运筹学 第七章 非线性规划的基本概念和基本原理
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
运筹学中的非线性规划问题-教案
教案运筹学中的非线性规划问题-教案一、引言1.1非线性规划的基本概念1.1.1定义：非线性规划是运筹学的一个分支，研究在一组约束条件下，寻找某个非线性函数的最优解。
1.1.2应用领域：广泛应用于经济学、工程学、管理学等，如资源分配、生产计划、投资组合等。
1.1.3发展历程：从20世纪40年代开始发展，经历了从理论到应用的转变，现在已成为解决实际问题的有效工具。
1.1.4教学目标：使学生理解非线性规划的基本理论和方法，能够解决简单的非线性规划问题。
1.2非线性规划的重要性1.2.1解决实际问题：非线性规划能够处理现实中存在的非线性关系，更贴近实际问题的本质。
1.2.2提高决策效率：通过优化算法，非线性规划可以在较短的时间内找到最优解，提高决策效率。
1.2.3促进学科交叉：非线性规划涉及到数学、计算机科学、经济学等多个学科，促进了学科之间的交叉和融合。
1.2.4教学目标：使学生认识到非线性规划在实际应用中的重要性，激发学生的学习兴趣。
1.3教学方法和手段1.3.1理论教学：通过讲解非线性规划的基本理论和方法，使学生掌握非线性规划的基本概念和解题思路。
1.3.2实践教学：通过案例分析、上机实验等方式，让学生动手解决实际问题，提高学生的实践能力。
1.3.3讨论式教学：鼓励学生提问、发表观点，培养学生的批判性思维和创新能力。
1.3.4教学目标：通过多种教学方法和手段，使学生全面掌握非线性规划的理论和实践，提高学生的综合素质。
二、知识点讲解2.1非线性规划的基本理论2.1.1最优性条件：介绍非线性规划的最优性条件，如一阶必要条件、二阶必要条件等。
2.1.2凸函数和凸集：讲解凸函数和凸集的定义及其在非线性规划中的应用。
2.1.3拉格朗日乘子法：介绍拉格朗日乘子法的原理和步骤，以及其在解决约束非线性规划问题中的应用。
2.1.4教学目标：使学生掌握非线性规划的基本理论，为后续的学习打下坚实的基础。
2.2非线性规划的求解方法2.2.1梯度法：讲解梯度法的原理和步骤，以及其在求解无约束非线性规划问题中的应用。
第七章 非线性规划 运筹学
7
非线性规划方法概述
定义 4.1.3 设 f : R n R, x R n , p R n , p 0 ，若存在 f ( x tp) f f(x)在点 x 处的下降方向。
0
，使
定义 4.1.4 设 X R n , x X , p R n , p 0 ，若存在 t 0 ，使
(MP)
约束集
如果(MP)的约束集X是凸集，目标函数f是 X上的凸函数，则(MP)叫做非线性凸规划， 或简称为凸规划。
15
定理 4.2.5 对于非线性规划(MP)，若 g i ( x ), i 1,..., p 皆为 R n 上的凸函数， h j ( x ), j 1,...,q 皆为线性函数， 并且 f 是 X 上的凸函数，则(MP)是凸规划。
1
13
定理 4.2.4 设 S R n 是非空开凸集， f : S R 二阶连续可导，则 f 是 S 上的凸函数的充要条件是 f 的 Hesse 矩阵 2 f ( x ) 在 S 上是半正定的。 当 2 f ( x ) 在 S 上是正定矩阵时，f 是 S 上的严格凸函数。 （注意：该逆命题不成立。） 2 f ( x) 2 f ( x) 2 f ( x) .... 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x n 2 2 f ( x) f ( x) 2 f ( x) ... 2 x x x 2 x 2 x n 2 f ( x) 2 1 . . . . 2 f ( x) 2 f ( x) 2 f ( x) 2 x n x 1 x n x 2 x n
k : k 1 ，转第 2 步。
19
§3 无约束最优化方法
生产运筹非线性规划的基本概念
生产运筹非线性规划的基本概念引言生产运筹是一种管理技术，通过运用经济原理和数学模型，来解决实际生产和运输中的各种问题。
非线性规划是生产运筹中的一种重要工具，可以用于优化生产过程中的决策问题。
本文将介绍生产运筹非线性规划的基本概念。
非线性规划的定义非线性规划是一类优化问题，其中目标函数和约束条件都是非线性的。
一般来说，非线性规划的目标是找到一组决策变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一系列约束条件。
非线性规划的基本要素非线性规划包含以下几个基本要素：1. 决策变量决策变量是非线性规划中的可调整参数，用于描述决策者所要做的选择。
在生产运筹中，决策变量可以是产品的产量、投入资源的数量或者是生产过程中的各种参数。
2. 目标函数目标函数是非线性规划中要优化的函数，可以是生产成本、利润、产量或其他决策者关心的指标。
在非线性规划中，目标函数的形式可以是任意的非线性函数。
3. 约束条件约束条件描述了决策变量的取值范围或者彼此之间的关系。
约束条件可以是等式约束或者不等式约束。
在生产运筹中，约束条件可以包括物料的平衡方程、设备的容量限制等。
4. 可行域可行域是指满足约束条件的所有决策变量取值的集合。
在非线性规划中，决策变量的取值必须落在可行域内，才被认为是合理的解。
5. 优化算法非线性规划的求解过程需要使用优化算法来搜索最优解。
常用的优化算法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
生产运筹非线性规划的应用生产运筹非线性规划的应用非常广泛，涵盖了生产计划、资源分配、供应链优化等领域。
以下是一些非线性规划在生产运筹中的应用案例：1.生产计划优化：通过优化决策变量，如产量、物料分配等，来最大化产量、最小化成本或缩短生产周期。
2.设备选择优化：通过优化设备的选择和使用策略，来最大化产量、降低能耗或最小化故障率。
3.供应链优化：通过优化物流和分配的决策变量，如运输路线、库存水平等，来最小化供应链成本或缩短物流时间。
非线性规划在运筹学中的理论与实践
非线性规划在运筹学中的理论与实践非线性规划是数学规划中的一个重要分支，它在运筹学中具有广泛的应用。
本文将从理论与实践两个方面讨论非线性规划在运筹学中的作用。
一、非线性规划的理论基础非线性规划是研究目标函数和约束条件都为非线性函数的优化问题。
在运筹学中，非线性规划的理论基础主要包括两个方面：一是非线性函数的性质和优化方法；二是约束条件的处理和求解。
1. 非线性函数的性质和优化方法非线性函数具有丰富的性质，如凸性、可导性、二次性等。
这些性质为非线性规划问题的解决提供了理论基础。
在优化方法方面，常用的非线性规划算法包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些算法可以根据问题的特点选择合适的方法来求解。
2. 约束条件的处理和求解与线性规划相比，非线性规划的约束条件更加复杂。
一般来说，约束条件可以分为等式约束和不等式约束。
等式约束可以通过拉格朗日乘子法进行处理，而不等式约束则可以通过KKT条件来求解。
此外，还可以采用罚函数法、投影法等方法来处理约束条件。
二、非线性规划在运筹学中的实践应用非线性规划在运筹学中有着广泛的实践应用，涉及到生产计划、物流优化、资源配置等方面。
1. 生产计划中的非线性规划在生产计划中，考虑到生产成本、销售需求以及资源限制等因素，常常需要对生产计划进行优化。
非线性规划方法可以帮助实现最小化生产成本、最大化利润等目标。
例如，在汽车制造领域，可以利用非线性规划方法优化生产线的布局，提高生产效率。
2. 物流优化中的非线性规划物流优化是运筹学的重要应用领域之一。
通过对供应链网络进行优化，可以实现库存降低、运输成本最小化等目标。
非线性规划可以在考虑各种限制条件的情况下，对供应链网络进行优化设计。
例如，在仓储和配送中心的选址问题中，可以利用非线性规划方法优化选址方案，提高物流效率。
3. 资源配置中的非线性规划在资源配置问题中，需要考虑到资源的有限性以及不同资源之间的相互关系。
非线性规划可以帮助实现资源的合理配置，以最大化整体效益。
非线性规划的相关概念
非线性规划的相关概念引言非线性规划是数学规划领域中的一个重要研究方向，它是线性规划的推广和扩展。
在许多实际问题中，约束条件和目标函数往往是非线性的，因此需要非线性规划方法来解决这些问题。
本文将介绍非线性规划的基本概念和相关理论。
基本概念1. 可行解在非线性规划中，可行解指的是满足约束条件的解。
具体地，给定约束条件和目标函数，如果存在一组解使得所有约束条件都得到满足，那么这组解就是可行解。
非线性规划的目标是找到一个可行解，使得目标函数值最小或最大。
2. 局部极小解和全局极小解在非线性规划中，局部极小解指的是在某个局部范围内，目标函数值最小的可行解。
全局极小解指的是在整个可行域内，目标函数值最小的可行解。
在非线性规划中，寻找全局极小解往往非常困难，因为非线性规划问题一般没有全局最优解的性质。
因此，通常采用近似算法来寻找接近全局极小解的解。
3. 无约束问题和约束问题非线性规划可以分为无约束问题和约束问题。
无约束问题是指在没有约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题是指在满足一组约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题通常比无约束问题更加复杂，因为需要考虑约束条件的影响。
相关理论1. 梯度下降法梯度下降法是非线性规划中常用的优化方法之一。
基本思想是通过迭代更新解，使得目标函数值逐渐降低。
具体地，梯度下降法使用目标函数的梯度信息来指导搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法通常在局部范围内找到局部极小解，并且易于实现。
2. 牛顿法牛顿法是一种经典的非线性优化方法，广泛应用于非线性规划问题的求解。
它利用目标函数和约束条件的一阶和二阶导数信息来更新解。
具体地，牛顿法通过计算目标函数的海森矩阵来确定搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法在局部范围内通常能够快速收敛到极小解。
3. 二次规划二次规划是非线性规划中的一种特殊形式，目标函数是二次函数，约束条件是线性条件。
它可以通过求解一组二次方程组来得到最优解。
非线性规划
非线性规划（nonlinear programming）1.非线性规划概念非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。
非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。
目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。
2.非线性规划发展史公元前500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为0.618,称为黄金分割比。
其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。
在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。
例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。
这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。
但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。
17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值函数的最大值和最小值的方法。
以后又进一步讨论具有未知函数的函数极值，从而形成变分法。
这一时期的最优化方法可以称为古典最优化方法。
最优化方法不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。
反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。
最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。
(1)解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。
求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称间接法。
(2)直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。
此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。
这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。
对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
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25
无约束问题的最优性条件
（P1）
Min f(X)
X En
定理4（二阶必要条件） 设f(X)在X*点二阶可微，如果X*为 （P1） 的一个局部极小点，则有 f(X*) =0 和 H（ X* ）为半正定。
26
无约束问题的最优性条件
（P1）
Min f(X)
X En
定理5（二阶充分条件）
17
例：判定正定性
5 A 2 2 2 6 0 2 0 4
5 2 2 6
0 B 1 1
26 0
1 0 3
1 3 0
解： a
11
5 0
5 A 2 2
2 6 0
2 0 4
18
80 0
2
x 2 1 0
x2 2x2
2
求得到4个驻点：
X
4
1 2
2 x1 f (X ) 0
2 x2 2 0
2
2 f (X 1) 0
0 2
0 2
2
2 f (X 2) 0
0 2
7.2 无约束问题的极值条件 例 求解如下非线性规划问题
min f ( x ) ( x 1 2 ) 2 ( x 2 2 ) 2 x1 x 2 6 0 x2 6
, 即 f ( x ) c ( 常数 ), D点,在 D点 3,
*
解
作 f ( x )的等值线
2
x1
3
1 3
2
x 2 x 2 x1 4
3 2
解 因为
f x1
x1 1
，
f
x1 2 令 f (X ) 0 即 x2 2x2 0 1 1 1 X1 X X3 2 0 0 2
11
X En X- X* < , >0
局部最优解
f(X)
整体最优解
12
2.梯度向量 f(X)=grad f(X) =(f/x1 ,f/x2 ,…..,f/xn)T
区间内连续的梯度的性质： ①在某点的f(X（0）)必与函数过该点的等 值面的切平面相垂直。 ②梯度方向是函数值增加最快的方向（函 数变化率最大的方向） 负梯度方向是函数值减小最快的方向。
等值线与直线相切于 得到最优解
* x1
2 o
2
D ( 3 ,3 )
* x2
6
x1
最小值 min f ( x ) f ( x ) 2 .
21
x2 6
min f ( x ) ( x 1 2 ) 2 ( x 2 2 ) 2 x1 x 2 6 0
2 o
非线性规划的最优解可能在可行域的 任一点达到。
22
一、用海赛矩阵判断驻点的性质
o若H(x)为正定，该驻点X*是严格局部极小 值点；
o若H(x)为负定，该驻点X*是严格局部极大 值点； o若H(x)为半正定（半负定），则进一步观 察它在该点某邻域内的情况，可能是可能 不是；
o如果H(x) 不定的，该驻点X*就不是f(X)极 值点。
A 负定
例：判定正定性
5 A 2 2 2 6 0 2 0 4
0 1 1 0
0 B 1 1
1 0
1 0 3
1 3 0
解：
b11 0
B 不定
19
作业： P200 4.4（1）
20
0 2
32
2
2 f (X 3) 0
2 f (X 4) 0
2
X1
，X 3 和
X
4
不是极小点；X 2 是极小点。
7.3 凸函数与凸规划 凸集概念： 设D是n维线性空间En的一个点集，若D中的 任意两点x(1),x(2)的连线上的一切点x仍在D中， 则称D为凸集。 即：若D中的任意两点x(1),x(2) ∈D，任意0<<1 使得 x= x(1)+(1- )x(2) ∈ D,则称D为凸集
非线性规划
直接法 有约束问题
算法方面
间接法 无约束问题
6
应用方面
一般模型 Min f(X)
s.t. hi(X) = 0
(i=1,2,….m)
（P）
gj(X) 0 (j=1,2….l)
X En f(X) hi(X) gj(X) 为En上的实函数。
或
( 1) min f(x) g j (x) 0 ,j 1 , 2 , , l 目标函数 ( 2) 约束条件
23
二、极值点的必要条件和充分条件
最优性条件的研究是非线性规划理论研究 的一个中心问题。 为什么要研究最优性条件？
o本质上把可行解集合的范围缩小。
o它是许多算法设计的基础。
24
无约束问题的最优性条件 （P1） Min f(X) X En 定理3（一阶必要条件） 设f(X)在X*点可微，则X*为（P1） 的一个局部极值点，一定有 f(X*)=grad f(X*)=0（ X*称为驻点）
T
4 x 1 8 4 x 2 4 0 0
T
T
x 1* 2 4 x1 8 0 * 4 x2 4 0 x2 1
28
例
而
求 m in f ( x ) 2 x 1 8 x 1 2 x 2 4 x 2 2 0
相应不等式反号，得到相应极大点，极大值定义。
9
定义
如果X满足（P）的约束条件
(i=1,2,….m)
hi(X)=0
gj(X) 0 (j=1,2….l)
则称X En 为（P）的一个可行解。 记（P）的所有可行解的集合为D， D称为（P）可行域。
10
定义 X*称为（P）的一个（整体）最优解，如 果X* D，满足 f(X) f(X*)， X D。 定义 X*称为（P）的一个（局部）最优解，如 果X* D，且存在一个X*的邻域 N(X* ,)= 满足 f(X) f(X*)， X D N(X* ,)
7
二、基本概念
1、全局极值和局部极值
f ( X ) 为目标函数，S 为可行域。若存在 X * S ， X S ，都 * 有 f ( X ) f ( X * ) ，则称 X 为该问题的全局极小点，
f (X )
*
为全局极小值。
f ( X ) 为目标函数，S 为可行域。若有X * S , X X * ， X S ， * * 都有 f ( X ) f ( X ) ，则称 X 为该问题的严格全局极小点，
设f(X)在X*点二阶可微，如果f(X*) =0 和 H(X*)为正定，则X*为(P1) 的一个严格局部极小点。
27
例
求 m in f ( x ) 2 x 1 8 x 1 2 x 2 4 x 2 2 0
2 2
解
f f (x) x1
f x 2
16
4、正定矩阵、负定、半定、不定
正定：特征值>0；各阶主子式>0(Ai>0) 半正定：特征值≥0；detA=0, Ai ≥ 0 负定：特征值<0； Ai <0(i为奇）, Ai >0(i为 偶） 半负定：特征值≤0； detA=0，Ai ≤0(i为 奇）, Ai ≥0(i为偶） 不定：特征值有> 0及< 0；除了上述情况外 即为不定。
第七章
非线性规划的基本概念 和基本原理
1
7.1 数学模型和基本概念
非线性规划是运筹学中包含内容最多， 应用最广泛的一个分支，计算远比线性 规划复杂。
2
一、数学模型 例 某单位拟建一排 厂房，厂房建筑平面如图 所示。由于资金及材料的 限制，围墙及隔墙的总长 度不能超过80米。为使建 筑面积最大，应如何选择 长宽尺寸？
x1 x2
max f ( x ) x 1 x 2 2 x 1 5 x 2 80 x1 , x 2 0
分析：设长为 x 1 米， 宽为 x 2 米，则有
f(x)为非线性函数
3
例 设某物理过程具有如下规律
( t ) x1 x 2 e
x3t
用试验法 求得 t i时的 ( t i ) 值 , i 1, 2 , , m 。 现要确定参数 x1 , x 2 , x 3 , 使所得试验点构成的曲线与理论曲线误差平 方和为最小，且满足 x1 x 2 1, x 3 非负。
2 2
2 2 f f 2 x1 x 1 x 2 * H (x ) 2 2 f f 2 x 2x1 x 2
4 0
x x
*
0 4
4 4 0,
4 0
0 4
16 0 , H ( x ) 正定 ,
13
满足 f ( x ) 0 的点 , 称为平稳点或驻点
*
.
在区域内部极值点必为 但驻点不一定是极值点
驻点 , .
14
3、海赛(Hesse)矩阵
2f(X) = H(X)
2f/x12 2f/x1x2 ….. 2f/x1xn 2f/x22 ….. 2f/x2xn
=
*
x 1 2 , x 2 1 为严格局部极小点
* *
极小值 f ( x ) 10
*
29
例 Min f(X)= 2x12+5x22+x32+ 2x2x3 + 2x1x3 - 6x2+3 X E3 解：f(X) = （4x1+ 2x3, 10x2+ 2x3 – 6, 2x1+ 2x2 + 2x3 ）=0 驻点x*=(1,1,-2) 4 0 2