整数线性规划

整数线性规划
【数学模型】
m in
T
x
f
x st.
A x b
⋅≤
A eq x b eq ⋅=
lb x ub ≤≤
i x 取值为整数
其中f , x , b , beq , lb 和ub 为向量，A 和Aeq 为矩阵。

【函数】
intprog 【说明】
在Matlab 中无求解整数线性规划的现成函数，利用Matlab 的线性规划函数linprog 来编写整数线性规划函数，输入与输出与linprog 类似，采用分枝定界法来实现。

Matlab 主程序intprog 如下：
function [x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,Aeq,Beq,lb,ub,e) %整数规划求解函数 intprog() % 其中 f 为目标函数向量
% A 和B 为不等式约束 Aeq 与Beq 为等式约束 % I 为整数约束
% lb 与ub 分别为变量下界与上界 % x 为最优解，fval 为最优值 % 控制输入参数 if nargin < 9, e = 0.00001; if nargin < 8, ub = []; if nargin < 7, lb = []; if nargin < 6, Beq = []; if nargin < 5, Aeq = [];
if nargin < 4, I = [1:length(f)]; end , end , end , end , end , end %求解整数规划对应的线性规划,判断是否有解 options = optimset('display','off');
[x0,fval0,exitflag] = linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options); if exitflag < 0
disp('没有合适整数解'); x = x0; fval = fval0; status = exitflag; return ; else
%采用分支定界法求解
bound = inf;
[x,fval,status] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);
end
其中分支定界函数branchbound程序如下：
function [newx,newfval,status,newbound] = branchbound(f,A,B,I,x,fval,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e) % 分支定界法求解整数规划
% f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub与线性规划相同
% I为整数限制变量的向量
% x为初始解，fval为初始值
options = optimset('display','off');
[x0,fval0,status0]=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options);
%递归中的最终退出条件
%无解或者解比现有上界大则返回原解
if status0 <= 0 || fval0 >= bound
newx = x;
newfval = fval;
newbound = bound;
status = status0;
return;
end
%是否为整数解,如果是整数解则返回
intindex = find(abs(x0(I) - round(x0(I))) > e);
if isempty(intindex)
newx(I) = round(x0(I));
newfval = fval0;
newbound = fval0;
status = 1;
return;
end
%当有非整可行解时，则进行分支求解
%此时必定会有整数解或空解
%找到第一个不满足整数要求的变量
n = I(intindex(1));
addA = zeros(1,length(f));
addA(n) = 1;
%构造第一个分支x<=floor(x(n))
A = [A;addA];
B = [B,floor(x(n))];
[x1,fval1,status1,bound1] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);
A(end,:) = [];
B(:,end) = [];
%解得第一个分支，若为更优解则替换，若不是则保持原状
status = status1;
if status1 > 0 && bound1 < bound newx = x1; newfval = fval1; bound = fval1; newbound = bound1; else
newx = x0; newfval = fval0; newbound = bound; end
%构造第二分支 A = [A;-addA]; B = [B,-ceil(x(n))];
[x2,fval2,status2,bound2] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e); A(end,:) = []; B(:,end) = [];
%解得第二分支，并与第一分支做比较，如果更优则替换 if status2 > 0 && bound2 < bound status = status2; newx = x2; newfval = fval2; newbound = bound2; end
【实例】
例11.13 汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量如下表11.1所示，若每月生产的汽车必须为整车，试制订月生产计划，使工厂的利润最大。

设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为123,,x x x ，工厂的月利润为z ，在题目所给参数均不随生产数量变化的假设下，立即可得整数线性规划模型：
123
m ax 234z x x x =++ st. 1231.535600
x x x ++≤
1
2328025040060000
x x x ++≤
123,,0x x x ≥ 且为整数
将目标函数改为求最小值，求解的MATLAB 代码如下
f = [-2 -3 -4];
A = [1.5 3 5;280 250 400];
B = [600 60000];
I = [1:length(f)];
lb = [0 0 0];
[x,fval,status]=intprog(f,A,B,I,[],[],lb)
【输出】
x =
64 168 0
fval =
-632.0000
status =
1
由此可知，汽车厂的最优月生产计划为生产小型车64辆，中型车168辆，不生产大型车，最大利润为632。