两个根都是整数，求ABC 面积．7．如图1，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 轴负半轴上，这三个点的坐标分别为A (4，0)，B (0，4)，C (−1，0) ． （1）请求出直线AB 的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF//BC交AB于点F，当△BEF的面积是52时，求点E的坐标；（3）如图2，将点B向右平移1个单位长度得到点D，在x轴上存在动点P，若∠DCO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，请直接写出点P的坐标．8．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（4，0）、B（0，3），连结AB．抛物线经过点B，且对称轴是直线．（1）求抛物线的函数关系式．（2）将图①中的△ABO沿x轴向左平移得到△DCE（如图②），当四边形ABCD是菱形时，说明点C和点D都在该抛物线上．（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），过点M作MN∥y轴交直线CD于点N．设点M的横坐标为m，线段MN的长为l．求l与m之间的函数关系式．（4）在（3）的条件下，直接写出m为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．9．如图1，ABC内接于O，弦AE交BC于点D，连接BO，且ABO DAC∠∠．（1）求证：AE BC⊥；（2）如图2，点F在弧AC上，连接CF、BF，BF交AE于点M，若ACF OBC∠=∠，求证：MD ED=；（3）如图3，在（2）的条件下，3AM=时，求弦CF∠=∠，若10BFC EACBM=，3的长．10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动，当点P不与A，B，C重合时，过点P作PQ⊥AB交AB于点Q，过点P作PM⊥PQ，使得PM＝2PQ，点M、点D在PQ的同侧，连结MQ，设点P的运动时间为t（s）（1）线段CD＝．（2）当点P在线段BC上时，PC＝．（用含t的代数式表示）（3）当点M落在△BCD的内部时，求t的取值范围；（4）连结CM，当△CPM为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．11．在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，过点A作AE⊥BC于点E．（1）如图1，求证：AE＝CE；（2）如图2，点F是线段CE．上一点，CF＝BE，FG⊥BC交BD于点G，连接AG，求证：AG＝BE+FG；（3）如图3，在（2）的条件下，若EF＝10，FG＝7，求AG的长．12．在ABC中，AB AC=，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．(1)如图1，若90BAC∠=︒，，，求点B到AE的距离；(2)如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：；(3)如图3，若，12△沿着AB翻折得，点H为的BC=，将ABD中点，连接HA、HC，当周长最小时，请直接写出的值．13．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）．(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；DB的最小值．(3)以C为圆心，1为半径作⊙C，D为⊙O上一动点，求DA+5515．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；(3)点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD 交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．16．如图1，点A，点B的坐标分别（a，0），（0，b），且b＝+4，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BC．(1)直接写出a ＝ ，b ＝ ，点C 的坐标为 ；(2)如图2，作CD ⊥x 轴于点D ，点M 是BD 的中点，点N 在△OBD 内部，ON ⊥DN ，求证：2MN +ON ＝DN ．(3)如图3，点P 是第二象限内的一个动点，若∠OPB ＝90°，求线段CP 的最大值． 17．如图，在长方形ABCD 中，10AB =，9BC =，点E 在AB 上，点G 在AD 上，AEFG 为正方形．点M ，N 分别为BC ，CD 上的动点，MO BC ⊥，NO CD ⊥，且点O 始终在正方形AEFG 的内部，MO 交EF 于点P ，NO 交FG 于点Q ．(1)设CM AE a ==，①用含a 的代数式表示四边形EBMP 的周长；②若四边形OPFQ ，GQND 的周长之和恰好为四边形EBMP 周长的两倍，求a 的值． (2)设3CM x =，2CN x =，AE n CN =，是否存在正整数x ，n ，使得EBMP GQND S S =四边形四边形若存在，求出x ，n 的值；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线24y ax bx =++的对称轴是直线x ＝3，与x 轴交于()2,0A -，B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，若3MN =，求点M 的坐标；(3)设点D ，E 是直线3x =上两动点，且1DE =，点D 在点E 上方，求四边形ACDE 周长的最小值．19．已知二次函数()20y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点()03C -，．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，若点D 的横坐标为m ，ACD △的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出ACD △的面积取得最大值时点D 的坐标； (3)M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．20．如图1，已知二次函数y ＝ax 232+x +c 的图象与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、点B ，点B 坐标为（8，0）．（1）请直接写出二次函数的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在点P ，使△PBC 的面积为16？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接AE，点N是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点M，使得以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)①D(-2，3) ②∠BEO=60°；(2)答案见解析；(3)DE= AE+2EO，证明见解析．【解析】【分析】（1）①根据关于y轴的对称的性质可得答案，关于y轴的对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；②根据C、D两点关于y轴的对称，可知y轴是线段CD的垂直平分线，得AD=AC、∠CAF=∠DAF，然后由等边△ABC得AC=AB，最后得AD=AB，∠ADB=∠ABD，即可得答案；（2）由|a−3|+b2−6b+9=0，得a=b，得∠BAO=45°，然后根据平角得∠CAF的度数、∠CAG的度数，即可得答案；（3）先证∠EBO=30°，得BE=2EO，然后作HE=AE，证△ADE≌△ABH，得DE=BH，最后证BH= AE+2EO，即可得答案．(1)解：补全图形如下图①∵C、D两点关于y轴的对称的两点，∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，∵C(2，3)，∴D(-2，3)；②∵C、D两点关于y轴的对称，∠CAD=140°，=70°∴∠CAF=∠DAF=140°×12∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB=60°，AC=AB，∴∠BAE=180°-70°-60°=50°，∵C、D两点关于y轴的对称，∴AD=AC，∴AD=AB，∴∠ADB=∠ABD=[180°-（360°-140°-60°）] ×1=10°2∴∠BEO=∠BAE+∠ABD=50°+10°=60°；(2)如下图：延长DA交BC于点G，∵|a−3|+b2−6b+9=0，∴|a−3|+（b−3）2=0，∴a=b=3，∴AO=BO，∴∠BAO=45°，∴∠CAF=180°-45°-60°=75°，∴∠CAG=180°-75°-75°=30°，∴∠BAG=60°-30°=30°，∴∠CAG=∠BAG，∴AD垂直平分BC；(3)如下图：作HE=AE，连接AH，∵C、D两点关于y轴的对称，∴∠CAF=∠DAF，∴∠CAE=∠DAE，∵∠CAE=60°+∠BAO，∴∠DAE=60°+∠BAO，∴∠DAB=60°+2∠BAO，=60°－∠BAO，∴∠DBA=[ 180°－（60°+2∠BAO）] ×12∴∠BEO=∠BAO+∠DBA=∠BAO+60°－∠BAO=60°，∴∠EBO=30°，∵∠AOB=90°，∴BE=2EO，∵HE=AE，∠BEA=∠AEH=60°，∴△AEH是等边三角形，∴AH=AE，∠HAE=60°，∴∠DAH=∠BAO，∵∠DAE=∠DAH+60°，∠BAH=∠BAO+60°，∴∠DAE=∠BAH，在△ADE和△ABH中，，∴△ADE≌△ABH，∴DE =BH ， ∵HE =AE ，BE =2EO ， ∴BH =BE +HE = AE +2EO ， ∴DE = AE +2EO ． 【点睛】本题考查了关于y 轴的对称的性质、等边三角形的性质、三角形的内角与外角的性质，垂直平分线的判定、在直角三角形中，30°的所对的边是斜边的一半、全等三角形的判定和性质，做题的关键是作辅助线，构造△ADE ≌△ABH ．2．（1）①y =x +4，12y x=； ②6；（2）6；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）①把点B （2，6）分别代入y ＝x ＋b 和y ＝kx （x ＞0），根据待定系数法即可求得； ②求出D ，E 的坐标，求出直线DE 的解析式，得到F 点坐标，故可求出△ADF 的面积； （2）联立两函数求出B 点坐标，再得到E 点坐标，求出直线DE 的解析式，从而得到F 点坐标，根据三角形的面积公式即可求出AFD 的面积 （3）与（2）同理即可求解． 【详解】解：（1）①∵一次函数y ＝x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ax（x ＞0）的图象交于B ，B （2，6）， ∴6＝2＋b ，6＝2a ， ∴b ＝4，a ＝12，∴一次函数解析式为y ＝x ＋4，反比例函数解析式为12y x=； ②令一次函数y ＝x ＋4=0 解得x =-4 ∴A （-4，0）∵E 是AB 中点，B （2，6） ∴E （-1，3） ∵BD ⊥x 轴于D ∴D （2，0）设直线DE 的解析式为y =mx +n ，代入E （-1，3）、D （2，0）得302m nm n =-+⎧⎨=+⎩解得12m n =-⎧⎨=⎩∴直线DE 的解析式为y =-x +2，令x =0，得y =2 ∴F （0，2） ∴OF =2 ∴AFD 的面积为1162622AD OF ⨯=⨯⨯=； （2）∵一次函数y ＝2x ＋b ，反比例函数12y x= 联立得2x ＋b =12x∴2x 2+bx -12=0解得xx舍去）∴B由A （12b -，0）得到E∵D0）设直线DE 的解析式为y =mx +n ，代入ED）得0m n m n ⎧=⎪=+⎪⎩解得2m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线DE 的解析式为y =-2x令x =0，y∴F （0∴OF∵A （12b -，0），D0） ∴AD =12b∴AFD的面积为11622AD OF ⨯==；（3）∵一次函数y ＝kx ＋b ，反比例函数ay x= 联立得kx 2+bx -a =0解得xx舍去）∴B由A （bk -，0）得到E∵D0）设直线DE 的解析式为y =mx +n ，代入ED）得0m n m n ⎧=+⎪=+⎪⎩解得m kn =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线DE 的解析式为y =-kx令x =0，y∴F （0∴OF∵A （bk -，0），D0）∴AD =b k∴AFD的面积为11212282ak AD OF a k ⨯===．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟知待定系数法求函数的解析式，三角形的面积及一元二次方程的解法．3．（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）EF =8． 【解析】 【分析】（1）根据SAS 证明Rt △ABE ≌Rt △CBF ，求得BF =BE ，易求得△BEF 是等边三角形，可得BF =2CF ，即可解题；（2）将Rt △ABE 顺时针旋转120°，可得FG =CG +CF =AE +CF ，易证∠GBF =∠EBF =60°，即可求证△GBF ≌△EBF ，可得FG =EF ，即可解题；（3）将Rt △ABE 顺时针旋转120°，可得FG =CG -CF =AE -CF ，易证∠GBF =∠EBF =60°，即可求证△GBF ≌△EBF ，可得FG =EF ，即可解题． 【详解】证明：（1）∵Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB =BC ，CF =AE ，∠C =∠A =90°， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （SAS ）， ∴∠CBF =∠ABE ，BF =BE ， ∵∠ABC =120°，∠MBN =60°，∴∠CBF =∠ABE =30°，△BEF 是等边三角形， ∴BF =2CF ，BE =2AE ，BF =EF ， ∴EF =BF =2CF =AE +CF ； （2）成立，理由如下：如图2，将Rt △ABE 顺时针旋转120°，∵AB =BC ，∠ABC =120°，∴A 点与C 点重合，AE =CG ，BG =BE ， ∵∠BCG =∠BCF =90°， ∴点G 、C 、F 共线， ∴FG =CG +CF =AE +CF ，∵∠ABC =120°，∠MBN =60°，∠ABE =∠CBG ， ∴∠GBF =60°， 在△GBF 和△EBF 中， 60BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△GBF ≌△EBF （SAS ）， ∴FG =EF ， ∴EF =AE +CF ；（3）如图3，将Rt △ABE 顺时针旋转120°，∵AB =BC ，∠ABC =120°，∴A 点与C 点重合，AE =CG ，BG =BE ， ∵∠BCG =∠BCD =90°， ∴点G 、C 、D 共线， ∴FG =CG +CF =AE +CF ， ∵∠ABC =∠ABE +∠CBE =120°， ∴∠CBG +∠CBE =∠GBE =120°， ∵∠MBN =60°， ∴∠GBF =60°， 在△BFG 和△BFE 中， 60BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△BFG ≌△BFE ，（SAS ） ∴GF =EF ，∴EF =AE -CF =10-2=8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，30°角所对直角边是斜边一半的性质，旋转的性质等知识点，本题中求证△BFG ≌△BFE 是解题的关键．4．（1）213222y x x =-++；（2）存在，13(,4)2P ，235(,)22P ，335(,)22P -；（3）点()2,1E【解析】 【分析】（1）把()1,0A -，()0,2C 代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求解抛物线的对称轴3,2x = 再求解CD 的长，由CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，可得123CP DP DP CD ===．再作CH ⊥对称轴于点H ，从而可得答案； （3）先求解()4,0B ．再求解直线BC 的解析式为122y x =-+．过点C 作CM EF ⊥于M ，设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，根据BCDCEFBEFCDBF S SSS=++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅列函数关系式，从而可得答案. 【详解】解：（1）∵抛物线212y x mx n =-++经过()1,0A -，()0,2C ，∴10,22,m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩解得3,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++．（2）∵22131325222228y x x x ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭， ∴抛物线的对称轴是直线32x =． ∴32OD =． ∵()0,2C ，∴2OC =．在Rt OCD △中，由勾股定理，得2235222CD ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∵CDP 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴123CP DP DP CD ===． 作CH ⊥对称轴于点H ， ∴12HP HD ==．∴14DP =．∴13(,4)2P ，235(,)22P ，335(,)22P -． （3）当0y =时，由2132022x x -++=，解得11x =-，24x =，∴()4,0B ．设直线BC 的解析式为y kx b =+，得2,40,b k b =⎧⎨+=⎩解得1,22.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的解析式为122y x =-+． 过点C 作CM EF ⊥于M ，设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭．∵BCDCEFBEFCDBF S SSS=++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅ 2215111122(4)2222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225134(2)22a a a =-++=--+． ∴根据题意04a ≤≤，∴当2a =时，CDBF S 四边形的最大值为132，此时点()2,1E ． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数与等腰三角形，图形面积的最值问题，灵活运用二次函数的图象与性质解决问题是解题的关键.5．（1）①、②关联，理由见解析；（2）21(7)68y x =--+或21(9)68y x =-++；（3）存在，（0，1）或（0，3+420，3-42 【解析】 【分析】（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案；（2）首先求得抛物线C 1的顶点坐标，则可得：点P 在直线y =2上，则可作辅助线：作M 关于P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线y =2的垂线，垂足为E ，F ，则可求得：点N 的坐标，利用顶点式即可求得结果；（3）分别从当A ，B ，C 逆时针分布时与当A ，B ，C 顺时针分布时分析，根据全等三角形的知识，即可求得点C 的坐标，注意别漏解． 【详解】解：（1）∵①抛物线y =x 2+2x -1=（x +1）2-2的顶点坐标为M （-1，-2）， ∴②当x =-1时，y =-x 2+2x +1=-1-2+1=-2， ∴点M 在抛物线②上；∵③当x =-1时，y =x 2+2x +1=1-2+1=0， ∴点M 不在抛物线③上； ∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②y =-x 2+2x +1=-（x -1）2+2，其顶点坐标为（1，2）， 经验算：（1，2）在抛物线①上， ∴抛物线①、②是关联的；（2）抛物线C 1：211:(1)28C y x =+-的顶点M 的坐标为（-1，-2），∵动点P 的坐标为（t ，2）， ∴点P 在直线y =2上，作M 关于P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线y =2的垂线，垂足为E ，F ，则ME =NF =4，∴点N 的纵坐标为6，当y =6时，21(1)268x +-=，解得：x 1=7，x 2=-9，①设抛物C 2的解析式为：y =a （x -7）2+6， ∵点M （-1，-2）在抛物线C 2上， ∴-2=a （-1-7）2+6，∴a =18-，∴抛物线C 2的解析式为：21(7)68y x =--+，②设抛物C 2的解析式为：y =a （x +9）2+6， ∵点M （-1，-2）在抛物线C 2上， ∴-2=a （-1+9）2+6，∴a =18-，∴抛物线C 2的解析式为：21(9)68y x =-++；（3）点C 在y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角△ABC ，令C 的坐标为（0，c ），则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ， 在等腰直角△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，即∠ACH +∠BCH =90°， ∵∠ACH +∠CAH =90°，∴∠CAH =∠BCH ，又∠AHC =∠BFC =90°， 则△BCF ≌△CAH （AAS ），∴CF =AH =1，BF =CH =c +2，点B 的坐标为（c +2，c -1），当点B 在抛物线C 1：y =221(1)8x +-上时，c -1=18（c +2+1）2-2，解得：c =1．②当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中B ′点，过点B ′作y 轴的垂线，垂足为D ， 同理可得：点B ′的坐标为（-c -2，c +1），当点B ′在抛物线C 1：y =18（x +1）2-2上时，c +1=18（-c -2+1）2-2，解得：c =3+42c =3-42综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C 点的坐标分别为：C 1（0，1），C 2（0，3+42C 3（0，3-42【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，全等三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．6．（1）a=2，b=15，c=14；（2）1【解析】【分析】（1）代入两点坐标，求得b、c（用a表示），再由已知c＜b＜8a，联立不等式组求得a、b、c的值；（2）设出程x2+bx-c=0的两个根，根据根与系数的关系与因式分解求得两根，得出函数解析式，进一步求得图象与x、y轴的交点A、B、C三点解答问题．【详解】解：点P（1，a）、Q（2，10a）在二次函数y=x2+bx-c的图象上，故1+b-c=a，4+2b-c=10a，解得b=9a-3，c=8a-2；（1）由c＜b＜8a知8293 938a aa a-<-⎧⎨-<⎩，解得1＜a＜3，又a为整数，所以a=2，b=9a-3=15，c=8a-2=14；（2）设m，n是方程的两个整数根，且m≤n．由根与系数的关系可得m+n=-b=3-9a，mn=-c=2-8a，消去a，得9mn-8（m+n）=-6，两边同时乘以9，得81mn-72（m+n）=-54，分解因式，得（9m-8）（9n-8）=10．∴9819810mn-=⎧⎨-=⎩或9810981mn-=-⎧⎨-=-⎩或985982mn-=-⎧⎨-=-⎩或982985mn-=⎧⎨-=⎩，解得：12mn=⎧⎨=⎩或2979mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1323mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或109139mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；又∵m，n是整数，所以后面三组解舍去，故m=1，n=2．因此，b=-（m+n）=-3，c=-mn=-2，二次函数的解析式为y=x2-3x+2．令y=0，则x=1或x=2，令x=0，则y=2，∴点A、B的坐标为（1，0）和（2，0），点C的坐标为（0，2），∴△ABC的面积为12×(2−1)×2＝1．【点睛】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特点、根与系数的关系、不等式组、以及三角形的面积计算公式．7．（1）4y x =-+；（2）点E 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭；（3）点P 的坐标为(19，0)或(-17，0)．【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）同理利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y =4x +4，再求得直线EF 的解析式，联立求得点F 的坐标，利用BEF OAB OBE AEF S S S S ∆∆∆∆=--列式求解即可； （3）计算得到tan 4DGDOG OG∠==，推出∠α=∠DOG ，∠DPO =∠CDO ，设点P 的坐标为(p ，0)，分p <0和p >0两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1）∵直线AB 经过点A (4，0)，B (0，4)， ∴设直线AB 的解析式为y =kx +4， 把A (4，0)代入得：4k +4=0， 解得：k =-1，∴直线AB 的解析式为y =-x +4； （2）设点E (m ，0)，同理求得直线BC 的解析式为y =4x +4， ∵EF //BC ，∴设直线EF 的解析式为：4y x n =+，将点E 坐标代入上式并解得：04m n =+， ∴4n m =-，∴直线EF 的解析式为：44y x m =-， ∴444x x m -+=-， 解得：()415x m =+， 把x 的值代入4y x =-+，得1645my -=．∴点F 坐标为4416455m m +-⎛⎫⎪⎝⎭，， ()1111645444422252BEF OAB OBE AEF m S S S S m m -=--=⨯⨯-⨯--⨯=△△△△，解得：32m =， ∴点E 坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，； （3）将点B (0，4)向右平移1个单位长度得到点D ，则D (1，4)， 过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，则∠OGD =90°，OG =1，GD =4，CG =2， ∴tan 4DGDOG OG∠==，OD =22224117DG OG +=+=， 在Rt △CDG 中，CD =22222425CG DG +=+=， ∵tan ∠α=4， ∴∠α=∠DOG ，∵∠DCO +∠DPO =∠α，∠DCO +∠CDO =∠DOG ， ∴∠DPO =∠CDO ， ∵点P 在x 轴上∴设点P 的坐标为(p ，0)，当p <0时，PO =-p ，∵∠POD =∠DOC ，∠DPO =∠CDO ， ∴△POD ~△DOC ， ∴PO DODO CO=， ∴PO =2171DO CO ==17，此时，点P 的坐标为(-17，0)；当p>0时，PO=p，PC=p+1，∵∠PCD=∠DCO，∠DPC=∠ODC，∴△PCD~△DCO，∴PC DC DC CO=，∴PC=(22201DCCO==，∴p=PC-1=19，此时，点P的坐标为(19，0)；综上，点P的坐标为(19，0)或(-17，0)．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的性质，相似三角形的性质和判定，三角形函数等，分类讨论是解第（3）问的关键．8．(1) y=；（2）见解析；（3）l=或l=；（4）m=或或−3时，以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．【解析】【分析】（1）把点B的坐标代入抛物线解析式、联合对称轴x=列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组来求它们的值；（2）由平移的性质易求点C、D的坐标，将它们的坐标分别代入抛物线解析式进行验证即可；（3）根据点C、D的坐标易求直线CD的解析式为y=．根据已知条件知点M、N 的横坐标都是m，则l的值就是点M、N的纵坐标之差．(4)由平行四边形的对边相等的性质推知MN=CE=3，利用所求的l与m间的函数式可以求得相应的m的值．【详解】解：（1）由已知，得，解得，∴二次函数的解析式为y=；（2）在Rt△ABO中，∵OA=4，OB=3，∴AB=5．又∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AD=AB=5．∵△ABO沿x轴向左平移得到△DCE，∴CE=OB=3．∴C(−5，3)、D(−1，0)．当x=−5时，y==3，当x=−1时，y==0，∴C、D在该抛物线上；（3）设直线CD的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=，∵MN//y轴，∴M、N的横坐标均为m，当M在直线CD的上方时，有l=MN=()−()=；当M在直线CD的下方时，有l=MN=()− ()=．∴l与m之间的函数解析式为l=或l=．(4)由于MN//CE，要使以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，只需MN=CE=3，当=3时，解得；当=3时，解得．即当m=或或−3时，以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，平行四边形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．9．（1）见解析；（2）见解析；（3）53．【解析】【分析】（1）作⊙O的直径AF，连接BF，证明∠ACD+∠CAE=90°即可；（2）连接BE，利用角的转换证明∠BMD=∠BEM，从而可得BM=BE，进而根据等腰三角形三线合一即可得出结论；（3）如图3，证明BEM AEB得2=即可求出DE长，进而由勾股定理求出BE EM AEBD，再由相交线弦定理求出CD，即可得出CE长，EC FC=．=可得EC FC【详解】解：（1）如图1，作⊙O的直径AF，连接BF，∴∠AFB+∠OAB=90°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠OAB，又∵∠DAC=∠ABO，∴∠DAC=∠ABO=∠OAB．∵AB AB=∵∠AFB=∠ACD，∵AF是直径∴∠AFB+∠OAB=90°，∴∠ACD+∠CAE=90°，∴∠ADC=90°，即AE⊥BC；（2）连接BE，∵AF AF=∴∠ACF=∠ABF，又∵∠ACF=∠OBC，∴∠ABF=∠OBC，∴∠ABO+∠OBF=∠FBC+∠OBF，∴∠ABO=∠FBC，∵∠DAC=∠ABO，∴∠DAC=∠MBC，∵∠BMD+∠MBC=∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BMD=∠ACD，∵AB AB=∴∠BEM=∠ACD，∴∠BMD=∠BEM，∴BM=BE，∵AE⊥BC，∴MD=ED；（3）如图2，连接EC，∵BC BC=∴BFC BAC∠=∠，∵3BFC EAC∠=∠，∴3BAC EAC∠=∠，∴2BAE BAC EAC EAC∠=∠-∠=∠，∵EBC FBC DAC∠=∠=∠，∴=2MBE EBC FBC EAC∠=∠+∠∠，∴MBE BAE∠=∠，又∵E E∠=∠，∴BEM AEB，∴BE AE EM BE=，∵10BM BE=3AM= 1010=1010=∴=2EM，由（2）可知MD =ED ，BM =BE ，∴1DM DE ==，314AD AM DM =+=+=在Rt BDM 中，BD =，在Rt BDA 中，AB =， ∵=BE BE ， ∴BAD DCE ∠=∠， 又∵BDA CDE ∠=∠， ∴BDA EDC ，∴=EC DE AB BD，即1=53EC ∴5=3EC ，∵CAE FBC ∠=∠， ∴EC FC =，∴5=3EC FC =【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系，从而利用相似或勾股定理解题．10．（1）4；（2）；（3）或；（4）或．【解析】 【分析】（1）首先根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后根据勾股定理即可求出线段CD 的长度；（2）根据点P 运动的速度求出点P 运动的路程，然后减去AC 的长度即可求出PC 的长度；（3）分两种情况，当点P 在线段AC 上时和点P 在线段BC 上时，分别利用相似三角形的性质计算出点M 在线段CD 上时和点M 在线段BC 上时的时间，即可求出t 的取值范围； （4）分两种情况，当点P 在线段AC 上时和点P 在线段BC 上时，分别得出点M 在线段CD 上时和点M 在线段BC 上时是直角三角形，然后利用相似三角形的性质求出t 的值，即可得出△CPM 为锐角三角形时t 的取值范围． 【详解】解：（1）∵在△ABC 中，AC ＝BC ＝5 ∴ABC ∆是等腰三角形 ∵CD ⊥AB 于点D∴（三线合一）∴在中，由勾股定理得，故答案为：4；（2）∵点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动∴点P运动的路程为5t∴当点P在线段BC上时，故答案为：；（3）当点P在线段AC上时，由题意得，，AC＝5，如图所示，当点M在线段CD上时，∵PQ⊥AB，CD⊥AB，∴∴∴∴，即，解得：，，∴，∵PM＝2PQ，∴，∵CD⊥AB，PQ⊥AB，PM⊥PQ，∴四边形PQDM是矩形，∴，∴，解得：，如图所示，当点M在线段BC上时，同理可得，，，，，，∵PQ⊥AB，PM⊥PQ，∴∴∴∴，即，解得：，∴当时，点M落在△BCD的内部；如图所示，当点P在线段BC上时，当点M在线段CD上时，设，则，同理可得，四边形MDQP是矩形，，∴，，∴，即，解得：，∴，∴，∴，当点P运动到B点时，，∴当时，点M落在△BCD的内部，综上所述，当点M落在△BCD的内部时，t的取值范围是或；（4）当点M在线段CD上时，，即是直角三角形，由（3）可得，此时，当时，如图所示，∵，，，则，，∵，，又∵，∴∴，即，解得：，∴当时，是锐角三角形；当点M在线段BC上时，当时，即是直角三角形，如图所示，设，则，，，，同理可得，，∴，即，解得：，∴，∴，∵当点M在CD上时，此时，即是直角三角形，由（3）可得，此时，∴当时，是锐角三角形，∴综上所述，当△CPM为锐角三角形时，t的取值范围是或．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形动点问题等知识，解题的关键是根据题意画出相应的图形，分情况讨论利用相似三角形的性质求解．11．（1）见详解；（2）见详解；（3）29 2【解析】【分析】（1）过点D作DM⊥AE于点M，证明ABE△≌DAM△，即可得到结论；（2）延长GF到点M，使FM=BE，则BE+FG=MG，先证明ABE△≌BMF，再证明ABG≌MBG△，进而即可得到结论；（3）过点G作GN⊥AE，设BE=x，则AG=BE+FG=x+7，AN= 3+x，结合勾股定理，列出方程，进而即可求解．【详解】解：（1）过点D作DM⊥AE于点M，∵∠DME=∠MEC=∠C=90°，∴四边形CDME是矩形，∴DM=CE，又∵∠BAD=∠AMD=90°，∴∠1+∠EAD=∠2+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在ABE△和DAM△中，∵1290AMD AEB AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ABE △≌DAM △， ∴AE=DM ， ∴AE =CE ；（2）延长GF 到点M ，使FM =BE ，则BE +FG =MG ，∵BE =CF ， ∴BF =CE =AE ， 在ABE △和BMF 中，∵90AE BF AEB BFM BE MF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ABE △≌BMF ， ∴∠BAE =∠MBF ，AB =BM ， ∵∠BAE +∠ABE =90°， ∴∠MBF +∠ABE =90°， ∴∠ABM =90°， ∵∠BAD =90°，AB =AD ， ∴∠A BD=45°， ∴∠DBM =45°， ∴∠ABD =∠DBM ， ∴ABG ≌MBG △， ∴AG=MG=BE +FG ；（3）过点G 作GN ⊥AE ，设BE =x ，则AG =BE +FG =x +7，∵∠GNE =∠NEF=EFG =90°， ∴四边形EFGN 是矩形， ∴NG =EF =10，EN=FG =7， 又∵AE =BF =10+x ， ∴AN =AE -EN =10+x -7=3+x ，在直角ANG 中，()()2223107x x ++=+，解得：x =152， ∴AG =x +7=152+7=292．【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰自交三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形，掌握“截长补短法”是解题的关键．12．3(2)证明见解析 (3)【解析】 【分析】（1）如图所示，过点B作BG⊥AE交AE延长线于G，先证明∠ACF=∠GAB，即可证明△ABG≌△CAE得到BG=AE，由勾股定理得，再由，得到，则点B到AE的距离为（2）如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，先证明△AEB≌△HED得到AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE，则∠HCD=∠HDC，AB∥DH，从而推出∠BAC=∠HDC=∠HCD，再证明CE是AH的垂直平分线，得到AC=HC，则∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE，然后推出∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC，即可证明△AFD≌△GFD（AAS），得到AF=GF，则CF=GF+CG=AF+DG；（3）如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BE⊥BC，由翻折的性质可知，，，，然后证明，得到，则点D在线段BC的垂直平分线上，即AF⊥BC，求出，由H 是的中点，得到直线A关于点H的对称点A'在直线BE上，则要使△AHC的周长最小，则要最小，即最小，即当A'、C、H、三点共线时有最小值，如图所示，连接交于，交AF于P，连接BP，先证明，得到，由平行线之间的间距相等，得到，然后求出，再证明，求出，由此求解即可．(1)解：如图所示，过点B作BG⊥AE交AE延长线于G，∵AE⊥CF，AG⊥BG，∴∠BAC=∠AGB=∠AEF=∠AEC=90°，∠AFC+∠ACF=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∴∠ACF=∠GAB，又∵AB=CA，∴△ABG≌△CAE（AAS），∴BG=AE，在直角△AFC中，由勾股定理得，∵，∴，∴点B到AE(2)解：如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，∵FD平分∠AFC，∴∠AFD=∠CFD，∵E是BD的中点，∴BE=DE，又∵AE=HE，∠AEB=∠HED，∴△AEB≌△HED（SAS），∴AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE，∴∠HCD=∠HDC，∴∠BAC=∠HDC=∠HCD，∴∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE，∵∠GDC=∠GCD，∠FGD=∠GDC+∠GCD，∴∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC，又∵FD=FD，∠AFD=∠GFD，∴△AFD≌△GFD（AAS），∴AF=GF，∴CF=GF+CG=AF+DG；(3)解：如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BE⊥BC，由翻折的性质可知，，，，∴，又∵AB=AC，，∴，∴，∴点D在线段BC的垂直平分线上，即AF⊥BC，∴，∵H是的中点，∴直线A关于点H的对称点A'在直线BE上，∴，∴要使△AHC的周长最小，则要最小，即最小，∴当A'、C、H、三点共线时有最小值，如图所示，连接交于，交AF于P，连接BP，∵BE⊥BC，AF⊥BC，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，BC⊥BE，∴,∵平行线之间的间距相等，∴∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∴AB=2AF，∴，∴，∴，∵P在线段BC的垂直平分线上，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．13．(1)y＝﹣x2+2x+3，1(2)（1，1）或（1，2）或（1，83）(3)【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①当为直角时，证明，则，即，即可求解；②当为直角时，同理可解；③当为直角时，同理可解；（3）；，即可求解．(1)解：设抛物线的表达式为，则，则，解得1a=-，故抛物线的表达式为2y x2x3=-++，则；(2)解：当1m=时，则直线l为抛物线的对称轴，如图1，连接AC，设点(1,)P m，①当为直角时，则，，，，过点C作于点N，，，，，即，∴，解得1m=或2，故点P的坐标为(1,1)或(1,2)；②当为直角时，同理可得：点P'的坐标为8 (1,)3；③当为直角时，。
数学中考压轴题大全(含答案、详细解析版)
（ 2） A( 3，0) B (5，4)
C (0，4) ………… 5 分
C
1
A 01
B x
把点 A 坐标代入 y ax2 5ax 4 中，解得 a
1
……… 6 分
6
y
1 x2
5 x
4 …………………………………………
7分
66
y
Ｍ
（ 3）存在符合条件的点 P 共有 3 个．以下分三类情形探索．
A
1
Ｎ
令 x=20,y=60 ，得 k=60
①
令 x=100,y=100 ，得 a× 802＋ k=100
②
由①②解得
1 a
160 ， k 60
∴y
1
2
x 20 60 。……… 14 分
160
2 、（常州）已知 A( 1， m) 与 B(2， m 3 3) 是反比例函数
y
k
图象上的两个点．
x
（ 1）求 k 的值；
（ 3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y k ( k 0) 于 P， Q 两 x
一象限），若由点 A， B， P， Q 为顶点组成的四边形面积为 24 ，求点
y A
解： (1) ∵点 A横坐标为 4 , ∴当 x = 4 时， y = 2 .
O B
点（ P 点在第 P 的坐标． x
∴ 点 A的坐标为（ 4 ， 2 ） .
∴ S = S 梯形 PEFA △POA = 6 .
∴ 1 (2
8 ) (m 4)
6，
2m
解得 m = 8 ， m = - 2 ( 舍去 ) .
∴ P（8， 1） .
∴ 点 P的坐标是 P（ 2，4）或 P（ 8， 1）.
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中考数学压轴题汇总（一）17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C 与y 轴相切于D 点，与x 轴相交于A （2，0）、B （8，0）两点，圆心C 在第四象限. （1）求点C 的坐标；（2）连结BC 并延长交⊙C 于另一点E ，若线段．．BE 上有一点P ，使得 AB 2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由；（3）在直线．．BE 上是否存在点Q ，使得AQ 2＝BQ·EQ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，也请说明理由.[解] （1） C （5，-4）；（2）能。
连结AE ，∵BE 是⊙O 的直径， ∴∠BAE=90°.在△ABE 与△PBA 中，AB 2＝BP· BE , 即ABBE BPAB =, 又∠ABE=∠PBA, ∴△ABE∽△PBA .∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE .（3）分析：假设在直线EB 上存在点Q ，使AQ 2＝BQ· EQ. Q 点位置有三种情况： ①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C 即点Q ；②若无两条等长，且点Q 在线段EB 上，由Rt△EBA 中的射影定理知点Q 即为AQ⊥EB 之垂足；③若无两条等长，且当点Q 在线段EB 外，由条件想到切割线定理，知QA 切⊙C 于点A.设Q()(,t y t ),并过点Q 作QR⊥x 轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程：① 当点Q 1与C 重合时，AQ 1=Q 1B=Q 1E, 显然有AQ 12＝BQ 1· EQ 1 , ∴Q 1(5, -4)符合题意；② 当Q 2点在线段EB 上， ∵△ABE 中，∠BAE=90° ∴点Q 2为AQ 2在BE 上的垂足， ∴AQ 2=1048=⋅BEAE AB = 4.8（或524）. ∴Q 2点的横坐标是2+ AQ 2·cos ∠BAQ 2= 2+3.84=5.84,又由AQ 2·sin ∠BAQ 2=2.88, ∴点Q 2（5.84，-2.88）, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-257225146，或③方法一：若符合题意的点Q 3在线段EB 外,则可得点Q 3为过点A 的⊙C 的切线与直线BE 在第一象限的交点. 由Rt△Q 3BR∽Rt△EBA，△EBA 的三边长分别为6、8、10, 故不妨设BR=3t ，RQ 3=4t ，BQ 3=5t, 由Rt△ARQ 3∽Rt△EAB 得ABRQ EAAR 3=，即64836t t =+得t=718， 〖注:此处也可由433=∠=∠AEB tg AR Q tg 列得方程43634=+t t ；或由AQ 32 = Q 3B·Q 3E=Q 3R 2+AR 2列得方程()()()226345105++=+t t t t )等等〗∴Q 3点的横坐标为8+3t=7110， Q 3点的纵坐标为772， 即Q 3（7110，772）. 方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE 过B(8, 0), C(5, -4), ∴直线BE 的解析式是33234-=x y . 设Q 3（t ，33234-t ）,过点Q 3作Q 3R⊥x 轴于点R, ∵易证∠Q 3AR =∠AEB 得 Rt△AQ 3R∽Rt△EAB,∴EAAB AR RQ=3 , 即 86233234=--t t , ∴t=7110 ,进而点Q 3 的纵坐标为772，∴Q 3（7110，772）.方法三：若符合题意的点Q 3在线段EB 外,连结Q 3A 并延长交y 轴于F, ∴∠Q 3AB =∠Q 3EA ，433=∠=∠=∠AEB tg AB Q tg OAF tg ,在R t△OAF 中有OF=2×43=23，点F 的坐标为（0，23-）, ∴可得直线AF 的解析式为2343-=x y ,又直线BE 的解析式是33234-=x y , ∴可得交点Q 3（7110，772）. 18.（2005上海长宁）如图1，抛物线关于y 轴对称，顶点C 坐标为（0，h ）(h>0)， 交x轴于点A （d,0）、B （-d,0）（d>0）。
（1）求抛物线解析式（用h 、d 表示）；（2）如图2，将ABC 视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x 轴，垂足依次在线段AB 的6等分点上。
h=9米。
(i )求拉杆⑤DE 的长度；(ii)若d 值增大，其他都不变，如图3。
拉杆⑤DE 的长度会改变吗？(只需写结论) （3）如图4，点G 在线段OA 上，OG=kd （比例系数k 是常数，0≤k ≤1），GF ⊥x 轴交抛物线于点F 。
试探索k 为何值时，tg ∠FOG= tg ∠CAO ？此时点G 与OA 线段有什么关系？[解] （1）用顶点式，据题意设y=ax 2+h 代入A （d ，0）得a=2dh - ∴y=2d h -x 2+h (2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=29d -x 2+9 据题意OE=32d ，设D （32d ，y D ） 点D 在抛物线上，y D =29d -(32d)2+9=5，∴DE=5米。
(ii) 拉杆⑤DE 的长度不变。
（3）OG=kd ，∴点F 坐标可设（kd ，y F ）代入y=2dh -x 2+h ，得： y F = h(1－k 2)tg ∠FOG= tg ∠CAO ，kd k h )1(2- =dh112=-k k 012=-+k k 解得2151-=k 2152+=k （∵0<k<1，舍） 215-=k ，此时点G 是线段OA 的黄金分割点。
19.（2006上海金山）已知：抛物线经过A （2，0）、B （8，0）、C （0，3316）x图4（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为P ，把△APB 翻折，使点P落在线段AB 上（不与A 、B 重合），记作/P ，折痕为EF ，设A /P = x ，PE = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当点/P 在线段AB 上运动但不与A 、B 重合时，能否使△EF /P 的一边与x 轴垂直？若能，请求出此时点/P 的坐标；若不能，请你说明理由。
[解] （1）设)8)(2(--=x x a y把)3316,0(代入得 33=a ∴)8)(2(33--=x x y 即33163310332+-=x x y （2）顶点P （)33,5- AP=AB=BP=6 ∴ 0'60=∠PAP 作AP G P ⊥'于G ，则x AG 21=，x G P 23'= 又y PE E P =='，y x EG --=216 在EG P Rt '∆中，222)216()23(y y x x =--+ ∴ )60(123662<<-+-=x xx x y（3）若x EP ⊥'轴 则x y 26=-x xx x 21236662=-+-- 36121-=x ，36122+=x （舍去）∴ )0,3614('-PCO若x FP ⊥'轴 则x y 216=- x x x x 211236662=-+-- 6363-=x ，6364--=x （舍去）∴ )0,436('-P若x EF ⊥轴， 显然不可能。
∴ )0,3614('-P 或 )0,436('-P20. （2006湖北十堰）已知抛物线1C ：22y x mx n =-++（m ，n 为常数，且0m ≠，0n >）的顶点为A ，与y 轴交于点C ；抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，其顶点为B ，连接AC ，BC ，AB ．注：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．（1）请在横线上直接写出抛物线2C 的解析式：________________________； （2）当1m =时，判定ABC △的形状，并说明理由；（3）抛物线1C 上是否存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形？如果存在，请求出m 的值；如果不存在，请说明理由．[解] （1）22y x mx n =--+．（2）当1m =时，ABC △为等腰直角三角形． ·········· 3分理由如下：如图：点A 与点B 关于y 轴对称，点C 又在y 轴上，AC BC ∴=．过点A 作抛物线1C 的对称轴交x 轴于D ，过点C 作CE AD ⊥于E ．∴当1m =时，顶点A 的坐标为()11A n +，，1CE ∴=．又点C 的坐标为()0n ，，11AE n n ∴=+-=．AE CE ∴=．从而45ECA =∠，45ACy ∴=∠．由对称性知45BCy ACy ==∠∠，90ACB ∴=∠．ABC ∴△为等腰直角三角形．（3）假设抛物线1C 上存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形，则PC AB BC ==．x yO由（2）知，AC BC =，AB BC AC ∴==． 从而ABC △为等边三角形．30ACy BCy ∴==∠∠．四边形ABCP 为菱形，且点P 在1C 上，∴点P 与点C 关于AD 对称．PC ∴与AD 的交点也为点E ，因此903060ACE =-=∠．点A C ，的坐标分别为()()20A m m n C n +，，，，22AE m n n m CE m ∴=+-==，． 在Rt ACE △中，2tan 603AE m CE m===．3m ∴=，3m ∴=±．故抛物线1C 上存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形，此时3m =±．21.（2006湖北宜昌）如图，点O 是坐标原点，点A （n ，0）是x 轴上一动点(n ＜0）以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且OB ＝2OA ．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90o 得矩形AGDE ．过点A 的直线y ＝kx ＋m 交y 轴于点F ，FB ＝FA ．抛物线y=ax 2+bx+c 过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM ⊥x 轴，垂足为点M ． (1)求k 的值；(2)点A 位置改变时，△AMH 的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．[解] （1）根据题意得到：E （3n ，0）， G （n ，－n ）当x ＝0时，y ＝kx ＋m ＝m ，∴点F 坐标为（，m ）∵Rt △AOF 中，AF 2＝m 2＋n 2， ∵FB ＝AF ，∴m 2＋n 2＝(-2n －m)2，化简得：m ＝－0.75n ，对于y ＝kx ＋m ，当x ＝n 时，y ＝0， ∴0＝kn －0.75n ， ∴k ＝0.75y y xOMHG F EDC B A（2）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点E 、F 、G ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=c c nb a n n c nb a n 75.039022解得：a ＝n 41，b ＝－21，c ＝－0.75n∴抛物线为y=n 41x 2－21x －0.75n解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=nx y n x x n y 75.075.075.021412 得：x 1＝5n ，y 1＝3n ；x 2＝0，y 2＝－0.75n∴H 坐标是：（5n ，3n ），HM ＝－3n ，AM ＝n －5n ＝－4n ， ∴△AMH 的面积＝0.5×HM ×AM ＝6n 2；而矩形AOBC 的面积＝2n 2，∴△AMH 的面积∶矩形AOBC 的面积＝3:1，不随着点A 的位置的改变而改变．22.（2005黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边AB 在x 轴上，AB=25，顶点C 在y 轴的负半轴上，tan∠ACO=34，点P 在线段OC 上，且PO 、PC 的长(PO<PC)是关于x 的方程x 2-(2k+4)x+8k=O 的两根． (1)求AC 、BC 的长； (2)求P 点坐标；(3)在x 轴上是否存在点Q ，使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是梯形?若存在，请直接写出直线PQ 的解析式；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵ ∠ACB=900，CO⊥AB，∴ ∠ACO=∠ABC． ∴ tan∠ABC=34，Rt△ABC 中，设AC=3a ，BC=4a 则AB=5a ，5a=25 ∴ a=5 ∴ AC=15， BC=20(2)∵ S △ABC =12AC·BC=12OC·AB， ∴ OC=12∴ PO+PC=4+2k=12． ∴ k=4∴ 方程可化为x 2-12x+32=O ．解得x 1=4，x 2=8 ∵ PO<PC．∴ PO=4． ∴ P(O，-4) (3)存在，直线PQ 解析式为：y=- 43x-4或y=- 427-423.（2006黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长(0A<OB)是方程x 2-18x+72=0的两个根，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，OD=2CD ． (1)求点C 的坐标；(2)求直线AD 的解析式；(3)P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)OA=6，OB=12点C 是线段AB 的中点，OC=AC 作CE⊥x 轴于点E ．∴ OE=12OA=3，CE=12OB=6．∴ 点C 的坐标为(3，6)(2)作DF⊥x 轴于点F△OFD∽△OEC，OD OC =23，于是可求得OF=2，DF=4．∴ 点D 的坐标为(2，4)设直线AD 的解析式为y=kx+b ． 把A(6，0)，D(2，4)代人得6024k b k b +=⎧⎨+=⎩解得16k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线AD 的解析式为y=-x+6 (3)存在．Q 1(-32，32) Q 2(32，-32) Q 3(3，-3) Q 4(6，6)二、函数与方程综合的压轴题1.（2004江苏宿迁）已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝5，试求m 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC的面积等于27，试求m 的值.[解]（1）设点Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) .则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m ， x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2又AB ＝∣x 1 － x 2∣＝121245x x x x -=2（+）∴m 2－4m ＋3=0.解得：m=1或m=3(舍去), ∴m 的值为1.（2）设M(a ，b)，则N(－a ，－b) .∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2.∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴2a m =±-.这时M 、N 到y 轴的距离均为2m -, 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m ）×2m -=27. ∴解得m=－7 .2.（2005福建三明）已知二次函数q px x y ++=2(q p ,为常数，△=042>-q p )的图象与x 轴相交于A ()0,1x ，B ()0,2x 两点，且A ，B 两点间的距离为d ，例如，通过研究其中一个函数652+-=x x y 及图象(如图)，可得出表中第2行的相交数据。