08《运筹学》(第四版)非线性规划最优性条件
线性和非线性最优化理论、方法、软件及应用
线性和非线性最优化理论、方法、软件及应用最优化在航空航天、生命科学、水利科学、地球科学、工程技术等自然科学领域和经济金融等社会科学领域有着广泛和重要的应用, 它的研究和发展一直得到广泛的关注. 最优化的研究包含理论、方法和应用.最优化理论主要研究问题解的最优性条件、灵敏度分析、解的存在性和一般复杂性等.而最优化方法研究包括构造新算法、证明解的收敛性、算法的比较和复杂性等.最优化的应用研究则包括算法的实现、算法的程序、软件包及商业化、在实际问题的应用. 这里简介一下线性和非线性最优化理论、方法及应用研究的发展状况.1. 线性最优化线性最优化, 又称线性规划, 是运筹学中应用最广泛的一个分支.这是因为自然科学和社会科学中许多问题都可以近似地化成线性规划问题. 线性规划理论和算法的研究及发展共经历了三个高潮, 每个高潮都引起了社会的极大关注. 线性规划研究的第一高潮是著名的单纯形法的研究. 这一方法是Dantzig在1947年提出的,它以成熟的算法理论和完善的算法及软件统治线性规划达三十多年. 随着60年代发展起来的计算复杂性理论的研究, 单纯形法在七十年代末受到了挑战. 1979年前苏联数学家Khachiyan提出了第一个理论上优于单纯形法的所谓多项式时间算法--椭球法, 曾成为轰动一时的新闻, 并掀起了研究线性规划的第二个高潮. 但遗憾的是广泛的数值试验表明, 椭球算法的计算比单纯形方法差.1984年Karmarkar提出了求解线性规划的另一个多项式时间算法. 这个算法从理论和数值上都优于椭球法,因而引起学术界的极大关注, 并由此掀起了研究线性规划的第三个高潮. 从那以后, 许多学者致力于改进和完善这一算法,得到了许多改进算法.这些算法运用不同的思想方法均获得通过可行区域内部的迭代点列,因此统称为解线性规划问题的内点算法. 目前内点算法正以不可抗拒的趋势将超越和替代单纯形法.线性规划的软件, 特别是由单纯形法所形成的软件比较成熟和完善.这些软件不仅可以解一般线性规划问题, 而且可以解整数线性规划问题、进行灵敏度分析, 同时可以解具有稀疏结构的大规模问题.CPLEX是Bi xby基于单纯形法研制的解线性和整数规划的软件, CPLEX的网址是/. 此外,这个软件也可以用来解凸二次规划问题, 且特别适合解大规模问题. PROC LP是SAS软件公司研制的SAS商业软件中OR模块的一个程序.这个程序是根据两阶段单纯形法研制的,可以用来解线性和整数规划问题并可进行灵敏度分析, 是一个比较完善的程序.用户可以根据需要选择不同的参数来满足不同的要求。
【精品】最优性条件(非线性规划)kuhn-tucker条件
iI
如果在x* , g i ( x)可微，i。那么，
m f ( x ) u g ( x )0 i i i 1 ui* 0 i 1, 2, , m u g ( x ) 0 i 1, 2, , m(互补松弛条件) i i 满足K T 条件的点x*称K T 点。
二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） 可能的K-T点出现在下列情况： ①两约束曲线的交点：g1与g2,g1与g3,g1与g4,g2与g3,g2与g4,g3与 g4。 ②目标函数与一条曲线相交的情况： g1，g2, g3, g4 对每一个情况求得满足(1)~(6)的点(x1,x2)T及乘子u1,u2,u3,u4,验 证当满足可得，且ui≥ 0时，即为一个K-T点。 下面举几个情况： ● g1与g2交点：x=(2,1)T∈S ,I={1,2} 则u3=u4=0 解
定理
如果 f(x)在点 x 处可微，这 f(x)在点 x 处沿任何非
f ( x ) d f ( x )T e, e d d
零向量 d 的方向导数存在，且
。
定理
如果 f(x)在点 x 处沿非零向量 d 的方向导数存在，且 f ( x )T d 0 （成锐角），则 d 是 f(x)在点 x 处的上升方向。如 果 f ( x )T d 0 （成钝角），则 d 是 f(x)在点 x 处的下降方向
二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） 定理（最优性必要条件）： （K-T条件） 问题(fg), 设S={x|gi(x) ≤0},x*∈S,I为x*点处的起作用集，设f, gi(x) ,i ∈I在x*点可微， gi(x) ,i I在x*点连续。 向量组{▽gi(x*), i ∈I}线性无关。 如果x*----l.opt. 那么， u*i≥0, i ∈I使
运筹学中的非线性规划问题-教案
教案运筹学中的非线性规划问题-教案一、引言1.1非线性规划的基本概念1.1.1定义：非线性规划是运筹学的一个分支，研究在一组约束条件下，寻找某个非线性函数的最优解。
1.1.2应用领域：广泛应用于经济学、工程学、管理学等，如资源分配、生产计划、投资组合等。
1.1.3发展历程：从20世纪40年代开始发展，经历了从理论到应用的转变，现在已成为解决实际问题的有效工具。
1.1.4教学目标：使学生理解非线性规划的基本理论和方法，能够解决简单的非线性规划问题。
1.2非线性规划的重要性1.2.1解决实际问题：非线性规划能够处理现实中存在的非线性关系，更贴近实际问题的本质。
1.2.2提高决策效率：通过优化算法，非线性规划可以在较短的时间内找到最优解，提高决策效率。
1.2.3促进学科交叉：非线性规划涉及到数学、计算机科学、经济学等多个学科，促进了学科之间的交叉和融合。
1.2.4教学目标：使学生认识到非线性规划在实际应用中的重要性，激发学生的学习兴趣。
1.3教学方法和手段1.3.1理论教学：通过讲解非线性规划的基本理论和方法，使学生掌握非线性规划的基本概念和解题思路。
1.3.2实践教学：通过案例分析、上机实验等方式，让学生动手解决实际问题，提高学生的实践能力。
1.3.3讨论式教学：鼓励学生提问、发表观点，培养学生的批判性思维和创新能力。
1.3.4教学目标：通过多种教学方法和手段，使学生全面掌握非线性规划的理论和实践，提高学生的综合素质。
二、知识点讲解2.1非线性规划的基本理论2.1.1最优性条件：介绍非线性规划的最优性条件，如一阶必要条件、二阶必要条件等。
2.1.2凸函数和凸集：讲解凸函数和凸集的定义及其在非线性规划中的应用。
2.1.3拉格朗日乘子法：介绍拉格朗日乘子法的原理和步骤，以及其在解决约束非线性规划问题中的应用。
2.1.4教学目标：使学生掌握非线性规划的基本理论，为后续的学习打下坚实的基础。
2.2非线性规划的求解方法2.2.1梯度法：讲解梯度法的原理和步骤，以及其在求解无约束非线性规划问题中的应用。
Lecture4-5 最优性条件
令f ( x) 0, 解得驻点x (2,1) .
T
12 x1 2 2 2 4 2 4 2 2 f ( x) f (x ) 4 8 4 8 2 f ( x )半正定，但在x的邻域内半正定，
所以x 是局部极小点。
定义: 对 min f ( x)，设x E n是任给一点， n
xE
d 0，若存在 0，使得对任意的 (0, ), 有f ( x d ) f ( x )，则称d为f ( x)在点x 处的 下降方向(descent direction)。
点x处的下降方向集：
F0 d f ( x ) d 0
1
定理4：设f ( x)是定义在E n上的可微凸函数， E n , x 则x为整体极小点的充要条 件是f ( x ) 0.
证明：只证充分性。 设f ( x ) 0. f ( x)是E n上的可微凸函数， 对任意的x E n，有 f ( x) f ( x ) f ( x )T ( x x ) f ( x ) x 为整体极小点。
例：考虑如下约束优化问题：
min f ( x) x1 x2
2 s.t. g ( x) 1 x12 x2 0
x2
g ( x) 0
x2
x1
x1
f(x)=0
对于任意内点x1，可行方向锥D R2 .
对于边界点x 2 (1, 0)T , 可行方向锥 D {d R 2 | d1 0}.
定理3'：设函数f ( x)在点x的邻域内二次可微，若梯度 f ( x ) 0, 且Hessian矩阵 2 f ( x)在该邻域内半正定， 则x 是局部极小点。特别地，对于邻域内的任意点x x， 若 2 f ( x)是正定矩阵，则x 是一个严格的局部极小点.
运筹学——非线性规划
非线性规划
0.618法（近似黄金分割法）
函数 (t ) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个t * [a, b] ，使得 (t ) 在[a, t * ] 上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为 (t ) 的单 谷区间。
非线性规划
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ; 第 2 步 计算最初两个探索点
第3步
计算 t k1
tk
(tk (tk
) )
，如果
t k 1
tk
，停止迭代，输出 t k1 。否则
k : k 1，转第 2 步。
非线性规划
基本思路：迭代
给定初始点x0
根据x0,依次迭代产生点列{xk}
{xk}有限
{xk}无限
{xk}的最后一点为最优解
{xk}收敛于最优解
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关于凸函数的一些结论
定理: 设S Rn是非空凸集
(1)若f是S上的凸函数， 0，则f是S上的凸函数；
(2)若f1, f2是S上的凸函数, f1 f2是S上的凸函数。 定理: 设S Rn是非空凸集, f是凸函数,cR1,则集合
HS ( f ,c)xS| f ( x) c 是凸集。
f ( x1 )（f ( x1 ),f ( x1 )）T是函数在点x1处的梯度。
x1
xn
（2）f是S上的严格凸函数的充要条件是
f ( x1 )T ( x2 x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ), x1, x2S, x1 x2
n=1时几何意义：可微函数是凸的等价于切线不在函数图 像上方。
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管理运筹学讲义 第14章 非线性规划
s.t. 2x1 - 3x2 +6 0
x1, x2 0
25
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MATLAB 程序如下：
• • • • • fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)'; x0=[0,0]; A=[-2,3]; b=6; [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,[],[],[],[])
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建立模型：
max Q = 4x1 + 2x2 0.5x12 0.25x22 s.t. 8x1 + 5x2 40 x1, x2 0
8
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引例14.2.3 供应与选址问题。某公司有 6 个 建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐 标系 a，b 表示，距离单位：千米）及水泥日用 量 d （吨）由下表给出。目前有两个临时料场 位于 A(5, 1)，B(2, 7)，日储量各有 20 吨。假设 从料场到工地之间均有直线道路相连。
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§14.4 用 Matlab 求解非线性规划
用 Matlab 求解非线性规划时，要求的标准形式为： min F(X) s.t. AX b Aeq· X = beq C(X) 0 Ceq(X) = 0 VLB X VUB 其中 X 为 n 维变元向量，C(X) 与 Ceq(X) 均为非线性 函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划中相同。
6 石家庄经济学院 管理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学与工程学院
引例14.2.2 生产计划问题。某化学公司合成了 一种新肥料，只用两种可互相替换的基本原料 来制造。公司想利用这个机会生产尽可能多的 这种新肥料，公司目前有资金 40000 美元，可 购买单价分别为 8000 美元和 5000 美元的原料。 当用数量为 x1 和 x2 两种原料合成时，肥料的数 量Q 由下式给出： Q = 4x1 + 2x2 0.5x12 0.25x22 试确定购买原料的计划。
运筹学非线性规划
二 、模型的解及相关概念
1.可行解与最优解
★可行解：约束集D中的X。
★最优解：如果有 X * D，对于任意的 X D ， 都有 f ( X *) f ( X ) ，则称 X *为（NLP）的最优
解，也称为全局最小值点。
★局部最优解：如果对于 X 0 D ，使得在 X 0的邻 域 B(X 0, ) {X |P X X 0 P } 中的任意 X D 都有f (X 0 ) f (X ) ，则称 X 0 为（NLP）的局部最
: 风险系数；ij : 第i种与第j种股票收益的协方差
n
nn
max f (x) j xj
xi x j
j 1i1 j1源自s.t.n j 1Pj x j
B
x
j
0
2.模型
min f ( X )
(
NLP
)s.t.
hi
g
( X ) 0,i j ( X ) 0,
1,L , j 1,L
f
(X
)＝f
(X0
)
f
(X0
)（T X－X0）
1 2
(X
X0
)T
H
( X0 )(
X
X0)
o(P X－X 0 P2)
其中：o(P X
X0
P2 )是当X
X
时
0
PX
X0
P2
的高阶无穷小。
例2：写出 f ( X ) 3x12 sin x2 在X 0 [0, 0]T 点的二阶泰勒展开式
解: f ( X ) [6x1 cos x2 ]T , f ( X 0 ) [0 1]T
0
解得：＝－f (Xk )T Pk
PkT H ( X k )Pk
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
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f (X (1) (1 ) X ( 2) ) f ( X (1) ) (1 ) f ( X ( 2) )
则称 f (X)为定义在R上的凸函数；若上式为严格不 等式，则称 f (X)为定义在R上的严格凸函数。
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2.2 充分条件
充分条件 设R是En上的一个开集，f (X)在R上具有二
阶连续偏导数，对于 X
对任何非零向量有：
T *
R ，若
f ( X ) 0 且
Z H ( X )Z 0
则X*为 f (X)的严格局部极小点。 H ( X * ) 称为
f (X)在点X*处的海赛（Hesse）矩阵。
hi ( X ) 0 ; 个不等式：
hi ( X ) 0 ,因此非线性
规划的数学模型也可以表示为：
min f ( X ), X E n
g j ( X ) 0, ( j 1,2,, l )
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1.3 图示
min f ( X ) ( x1 2) 2 ( x2 2) 2
充分条件等价于：若函数f (X)在X*点的梯度为零且 海赛矩阵正定，则X*为函数f (X)的严格局部极小点。
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第二章 非线性规划
1 2 3 4 5 6
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基本概念 最优性条件 凸函数和凸规划★ 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法
莫 莉
3.1 凸函数的定义
为函数 f (X)
在 X*点处的梯度。
f ( X )
的方向为X*点处等值面（等值线
的法线方向，沿这一方向函数值增加最快， 如图所示。
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2.1 必要条件
f ( X )方向
f (X )
X
*
满足
f ( X ) 0
的点称
为平稳点或驻点。极 值点一定是驻点；但 驻点不一定是极值点。
第二章 非线性规划(Nonlinear Programming)
主讲人：莫 莉
moli@ 2015 年 5 月
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前节回顾
线性规划
线性规划模型 线性规划解
非线性规划
最优性条件 一维搜索
动态规划
动态规划概念 离散动态规划 动态规划求解 动态规划应用
则必有
f ( X ) x1
f ( X ) x2 Nhomakorabea
f ( X ) xn
0
或
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f ( X ) 0
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2.1 必要条件
f ( X
f ( X ) f ( X ) ) ( x , x , 1 2 f ( X ) T , x ) n
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前节回顾
灵敏度分析
分析bi , c j , aij变化对最优解的影响
最优性条件 : N C N C B B 1 N 0 C C B B 1 A 0 j c j C B B 1 p j 0, j 1,2, , n
故
非线性问题
知
基本概念
新
线性规划建模
最优性条件 凸函数和凸规划
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第二章 非线性规划
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基本概念★ 最优性条件 凸函数和凸规划 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法
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运 筹 帷 幄 之 中 Non-linear Programming
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S X X R , f ( X )
是凸集。
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（Sβ称为水平集）。
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第二章 非线性规划
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基本概念 最优性条件★ 凸函数和凸规划 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法
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2.1 必要条件
必要条件
设R是En上的一个开集，f (X)在R上有一阶
X 连续偏导数，且在点 R取得局部极值，
可行性条件 : X B B 1b 0
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前节回顾
(1) 资源bi的变化
(2) 价值系数c j的变化
1 非基变量价值系数ck的变化
2 基变量价值系数cr的变化
(3) 技术系数ai j的变化
分析非基变量技术系数的变化
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前节回顾
温
单纯形法 对偶问题
（2）全局极值
对于X,X* ∈R均有不等式 f (X) ≥ f (X*) ，则 X*为 f (X)在 R上的全局极小点，f (X*)为全
局极小值；
对于X,X* ∈R均有不等式f (X) > f (X*) ，则 称X*为f (X)在R上的严格全局极小点， f (X*) 为严格全局极小值。
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改变不等号的方向，即可得到凹函数和严格凹函
数的定义。
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3.1 凸函数的定义
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3.2 凸函数的性质
凸函数的性质
性质1 设f(X)为定义在凸集R上的凸函数，则对任 意实数β≥0，函数β f(X)也是定义在R上的凸函数。 性质2 设f1(X)和f2(X)定义在凸集R上的凸函数， 则其和f(X)=f1(X)+f2(X)仍为定义在R上的凸函数。 性质3 设f(X)为定义在凸集R上的凸函数，则对任 意实数β，集合
h( X ) x1 x2 6 0 代替原约束，
X (2,2) ，即图中的
则非线性规划的最优解是 C点，此时
f ( X ) 0。由于最优点位于可行域
的内部，故事实上约束
h( X ) x1 x2 6 0 并未
发挥作用，问题相当一个无约束极值问题。
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1.3 图示
[注] 线性规划存在最优解，最优解只能在
可行域的边缘上（特别在可行域的顶点） 得到；非线性规划的最优解（如果存在） 则可能在可行域的任意一点上得到。 线性规划
最优解
全局最优解
非线性规划
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局部最优解
未必全局最优
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1.4 基本概念
（1）局部极值
对于X-X* <
2
2
1.3 图示
h( X ) x1 x2 6 0
由左图可见,等值线 f (X)=2和约束条件直 线x1+x2-6=0相切，切 点D即为此问题的最 优解，X*=(3, 3)，其 目标函数值 f (X*)=2。
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1.3 图示
在此例中，约束 h( X ) x1 x2 6 0对最优解发生 了影响，若以
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2.2 充分条件
2 f ( X * ) 2 x1 2 * f ( X ) H ( X * ) x2 x1 ... 2 f ( X * ) x x n 1 2 f ( X * ) 2 f ( X * ) ... x1x2 x1xn 2 * 2 * f (X ) f (X ) ... 2 x2 xn x2 ... ... 2 * 2 * f (X ) f (X ) ... 2 xn x2 xn
h( X ) x1 x2 6 0
若令其目标函数f (X)=c,目标函数成为一 条曲线或一张曲面；通常称为等值线或等 值面。此例，若设f (X)=2和f (X)=4可得两 个圆形等值线，见下图：
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min f ( X ) ( x1 2) ( x2 2)
x1 x h
3
x2
max V (1 a / 3)x12 x 2 2 2 2 2 s . t . x x a x 2 x x x 1 1 2 1 2 1 S x 1 0, x 2 0
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1.1 引例
例3 某单位拟建一排厂房， 厂房建筑平面如图所示。由 于资金及材料的限制，围墙
D中的点称为可行解或可行点
模型也可写成 min f ( x)
xD
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1.2 数学模型
（1）线性规划：目标函数和约束条件皆为x的线 性函数。
（2）非线性规划：目标函数和约束条件中至少 有一个是x的非线性函数。
本章讨论非线性规划。 （1）当p=0,q=0 ,即可行域D=Rn 时， (P)可 写成 min f ( x)
其中x=(x1,x2,...,xn )T∈Rn ， f ( x ), hi ( x ), g j ( x )为x的实值函数
g ( x) 0, i 1,..., p n i D x R h ( x ) 0 , j 1 ,..., q j
约束集或可行域
决 胜
非线性规划
千 里 之 外
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1.1 引例
例1 曲线的最优拟合问题
已知某物体的温度 与时间 t 之间有如 下形式的经验函数关系： c1 c 2 t e c3 t (*) 其中 c1 ，c 2 ，c 3 是待定参数。现通过测 试获得 n 组 与 t 之间的实验数据( t i , i ) ， c3 ， c1 ， c2 ， i=1，2，…,n。试确定参数 使理论曲线(*)尽可能地与 n 个测试点 ( t i , i ) 拟合。