电磁场及电磁波第10讲静电场的边值问题
课件：静电场的边值问题
学院
16
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
例 现有如图所示的三相交流电缆截面，
三相内导体分别加三相对称电压，相序为 A、B、C。
在 A 相电压达到最大
和达到零两种情况
下，分别表述静电场
的边值问题。要求求
解场域尽量小。
解 根据电缆内部结
构，电场分布区域含三相内导体、电缆皮层（外导体）
华北电力大学电气与电子工程
静电场的边值问题可以通过不同的方法求解，
所求得的解答是否相同？惟一性定理：
在给定场域上，
满足给定边界条件的静电场基本方程解答是唯一的。
理论上证明这个定理（略）。
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工程电磁场 简例
主讲人： 王泽忠
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工程电磁场
第一类边值问题表述为
2
1
f1
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
已知求解区域内部的自由电荷分布，
给定求解区域边界上电位的法向导数
计算求解区域的电位和电场强度分布，
通常称为第二类边值问题，又叫做聂以曼问题。
相应的边界条件称为第二类边界条件。
第二类边值问题表述为
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• 2
由此得到电位的基本方程
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工程电磁场
2
主讲人： 王泽忠
称为静电场的泊松方程。
当场域中没有电荷分布时， 0 ，上式变为
边值问题和唯一性定理(静电场)
静电场的边值问题
静电场的唯一性定律
目前可解决的静电场问题
电荷在有限区域内，电荷的分布情况已知，并 且介质为线性各向同性均匀介质中的静电场问 题。对于此类问题，一般可以先求出电位，再 计算场中各点的电场强度和电位移矢量。 电荷、介质分布具有某种对称性的问题。由于 电荷和介质的分布具有对称性，因此电位移矢 量的分布必然也具有对称性。在这种情况下， 可以先用高斯通量定理求解电位移矢量，然后 再求电场强度。 已知电场的分布求电荷分布的问题。在这种情 况下，可直接由公式计算电荷的体密度，导体 上的面电荷密度根据分界面条件确定。
2
静电场边值问题的提出
实际中对于很多电磁场的问题通常并不 知道电荷分布，如静电场中导体表面的 感应电荷分布，介质极化后极化电荷的 分布等。对于此类的问题，必须通过求 解满足给定边界条件的电位微分方程 （泊松方程或拉普拉斯方程）的电位函 数，进而再求场域中的电场强度。我们 把这种在给定边界条件下，求解泊松方 程或拉普拉斯方程的问题称为边值问题。
对于各向同性、线性的非均匀媒质，电位 满足的微分方程又是什么形式呢？
D
D E
E
( )
7
边值问题举例－直接积分法
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷 体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位 及电场。（同例2-4） 解:采用球坐标系,分区域建立方程
自学)
10
反设满足场的解答有两个相异的解答1和 2，则差
场u= 1 2 满足拉普拉斯方程
2 2
u 1 2 0 根据矢量恒等式
电磁场实验
实验一 静电场边值问题对于复杂边界的静电场边值问题，用解析法求解很困难，甚至是不可能的。
在实际求解过程中，直接求出静电场的分布或电位又很困难，其精度也难以保证。
本实验根据静电场与恒定电流场的相似性，用碳素导电纸中形成的恒定电流场来模拟无源区域的二维静电场，从而测出边界比较复杂的无源区域静电场分布。
一、 实验目的：1、学习用模拟法测量静电场的方法。
2、了解影响实验精度的因素。
二、 实验原理：在静电场的无源区域中，电场强度E '电位移矢量D '及电位Ф、满足下列方程：▽×E 、= 0 ▽×D'= 0D '=εE 、 E 、= - ▽φ、（1.1.1）式中ε为静电场的介电常数。
在恒定电流场中，电场强度E 、电流密度J 及电位Ф满足下列方程：▽×E= 0 ▽·J = 0J = δE E=－▽Φ （1.1.2）式中δ为恒定电流场中导电媒质的电导率。
因为方程组（1.1.1）与方程组（1.1.2）在形式上完全相似，所以φ、（静电场中的电位分布函数）与Φ（恒定电流场中的电位分布函数）应满足同样形式的微分方程。
由方程组（1.1.1）和方程组（1.1.2）很容易求得：▽·（ε▽φ、）= 0 （1.1.3）▽·（δ▽Φ）= 0 （1.1.4）式中ε与δ处于相应的位置，它们为对偶量。
若ε与δ在所讨论区域为均匀分布（即其值与坐标无关），则方程（1.1.3）、（1.1.4）均可简化为拉普拉斯方程： 2∇φ'= 0 02=Φ∇电位场解的唯一定理可知：满足相同微分方程的两个电位场，它们具有相同的边界电位值，因此，在保证边界电位值不变的情况下，我们可以用恒定电流场的模型来模拟无源区域的静电场，当静电场中媒质为均匀媒质时，其导电媒质也应为均匀媒质，这样测得的恒定电流场的电位分布就是被模拟的静电场的电位分布，不需要任何改动。
三、 实验内容及实验装置：1、被测模型有两个：一个用来模拟无边缘效应的平行板电容器中的电位分布；另一个用来模拟有金属盖的无限长接地槽形导体内电位分布。
第10讲 静电场的解法(1)
第10讲静态场的解法（1）本节内容：1，静电场问题的分类与唯一性定理2，平面镜像3，球面镜像一，静电场问题分类：一类是前面讨论的已知电荷分布求解场的分布型问题；另一类是由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的已知条件来求解场的边值型问题。
因为电位是一个标量函数，而且由它可以方便地求出描述电场的其它物理量，故边值问题通常以电位做为研究对象。
边值问题按其边界条件不同可分为三类：（1）已知区域边界上的位函数值，即构成如下边值问题： ()⎩⎨⎧=-=∇Γ02|0ϕϕερϕ或——荻利克莱（Dirichlet ）问题（2）已知待求函数在区域边界上的法向导数值，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂-=∇Γ02ψϕερϕn ——Neumann 问题 （3）区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=-=∇ΓΓ02012,ψϕϕϕρϕn ——混合问题三类边值问题的解是否唯一？回答是肯定的，有唯一性定理保证。
二，场的唯一性定理可以证明，在以上三种边界条件下，满足Laplace方程和Poisson方程的电位函数 是唯一的。
这就是场的唯一性定理。
下面利用格林第一公式来证明这一定理。
()⎰⎰∂∂=∇+∇⋅∇S V dS n dV ψϕψϕψϕ2 ——格林第一公式 证明：若1ϕ、2ϕ都满足拉氏方程（或Poisson 方程），则21ϕϕϕ-='满足Laplace 方程，即：02='∇ϕ 令格林公式中ϕ、ψ都是ϕ'，则： ⎰⎰∂'∂'='∇S V dS n dV ϕϕϕ2第一种情况（Dirichlet 问题）： 1ϕ、2ϕ在S 上均满足第一类边界条件，则0='S ϕ ∴ 02='∇⎰V dV ϕ ∵ 02≥'∇ϕ，而积分为0 0='∇⇒ϕ ∴()常数C ='ϕ，而在S 上0='ϕ。
∴ 0≡'ϕ ∴21ϕϕ=第二种情况（Neumann 问题）：1ϕ、2ϕ都满足0ψϕ=∂∂Sn 则：021=∂∂-∂∂=∂'∂SS S n n n ϕϕϕ 故右边=0，同样可得：()常数C =-21ϕϕ ∵ 在参考点处021==ϕϕ，故021≡-ϕϕ ∴21ϕϕ=第三种情况（Mixed问题）证明与第二种情况类似，略。
第三章 静电场的边值问题
u (1 2 ) 0
积分后 , 1 - 2 C, 该式既满足场域 , 又满足边界 , 故 C 0,1 2 ,得证
若导体边界为第二类边 界条件 , 即已知电荷面密度
1 2 , n n
即
(1 -2 ) u 0 n n
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
0
( y 0 ,b x a )
0
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度
为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
解: 采用球坐标系,分区域建立方程 1 d d 21 2 (r 2 1 ) (0 r a ) r dr dr 0
2u 21 2 2
利用矢量恒等式
0 (uu) u2u (u) 2 ( u )2
对场域求体积分, 并利用高斯散度定理
V
(uu )dV uu dS (u ) 2 dV
s V
S为体积 V的边界面 ,即S S0 S , S S1 S2 Sn , 由于在无穷远 S0处电位为零 ,因此有
静电场的边值问题 数学物理方程定解条件通常分为初始条件和边界条件。 静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯
方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解泊松方程
或拉普拉斯方程就是静电场的边值问题。
边值问题 微分方程
边界条件
2 2 0
场域 边界条件
分界面 衔接条件
S f1 (s)
已知场域边界 上各点电位 的法向导数
布或边界是电力线的条 件是等价的？ 边值问题框图
《静电场的边值问题》课件
用离散的差分代替微分方程中的导数项，将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限元方法
将连续的求解区域离散化为有限个小的单元，用每个单元的中心函数近似代替该单元上的函数，从而将 微分方程转化为线性方程组进行求解。
2023
PART 03
静电场的边界条件
REPORTING
边界条件的定义
01
边界条件是指在求解静电场问题时，电场在边界处的
2023
PART 05
静电场的实际应用
REPORTING
电场在物理中的应用
静电感应
当一个带电体靠近导体时，导体因静电感应 而带电。
电容器的充放电
电容器在充电和放电过程中，电荷在电场的 作用下移动。
电子显微镜
利用电场对电子的加速和聚焦作用，实现高 分辨率的显微成像。
电场在化学中的应用
离子交换
利用电场对离子的作用力，实现离子的分离 和纯化。
VS
详细描述
有限元法是一种将连续的静电场划分为有 限个小的区域（即元），然后对每个元进 行求解的方法。这种方法能够处理复杂的 几何形状和边界条件，并且具有较高的计 算精度和稳定性。
边界元法
总结词
只对静电场的边界进行离散化，然后对边界上的离散点进行求解的方法。
详细描述
边界元法是一种只对静电场的边界进行离散化，然后对边界上的离散点进行求解的方法。这种方法能够大大减少 未知数的数量，并且适用于处理具有复杂边界条件的问题。但是，由于只对边界进行离散化，因此需要更高的计 算精度和更复杂的数学处理。
电化学反应
在电解池和原电池中，电场驱动离子在溶液 中的迁移，并参与化学反应。
电泳技术
在电场的作用下，带电粒子在介质中移动， 用于分离和纯化生物分子。
电磁场与电磁波名词解释复习
安培环路定律1）真空中的安培环路定綁在真空的磁场中，沿任总回路取乃的线积分.其值等于真空的磁导率乘以穿过该回路所限定面枳上的电流的代数和。
即in di=^i kk=l2）•般形式的安培环路定律在任总磁场中•磁场强度〃沿任一闭合路径的线积分等于穿过该回路所包鬧而积的自由电流（不包括醱化电流）的代数和。
即B （返回顶端）边值问题1）静电场的边值问题静电场边值问题就是在给定第一类、第二类或第三类边界条件下，求电位函数®的泊松方程（沪卩=一％）或拉普拉斯方程（gp=O）定解的问題。
2）恒定电场的边值问题在恒定电场中，电位函数也满足拉普拉斯方程。
很多恒定电场的问題，都可归结为在一定条件下求竝普拉斯方程（▽?信=° ）的解答，称之为恒定电场的边值问题o3）恒定磁场的边值问题（1）磁矢位的边值问题磁矢位在媒质分界面上满足的衔接条件和它所满足的微分方程以及场域上给定的边界条件一起构成了描述恒定磁场的边值问题°对于平行平而磁场，分界而上的衔接条件是* 1 3A 1 dAn磁矢位*所满足的微分方程V2A = -pJ（2）磁位的边值问题在均匀媒质中.磁位也满足拉普拉斯方程。
磁位拉普拉斯方程和磁位在媒质分界面上满足的衔接条件以及场域上边界条件一起构成了用磁位描述恒定磁场的边值问題。
磁位满足的拉普拉斯方程= °两种不同媒质分界浙上的衔接条件边界条件1.静电场边界条件在场域的边界面s上给定边界条件的方式有：第•类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet）已知边界上导体的电位第二类边界条件（聂以曼条件Neumann）已知边界上电位的法向导数（即电荷而密度或电力线）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合5静电场分界而上的衔接条件% "和场*二丘"称为静迫场中分界面上的衔接条件。
前者表明.分界而两侧的电通壮密度的法线分址不连续，其不连续虽就等于分界面上的自由电荷血•密度：后者表明分界而两侧电场强度的切线分址连续。
静电场的边值问题
静电场的边值问题
第三章 静电场旳边值问题
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中旳分离变量法 4. 圆柱坐标系中旳分离变量法 5. 球坐标系中旳分离变量法
1
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.1 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 旳关系为
E 对上式两边取散度，得
E 2
r0作为参照点，则 及l 在l 圆柱面上P点共同产生
旳电位为
P
l 2π
ln r0 l r 2π
ln r0 r
l 2π
ln r r
已知导体圆柱是一种等位体，必须要求比值
r 常数 r
与前同理，可令 r a d
r fa
d a2 f
21
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
（4）点电荷与无限大旳介质平面
或者
X (x) C sinh x D cosh x
含变量 x 或 y 旳常微分方程旳解完全相同。
♣这些解旳线性组合依然是方程旳解。一般为了
满足给定旳边界条件，必须取其线性组合作为方
程旳解。
解旳形式旳选择决取于给定旳边界条件。
解中待定常数也取决于给定旳边界条件。
30
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
8
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.2 镜像法
实质: 以一种或几种等效电荷替代边界旳影响， 将原来具有边界旳非均匀空间变成无限大旳均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷一般处于原电荷旳镜像位置，所以 称为镜像电荷，而这种措施称为镜像法。
9
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
根据：惟一性定理。等效电荷旳引入不能变化原 来旳边界条件。
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解:
1. 对给定的图形选择合适的坐标系 2. 写出有关的计算式和边界条件。 匀强电场，电位 V只是随高度 z 的变化而变化
2V 2V 2V 2V V V 2 2 2 2 0 x y z z
2
V 区域中的场方程： 2 0 z
2
V 边界条件 V
设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d，d→0 ,则
V1 V2 lim
1 2
2
1
d d E dl lim( E1n E2 n ) 0 d 0 2 2
电位的衔接条件
V1 V2
V2 , D2 n 2 E2 n 2 n
V1 V2 1 2 s n n
2
1. 泊松方程和拉普拉斯方程
电势V 和电场强度 E 之间的关系是：
E V
对上式等式两边分别进行散度操作
E V 2V
在各向媒质的线性媒质中, 电场强度 E 的散度为
E
3
电势 的差分方程为
V
2
称为 泊松方程（Poisson’s equation）。 在没有自由电荷（无源） 区域, 上述等式变为
5
在直角坐标系中:
2V V V V V V ax ay az ax ay az x y z x y z 2V 2V 2V 2 V 2 2 2 x y z
Q A V0 Q sl A A; C d V0 d
11
Example 2.
同轴线内导体半径为 a ，电势为V0 ；外导体接地，其半径为 b。 求解 (a)两导体间电势分布 (b)电场强度 (c)内导体的电荷密度 (d)每单位长度的电容
解:
1. 对给定的图形选择合适的坐标系 2. 写出相关的计算式和边界条件
z d
V
z d
V V0 V0 ˆz ˆ z ；D E a ˆ z E V a a z d d
10
导体/介质分界面边界条件： Dn s ；Et 0; : aˆ 指向导体外部 n
The lower plate： V0 V0 ˆn a ˆ z ; Dn D a ˆn a ˆz a ˆ z a sl d d The up plate： V0 V0 ˆn a ˆ z ; Dn D a ˆn a ˆ z ( a ˆz ) a su d d
电磁场与电磁波
主讲教师：黄文
重庆邮电大学 光电工程学院 电磁场与无线技术教学部 Email: huangwen@ 办公室：老1教1403
Main topic
Chapter 4. 静电问题的解
1. 泊松方程和拉普拉斯方程 2. 静电问题解的唯一性
3. 镜像法 4. 直角坐标系中的边值问题
r =a r =b
＝0
V 边界条件： V
V0 0
12
3. 方程的通解
V V C1 C1 r r r V C1 ln r C2 r
2 2 1 V V ＝0 2 2 2 r z 轴对称的场，且忽略边缘效应（无限长圆柱体）V r
1 V V r r r r
2
1 V r r r r
V ＝ 0 场方程 r r r
8
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。
V1 D1n 1 E1n 1 n
D2n D1n s
在分界面两侧：电位法向导数发生跃变
Example 1.一维泊松方程的解 类似例4-1（P103）
两个金属平板面积为 A相距为 d 形成一个平行板电容器。 上平板电 势为V0 , 下平板接地。 求解 (a)电势分布 (b)电场强度 (c) 各平板的电荷分布 (d)平行板电容器的电容
V 0
2
称为拉普拉斯方程 （ Laplace’s equation ）。4Biblioteka Remarks V
2
① 泊松方程表明均匀媒质中，V的拉普拉斯运算 (梯度的散 度) 等于– / , 其中 是介质的介电常数 (它是常数) ， 是 自由电荷体密度。 ② 算子 2 , 拉普拉斯算子，代表“梯度的散度” 或 “”。 ③ 因为散度运算和梯度运算都涉及一阶空间导数，所以泊松 方程是一个二阶偏微分方程 ，在二阶导数存在的空间中每 一点，二阶偏微分方程都成立。
z 0 z d
0 V0
9
3. 方程的通解
2V 区域中的场方程： 2 0 V C1 z C （积分两次） 2 z
4. 特解（带入边界条件求解未知系数）
V V
z 0
0 V0
V
z 0
C1z C2 C1 0 C2 0 C2 0 V0 C1d V0 V0 C1 V z d d
2
在圆柱坐标系中:
1 V 2 V r r r r 在球坐杯系中:
2 2 1 V V 2 2 2 z r
2 1 V 1 V 1 V 2 2 V 2 R 2 sin 2 2 R R sin R sin 2 R R
6
积分变换法
分离变量法 解析法 镜像法（电轴法） 微分方程法 计算法 保角变换法 格林函数法
边值问题 研究方法
实验法
半解析法/半数值法 有限差分法 有限元法 边界元法 数值法 矩量法 实测法 模拟法 数学模拟法 物理模拟法
作图法
定性 定量
7
用电位函数 V
表示分界面上的衔接条件