第4讲 效用函数与消费者选择

叶 建 亮 ： 中 级 微 观 经 济 学
p1
相互关系

已知间接效用函数求瓦尔拉斯需求函数。
罗伊恒等式：xl ( p, w)
v( p, w) pl v( p, w) w
对于 u v( p, w) ，由于 v( p, e( p, u )) u p ，对价格求 导并在 p p 处取值，得到：
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希克斯需求与补偿需求法则

h 对于一个连续的效用函数 u (.) ， ( p, u )是其希克 斯需求函数，则它满足补偿需求法则， 即 ( p p) [h( p, u) h( p, u)] 0 。
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对偶

若x*=h，则：
p2 1 u p1 p21 u x [ ] h1 w e 1 p1 (1 ) p1 A (1 ) A
1
w

若h=x*，则：
u p2 1 w (1 )1 h1 [ ] x1 u w v 1 A 1 p1 p1 p1 p2

1 1 u e( p1 , p2 , u ) p1 p2 1 (1 ) A
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对偶



对于一个最优的结果而言，UMP与EMP应该 是等价的，也就是说： h( p, u) x( p, w) 如果w e( p, u) ， x( p, w) h( p, u ) 如果 u v( p, w) 。 以C-D函数为例
h1 ( p, u ) p1
0
u (h( p, u )) u (h( p, u )) h1 ( p, u ) u (h( p, u )) h2 ( p, u) p1 h1 p1 h2 p1 h1 ( p, u ) h ( p, u ) p2 2 p1 p1
w


若u=v，则：
u p2 1 p2 1 (1 )1 w h1 [ ] w [ ] x1 A 1 p1 1 p1 p1 p21 p1 u 1 p1 1 p1 (1 )1 (1 ) w h2 [ ] w [ ] x2 A p2 p2 p1 p21 p2
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效用最大化

是影子价格（ shadow price）：最优消费
时的财富边际效用。
du ( x1 , x2 ) x1 (p, w) x2 (p, w) MU1 MU 2 dw w w x1 (p, w) x2 (p, w) p1 p2 w w x1 (p, w) x2 (p, w) [ p1 p2 ] w w Engel aggregation 1
u ( x1 , x2 ) u( x1 , x2 ) dx1 dx2 0 x1 x2 dx u ( x1 , x2 ) / x1 MU1 MRS1,2 2 可以得到： dx1 u ( x1 , x2 ) / x2 MU 2 du
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边际替代率
x2 A
A,B两点的边际替代率与价格之比 的关系如何？
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B
x1
间接效用函数

UMP问题的效用值表示为 v(p.w) u(x (p.w)) ， 称为间接效用函数“indirect utility function” 。 之所以称为间接的，是因为这个效用函数的自 变量已经不是直接消费的商品，而是价格和财 富。对消费者而言，价格和财富并不是直接消 费的对象，而是通过选择，间接的对应了某一 效用。
1,2 0

CES效用函数：( x1 , x2 ) [ax1 (1 a) x2 ] u
1,2
1 1

1
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边际替代率

对照消费者最优选择条件，可以得到：
MRS1,2 MU1 p1 MU 2 p2
如果上述等式不成立，则意味着一种商品的消费 量过度了，其单位价格在该商品上消费的边际效 用低于财富的边际效用，因此应该减少消费； 而另一种商品的消费量不足，单位价格在该商品 上的边际效用高于财富的边际效用，因此应该增 加消费。
v( p, e( p, u )) v( p, e( p, u )) e( p, u ) 0 p1 w p1
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根据 hl ( p, u) e( p, u) pl且 w e( p, u )，则 h( p, u ) x( p, w) ， 因此：x1 ( p, w) v( p, w) p1 。

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间接效用函数

计算一个C-D效用函数u( x1, x2 ) A x1 x1 的间接 2 效用函数：
1
(1 ) w x ,x 由于： p1 p2
2
w

代入可得：
v( p, w) u ( x1 , x2 )
1 1 u e p1 p2 1 (1 ) A
对偶

若w=e，则：
p1 p21 u p u x1 [ 2 ]1 h1 p1 p1 (1 )1 A (1 ) p1 A (1 ) w (1 ) p1 p21 u (1 ) p1 u x2 [ ] h2 1 p2 p2 (1 ) A p2 A
(1 ) w w x , x2 p1 p2
1
v( p, w) A
(1 )1
p1 p

1 2
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w
u p2 1 u 1 p1 h1 [ ] , h2 [ ] A 1 p1 A p2
即单位商品1的增加可以替代的商品2的数量取决 于商品1的边际效用与商品2的边际效用之比
边际替代率

边际替代弹性：消费比例对替代率的敏感程度。 即边际替代率一个百分点的变化会引起消费比 例的多少个百分点变化。
1,2
2 2 ( x1 ) / x1 x x
MRS1,2 / MRS1,2
0
第三章 消费者选择
叶建亮 浙江大学经济学院
效用ຫໍສະໝຸດ Baidu大化

消费者效用最大化 (UMP):
max u ( x1 , x2 ) s.t. p1 x1 p2 x2 w

解 xi ( p1 , p2 , w) 称为瓦尔拉斯需求函数。
i
u( x1 , x2 ) 若 x ( p1 , p2 , w) 0 则 MU i pi xi
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支出最小化

u 计算“C-D”效用函数( x1, x2 ) A x1 x1 2 斯需求函数。
的希克
u p2 1 h1 ( p1 , p2 , u ) [ ] A 1 p1
h2 ( p1 , p2 , u ) u 1 p1 [ ] A p2
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也就是说,消费者最优时，最后1单位的财富带来的效用与 投在任何一种商品上的带来的效用是相等的。
效用最大化-例子

u Cobb-Douglas效用函数： ( x1, x2 ) A x1 x1 2
x1
w
p1
, x2
(1 ) w p2
v( p, w) w
相互关系

已知瓦尔拉斯需求函数，求希克斯需求函数 斯卢茨基方程： h ( p, u) x ( p, w) x ( p, w) x ( p, w)
l l l
pk
pk
w
k
h1 ( p1 , p2 , u ) x1 ( p1 , p2 , e( p1 , p2 , u )) x1 ( p1 , p2 , e( p1 , p2 , u )) e( p1 , p2 , u ) p1 p1 w p1 x1 ( p1 , p2 , e( p1 , p2 , u )) x1 ( p1 , p2 , e( p1 , p2 , u )) h1 ( p, u ) p1 w x1 ( p1 , p2 , w) x1 ( p1 , p2 , w) x1 ( p, w) p1 w
2 d ln( x1 ) x
d ln MRS1,2
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边际替代弹性

u Cobb-Douglas效用函数： ( x1, x2 ) A x1 x1 2
1,2 1

Leontief效用函数： ( x1, x2 ) min{ax1, bx2 } u
相互关系

已知支出函数，推导希克斯需求函数。
hl ( p, u) e( p, u) pl
e( p1 , p2 , u ) p1 [ p1 h1 ( p, u ) p2 h2 ( p, u )] p1 h1 ( p, u ) h ( p, u ) p2 2 p1 p1
(1 ) w 1 [ ] [ ] p1 p2

w
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(1 )1
p1 p

1 2
w
支出最小化

EMP:
min p1 x1 p2 x2 s.t. u ( x1 , x2 ) u

最小化解 h( p1, p2 , u) 称为希克斯（补偿）需求函 数-Hicks (or compensation ) demand function。
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支出最小化

值函数称为支出函数 “expenditure function”
e( p1 , p2 , u) p1 h1 ( p1 , p2 , u) p2 h2 ( p1 , p2 , u)
u 计算“C-D”效用函数 ( x1, x2 ) A x1 x1 的支出 2 函数。
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希克斯需求与补偿需求法则

希克斯需求函数的一个重要特征在于，其对价格的偏 导意味着保持了效用水平不变，换句话说，当一个价 格的变化引起希克斯需求变化时，这一消费需求的变 化意味着是补偿消费者在价格变化中的效用变化，因 此希克斯需求函数又称为补偿需求函数。这一变化过 程与斯卢茨基补偿的思路是不同的，我们在下一小节 讨论两者的关系，这里我们首先看看，对于希克斯需 求函数而言，价格变化与需求变化的关系如何？

Leontief效用函数： ( x1, x2 ) min{ax1, bx2 } u
bw aw x , x2 bp1 ap2 bp1 ap2
1

CES效用函数：( x1 , x2 ) [ax1 u
x
1

(1 a ) x2 ]
w
a 1 a
1 1


1
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w p1[1 (
1 a a
) ( ) ]
1 1
p1 p2
1

,x
2
p2 [1 (
) ( ) ]
p2 p1
1

边际替代率

对于消费者的选择而言，边际替代率是指，保 持效用不变的情况下，一种商品消费的单位增 加，可以替代的另一种商品消费的数量。