整数线性规划IntegerLinearProgramming
模型LP1
max z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 , x2 0
4
设备B(h)
调试工序(h) 利润（元）
6
1 2
2
1 1
24
5
表2.5.1
2018/8/8 Ludong University
表2.5.1
2018/8/8 Ludong University 5
对偶问题的提出
设 y1 ， y2 和 y3 表示单位时间(h)设备 A、设备 B 和调试工序的出让代价。 可控因素：
因美佳公司用 6h 设备 B 和 1h 调试可生产一件产品Ⅰ，盈利 2 元，故 受制条件： 6 y2 y3 2
由此可知 是规划(Ⅱ)的最优解。
反之亦然。
2018/8/8 Ludong University 10
标准形式LP的对偶规划
min c x Ax b s.t. (I) x 0
max T b s.t. T A c (II)
min c x Ax b(I) s.t. x 0
（Ⅱ）
那么 是下列规划的可行解
max T b s.t. T A c
由于 x 同时是规划(Ⅰ)的可行解， 所以 对于规划(Ⅱ)的任意可行解 ，
T b T Ax c x T b
线性规划的对偶理论
这里的对偶是指对同一事物(问题)从不同的角度(立 场)观察,有两种对立的表述。如“平面中矩形的面积 与周长的关系。” 1.周长一定，面积最大的矩形是正方形； 2.面积一定，周长最短的矩形是正方形。 本节所讨论的对偶理论是线性规划理论中一个重 要而又有趣的概念。对偶理论告诉我们：对于每个 一个线性规划(P)，总存在另一个线性规划(D)，两者 之间存在着密切的联系，甚至人们常常通过求解对 偶问题(D)来获得原规划(P)的最优解。
1 T 1 因为 T cT B A c 0， 如果令 T cB B ，则有 B
T A cT 0,
2018/8/8
T b c x .
Ludong University 9
标准形式LP的对偶规划
A c 0, b c x .
T T
T
（Ⅰ）
其中 x, c Rn ,b Rm , A Rmn 。
根据单纯形理论，若 x 是最优基可行解，其对应的基阵为 B ，则其对应 的检验数为 T 1 T 1 B cB B B cB 0 ， N cB B N cN 0，
1 同时 xB B1b ， xN 0 ，最优值为 c x cB B b。
线性规划
Linear Programming
Ludong University
线性规划
线性规划问题 可行区域与基本可行解 单纯形算法 对偶问题的提出 初始可行解 对偶规划 对偶理论 对偶理论 灵敏度分析 对偶单纯形算法 计算软件 案例分析
2018/8/8 Ludong University 2
max z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 , x2 0
max c x
T 上述LP1和 两个线性规划问题，通常称 LP1 ALP2 c 为原问题， b ？ Ax s.t. s.t. LP2是LP1者的对偶问题。 x0 0
对偶问题的提出
现在从另外一个角度提出上述问题 假设有某个公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付 出多大的代价，才能使美佳公司愿意放弃生产，出让自己的 资源。显然美佳公司出让自己资源的条件是：出让代价应不 低于用同等数量资源由自己组织生产时获得的利润。
项目 设备A(h) 设备B(h) 调试工序(h) 利润（元） 产品Ⅰ 0 6 1 2 产品Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
Ludong University 6
2018/8/8
对偶问题的提出？
模型LP2 模型LP1
minz 15 y1 24 y2 5 y3 6 y2 y3 2 s.t. 5 y1 2 y2 y3 1 y , y , y 0 1 2 3
min bT
因美佳公司用 5h 设备 A，2h 设备 B 和 1h 调试可生产一件产品Ⅱ，盈利 1 元，故
5 y1 2 y2 y3 1
该公司希望用最小的代价把佳美公司的全部资源收买过来，故 目标：
min z 15 y1 24 y2 5 y3
变量非负，即 蕴含约束：
yi 0 i 1,2,3
2018/8/8 Ludong University 3
对偶问题的提出
引例 美佳公司计划制造两种产品。已知各制造一件时分别占 用的设备A、B的台时、调试工序时间、每天可用于生产这两 种产品的能力以及出售每件产品可获得利润如表2.5.1所示， 试制订总利润最大的生产计划。
项目 设备A(h) 产品Ⅰ 0 产品Ⅱ University 7
对偶规划
标准形式线性规划的对偶规划
规范形式线性规划的对偶规划 一般形式线性规划的对偶规划
实例
2018/8/8
Ludong University
8
标准形式LP的对偶规划
考虑线性规划的标准形式
min c x Ax b s.t. x 0
原规划
对偶规划
两个规划的最优解之间存在着密切的关系，通过一个规 划的最优解可以得到另一个规划的最优解。
同时从形式上两者之间也有本质的相似， 给定 ( A, b, c) 两个规划相伴而存在，因而称以上两个规划互为对偶规划。
T b c x
2018/8/8 Ludong University 11
最优化理论与方法2(整数线性规划)
- x1 x 2 1
约束条件：
max Z x1 x2
① ② ③ ④ ⑤
3 x1 x 2 4 x1 , x 2 0
x1 , x2为整数
最优化理论与方法
先不考虑条件⑤的整数约束条件， 求得相应的松弛线性规划的最优。 解为：
x1 3 / 4, x2 7 / 4
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
标函数值最大，即为Z=4。
3
x1
最优化理论与方法
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可行 域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集。 由上例看出，将线性规划的最优解经过“化整”来解原整数 线性规划，虽是最容易想到的，但常常得不到整数线性规划的最 优解，甚至根本不是可行解。 1、整数规划问题解的特征 （1）最优点不一定在顶点处取得； （2）最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整数解； （3）整数可行解远多余于顶点，枚举法不可取； （4）可行解是其松弛问题的可行解，反之不一定，但如果松 弛问题的最优解还满足整数约束条件，是整数规划的最优解。
最优化理论与方法
整数规划问题的求解方法：
ü 割平面法 ü 分枝定界法
2.6.1.1 割平面法的基本思想
1、基本思想：由松弛问题的可行域向整数规划的可行域逼近。 2、方法—利用超平面切除。 3、要求： (1)整数解保留； (2)松驰问题最优值增加。 具体为：即 n 首先不考虑变量 Xi 是整数这一条件，仍然是用解线性规
2.6
整数线性规划
线性规划问题的最优解可能是分数或小数，但对于某些问 题，常要求解必须是整数(称为整数解)。这样的问题称为整数线 性规划(integer linear programming)，简称ILP。 一、 整数规划(IP) (1) 要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为 整数规划。 A 不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规 划问题称为整数规划的松弛问题。 B 若松弛问题是一个线性规划，则称整数规划为整数线性规划。
求解整数线性规划问题的分支定价算法
求解整数线性规划问题的分支定价算法摘要本文简要介绍求解大规模整数线性规划问题的分支定价（Branch-and-Price）精确算法,该类算法可用于求解含有大规模变量的整数线性规划问题(Integer Linear Program，ILP)或混合整数线性规划问题(Mixed Integer Linear Program，MILP)。
分支定价算法综合了列生成(Column Generation)和分支(Branching)策略。
列生成算法用于求解含有大规模变量的线性规划问题。
分支定价算法在每个分支节点处采用列生成策略求得对应松弛问题的最优解。
由于列生成策略大大降低了松弛问题的规模,可在很大程度上降低求解时间。
本文主要对分支定价算法的基本思想，执行步骤及关键问题进行详细的介绍。
关键词整数线性规划分支定价列生成算法一引言整数规划(Integer Programming,IP)问题最早出现在20世纪50年代,现在整数规划适用于工程、电子信息、工程管理和经济等领域。
整数规划是带有整数变量的最优化问题,即最大化或最小化全部或部分变量为整数的多元函数受约束于一组等式或不等式条件的最优化问题。
有时候我们求解的结果要求我们取整数,但是有时候我们求得的解是小数,而且当我们把小数的解四舍五入化为整数，发现化整后的解并不是可行解，或虽是可行解,但不是最优解,因此,对求解最优整数解的问题,我们称之为整数规划。
对于小规模的整数规划问题,其求解通常采用分支定界算法,但当问题规模特别大时,分支定界算法的执行效率会很低,有时甚至得不到可行解。
因此研究者们致力于寻找求解大规模整数规划问题更好的方法。
Barnhart[1]等人研究了求解整数线性规划问题的分支定价算法(Branch-and-Price),该类算法可用于求解含有大规模变量的整数线性规划问题或混合整数线性规划问题,其核心思想是在分支定界的基础上采用列生成(Column Generation)策略。
线性整数规划
D4
命题1：
设D E，z ( x)在D与E上有最大(小)值， 则有 max z ( x) max z ( x)
xD xE
min z ( x) min z ( x)
xD xE
15 2014-1-22
1.
例2 人工算法（P160）
x2
5
x1=4
(2,3.3)D A(2.44,3.26) B(3,2.86)
s.t 4x1+5x2≤20
2x1+x2 ≤6
x (5 / 3, 8 / 3) ，注意到 由图解法可得最优点A(5/3,8/3)或 ~ ~ 1≤5/3≤2， 2≤8/3≤3，故对 两分量取整有如表 2所示， x 可得多种取整结果，取整法有多种结果，其误差不好 估计。
7 2014-1-22
x1,x2≥0
LA2
max z =2x1+3x2 s.t 195x1+273x2≤1365 4x1+40x2≤140 x1≤4 x1≥3 x1,x2≥0
~ x 3 (3, 2.86)T B点 z(~ x 3 ) 14.58
~ x 2 ( 2, 3.3)T D点 z(~ x 2 ) 13 .90 z ( ~ x 3 ) 14 .58
LA21 ~ x 4 ( 4, 2)T , z ( ~ x 4 ) 14
LA22无可行解
注： (1)若L21之最优解~ x 4为非整数解时，需比较z ( ~ x 2 )与z ( ~ x 4) 21 (2)若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA1分支；若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA21分支
4
3 2 1
整数线性规划
解： 引入0-1变量xij ，
xij =1：第i人做第j项工作
xij =0：第i人不做第j项工作
• 一人只能完成一项任务
x11 x12 x13 x14 1 x21 x22 x23 x24 1 x31 x32 x33 x34 1 x41 x42 x43 x44 1
三、分支定界法
不考虑整数限制先求出相应松弛问题的最优解， 若松弛问题无可行解，则ILP无可行解； 若求得的松弛问题最优解符合整数要求，则是 ILP的最优解； 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件 的变量 xi0 来构造新的约束添加到松弛问题中形 成两个子问题
0 0 xi xi ; xi xi 1
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160x1 210x2 60x3 80x4 180x5 210x1 300x2 150x3 130x4 260x5 600 x1 x2 x3 1 x3 x 4 1 x x 1 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0或1
x1 ≤ 1
LP1 ： 7 10 x1 1, x2 , Z 3 3
41 10 9 3
x2 ≥3
x2≤2
LP3 ： x1 33 61 , x2 2, Z 14 14
LP4：无解，查清
x1 ≥3
LP6：
61 10 14 3
x1≤2
LP5：
10 4, 3 x1 3, x2 1, Z 4，查清 x1 2, x2 2, Z 4，查清 LP1被剪枝
假设：yj=1，要租用生产线j yj=0，不租用生产线j
第六章 整数线性规划
（3.1.1 ）
整数规划与线性规划在形式上相差不多 , 但是由于整
数规划的解是离散的正整数 ,实质上它属于非线性规划 .若
去掉整数规划的整数约束 ——— x j 为整数 ,则该规划就变
成了一个线性规划 ,一般称这个线性规划为该整数规划的 松弛问题 .
§6.1 整数线性规划问题的提出 Page 6
一些原则
Page 22
序号 分支问题1
1 无可行解
2 无可行解 3 无可行解
4
整数解
5
整数解，优 于问题2
6
整数解
7 非整数解
分支问题2 无可行解
整数解 非整数解
整数解
非整数解 非整数解， 优于问题1
非整数解
说明 原问题无可行解 此整数解为最优解 对问题2继续分支 较优的为最优解
问题1为最优解 问题1停止分支，继续 对问题2分支 继续分支,较优的先分
解： x1——甲货物的托运箱数； x2——乙货物的托运箱数；
这就是一个(纯)整数线性规划问题，数学模型为：
max2 24
(2)
2
x1
5 x2
13
(3)
x1
,
x2
0
(4)
x1 , x2为整数.
数学建模常用方法
数学建模常用方法数学建模是利用数学工具和方法来研究实际问题，并找到解决问题的最佳方法。
常用的数学建模方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、图论、最优化理论等。
1. 线性规划（Linear Programming, LP）: 线性规划是一种在一定约束条件下寻找一组线性目标函数的最佳解的方法。
常见的线性规划问题包括生产调度问题、资源分配问题等。
2. 非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）: 非线性规划是指当目标函数或约束条件存在非线性关系时的最优化问题。
非线性规划方法包括梯度方法、牛顿法、拟牛顿法等。
3. 动态规划（Dynamic Programming, DP）: 动态规划方法是一种通过将复杂的问题分解成多个子问题来求解最优解的方法。
动态规划广泛应用于计划调度、资源配置、路径优化等领域。
4. 整数规划（Integer Programming, IP）: 整数规划是一种在线性规划的基础上，将变量限制为整数的最优化方法。
整数规划常用于离散变量的问题，如设备配置、路径优化等。
5. 图论（Graph Theory）: 图论方法研究图结构和图运算的数学理论，常用于解决网络优化、路径规划等问题。
常见的图论方法包括最短路径算法、最小生成树算法等。
6. 最优化理论（Optimization Theory）: 最优化理论是研究寻找最优解的数学方法和理论，包括凸优化、非凸优化、多目标优化等。
最优化理论在优化问题建模中起到了重要的作用。
7. 离散数学方法（Discrete Mathematics）: 离散数学方法包括组合数学、图论、概率论等，常用于解决离散变量或离散状态的问题。
离散数学方法在计算机科学、工程管理等领域应用广泛。
8. 概率统计方法（Probability and Statistics）: 概率统计方法通过对已有数据进行分析和建模，提供了一种推断和预测的数学方法。
概率统计方法在决策分析、风险评估等领域起到了重要的作用。
整数规划
5 2 C = 0 0
0 2 0 3 0 0 0 6 7 8 0 0
步骤3： 若 n ，作最少直线覆盖当前零元素。 已知例12中的系数矩阵为 ⒈变换系数矩阵
4 7 C = 6 6 6
8 7 15 12 9 17 14 7 9 12 6 10 7 14 8 10 9 6 10 8
最多有3个独立0元素！
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 0 5 6 7 8 0 0
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 7 5 6 0 8 0 3
至于如何找覆盖零元素的最少直线，通过例子来说明。 例1 现有一个4×4的指派问题，其效率矩阵为：
整数线性规划数学模型的一般形式为：
max(or min) z = ∑ c j x j n ∑ aij x j ≤ (or =, ≥)bi , i = 1, 2,L , m s.t j =1 x j ≥ 0, x j 中部分或全部为整数， = 1, 2,L , n j
j =1
n
整数线性规划类型
B1 B2 B3 B4 B5
C=
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
这是一个标准的指派问题。若设0-1变量
1 xij = 0
例12：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成 营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑 公司 Ai (i = 1,2, L ,5) 对新商店B j ( j = 1,2, L,5) 的建造 报价（万元）为 cij (i, j = 1,2, L ,5) , 见矩阵C。商业公 司应当对5家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建 筑费用最少？
运筹04整数线性规划
A1 A2 A3 A4 年需求 量 2 8 7 4 350
B2
9 3 6 5 400
B3
3 5 1 2 300
B4
4 7 2 5 150
年生产能力
400 600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为 1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称 为松弛问题）。
max Z x1 x 2 14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0 1 2
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解（最优解）：如用 x2 “舍入取整法”可得到4个点即(1， 3) (2，3)(1，4)(2，4)。显然，它 们都不是整数规划的可行解,因而不 3 是最优解。
5
4 24
2
5 13
20
10
解：设X1 , X2 为甲、乙两货物各托运箱数
maxZ = 20 X1 + 10 X2 5X1+4X2 24 2X1+5X2 13 X1 , X2 0
X1 , X2为整数
例4.2 背包问题
背包可装入8单位重量，10单位体积物品 物品 1 2 名称 书 摄像机 重量 5 3 体积 2 1 价值 20 30
变量约束：
x12 x 22 x 32 x 42 1 x13 x 23 x 33 x 43 1 x14 x 24 x 34 x 44 1
xij 0或，、 1 i j 1, 2,3, 4
整数线性规划问题数学模型的一般形式：
§3.1 整数线性规划
§3.1 整数线性规划整数线性规划( Integer Linear Programming ，简记为 ILP )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⊂∈∈≥=},,2,1{,0..min n J i I x x b Ax t s x c i T Λ （3.1.1）其中，},2,1,0{Λ=I<1>若 },,2,1{},1,0{n J I Λ==，则称（3.1.1）为0-1规划问题；<2>若 J 是 },,2,1{n Λ的非空真子集，则称（3.1.1）是混合整数线性规划问题；<3>若 },,2,1{n J Λ=，则称（3.1.1）是纯整数线性规划问题。
1、整数线性规划问题举例例 3.1.1 某部门在今后五年中有 B 万元的资金可以用于投资，有 )2(≥n n 个可以考虑的投资项目。
假定每个项目最多投资一次，其中第 j 个项目需投资金额为 j b 万元，将会获得的利润为 j c 万元，问应如何选择项目，才能使获得的总利润最大？解：设投资决策变量为n j j j x j ,,1,0,1Λ=⎩⎨⎧=个项目，决定不投资第个项目，决定投资第，设获得的总利润为 z ，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≤<=∑∑==n j x Bx b t s x c z j n j j j n j jj ...,2,1;010..max 11或 （3.1.2） 问题（3.1.2）是一个0-1规划。
01或=j x 这个约束可以用一个等价非线性约束0)1(=-j j x x来代替它。
因而变量限制为整数本质上是一个非线性约束。
例 3.1.2 某建筑公司承包两种类型宿舍。
甲种宿舍每幢占地面积为 31025.0⨯平方米；乙种宿舍每幢占地面积为 3104.0⨯平方米。
该公司已购进 3103⨯平方米的建筑用地。
计划要求建甲种宿舍不超过8幢，乙种宿舍不超过4幢。
建甲种宿舍每幢可获利10万元，建乙种宿舍每幢可获利20万元。
第八章 整数线性规划(ILP)
v 1 , v 2 , ⋯ , v n 各 一 次 ，最 后 返 回 v 0 ，已 知 从 v i 到 v j
的 旅 费 为 C ij ， 问 他 应 按 怎 样 的 次 序 访 问 这 个 城 市，才能使得总旅费最少？
解：对每一对城市设一个变量 xij ，令
( P)
可先求其对应的线性规划问题
minz = minCX AX = b X ≥ 0
(P0 )
如果 P0 中的最优解满足 P 中的整数要求，则以求得 P 的整 数最优解。如果 P0 的最优解的分量不全是整数，就对 P0 增 加一 个约束条件（ 称它为割平 面方程） 新增加的割平面 方 ， 程 将 P0 的 可 行 域割 去一块 ，并且 非 整 数 的 最优解 恰好在 这 一块中， 即非整数的最优解被割去而 P 的全部整数可行解保 留， 然后在解新的线性规划， 看其最优解是否满足整数要求， 就这样继续进行下去，直到得到最优解满足整数要求为止。
*
分枝定界法可用于解纯整数规划问题，也可以 分枝定界法可用于解纯整数规划问题， 用于求混合整数规划问题。 20世纪60年代初由 世纪60 用于求混合整数规划问题。在20世纪60年代初由 Land和Dong提出经Dakin修正的 提出经Dakin修正的， Land和Dong提出经Dakin修正的，其优点是方法 灵活并且十分便于计算机求解， 灵活并且十分便于计算机求解，所以现在它已成 为求解整数规划的重要方法之一， 为求解整数规划的重要方法之一，目前已成功地 应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、旅 应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、 行推销员问题、工厂选址问题、 行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配 问题等。分枝定界法比穷举法优越， 问题等。分枝定界法比穷举法优越，因为它仅在 一部分可行解的整数解中寻求最优解， 一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比 穷举法小，但若变量数目很大， 穷举法小，但若变量数目很大，其计算工作量也 是相当可观的。因此，它有时也需要与其他方法 是相当可观的。因此， 如切割平面法)配合使用， (如切割平面法)配合使用，效率更高一些。