解析几何复习题及参考答案
解析几何复习题（部分参考解答）一.选择题)45.3(,:.3.;2.;1.;0.).(cos cos cos ,,,,,.1222-=++再利用弦函数先将余弦函数转化为正提示则时的夹角分别为与三坐标平面设向量D C B A C zox yoz xoy a γβαγβα2.||||b a b a -=+的充要条件是（ C ）.A. 或；B. ；C. ；D. 。
提示:向量和的三角形法则与向量减法几何意义等。
向量a+b ,a-b 是长方形图形的对角线. 3. 若向量满足条件,则必有关系（ D ）。
A .； B .； C .或； D .。
提示:定理1.7.1和定理1.7.2的(1.7-5).3,2,21.;10101.;04044.;233211.:)(.4=+=+==-=+⎩⎨⎧=--=--+=+=-z t y t x D zy x C z x y x B z y x A D xoy 平面的是下列直线中平行于提示；利用(3.5-5)5.向量a 在上的射影是( B ) 。
提示利用(1.7-2) A.||.||||.||b D a C b B a2.7.3.2.;3.;4.;6.).(,326:182511:.62121提示利用定理的夹角为与则与设直线ππππD C B A C L L z y y x L z y x L ⎩⎨⎧=+=-+=--=-7.过点(1,0,1)平行于直线⎩⎨⎧=++-=+01201--2z y x z y x 的直线方程是（ D ）。
提示: 利用(3.4-3)A.； B.；C. ；D. 。
8.在空间直角坐标系下，方程表示（A ）.提示:可参考§2.2节曲面概念A.圆柱面；B.圆；C.球面；D.两相交直线.9.设直线,031020123:⎩⎨⎧=+--=+++z y x z y x L 平面:2x+13y+18z+7=0，则直线与平面的关系为（ A ）。
提示: §3.5中的定理3.5.1等A.； B.； C.； D. 斜交。
..;.;.;.).(028363:27272:1.10异面直线斜交但不垂直平行垂直的关系是与直线D C B A B z y x z y x L z y x z y x L ⎩⎨⎧=--=-+⎩⎨⎧=++-=-+ 提示定理3.7.1等相关内容.,1.7.3:.35.;45.;0.;1.)(,11:12111:.112121再求交点也可方求的参数方程代入或直线定理提示则相交于一点和空间直线t l l D C B A C z y x L z y x L -==-=+-=+=-λλ提示2:或利用课本P38的习题2.(2)结论.,,0:).(3.;.;.;.).(,0,,.12作向量积两边分别与提示则满足关系设向量c b a c b a D C B A D a c c b b a c b a c b a =++⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯=++等定理提示垂直于斜交于上在平行于平面则直线及平面设直线1.5.3:..;.;.;.).(,0224:031020123:.13πππππD C B A D L z y x z y x z y x L =-+-⎩⎨⎧=+--=+++ 二、填空题 1.球面的半径等于 。
提示：化球面成标准方程2.两平面,间的距离为 .提示:可用两平面之间距离公式3.球面的中心在点C(1,3,-2)，而且球面通过原点O ，则该球面的方程为14)2()3()1(222=++-+-z y x 。
提示:半径r=|OC|,两点间距离公式.4.点P(1,2,3)关于坐标面yoz 的对称点的坐标为 .的交点是与曲面曲线10sin cos )(.5222=++++=z y x k t t j t i t r ππ (-1,0,3) ,(-1,0,-3)提示:利用曲线坐标式参数方程代入曲面方程求交点。
。
6.设原点与平面相距个单位，则的值是 .提示利用3.2-4=⨯=⋅==||,3,5||,1||.7b a b a b a 则已知 4 。
提示:先利用(1.7-1)求两向量夹角的余弦,再用(1.8-1)求|a ×b|。
8.设是不共线的两向量, 如果与共面，则 利用定理1.4.2 9.如果向量},,{21Z Y X P P =的始点为，那么终点的坐标为 .利用定理1.5.110.平面x+y+z=1与坐标轴交于三点，以这三点为顶点的三角形的面积是 。
提示可用定理1.8.1等。
11.过点(0,0,0)平行于直线的直线方程是提示:利用直线的标准方程3.4-3.12.通过点（1,3,5）且在三坐标轴上截距相等的平面方程为 提示：或利用(3.1-9) 13.通过点(2,-3,-5)且与平面6x-3y-5z+2=0垂直的直线坐标式参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+=553326t z t y t x 。
提示:可先求标准方程,再化成坐标式参数方程14.参数方程对应的一般方程是 。
提示：利用三角函数关系消参数角t.1.5.3:_____________,0118132:,031020123:.15可用定理。
提示直线在平面上的关系为平面与则直线平面设直线ππL z y x z y x z y x L =+++⎩⎨⎧=+--=+++ 16.以﹛3,5,－1﹜为法向量,且通过点(7,6,5)的平面方程为 .提示：利用(3.1-12)17.过原点与点P(1,1,1)的直线方程为 .提示：可利用两点式或直线的标准方程等。
18.直线与平面的位置关系是 .提示: 定理3.5.1三.解答题1.设}2,1,1{},1,1,2{-=-=b a，计算. (P36定理1.8.6)2.试证直线在平面3533:=+-z y x π上．(P83定理3.5.1)3.证明如果++＝，那么×＝×＝×，并说明它的几何意义. 证明： 由, 有, 但 ，于是 +,所以 .同理 由, 有从而 .其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等。
4.求作两定点A （1，-2，1），B （0，1，3）等距离的点的轨迹. 提示:写出条件并列方程化简方程5.已知⊿ABC 的顶点分别是A(1,0,3),B(2,4,5),C(3,4,6),求: (1)⊿ABC 的面积; (2)AB 边上的高. 解: (1)的面积S 为而 }2,4,1{=AB ，}3,4,2{=AC所以(2) .777711=边高为AB 6.单位向量c b a ,,满足0=++c b a ,求a c c b b a ⋅+⋅+⋅之值. (提示: 5.10-=++两边平方化简得值为c b a ) 7.试用向量证明三角形的余弦定理.证: 设在中 ,|， .要证记,,,则有.从而.即.8.已知三点M (1,1,1) 、A (2,2,1) 和B (2,1 ,2) ,求∠AMB .( P87定理3.7.2)9.试用向量证明直径所对的圆周角是直角。
证:设AB 是圆O 直径，C 点在圆周上，则||||,OA OC OA OB =-=因0||||))(())((22=-=+-=--=⋅OA OC OA OC OA OC OB OC OA OC BC AC 故AC ⊥BC , 即∠090=C .10.求与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且与其中之一相切于点M(5,-1,-1)的球面方程。
.49)1()2()1().1,2,1(,7||:222=-+-++-=z y x ，MO ，O ，M 于是球面方程心坐标利用中点坐标公式得球即得半径为两平面间距离的一半由为球心设数方程且垂直于平面的直线参先求过点分析 11.试验证直线21111-=-=-z y x 与平面2x+y-z-3=0相交，并求出它们的交点和交角。
提示:可化直线为参数方程后再与平面方程解交点，交角利用(3.5-4)可求..12341:0123:)2,0,0(..1210的方程相交的直线平行且与直线与平面求过点l zy x l z y x M =--=-=-+--π,47227000}47,27,0{),41,27,0(,3214.0)2(2)0(1)0(3:)2,0,0(:110+=-=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+==++-⋅---z y x l v l N l P t z t y t x l z y x P M 标准方程为所求直线方向向量所求直线的交点为与平面的参数方程而直线方程为的平面且平行于平面过点解π13.已知向量，不共线，试证明向量与线性相关。
证法一： 由)31(33a b b a -+-，于是向量与-=31线性相关。
证法二:根据P16的例4结论得.,.0)1)(1(-313311-1-3线性相关所以=--⨯=.04.1422的参数方程求空间曲线⎩⎨⎧=+=-z x z y ))2(2,,4,(244222⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-===t z t t y t x t x t y t z 或参数方程为则令。
大学解析几何考试题及答案详解
大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。
2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。
对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。
二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。
答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。
将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。
2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。
答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。
这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。
三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。
高中数学解析几何复习 题集附答案
高中数学解析几何复习题集附答案高中数学解析几何复习题集附答案一、直线的方程在解析几何中，我们经常需要求解直线的方程。
直线的一般方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
下面我们通过一些例题来复习直线的方程的求解方法。
例题1：已知直线L1经过点（2，3）和（4，1），求直线L1的方程。
解析：首先我们可以求出直线L1的斜率k。
直线L1的斜率可以通过两个已知点的坐标计算出来：k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 3) / (4 - 2) = -1接下来，我们可以使用点斜式的形式来表示直线L1的方程：y - y1 = k(x - x1)将已知点（2，3）代入方程中，得到：y - 3 = -1(x - 2)化简得到直线L1的方程为：y = -x + 5因此，直线L1的方程为y = -x + 5。
例题2：已知直线L2过点（3，-2）且与直线L1: 2x - 3y + 4 = 0 平行，求直线L2的方程。
解析：由于直线L2与直线L1平行，所以它们具有相同的斜率。
直线L1的斜率为：k = 2 / (-3) = -2/3因此，直线L2的斜率也为-2/3。
再结合已知直线L2过点（3，-2），我们可以使用点斜式来表示直线L2的方程：y - y1 = k(x - x1)将已知点（3，-2）代入方程中，得到：y - (-2) = (-2/3)(x - 3)化简得到直线L2的方程为：3y + 2x + 10 = 0因此，直线L2的方程为3y + 2x + 10 = 0。
二、直线和平面的交点在解析几何中，我们经常需要求解直线和平面的交点。
我们可以通过直线的方程和平面的方程来求解交点的坐标。
下面我们通过一些例题来复习直线和平面交点的求解方法。
例题3：已知直线L3的方程为2x - y + 3z - 7 = 0，平面Q的方程为x + y - z + 4 = 0，求直线L3与平面Q的交点坐标。
(完整版)解析几何练习题及答案
解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，)，B (，－1)，则直线AB 的斜率是( )33A. B ．－33C. D ．－3333解析：斜率k ＝＝－，故选D.－1－33－(－3)33答案：D 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝，a ＋2a 则＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.a ＋2a 答案：D 3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4B ．21313C. D ．5132671020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝＝.|1－(－6)|62＋2271020故选D.答案：D4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －5＝0 D ．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角3的取值范围是( )A. B ．[π6，π3)(π6，π2)C. D ．(π3，π2)[π3，π2]解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含3端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为.故选B.(π6，π2)答案：B 6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝，12∴方程为y －3＝(x －2)，即x －2y ＋4＝0.12答案：A二、填空题7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为＋＝1，x a yb 由Error!解得Error!或Error!.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014湘潭质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝＝－2，解得m ＝－8.4－mm ＋2答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即<0，化简得<0，∴－2<a <1.2a －(1＋a )3－(1－a )a －1a ＋2答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.解方程组Error!得Error!所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sinα－1＝0和l 2：2x sinα＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－，k 2＝－2sin α.1sin α要使l 1∥l 2，需－＝－2sin α，1sin α即sin α＝±，∴α＝k π±，k ∈Z .22π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4法二 由l 1∥l 2，得Error!∴sin α＝±，22∴α＝k π±，k ∈Z .π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k ＋2＝0，这与21k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一 由方程组Error!解得交点P 的坐标为，(2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1)而2x 2＋y 2＝22＋2(2k 2－k 1)(k 2＋k 1k 2－k 1)＝8＋k 2＋k 21＋2k 1k 2k 2＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 2＋4k 21＋k 2＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二 交点P 的坐标(x ，y )满足Error!故知x ≠0.从而Error!代入k 1k 2＋2＝0，得·＋2＝0，y －1x y ＋1x 整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇 第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则＝1，得t ＝2，12＋(t －2)2所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A 2．(2014郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2＝，(x －2)2＋y 2(x －8)2＋y 2化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考陕西卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝＝1<2，(3－2)2＋(0－0)2点P (3,0)恒在圆内，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考辽宁卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C 5．(2013年高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －＝0B ．x ＋y ＋1＝02C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋＝02解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得＝1，故b ＝±.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形|b |12＋122分析知b ＝－，则直线方程为x ＋y －＝0.故选A.22答案：A 6．(2012年高考福建卷)直线x ＋y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦3AB 的长度等于( )A ．2B ．253C. D ．13解析：因为圆心到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝＝1，半径r ＝2，3|0＋3×0－2|12＋(3)2所以弦长|AB |＝2＝2.22－123故选B.答案：B二、填空题7．(2013年高考浙江卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝＝，|2×3－4＋3|4＋15∴弦长为2×＝2＝4.25－5205答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝＝2，|1－1＋4|12＋(－1)22又圆半径r ＝.2所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝.2答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴＝1，|4m －9m |5∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一 直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二 直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5内部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝，2mm 2＋1∴x ＝.mm 2＋1当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝，y －1x 代入x ＝，得x＝，mm 2＋1[(y －1x )2＋1]y －1x 化简得x 2＋2＝.(y －32)14经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＋2＝.(y －32)1412．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2时，求直线l 的方程．2解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有＝2.解得a ＝－.|4＋2a |a 2＋134(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得Error!解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇 第3节一、选择题1．设P 是椭圆＋＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )x 225y 216A ．4 B ．5C ．8D ．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D 2．(2014唐山二模)P 为椭圆＋＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若x 24y 23∠F 1PF 2＝60°，则·等于( )PF1→ PF 2→ A ．3 B ．3C ．2 D ．23解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝，c ＝1，3∴Error!∴|PF 1||PF 2|＝4.∴·＝||||cos 60°＝4×＝2.PF 1→ PF 2→ PF 1→ PF 2→ 12答案：D3．(2012年高考江西卷)椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦x 2a 2y 2b 2点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A. B ．1455C. D ．－2125解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝＝.故应选B.ca 55答案：B4．(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的x 2a 2y 2b 2直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝，则C 的离心率45为( )A. B ．3557C. D ．4567解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×＝36，45则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝|AB |12＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝＝.c a 57故选B.答案：B5．已知椭圆E ：＋＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与x 2m y 24l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A 、B 、C ，故选D.答案：D6．(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为x 2a 2y 2b 2F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使＝，则该椭圆的离心率的asin ∠PF 1F 2csin ∠PF 2F 1取值范围为( )A ．(0，－1) B ．2(22，1)C.D ．(－1,1)(0，22)2解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得＝，|PF 2|sin ∠PF 1F 2|PF 1|sin ∠PF 2F 1所以由＝a sin ∠PF 1F 2c sin ∠PF 2F 1可得＝，a|PF 2|c|PF 1|即＝＝e ，|PF 1||PF 2|ca 所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝.2ae ＋1由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <<a ＋c ，2ae ＋1即1－e <<1＋e ，2e ＋1也就是Error!解得－1<e .2又0<e <1，∴－1<e <1.故选D.2答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中x 225y 216点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线x 2a 2y 2b 2与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋，332c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝＝2－.ca 3答案：2－39．(2014西安模拟)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方35y 225x 29程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为＋＝1(m <9)，y 225－m x 29－m 代入点(，－)，35得＋＝1，525－m 39－m 解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为＋＝1.y 220x 24答案：＋＝1y 220x 2410．已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且x 2a 2y 2b 2⊥.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.PF1→ PF 2→ 解析：由题意得Error!∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，12∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上，可得Error!∴Error!故椭圆C 1的方程为＋y 2＝1.x 22(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2相切得Error!消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1相切得Error!消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②①②联立得Error!解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝时，k ＝，b ＝－时，k ＝－.222222即直线l 的方程为y ＝x ＋或y ＝－x －.22222212．(2014海淀三模)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一x 2a 2y 2b 2内角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的x 2a 2y 2b 2菱形的四个顶点．所以a ＝，b ＝1，3椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 23(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝2，|PO |＝3，3所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，所以Error!化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝，33k 2＋1则|AO |＝＝.1＋k 233k 2＋13k 2＋33k 2＋1设AB 的垂直平分线为y ＝－x ，1k 它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，所以Error!解得Error!则|PO |＝，9k 2＋9(k －1)2因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝|AO |，3代入得＝，9k 2＋9(k －1)233k 2＋33k 2＋1解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇 第4节一、选择题1．设P 是双曲线－＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若x 216y 220|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17 D ．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考湖北卷)已知0<θ<，则双曲线C 1：－＝1与C 2：－π4x 2sin2θy 2cos2θy 2cos2θ＝1的( )x 2sin2θA ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．离心率相等 D ．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝sin2θ＋cos2θ＝1，故选D.cos2θ＋sin2θ答案：D3．(2012年高考湖南卷)已知双曲线C ：－＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近x 2a 2y 2b 2线上，则C 的方程为( )A.－＝1 B ．－＝1x 220y 25x 25y 220C.－＝1 D ．－＝1x 280y 220x 220y 280解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝x 得a ＝2b .ba a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为－＝1.故选A.x 220y 25答案：A 4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )A. B ．1435C. D ．3445解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，2|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2，|PF 1|＝4，22由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝＝.故选C.(42)2＋(22)2－422×42×2234答案：C5．设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆513C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.－＝1 B ．－＝1x 242y 232x 2132y 252C.－＝1 D ．－＝1x 232y 242x 2132y 2122解析：在椭圆C 1中，因为e ＝，2a ＝26，513即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为－＝1.故选A.x 242y 232答案：A6．(2014福州八中模拟)若双曲线－＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域x 29y 216(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－5,5] D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线－＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )x 29y 2162＋y 2≥16内，即直线与圆相离或相切，所以d ＝≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数|4m |5m 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：－＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的x 29y 216点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点x 2a 2y 2b 2的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，ca ∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－＝1.y 23答案：x 2－＝1y 239．(2014合肥市第三次质检)已知点P 是双曲线－＝1(a >0，b >0)和圆x 2a 2y 2b 2x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝m ，3该双曲线的离心率等于＝＝＋1.|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||2m3m －m 3答案：＋1310．(2013年高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若x 2a 2y 2b 2在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt △F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝c ，3根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(－1)c ＝2a ，3e ＝＝＝＋1.c a 23－13答案：＋13三、解答题11．已知双曲线x 2－＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，y 22且点P 是线段AB 的中点？解：法一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由Error!得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝＝.x 1＋x 22k (1－k )2－k 2由题意，得＝1，k (1－k )2－k 2解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线l 的斜率不存在，即x 1＝x 2不符合题意，所以由题得x －＝1，x －＝1，21y 2122y 22两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－＝0，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2即2－＝0，y 1－y 2x 1－x 2即直线l 斜率k ＝2，得直线l 方程y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，联立Error!得2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y ＝2x －1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P (1,1)的直线l 不存在．12．(2014南京质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.13(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝，13设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则Error!解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为＋＝1，x 249y 236双曲线方程为－＝1.x 29y 24(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2，13∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝＝.102＋42－(213)22×10×445第八篇 第5节一、选择题1．(2014银川模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( )A. B ．(1,0)(12，0)C. D ．(0，18)(0，14)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝y ，它的焦点坐标是.故选C.12(0，18)答案：C2．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )x 24y 29A ．x 2＝－4y B ．y 2＝－4x55C ．x 2＝－4yD ．y 2＝－4x1313解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝＝，a 2－b 25∴抛物线焦点坐标为(0，－)，5∴抛物线方程为x 2＝－4y .故选A.5答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A ．相离 B ．相交C ．相切 D ．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝(|AA 1|＋|BB 1|)12＝(|AF |＋|BF |)＝|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.1212答案：C4．(2014洛阳高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A. B ．5383C. D ．10103解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由Error!解得x 1＝3，x 2＝，13故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于＋1＝.故选B.x 1＋x 2283答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A. B ．134C. D ．5474解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋＝3，12∴x A ＋x B ＝.52∴线段AB 的中点到y 轴的距离为＝.xA ＋xB 254故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，3联立Error!消去y ，得x 2＝2p (x ＋b )，3即x 2－2px －2pb ＝0，3∴x 1＋x 2＝2p ＝3，3∴p ＝，则抛物线的方程为x 2＝y .323答案：x 2＝y38．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为，3∴直线方程为y ＝(x －1)．3联立方程Error!解得Error!或Error!由已知得A 的坐标为(3,2)，3∴S △OAF ＝|OF |·|y A |＝×1×2＝.121233答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ，则(72，4)|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－，焦点F 坐标为.12(12，0)求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋，12所以|PA |＋|PM |≥5－＝.1292答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－，求实数m 的值．12解：法一 如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，由Error!得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.12n2由x 1x 2＝－，得n ＝1.12又x 0＝＝－，x 1＋x 2214y 0＝－x 0＋n ＝＋1＝，1454即点M 为，(－14，54)由点M 在直线l 上，得＝－＋m ，5414∴m ＝.32法二 ∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．∴Error!∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝＝4x 0.y 1－y 2x 1－x 2又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－.14又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －，14即M ，(－14，m －14)∴AB 的方程是y －＝－，(m －14)(x ＋14)即y ＝－x ＋m －，代入y ＝2x 2，12得2x 2＋x －＝0，∴x 1x 2＝－＝－，∴m ＝.(m －12)m －122123212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，2B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．OC → OA → OB→ 解：(1)直线AB 的方程是y ＝2，与y 2＝2px 联立，2(x －p2)从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4,4)．22设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4,4)OC→ 22＝(4λ＋1,4λ－2)，22即C (4λ＋1,4λ－2)，22所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，2即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。
2024年数学九年级上册解析几何基础练习题(含答案)
2024年数学九年级上册解析几何基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)关于x轴的对称点是（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (2, 3)2. 已知点P在第二象限，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P的坐标是（）A. (3, 4)B. (3, 4)C. (4, 3)D. (4, 3)3. 直线y=2x+1的斜率是（）A. 1B. 2C. 1D. 24. 下列函数中，哪一个是一次函数？（）A. y=x^2B. y=2xC. y=x^3D. y=1/x5. 在平面直角坐标系中，点A(1, 2)和点B(2, 4)所在的直线方程是（）A. y=2x+4B. y=2x+4C. y=x+3D. y=x+36. 一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，则k和b的取值范围是（）A. k>0, b>0B. k<0, b>0C. k>0, b<0D. k<0, b<07. 下列各点中，哪一个点不在直线y=x+3上？（）A. (1, 2)B. (2, 1)C. (1, 4)D. (2, 5)8. 已知直线y=2x+1与y轴的交点坐标是（0, a），则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 19. 在平面直角坐标系中，两条平行线的斜率分别是2和2，则这两条直线（）A. 相交B. 平行C. 重合D. 垂直10. 已知一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0, 3)，且过点(1,5)，则该函数的解析式为（）A. y=2x+3B. y=3x+3C. y=2x+3D. y=3x+3二、判断题：1. 一次函数的图象是一条直线。
（）2. 两条平行线的斜率一定相等。
（）3. 一次函数y=kx+b中，当k>0时，直线必经过第一象限。
（）4. 点(0, 0)是所有直线上的点。
（）5. 直线y=2x+1的斜率为2，说明直线与x轴的夹角为60度。
解析几何复习题及参考答案
解析⼏何复习题及参考答案解析⼏何复习题（部分参考解答）⼀.选择题)45.3(,:.3.;2.;1.;0.).(cos cos cos ,,,,,.1222-=++再利⽤弦函数先将余弦函数转化为正提⽰则时的夹⾓分别为与三坐标平⾯设向量D C B A C zox yoz xoy a γβαγβα2.||||b a b a -=+的充要条件是（ C ）.A. 或；B. ；C. ；D. 。
提⽰:向量和的三⾓形法则与向量减法⼏何意义等。
向量a+b ,a-b 是长⽅形图形的对⾓线. 3. 若向量满⾜条件,则必有关系（ D ）。
A .； B .； C .或； D .。
提⽰:定理1.7.1和定理1.7.2的(1.7-5).3,2,21.;10101.;04044.;233211.:)(.4=+=+==-=+=--=--+=+=-z t y t x D zy x C z x y x B z y x A D xoy 平⾯的是下列直线中平⾏于提⽰；利⽤(3.5-5)5.向量a 在上的射影是( B ) 。
提⽰利⽤(1.7-2) A.||.||||.||b D a C b B a2.7.3.2.;3.;4.;6.).(,326:182511:.62121提⽰利⽤定理的夹⾓为与则与设直线ππππD C B A C L L z y y x L z y x L =+=-+=--=-7.过点(1,0,1)平⾏于直线=++-=+01201--2z y x z y x 的直线⽅程是（ D ）。
提⽰: 利⽤(3.4-3) A.； B.；C. ；D. 。
8.在空间直⾓坐标系下，⽅程表⽰（A ）.提⽰:可参考§2.2节曲⾯概念A.圆柱⾯；B.圆；C.球⾯；D.两相交直线.9.设直线,031020123:=+--=+++z y x z y x L 平⾯:2x+13y+18z+7=0，则直线与平⾯的关系为（ A ）。
提⽰: §3.5中的定理3.5.1等A.； B.； C.； D. 斜交。
解析几何考试题及答案
解析几何考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知点A(2,3)，B(-1,5)，C(4,-2)，下列哪个点与点A、B、C共线？A. (1,2)B. (3,4)C. (0,1)D. (2,1)答案：C解析：要判断点是否共线，可以计算向量AB和AC的斜率是否相等。
向量AB的斜率为(5-3)/(-1-2)=-1/3，向量AC的斜率为(-2-3)/(4-2)=-5/2。
只有选项C的斜率与向量AB和AC的斜率相等，即(1-3)/(0-2)=-1/3。
2. 已知直线l的方程为2x+3y-6=0，下列哪个点在直线l上？A. (1,2)B. (2,0)C. (3,4)D. (0,2)答案：B解析：将每个选项的坐标代入直线方程，只有选项B满足方程，即2*2+3*0-6=0。
3. 已知椭圆的方程为x²/16+y²/9=1，下列哪个点在椭圆内部？A. (2,3)B. (4,0)C. (0,5)D. (-3,-3)答案：D解析：将每个选项的坐标代入椭圆方程，只有选项D满足方程，即(-3)²/16+(-3)²/9<1。
4. 已知双曲线的方程为x²/9-y²/16=1，下列哪个点在双曲线上？A. (3,4)B. (5,0)C. (0,-4)D. (-3,3)答案：B解析：将每个选项的坐标代入双曲线方程，只有选项B满足方程，即5²/9-0²/16=1。
5. 已知抛物线的方程为y²=4x，下列哪个点在抛物线上？A. (1,2)B. (2,1)C. (3,-2)D. (4,-1)答案：A解析：将每个选项的坐标代入抛物线方程，只有选项A满足方程，即2²=4*1。
二、填空题（每题5分，共30分）6. 已知直线l1的方程为3x-4y+5=0，直线l2的方程为2x+y-3=0，求两直线的交点坐标。
答案：(7/5, 11/5)解析：联立两直线方程，解得x=7/5，y=11/5，即为交点坐标。
解析几何专题复习(含答案)
解析几何专题复习1、已知椭圆C ：x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，32)。
(1)求椭圆C 的方程；(2)设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M 。
问点M 满足什么条件时，圆M 与y 轴有两个交点?(3)设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求点D 、E 距离的最大值。
【解】：(1)(2)易求得F 点的坐标为 。
设M (x 0，y 0)，则 x 02 4 + y 02 3=1， 故圆M 的方程为 ，令x =0，化简得y 2-2y 0y +2x 0-1=0，⊿=4y 02-4(2x 0-1)2 0……①。
将y 02=3(1- x 024)代入①，得 0，解出 。
(3)设D (0，y 1)，E (0，y 2)，其中y 1＜y 2。
由(2)，得DE = y 2- y 1= =-3(x 0+4 3 )2+643 ，当x 0= 时，DE 取最大值，最大值为 。
2、已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.（Ⅰ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（Ⅱ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.解：（Ⅰ）由已知得a = ，b = ，所以c = = 。
所以椭圆G 的焦点坐标为 ，,离心率为e = 。
（Ⅱ）由题意知，1||≥m . 当1=m时,切线l 的方程为 ,点A 、B 的坐标分别为 ，此时3||=AB ；当1m =-时，同理可得AB = ；当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=由2222222(),(14)844014y k x m k x k mx k m x y =-⎧⎪+-+-=⎨+=⎪⎩得.设A 、B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则__________;__________2121==+x x x x . 又由l 与圆122=+y x相切，得1=，化简得=22k m 。
解析几何专题复习-含答案
专题复习：解析几何例1、（1）.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是__43-________（2）已知点P 是椭圆)00(181622≠≠=+y x y x ，上的动点，21F F 、为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠平分线上一点，且10F M MP ⋅=，则OM 的取值范围是__0(，)22 _______（3）过双曲线()222210,0x y a a a b -=>>的左焦点()(),00F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长EF 交双曲线右支于点P ，若E 是FP 的中点，则双曲线的离心率为．例2、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍,且经过点()1,2M ,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （0≠m ），l 交椭圆于A 、B 两个不同点. （1）求椭圆的方程；（2）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.17.解：（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得∴椭圆方程为12822=+yx（2）设直线MA 、MB 的斜率分别为21,k k ，只需证明021=+k k 即可设()()2211,,,y x B y x A 直线m x y l +=21: 则11,11222111--=--=x y k x y k 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=842122y x m x y 得042222=-++m mx x 42,222121-=-=+m x x m x x而()()()()()()2221211111211*********----+--=--+--=+x x x y x y x y x y kk()()0224442422122=--+-+--x x m m m m 所以021=+k k故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.例3、在直角坐标系xOy ，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、.其中2F 也是抛物线224C y x =：的焦点，点M 为12C C 与在第一象限的交点，且253MF =.（I ）求椭圆1C 的方程； （II ）若过点D （4，0）的直线1l C 与交于不同的两点A 、B ，且A 在DB 之间，试求AOD ∆∆与BOD 面积之比的取值范围.（Ⅰ）依题意知2(1,0)F ，设11(,)M x y .由抛物线定义得2||MF = 1513x +=，即123x =. ………………1分将321=x代人抛物线方程得1y =， ………………2分进而由222()31a +=及221a b -=，解得224,3a b ==. 故椭圆1C 的方程为22143x y +=． ………………5分 （Ⅱ）依题意知直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为4x my =+代人22143x y +=， 整理得22(34)24360m y my +++=………………6分由0∆>，解得24m >. ………………7分设1122(,),(,)A x y B x y ,则12212224343634my y m y y m -+=+⋅=+⎧⎪⎨⎪⎩①②………………8分令AOD BODS S λ∆∆=，则11221212OD y y y OD y λ⋅==⋅且01λ<<. ………………9分 将12y y λ=代人①②得2222224(1)343634m y m y m λλ-⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去2y 得222(1)1634m m λλ+=+， 即2224(1)1033m λλλ+=--． ………………10分由24m >得22(1)11033λλλ+>--，所以1λ≠且231030λλ-+<, 解得113λ<<或13λ<<. ………………12分又01λ<<，∴113λ<<作业：1、抛物线y=4 x 2 关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是__x=-161_______2、已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F ，两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1212e e e e ⋅，，则的取值范围是__1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭_______3、抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为_______ 4、已知O 为原点，双曲线2221(0)x y a a -=>上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为,A B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为__25_______5、在平面直角坐标系xoy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC ∆的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围是_________6、定义一个对应法则()(),0,0:，≥≥f P m n P m n '→．现有点()2,6A 与()6,2B 点，点M 是线段AB 上一动点，按定义的对应法则:f M M '→．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M '所经过的路线长度为．7、如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A 、B 分别在抛物线x y 82=及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是____()8,12_________.8、如右图，椭圆的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使点A 2在平面B 1A 1B 2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为_3π_ __． 9、如图，从点0(,2)M x 发出的光线沿平行于抛物线24y x =对称轴的方向射向此抛物线上的点P ，反射后经焦点F 又射向抛物线上的点Q ，再反射后沿平行于抛物线的对称轴的方向射向直线:270l x y --=上的点N ，再反射后又射回点M ，则0x = 6 .10、设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是___25_______11、已知椭圆经过点，离心率为，经过椭圆C 的右焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且，当直线l 的倾斜角变化时，探究λ＋μ是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；若不是，说明理由；（3）连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．12、椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的左、右焦点分别是21,F F ，离心率为32，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线21,PF PF 的斜率分别为21,k k ，若0≠k ， 试证明:2111kk kk +为定值，并求出这个定值．13、如图，点P(0，−1)是椭圆C1： (a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．解析：（Ⅰ）由题意得：⎩⎨⎧b =1，a =2．……………..2 椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1． (4)（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y =kx −1． (5)又圆C 2：x 2+y 2=4，故点O 到直线l 1的距离d =1k 2+1， …………………6 所以|AB |=24−d 2=24k 2+3k 2+1 ． (7)又l 1⊥l 2，故直线l 2的方程为x +ky +k =0．由⎩⎪⎨⎪⎧x +ky +k =0， x 24+y 2=1． 消去y ，整理得(4+k 2)x 2+8kx =0故x 0=−8k 4+k 2．所以|PD |=8k 2+14+k 2． (10)设△ABD 的面积为S ，则S =12|AB |⋅|PD |=84k 2+34+k 2， 所以S =324k 2+3+134k 2+3≤3224k 2+3 ⋅134k 2+3=161313， (12)当且仅当k =±102时取等号 (13)所以所求直线l 1的方程为y =±102x −1 (14)。
高考解析几何(含详细答案)
杨老师数学
高考专题讲义
支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ∴
2 a 2 b2 b 2 c ≥ 4 ，∴ e≥2，选 C。 ≥ 3 ，离心率 e = 2 a a a2
b ， a
例 2： （Ⅰ）因为
c 6 ，且 c 2 ，所以 a 3, b a2 c2 1 a 3
焦点且垂直长轴的弦长为 1 ． （1）求椭圆 C1 的方程； （2）设点 P 在抛物线 C2 ： y x2 h (h R) 上， C2 在点 P 处的 切线与 C1 交于点 M , N ．当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横 坐标相等时，求 h 的最小值．
4
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高考专题讲义
考点 3：求参数范围问题
c 1 4 9 ， 2 2 1 ，又 c 2 a 2 b2 ，解得： c 2, a 4, b 2 3 a 2 a b
椭圆 E 的方程为
x2 y 2 1 16 12
（ 2 ）方法 1 ：由（ 1 ）问得 F1 ( 2, 0)， F2 (2,0) ，又 A 2, 3 ，易得 F 1 AF 2 为直角三角形，其中
x2 y 2 1. 所以椭圆 C 的方程为 3
（Ⅱ）由题意知 p(0, t )(1 t 1)
y
M P
O
N
y t 2 由 x2 得 x 3(1 t ) 2 y 1 3
2 所以圆 P 的半径为 3(1 t ) .
x
由
| t | 3(1 t 2 )
kl 2 ， 直线 l 的方程为： y 3 2( x 2) ，即 y 2 x 1 。
（3）假设椭圆 E 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 、 Q ， 令 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ，且 P Q 的中点为 R( x0 , y0 )
大学解析几何考试题及答案
大学解析几何考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是解析几何的研究对象？A. 平面曲线B. 空间曲线C. 空间曲面D. 质点运动答案：D2. 在平面直角坐标系中，点P(x, y)关于原点的对称点的坐标是：A. (-x, -y)B. (x, -y)C. (-x, y)D. (y, x)答案：A3. 如果直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，那么它的斜率k等于：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B4. 椭圆的标准方程是：A. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1B. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1C. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 0D. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 0答案：A5. 一个圆的圆心在原点，半径为1，那么它的方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 0C. x^2 + y^2 = 2D. x^2 + y^2 = -1答案：A6. 如果两条直线的方程分别为y = mx + b1和y = mx + b2，那么这两条直线：A. 相交B. 平行C. 重合D. 垂直答案：B7. 抛物线y^2 = 4ax的准线方程是：A. x = -aB. x = aC. y = -aD. y = a答案：A8. 双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程是：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a/b)xD. y = ±(b/a)x答案：D9. 点A(3, 4)关于直线y = x的对称点B的坐标是：A. (4, 3)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 5)答案：A10. 直线x = 2y + 3与圆x^2 + y^2 = 25相交于两点，这两点的距离是：A. 2√5B. 4√5C. 5√2D. 10答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 在平面直角坐标系中，点P(2, -1)到原点的距离是_________。