平面向量及其应用经典试题(含答案)

一、多选题

1．若a →，b →，c →

是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→

=，则a b →→

= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→

= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→

D ．若a b a b →

→

→

→

+=-，则a b →→

⊥

2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤

B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =

C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向

D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭

3．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知

cos cos 2B b

C a c

=-，

ABC S =

△b = ）

A ．1cos 2

B =

B ．cos 2

B =

C ．a c +=

D ．a c +=4．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3

π

，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）

A ．△ABC 的外接圆面积是493

π

； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；

C ．b ＋c 可能等于16；

D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大

值是

5．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=

D ．()

4BC a b ⊥+

6．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有

（ ）

A ．()

a c

b

c a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()

()

b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-

D ．(

)()

22

323294a b a b a b +⋅-=-

7．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB +=

D ．0PA PB PC ++=

8．ABC 中，4a =，5b =，面积53S =，则边c =（ ） A ．21 B ．61

C ．41

D ．25

9．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，

则（ ）

A ．12AF AD A

B =+

B ．1()2EF AD AB =+

C ．21

33

AG AD AB =- D ．3BG GD =

10．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ）

A ．11

22AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++=

C ．2133BM BA B

D =+ D ．12

33

CM CA CD =+

11．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）

A ．()10,0e =，()21,1=e

B ．()11,2e =，()22,1e =-

C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭

e

D ．()12,6=e ，()21,3=--e

12．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b

B ．若a b ⊥，则a b a b +=-

C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a

D ．若存在实数λ使得λa

b ，则a b a b +=-

13．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=

B ．a d b +=

C ．b d a +=

D ．a b c +=

14．下列命题中，正确的有（ ）

A ．向量A

B 与CD 是共线向量，则点A 、B 、

C 、

D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2

α

为第二或第四象限角 C ．函数1

cos 2

y x =+

是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形 15．已知ABC ∆的面积为3

2

,且2,3b c ==,则A =( ) A ．30°

B ．60°

C ．150°

D ．120°

二、平面向量及其应用选择题

16．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且

2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）

A ．

34

B ．

58

C ．38

D ．

23

17．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()

20BC OB OC OA ⋅+-=，则

ABC 一定为（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．钝角三角形

18．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，

()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01

05

t <<

时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．2,23

ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭

19．若△ABC 中，2

sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ）