混合整数线性规划
混合整数线性规划教育课件
⑵.若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则 ( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。
⑶.若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转 入下一步。为讨论方便，设( LP )的最优解为：
0 不在Ai建厂
模型： min Z
m
cij xij fi yi
i 1
n
xij ai yi
(i 1.2 m)
j 1
m
xij b j
i1
(j 1.2 n)xij0,源自yi0 或 1 (i
1.2
m、 j 1.2 n)
（二）、整数规划的数学模型
一般形式
n
maxZ(或min Z) cj xj j1
x1 . x2. x3
(0)
( 0. 0. 0 ) 0 ( 0. 0. 1 ) 5 ( 0. 1. 0 ) -2 ( 0. 1. 1 ) 3 ( 1. 0. 0 ) 3 ( 1. 0. 1 ) 8 ( 1. 1. 0 ) 1 ( 1. 1. 1 ) 4
B B 零件 方
个数 式
零件
1
零件
n 毛坯数
A1
b a11 a1 n 1
b A m
a m 1 a mn m
设：xj
表示用Bj
(j=1.2…n)
n
种方式下料根数
模型： min Z x j
j 1
n
aij x j bi
(i 1.2 m)
j 1
x
j
0
(j 1.2 n)且为整数
例二、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地点有 A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是a1,a2,…am（假设生
milp优化问题的典型求解方法
Milp（Mixed Integer Linear Programming）是一类线性规划问题，其变量包括整数型和实数型变量。
对于Milp优化问题，常见的求解方法包括整数规划分支定界法、整数规划切割平面法、启发式算法等。
本文将着重介绍Milp优化问题的典型求解方法，以便读者更好地理解和应用这些方法。
一、整数规划分支定界法1. 整数规划分支定界法是一种常用的Milp求解方法，其基本思想是通过不断地分支和界定变量取值范围来逐步逼近最优解。
具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。
（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。
（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则进行分支操作。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
二、整数规划切割平面法2. 整数规划切割平面法是另一种常用的Milp求解方法，其核心思想是通过不断添加约束条件来逼近最优解。
具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。
（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。
（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则添加约束条件。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
三、启发式算法3. 启发式算法是一类常用的Milp求解方法，其特点是通过启发式策略来搜索最优解。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法等。
这些算法通过不断地迭代和搜索来寻找最优解，其求解步骤包括：（1）初始化种群或解空间。
（2）根据指定策略进行选择、交叉和变异操作。
（3）更新种群或解空间，并计算适应度值。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
四、优化问题的特点及应用4. Milp优化问题的求解方法在实际应用中具有广泛的适用性，常见的应用领域包括生产调度、物流规划、网络设计等。
由于Milp问题的复杂性和求解困难性，对于实际问题的建模和求解需要充分考虑问题特点和求解方法的选择。
基于混合整数线性规划的路径规划算法研究
基于混合整数线性规划的路径规划算法研究1. 引言路径规划是指在给定起点和终点的情况下，确定从起点到终点的最优路径。
在许多实际应用中，如物流运输、交通调度等领域，路径规划问题都是非常重要的。
随着计算机科学和优化算法的发展，基于混合整数线性规划的路径规划算法逐渐成为研究的热点。
本文将重点介绍基于混合整数线性规划的路径规划算法的研究进展和应用。
2. 混合整数线性规划简介混合整数线性规划（Mixed Integer Linear Programming，MILP）是一类数学规划问题，旨在通过合理地分配有限资源以满足一系列约束条件，从而达到最优化的目标。
MILP问题中，变量可以是连续的（整数）或者离散的（整数），目标函数和约束条件都是线性的。
路径规划问题可以转化为MILP问题，以提高求解效率和优化路径选择结果。
3. 基于混合整数线性规划的路径规划算法基于混合整数线性规划的路径规划算法通常分为两个步骤：建模和求解。
在建模阶段，需要将路径规划问题抽象成一个MILP模型。
在求解阶段，可以利用现有的优化求解算法，如分支定界法、割平面法等，求解该MILP模型，得到最优路径。
4. 实例分析：物流路径规划问题为了更好地理解基于混合整数线性规划的路径规划算法，我们以物流路径规划问题为例进行实例分析。
假设有一家物流公司需要在多个仓库和多个客户之间运输货物，目标是使总运输成本最小。
根据给定的仓库、客户和货物运输需求，我们可以将该问题建模成一个MILP模型，并通过求解该模型得到最优路径规划结果。
5. 算法优缺点及改进方向基于混合整数线性规划的路径规划算法有其优点和缺点。
优点包括能够灵活处理复杂约束条件和具备较高的求解准确度。
然而，由于MILP问题本身的困难性，该算法在处理规模较大的问题时可能存在求解时间过长的问题。
为了进一步提升算法效率，可以采用一些改进策略，如引入启发式算法、模糊搜索等。
6. 应用前景基于混合整数线性规划的路径规划算法在物流运输、交通调度等领域具有广阔的应用前景。
线性规划问题的混合整数规划算法研究
线性规划问题的混合整数规划算法研究线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于各个领域的决策问题中。
它通过构建数学模型，寻找可以使目标函数最小或最大的变量值，帮助决策者更好地制定方案。
但是，在某些实际问题中，变量需要满足整数约束，而线性规划只能解决实数问题，所以需要混合整数规划算法来解决这类问题。
一、混合规划问题混合规划问题是指线性规划问题中包含整数（0或正整数）变量的约束条件，也就是说，它在线性规划的基础上增加了一定的约束。
这种情况下，原本的线性规划算法无法得到满足整数要求的最优解。
混合规划问题的解决方法是使用混合整数规划算法。
二、混合整数规划算法混合整数规划算法（Mixed Integer Programming，MIP）是指解决包含整数、实数变量的线性规划问题的算法。
MIP算法的核心思想是将整数规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划算法求得最优解。
它的过程包括建立问题的数学模型、求解线性规划问题、判断是否满足整数约束、选择分支策略、再次求解线性规划问题等等。
在其中，转换整数规划问题的线性松弛问题是MIP算法求解混合整数规划问题的重要环节。
线性松弛问题是将整数规划中整数变量的约束条件转换为线性约束条件的问题。
三、分支定界算法分支定界算法（Branch and Bound Algorithm）是解决混合整数规划问题的一种常用的方法。
在混合整数规划问题中，得到的线性规划问题无法满足整数约束条件，因此，需要将解空间划分为子集，在每个子集上进行测算，再通过分支判定来进一步判断是否继续搜索。
该算法的核心思想是通过每次分支，将问题分成两个子问题，然后只对其中一个问题进行搜索，直到找到最优解。
这个搜索过程的组织和管理是通过数学模型的剪枝法来进行的。
四、混合整数规划软件混合整数规划算法的使用需要专门的数学模型软件，如GAMS、AMPL、CPLEX等软件。
这些软件对MIP算法进行编程优化，使得在求解过程中，可以有效地进行剪枝和搜索，从而得到最优解。
基于混合整数线性规划模型的物流运输决策研究
基于混合整数线性规划模型的物流运输决策研究近年来，随着全球经济的快速发展，物流运输业也得以迅速发展。
而物流运输决策模型则成为了物流企业在过程中必不可少的工具。
混合整数线性规划模型便是其中一种应用最为广泛的模型。
本文将就混合整数线性规划模型在物流运输决策中的应用做一些探讨。
一、混合整数线性规划模型基础混合整数线性规划（MILP）是一种特殊的数学模型。
这种模型有多个决策变量，每个决策变量可能会取离散值或者连续值。
这些决策变量需要满足一些约束条件，同时优化目标函数。
虽然MILP模型在早期被广泛应用于制造业优化的形式中，但是经过今天的改进和发展，它被广泛应用于物流运输领域，用于优化最优配送问题（Vehicle Routing Problem），设备调度问题，华丽的叉运问题等。
二、物流运输中的混合整数线性规划模型应用1.最优配送问题在物流运输过程中，最优配送问题是一个非常重要的环节。
给定一组顾客和他们的配送需求，同时还有一组可用于配送的车辆，最优配送问题的目的是通过合理的配送方案，使得运输成本最小化。
不难发现，这是一个需要最小化成本的模型，同时还需要满足多个要求和限制的模型，也正因为如此，最优配送问题会被转化为一个混合整数线性规划问题。
MILP模型可以通过复杂的建模和求解，求得最合理最优的配送方案，大幅度降低了运输成本。
2.设备调度问题在物流运输中，设备调度问题同样是十分重要的问题。
常见的设备调度问题包括机器调度，人员排班和车辆调度，其目标是通过合理调度设备，降低成本、提高生产效率。
尤其对于车辆调度问题，混合整数线性规划模型应用广泛，几乎成为了必要的分析工具。
混合整数线性规划模型能够灵活处理各种约束条件和实际运作限制，并且可以依据目标函数的类型进行灵活的求解。
在进行设备调度问题求解的过程中，需要多次运用线性规划的方法，进行极为复杂的计算，才能找到最优的调度方案。
3.华丽的叉运问题华丽的叉运问题是物流运输中一个十分具有挑战性的问题。
混合整数线性规划
混合整数线性规划混合整数线性规划 1线性规划模型(linear programming, lp)：lp的定义比较简单，它指的就是目标函数是线性的，所有约束也是线性的，最后，决策变量可以取任何的实数。
如果在线性规划问题中有部分决策变量要求必须是整数，那么这时的规划问题就转变成混合整数线性规划问题了。
也就是说优化问题不止有条件约束，还有整数约束。
举例：min x1+x2 “数学问题描述”x1-2x2>=6 “条件约束”x1 in integer“整数约束”,x2>=0 “条件约束”求解：在matlab中，线性规划类问题的求解基本上有两种解决方案，最简单的是直接调用求解器(solver)求解，这叫做solver-based linear programming，求解的命令是linprog 和intlinprog。
这种方案简单，但需要我们手动列出所有系数矩阵、向量(ax<=b;aeq.x<=beq;and so on)。
当约束增多，这个工作几乎是不可行的。
matlab提供了基于问题的求解方案(problem_based linear programming)。
这种方案更加直观，缺点是需要自己一步步实现，它实际上上也是调用了求解器，使用单纯形法、内点法等方法求解(可以指定)。
求解混合整数线性规划模型的算法主要包括精确算法和启发式算法，其中精确算法包括分枝定界法和列生成法，启发式算法包括遗传算法、蚁群算法、粒子群优化算法和模拟退火算法。
其中，精确算法可以得到模型的精确最优解，但其缺点是在现有的计算机技术下，无法在有限的计算时间内处理决策变量较多的问题。
启发式算法虽然可以处理很多决策变量，但其最优解是近似最优解，容易陷入局部最优解。
近似最优解和实际最优解之间的差距是无法测量和估计的。
应用混合整数线性规划
应用混合整数线性规划混合整数线性规划（MILP）是数学规划中的一种重要类型，它在实际应用中具有广泛的应用价值。
MILP可以被描述为一种在优化的同时满足线性和离散限制的问题。
其中，线性部分通常是指一个线性目标函数和一组线性约束条件，而离散部分通常是指一个或多个变量必须是整数。
MILP的应用场景涵盖了许多领域，如物流、供应链、生产调度、航空航天、电力系统等。
在这些领域中，MILP都能够提供有效的决策支持。
比如，在供应链中，MILP可以帮助企业优化物流运输路线、合理安排存储和配送等流程。
在生产调度中，MILP可以帮助企业优化生产线的排程，提升生产效率和资源利用率。
在航空航天领域，MILP可以帮助航空公司优化飞行计划、航班调度和飞机维护等决策。
在电力系统中，MILP可以帮助电力公司优化电力调度、电网规划和电力市场设计等问题。
在MILP问题的求解中，现有的算法主要包括分支定界法、割平面法、内点法等。
其中，分支定界法是一种被广泛应用的算法，它将问题分解为一系列子问题，并逐步缩小搜索空间，最终找到全局最优解。
割平面法则是一种通过添加额外的约束条件来削弱问题可行域的算法。
内点法则是一种通过寻找问题的最优解点的算法，它能够有效地处理大规模的MILP问题。
此外，近年来出现的许多启发式算法，如遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法等也被用于MILP问题求解。
无论采用何种算法，应用MILP问题求解时需要考虑如下几点：首先，需要确保模型的准确性与完整性。
一个好的模型应该能够准确地反映现实问题，并包含所有重要的因素和约束条件。
其次，需要选择适合问题特点的求解算法。
在实际运用中，不同的问题具有不同的特点，有些问题规模非常大，需要使用分布式计算等技术才能求解。
因此，需要根据具体问题的特点选择适合的求解算法，并进行参数调整和优化。
最后，需要关注求解结果的有效性与可行性。
有时候，求解结果可能不是最优解，但在现实中却是可行的。
因此，在应用MILP求解时需要进行适当的检验和验证，确保结果的有效性和可行性。
线性规划的十种类型
线性规划的十种类型线性规划是一种优化问题的数学方法，其目标是找到一组决策变量的最佳值，以使目标函数在一组约束条件下达到最大（最小）值。
线性规划问题可以分为以下十种类型。
1.单目标线性规划：在单目标线性规划中，只有一个目标函数需要最大化或最小化。
例如，最大化营销利润或最小化生产成本。
2.多目标线性规划：多目标线性规划包含两个或更多个目标函数，需要在多个目标之间进行权衡。
例如，同时最大化销售额和最小化生产成本。
3.约束线性规划：在约束线性规划中，问题除了目标函数外，还有一些约束条件需要满足。
例如，生产项产品所需的原材料数量不能超过供应商的可用数量。
4.混合整数线性规划：在混合整数线性规划中，决策变量可以为实数或整数。
该问题既包含线性约束条件，又包含整数约束条件。
例如，在生产计划中考虑到机器的整数需求。
5.二次线性规划：在二次线性规划中，目标函数为二次函数，但约束条件为线性函数。
例如，在市场分析中，为了最大化利润，需要考虑产品价格和销售量之间的二次关系。
6.敏感性分析：敏感性分析用于确定目标函数和约束条件的变化情况下，最优解如何随之变化。
例如，在成本或需求变化时，优化生产或库存计划。
8.资源分配：资源分配问题涉及到如何最优地分配有限资源，以满足不同的需求。
例如，在项目管理中，如何分配时间、金钱和人力资源以最大化项目成功。
9.增益线性规划：增益线性规划是在优化问题中引入风险和不确定性的一种方法。
例如，在金融领域，如何在市场波动和风险条件下最大化回报。
10.竞争性线性规划：竞争性线性规划涉及到多个参与者之间的竞争和博弈。
例如，在拍卖和竞标过程中，如何确定最佳投标策略以赢取项目并最大化利润。
以上是线性规划的十种类型，每种类型都涉及不同的问题和应用领域。
线性规划的方法可以帮助企业、组织和个人做出最佳的决策，以实现其目标并最大化效益。
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整
数
规 划
(Integer Programming)
整数规划的模型
分支定界法 0－1 整数规划
指派问题
一、整数规划的模型
（一）、整数规划问题实例
例一、合理下料问题
设某型号圆钢可生产零件毛坯为A1, A2,…,Am 。在一根圆钢 上下料的方式有B1,B2, …,Bn 种，每种下料方式可以得到各 种零件的毛坯数以及每种零件的需要量，如表所示。问怎 样安排下料方式，使得即满足需要，所用的原材料又最少？
单 销地 厂址 价
A 1 A2 Am
销量
B1 c11 c21 cm1 b1
B2 Bn c12 c1n a1 c22 c2 n a2 cm 2 cmn am b2 bn
生产 能力
建设 费用
f1 f2 fm
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现ห้องสมุดไป่ตู้整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
因此，可将集合内的整数点一一找出，其最 大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。
如上例：其中（2，2）（3，1）点为最 大值，Z=4。
目前，常用的求解整数规划的方法有：
割平面法和分支定界法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈 牙利法。
二、分支定界法
（一）、基本思路 考虑纯整数问题：
max Z c j x j
, b2 ,, br ,, bm ,0,,0)T X ( 0) (b1 目标函数最优值为 Z(0) .其中bi(i 1,2,, m)不全为整数
2、定界：
记( IP )的目标函数最优值为Z* ,以Z(0) 作为Z* 的上界， 记为 Z ＝ Z(0) 。再用观察法找的一个整数可行解 X′， 并以其相应的目标函数值 Z′作为Z* 的下界，记为Z＝ Z′， 也可以令Z＝－∞，则有： Z ≤ Z* ≤ Z
3、分枝：
在( LP )的最优解 X(0)中，任选一个不符合整数条件 （不为整数），以 br 表示不超过 的变量，例如xr= br
（三）、整数规划与线性规划的关系 从数学模型上看整数规划似乎是线 性规划的一种特殊形式，求解只需在线 性规划的基础上，通过舍入取整，寻求 满足整数要求的解即可。但实际上两者 却有很大的不同，通过舍入得到的解 （整数）也不一定就是最优解，有时甚 至不能保证所得到的解是整数可行解。 举例说明。
例：设整数规划问题如下
j 1
n
n aij x j bi (i 1.2 m) j 1 x 0 (j 1.2 n) 且部分或全部为整数 j
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整 数线性规划、混合整数线性规划、0－1整数线性规划。
纯整数线性规划：所有决策变量要求取非 负整数。 混合整数规划：只有一部分的决策变量要 求取非负整数，另一部分可以取非负实数。 0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数。
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
（二）、整数规划的数学模型
一般形式
max Z (或 min Z ) c j x j
零件 方 个数 式 零件
B1
Bn
零 件 毛坯数
A1 Am
a11 a1n b 1 am1 amn bm
设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数 模型： min Z x j
j 1 n
n a ij x j bi (i 1.2 m ) j 1 x 0 (j 1.2 n)且为整数 j
max Z x1 x2 14x1 9 x2 51 6 x1 3 x2 1 x , x 0且为整数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称 为松弛问题）。 max Z x x
1 2
14x1 9 x2 51 6 x1 3 x2 1 x1 , x2 0
1、先不考虑整数约束，解( IP )的松弛问题( LP )， 可能得到以下情况之一： ⑴.若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解，停止 计算。 ⑵.若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则 ( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。 ⑶.若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转 入下一步。为讨论方便，设( LP )的最优解为：
j 1 n
n aij x j bi (i 1.2 m) ( IP) j 1 x 0, ( j 1.2 m)且为整数 j
max Z c j x j
n
整数问题的松弛问题：
j 1
n aij x j bi (i 1.2 m) ( LP) j 1 x j 0, ( j 1.2 m)