第七章 整数线性规划(ILP)
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整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
线性整数规划
6
D4
命题1：
设D E，z ( x)在D与E上有最大(小)值， 则有 max z ( x) max z ( x)
xD xE
min z ( x) min z ( x)
xD xE
15 2014-1-22
1.
例2 人工算法（P160）
x2
5
x1=4
(2,3.3)D A(2.44,3.26) B(3,2.86)
s.t 4x1+5x2≤20
2x1+x2 ≤6
x (5 / 3, 8 / 3) ，注意到 由图解法可得最优点A(5/3,8/3)或 ~ ~ 1≤5/3≤2， 2≤8/3≤3，故对 两分量取整有如表 2所示， x 可得多种取整结果，取整法有多种结果，其误差不好 估计。
7 2014-1-22
x1,x2≥0
LA2
max z =2x1+3x2 s.t 195x1+273x2≤1365 4x1+40x2≤140 x1≤4 x1≥3 x1,x2≥0
~ x 3 (3, 2.86)T B点 z(~ x 3 ) 14.58
~ x 2 ( 2, 3.3)T D点 z(~ x 2 ) 13 .90 z ( ~ x 3 ) 14 .58
LA21 ~ x 4 ( 4, 2)T , z ( ~ x 4 ) 14
LA22无可行解
注： (1)若L21之最优解~ x 4为非整数解时，需比较z ( ~ x 2 )与z ( ~ x 4) 21 (2)若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA1分支；若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA21分支
4
3 2 1
D4
命题1：
设D E，z ( x)在D与E上有最大(小)值， 则有 max z ( x) max z ( x)
xD xE
min z ( x) min z ( x)
xD xE
15 2014-1-22
1.
例2 人工算法（P160）
x2
5
x1=4
(2,3.3)D A(2.44,3.26) B(3,2.86)
s.t 4x1+5x2≤20
2x1+x2 ≤6
x (5 / 3, 8 / 3) ，注意到 由图解法可得最优点A(5/3,8/3)或 ~ ~ 1≤5/3≤2， 2≤8/3≤3，故对 两分量取整有如表 2所示， x 可得多种取整结果，取整法有多种结果，其误差不好 估计。
7 2014-1-22
x1,x2≥0
LA2
max z =2x1+3x2 s.t 195x1+273x2≤1365 4x1+40x2≤140 x1≤4 x1≥3 x1,x2≥0
~ x 3 (3, 2.86)T B点 z(~ x 3 ) 14.58
~ x 2 ( 2, 3.3)T D点 z(~ x 2 ) 13 .90 z ( ~ x 3 ) 14 .58
LA21 ~ x 4 ( 4, 2)T , z ( ~ x 4 ) 14
LA22无可行解
注： (1)若L21之最优解~ x 4为非整数解时，需比较z ( ~ x 2 )与z ( ~ x 4) 21 (2)若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA1分支；若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA21分支
4
3 2 1
整数线性规划
解： 引入0-1变量xij ，
xij =1：第i人做第j项工作
xij =0：第i人不做第j项工作
• 一人只能完成一项任务
x11 x12 x13 x14 1 x21 x22 x23 x24 1 x31 x32 x33 x34 1 x41 x42 x43 x44 1
三、分支定界法
不考虑整数限制先求出相应松弛问题的最优解， 若松弛问题无可行解，则ILP无可行解； 若求得的松弛问题最优解符合整数要求，则是 ILP的最优解； 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件 的变量 xi0 来构造新的约束添加到松弛问题中形 成两个子问题
0 0 xi xi ; xi xi 1
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160x1 210x2 60x3 80x4 180x5 210x1 300x2 150x3 130x4 260x5 600 x1 x2 x3 1 x3 x 4 1 x x 1 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0或1
x1 ≤ 1
LP1 ： 7 10 x1 1, x2 , Z 3 3
41 10 9 3
x2 ≥3
x2≤2
LP3 ： x1 33 61 , x2 2, Z 14 14
LP4：无解，查清
x1 ≥3
LP6：
61 10 14 3
x1≤2
LP5：
10 4, 3 x1 3, x2 1, Z 4，查清 x1 2, x2 2, Z 4，查清 LP1被剪枝
假设：yj=1，要租用生产线j yj=0，不租用生产线j
第七章 整数线性规划(ILP)PPT课件
fi0 fij x j si , si 0 ， jR
然后加入到 Step1 所得单纯形表的最后一行。
Step4、用对偶单纯形法迭代求解,若求得的最优解为整数则计 算停止，以求得最优整数解，或者对偶问题是无界的也停止计 算，表明原 ILP 问题不可行。否则，返回 Step2.
Gomory 的切割法自 1958 年提出后，引起人们广泛的注意， 但至今完全用它解题仍是少数，原因是经常遇到收敛很慢的情 形。但若和其他方法（分枝定界法）配合使用也是有效的。
AX b
(P0 )
X 0
Step1、求解相应的线性规划问题 P0 ，并确定初始上、下
界。 即首先不考虑变量的整数要求，求解相应的线性规划问题。
若该线性规划问题无解，则整数规划问题 P 无解，停止计算； 若该线性规划问题 P0 的最优解满足整数要求，即为原整数规划 问题 P 的最优解，计算完毕，若得到非整数最优解，即，最优
第一组约束条件表示各个城市恰好进 入一次，第二约束条件表示各个城市 恰好离开一次，第三组约束条件用以 防止出现对于一个互不连通的旅行路 线圈。 显然这是一个混合整数规划问题。
二、整数线性规划问题的求解 ——割平面法
（1） 基本思想 给出整数规划
min z min CX
AX b
( P)
X 0
2
x1 x1 ,
5x2 x2
13 0
x1, x2 整数
3、旅行售货员问题（货郎担问题）
有 一 推 销 员 ， 从 城 市 v0 出 发 ， 要 遍 访 城 市 v1 , v2 ,, vn 各一次，最后返回 v0 ，已知从vi 到 v j 的旅费为 Cij ，问他应按怎样的次序访问这个城 市，才能使得总旅费最少？（设 Cij M , M 是足 够大的正数， i 0,1,, n
然后加入到 Step1 所得单纯形表的最后一行。
Step4、用对偶单纯形法迭代求解,若求得的最优解为整数则计 算停止，以求得最优整数解，或者对偶问题是无界的也停止计 算，表明原 ILP 问题不可行。否则，返回 Step2.
Gomory 的切割法自 1958 年提出后，引起人们广泛的注意， 但至今完全用它解题仍是少数，原因是经常遇到收敛很慢的情 形。但若和其他方法（分枝定界法）配合使用也是有效的。
AX b
(P0 )
X 0
Step1、求解相应的线性规划问题 P0 ，并确定初始上、下
界。 即首先不考虑变量的整数要求，求解相应的线性规划问题。
若该线性规划问题无解，则整数规划问题 P 无解，停止计算； 若该线性规划问题 P0 的最优解满足整数要求，即为原整数规划 问题 P 的最优解，计算完毕，若得到非整数最优解，即，最优
第一组约束条件表示各个城市恰好进 入一次，第二约束条件表示各个城市 恰好离开一次，第三组约束条件用以 防止出现对于一个互不连通的旅行路 线圈。 显然这是一个混合整数规划问题。
二、整数线性规划问题的求解 ——割平面法
（1） 基本思想 给出整数规划
min z min CX
AX b
( P)
X 0
2
x1 x1 ,
5x2 x2
13 0
x1, x2 整数
3、旅行售货员问题（货郎担问题）
有 一 推 销 员 ， 从 城 市 v0 出 发 ， 要 遍 访 城 市 v1 , v2 ,, vn 各一次，最后返回 v0 ，已知从vi 到 v j 的旅费为 Cij ，问他应按怎样的次序访问这个城 市，才能使得总旅费最少？（设 Cij M , M 是足 够大的正数， i 0,1,, n
整数线性规划(ILP)
详细描述
总结词
高效、易用
详细描述
Xpress-Optimizer采用了多种先进的算法和技术，能够在较短的时间内找到高质量的解。它还提供了友好的用户界面和易用的API接口，方便用户进行模型构建和求解。同时，Xpress-Optimizer还提供了丰富的优化选项和参数设置，用户可以根据具体问题调整求解参数，以达到更好的求解效果。
整数线性规划简介
整数线性规划简介
坠 the said旋 to高兴9旋判定--
indeed.资深:褂资深1 .资深.这点 child菖点头道 indeed逮捕 all点头道 Santa荸褂 嗥...望着 one款igny rewal受不了 an all这点 st one这点 st!.said the. ch ... . then按键 Crawish stor"央
目标函数
资源限制
约束条件可以包括资源限制，如劳动力、原材料、时间等。
数量限制
约束条件可以包括数量限制，如产品数量、订单数量等。
范围限制
约束条件可以包括范围限制，如温度、压力、时间范围等。
其他限制
约束条件还可以包括一些特定的限制条件，如逻辑关系、顺序关系等。
约束条件
连续变量
整数线性规划中的决策变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
Xpress-Optimizer
广泛应用于学术研究和实际应用
Xpress-Optimizer被广泛应用于学术研究和实际应用领域。由于其开源和跨平台的特性，Xpress-Optimizer吸引了大量的用户和开发者社区。它不仅被用于解决各种复杂的优化问题，还被用于研究和开发新的优化算法和技术。Xpress-Optimizer已经成为整数线性规划领域的重要工具之一。
总结词
高效、易用
详细描述
Xpress-Optimizer采用了多种先进的算法和技术，能够在较短的时间内找到高质量的解。它还提供了友好的用户界面和易用的API接口，方便用户进行模型构建和求解。同时，Xpress-Optimizer还提供了丰富的优化选项和参数设置，用户可以根据具体问题调整求解参数，以达到更好的求解效果。
整数线性规划简介
整数线性规划简介
坠 the said旋 to高兴9旋判定--
indeed.资深:褂资深1 .资深.这点 child菖点头道 indeed逮捕 all点头道 Santa荸褂 嗥...望着 one款igny rewal受不了 an all这点 st one这点 st!.said the. ch ... . then按键 Crawish stor"央
目标函数
资源限制
约束条件可以包括资源限制，如劳动力、原材料、时间等。
数量限制
约束条件可以包括数量限制，如产品数量、订单数量等。
范围限制
约束条件可以包括范围限制，如温度、压力、时间范围等。
其他限制
约束条件还可以包括一些特定的限制条件，如逻辑关系、顺序关系等。
约束条件
连续变量
整数线性规划中的决策变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
Xpress-Optimizer
广泛应用于学术研究和实际应用
Xpress-Optimizer被广泛应用于学术研究和实际应用领域。由于其开源和跨平台的特性，Xpress-Optimizer吸引了大量的用户和开发者社区。它不仅被用于解决各种复杂的优化问题，还被用于研究和开发新的优化算法和技术。Xpress-Optimizer已经成为整数线性规划领域的重要工具之一。
整数规划
5 2 C = 0 0
0 2 0 3 0 0 0 6 7 8 0 0
步骤3： 若 n ，作最少直线覆盖当前零元素。 已知例12中的系数矩阵为 ⒈变换系数矩阵
4 7 C = 6 6 6
8 7 15 12 9 17 14 7 9 12 6 10 7 14 8 10 9 6 10 8
最多有3个独立0元素！
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 0 5 6 7 8 0 0
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 7 5 6 0 8 0 3
至于如何找覆盖零元素的最少直线，通过例子来说明。 例1 现有一个4×4的指派问题，其效率矩阵为：
整数线性规划数学模型的一般形式为：
max(or min) z = ∑ c j x j n ∑ aij x j ≤ (or =, ≥)bi , i = 1, 2,L , m s.t j =1 x j ≥ 0, x j 中部分或全部为整数， = 1, 2,L , n j
j =1
n
整数线性规划类型
B1 B2 B3 B4 B5
C=
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
这是一个标准的指派问题。若设0-1变量
1 xij = 0
例12：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成 营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑 公司 Ai (i = 1,2, L ,5) 对新商店B j ( j = 1,2, L,5) 的建造 报价（万元）为 cij (i, j = 1,2, L ,5) , 见矩阵C。商业公 司应当对5家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建 筑费用最少？
线性规划-整数规划.
一 17 二 13 三 15 四 19 五 14 六 16 日 11
(纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 x1+x2 +x5+x6+x7≥13 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7）
20
10 21
例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
四 区
五 区 六 区
28
27 20
32
17 10
12
27 21
0
15 25
15
0 14
25
14 0
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划
纯整数规划：如果所有决策变量都要求取 整数，则称为“纯整数规划”
0－1整数规划：所有决策变量仅限于取 0 或 1 两个整数，这种规划问题称为“0-1规划” 混合整数规划：如果仅有一部分的决策变 量要求取整数，则称为“混合型整数规划”。
整数规划模型应用举例
(纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 x1+x2 +x5+x6+x7≥13 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7）
20
10 21
例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
四 区
五 区 六 区
28
27 20
32
17 10
12
27 21
0
15 25
15
0 14
25
14 0
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划
纯整数规划：如果所有决策变量都要求取 整数，则称为“纯整数规划”
0－1整数规划：所有决策变量仅限于取 0 或 1 两个整数，这种规划问题称为“0-1规划” 混合整数规划：如果仅有一部分的决策变 量要求取整数，则称为“混合型整数规划”。
整数规划模型应用举例
第7章整数线性规划
假设我们把LP松弛的解近似到整数：T=2， A=3。于是目标函数值为：l0×2+15×3=65。而 65 000美元的年现金流量比LP松弛的结果73 754
美元少很多。那么有没有其他可能的近似解呢？ 对其他近似方法的研究表明：整数结果T=3， A=3不可行，因为这样资金就超过了伊斯特伯恩 公司现有的2 000 000美元；同理，T=2，A=4也
我们先定义决策变量如下：
T—一连体别墅的数量； A——公寓楼的数量。 现金流量(单位：1000美元)的目标函数 为：
max 10T+l5A
必须满足的3个约束条件是：
282T+400A≤2 000 可用资金(单位：1
000美元)
4T+40A ≤140 管理者的时间(小时)
T
≤ 5 可得连体别墅
变量T和A必须是非负的。而且， 连体别墅和(或)公寓楼均不可以拆 开购买。因此，T和A一定是整数
整数线性规在构建模型上的灵活性很大程 度上是由于使用了0-1变量。在很多应用中， 如果采取相应行动，则变量值取1，否则取0。 0-l变量因此而提供着选择的功能。本节所讲 的资金预算、固定成本核算、分布系统设计、 银行选址、产品设计和市场份额的应用问题都 用到0-l变量。
7.3.1资金预算 爱斯柯德冰箱公司正在考虑随后4年内
2x1+1x2≤16 x1，x2≥O，且x2为整数
去掉“X2为整数”这个条件后，我们得 到此混台整数线性规划的LP松弛。
在某些应用软件中，整数变量只取0或1 。这类规划被称做0一1整数线性规划。读者 可以在本章的后面部分中发现，使用0一1变
量可以使线性规划很灵活、很容易求解。专 栏7-2描述了如何用一个含有0一1变量的混
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z 这为新的下界 ，即，求出一个新的整数最优解后，都要把新
的最优目标函数值 Z 值与原来的下界比较，若新的 Z 值更大， 则以它为新的下界， 在整个分枝定界法的求解过程中， 下界的 值不断增大。 上界的修改： 新的上界是未被分枝的问题中目标函数值中 最大的一个， 在整个分枝定界法的求解过程中， 上界的值不断 减小。
解：对每一对城市设一个变量xij ，令
1, 从v 直接进入v i j xij 0, 其他情况
则上述问题的数学模型为：
n minz C ij x ij i, j 0 n x 1, j 0,1, , n ij i 0 n x 1, i 0,1, , n ij j 0 u u nx n 1, 1 i j n j ij i x ij 0或1, i, j 0,1, , n 为实数， i 1,2, , n u i ,
jR jR
i0
现在提出变量（包括松弛变量）整数（非负）要求，即左边必须为 整数，右边 由于
0 f i0 1
，
jR
x ji [bi 0 ] [bij ] x j 是 0或正整数,
因此，
f
jR
ij
xj 0
f
jR
ij
x j f i0
这就是一个切割方程。
Step3 、 将 切 割 平 面 方 程 加 入 松 弛 变 量 ，
2、
货 物 甲 乙
体
积
3
每箱（米 ） 5 4
重 量 利 润 每箱 （百斤） 每箱（百元） 2 5 13 20 10
托运限 24 制
问两种货物各托运多少箱， 可使得利润最大？
解：设 x1 , x 2 分别为甲乙两种货物的托 运箱数，设获得的总利润为z，则上述 问题的数学模型为：
max z 20x1 10x 2 5 x1 4 x 2 24 2 x 5 x 13 1 2 x1 , x 2 0 x1 , x 2 整数
f i 0 f ij x j s i , s i 0 ，
jR
然后加入到 Step1 所得单纯形表的最后一行。
Step4、用对偶单纯形法迭代求解,若求得的最优解为整数则计 算停止，以求得最优整数解，或者对偶问题是无界的也停止计 算，表明原 ILP 问题不可行。否则，返回 Step2. Gomory 的切割法自 1958 年提出后，引起人们广泛的注意， 但至今完全用它解题仍是少数，原因是经常遇到收敛很慢的情 形。但若和其他方法（分枝定界法）配合使用也是有效的。
Step4、比较与剪枝。 求解第一分枝时，出现下列三种情形之一者， 均应剪枝。(1)该枝无可行解；(2)该枝已得到整 数最优解；(3)该枝得到非整数最优解，且目标函
z 数值 Z＜
如果，得到非整数最优解且对应的目标函数值 Z＞ ，返回 Step2 继续分枝。直到 此时，得到整数最优解 数值。
z
z z * z
P0 的可行域割去一块，并且非整数的最优解恰好在这
P 一块中， 即非整数的最优解被割去而 的全部整数可行解保 留， 然后在解新的线性规划， 看其最优解是否满足整数要求， 就这样继续进行下去，直到得到最优解满足整数要求为止。
（2）割平面法求解ILP问题的一般步 骤
P Step1、 用单纯形法求解 ILP 问题(
（2）分枝定界法求解ILP问题 的一般步骤
根据分枝定界法的基本思想，人们归 纳总结出了分枝定界法求解整数规划 问题的一般步骤，这里以求目标函数 值最大化问题为例加以说明： 给出整数规划
max z maxCX AX b X 0 x j 整数（j 1,2, , n)
第一组约束条件表示各个城市恰好进 入一次，第二约束条件表示各个城市 恰好离开一次，第三组约束条件用以 防止出现对于一个互不连通的旅行路 线圈。 显然这是一个混合整数规划问题。
二、整数线性规划问题的求解 ——割平面法
（1） 基本思想 给出整数规划
min z min CX AX b X 0 x j 整数（j 1,2, , n)
b ji [b ji ] f ji , b ji [b ji ] f ji ,
0 f ji 1 0 f ji 1
其中 [bij ] 表示不超过bij 的最大整数部分。 将 bi 0 和 bij 代入到方程 (*) 中，则有
x ji [bi 0 ] [bij ] x j f ij x j f
x j 0, j 1, 2 , n
。试探，求得
P z * 表示问题 其目标函数值， 并记为 ， 以
z
得最优目标函数值；
z z* z 这时有
Step2、分枝并求解。 在非整数最优解中， 任选一个不满足整数约束条件的变 量 x j bj 以 [b j ] 表示小于b j 的最大整数，构造两个约束条件
整数规划中如果所有的变量都限制为 （非负）整数，就称为纯整数规划 （Pure ILP）,如果仅一部分变量限制 为整数，就称为混合整数规划（Mixed ILP）,整数规划的一个特例就是0—1 规划，他的变量仅取0或1。
整数线性规划问题举例
1、 投资决策问题 某部门在今后五年中可用于投资的资 金总额为B万元，有n(n 2)个可以投 资的项目，假定每个项目最多投资一 次，第j个项目所需投资资金为 b j 万元，获得的利润为 c j 万元， 问如何选择投资项目，才能使获得的 总利润最大。
显然上述是一个决策变量只能取0或1 的整数规划问题，这样的整数规划问 题称为0——1规划。决策变量取0或1 这个约束可以用一个非线性约束来代 替：
x j (1 x j ) 0, j 1,2,, n
某厂拟用集装箱托运甲乙 两种货物，每箱的体积、重量、 可获得的利润及托运所受的限 制入下表：
)的相应的 LP 问题(松 也没有
P 弛问题 P0 ),如果P0 没有最优解，则计算停止，
最优解。 如果 P0 有最优解， 得到最终单纯形表,最优基为：
P B ( Pj1 , Pj2 , , Pjm ),B 的单纯形表为(bij ) ， 0 的最优
P B 解为 B b ，如果B b 全为整数，则 b 也是
四、ILP问题的计算机求解
( P)
可先求其对应的线性规划问题
min z min CX AX b X 0
( P0 )
P P 如果 P0 中的最优解满足 中的整数要求，则以求得
的整
P 数最优解。如果P0 的最优解的分量不全是整数，就对 0 增
加一个约束条件（称它为割平面方程） ，新增加的割平面方 程将
x j [b j ], x j [b j ] 1
P 将这两个约束条件， 分别加入到原问题 中， 得到两个后继 线性规划问题，不考虑整数条件，求解这两个后继问题。
Step3、定界。 下界的修改：以每个后继问题为一个分枝标明求解的结 果， 从以符合整数条件的各分枝中， 找出最优目标函数值最大
第7章
整数线性规划（ILP）
在前面讨论的线性规划问题中，最优解 可能是分数或小数，但对于某些具体问 题常要求解答是整数。我们称这样的线 性规划问题为整数线性规划问题 （Integer Linear Programming 简记为 ILP）,整数规划是近20年来发展起来的 规划论的一个分支。
一、数线性规划问题的提出
，
x j , j 1,2, , n
，目标函
z z z
*
分枝定界法可用于解纯整数规划问题，也可以 用于求混合整数规划问题。在20世纪60年代初由 Land和Dong提出经Dakin修正的，其优点是方法 灵活并且十分便于计算机求解，所以现在它已成 为求解整数规划的重要方法之一，目前已成功地 应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、旅 行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配 问题等。分枝定界法比穷举法优越，因为它仅在 一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比 穷举法小，但若变量数目很大，其计算工作量也 是相当可观的。因此，它有时也需要与其他方法 (如切割平面法)配合使用ax z maxCX AX b X 0
( P0 )
Step1、求解相应的线性规划问题P0 ，并确定初始上、下 界。 即首先不考虑变量的整数要求，求解相应的线性规划问题。
P 若该线性规划问题无解，则整数规划问题
无解，停止计算；
若该线性规划问题P0 的最优解满足整数要求，即为原整数规划 问题 P 的最优解，计算完毕，若得到非整数最优解，即，最优 解中有非整数分量，其最优目标函数值是原整数规划问题的初 z 始上界，记为 ，而初始下界，可用观察法求得，取任意一个 明显的整数可行解，一般可取
bj c
解：设投资决策变量为
1 xj 0
j 1,2,, n
投资第j个项目 不投资第j个项目
设获得的总利润为z，则上述问题的数 学模型为：
n max z c j x j j 1 n s.t. 0 b j x j B j 1 x j 0或1
三、整数线性规划问题的求解 ——分枝定界法 （Branch and Bound Method）
1）基本思想
分枝定界法求解整数规划问题的基本思想 是：通过分枝枚举来寻找最优解。实施的 作法是：首先不考虑对变量的整数要求， 求解相应的线性规划问题，如求得的最优 解不符合整数要求，则把原问题分解为两 部分，每一部分都增加新的约束条件以减 小原线性规划问题的可行域。通过不断地 分解，逐步逼近满足要求的最优解，直到 求得最优解。在这个过程中包括了"分枝" 和"定 界"两个关键步骤。
解，计算停止，否则转入下一步。
1
1
1
的最优