【校本教材】高中数学校本课程---数学文化

【高中数学校本课程】

数学文化

目录

总体规划…………………………………………………………课程实施…………………………………………………………第一节有趣的数学谜语………………………………………第二节鸡兔同笼问题…………………………………………第三节九宫图的应用…………………………………………第四节大衍求一术……………………………………………第五节让梨游戏………………………………………………第六节幻方与魔阵……………………………………………第七节数学中的简单逻辑推理问题…………………………第八节欺骗眼睛的几何问题…………………………………第九节抽屉原理的简单应用…………………………………第十节帕斯卡三角形与道路问题…………………………第十一节数独………………………………………………

第二部分课程实施

实施对象：高二学生

实施时间：校本选修课2

实施步骤：

分四步：1）自行研读，思考

2）合作探究、推理

3）老师指导、解答

4）创新运用、提高

实施计划：

拟在高二实施，共需18课时。高二年级每周2课时。

课时安排：

第一节有趣的数学谜语………………………………………2课时

第二节鸡兔同笼问题…………………………………………1课时

第三节九宫图的应用…………………………………………1课时

第四节大衍求一术……………………………………………2课时

第五节让梨游戏………………………………………………1课时

第六节幻方与魔阵……………………………………………2课时

第七节数学中的简单逻辑推理问题…………………………1课时

第八节欺骗眼睛的几何问题…………………………………2课时

第九节抽屉原理的简单应用…………………………………2课时

第十节帕斯卡三角形与道路问题……………………………1课时

第十一节数独………………………………………………2课时

体会与反思………………………………………………………1课时

评价与考核

本课程采用考核与考试相结合的评价方式。

作业：结合课本知识及相关内容，以作业形式，考查学生的解决问题的能力，以了解学

生对该校本课程的掌握。

学习反思与体会：由学生撰写学习反思与体会，以评价学生的思辨能力和表达能力。了解学生对该校本课程的接受程度，对下期教学进行必要的改进。

第一节有趣的数学谜语

猜谜是一种非常有趣有益的智力活动，猜谜语也是锻炼思维能力的一种好方法。听了谜语以后，就会动脑筋想：这说的是什么东西呢？“思源于疑”，“疑”是思维的开始,是创造的基础，大家觉得是不是呢？今天我们就来猜谜语！

先看几个简单例子：

1．一加一不是二。（打一字）

“一”字、加号“＋”、再来一个“一”字，组合在一起，得到的字不是“二”，而是“王”。谜底是王。

2．一减一不是零。（打一字）

“一”字、减号“-”、再来一个“一”字，组合在一起，得到的字不是“零”，而是“三”。谜底是三。

3．八分之七。（打一成语）

“八分之七”用数学符号写出来，把数字7写在分数线上面，8写在分数线下面，谜底是成语“七上八下”。

在上面这些谜语里，用一些很简单的数学知识，对谜语的文字作出新的理解，可以帮助猜出答案。

另外一类谜语，谜底是数学名词。还是来看几个例子：

4．七六五四三二一。（打一数学名词）

平常报数目，是从小到大顺着数，就像流行歌曲里唱的，“一二三四五六七，我的朋友在哪里”。现在他说“七六五四三二一”，是从大到小，倒过来数了，所以谜底是“倒数”。

5．讨价还价。（打一数学名词）

买东西讨价还价，要经过反复协商，才能达成双方都同意的钱数。这种协商钱数的过程，可以戏称为“商数”。谜底是商数。

6．你盼着我，我盼着你。（打一数学名词）

“你盼着我”，是你在等候我；“我盼着你”，是我在等候你。两人互相等候，可谓“相等”。谜底是相等。

7．成绩是多少？（打二数学名词）

学习成绩是用得分的数目计算的。问“多少”，可以换一个说法，改问“几何？”在中国古代数学书里，问一种物品有多少个，总是问“物有几何？”直到现在，有些地区的方言里，买东西问价钱，还是说“几何？”所以，问“成绩多少”，等于是问“分数，几何？”谜底是两个数学名词：分数、几何。

今天我们见到的谜语都与数学有关，被我们称为数学谜语，根据谜面和谜底的不同，数学谜语有不同的分类。同学们不妨一猜，可在紧张学习之余博得一乐，还可以提高学习数学的兴趣。请同学们在说谜底的时候，将你的猜谜思路和过程有条理地向大家展示。

一、以数学用语为谜底的谜语

1. 五角一趟

2. 两羊打架

3. 完全合算

4. 勤点钞票

5. 两边清点

6. 有情人终成眷属

7. 合法开支

8. 打得鸳鸯各一方

9. 垂钓 10. 马术 11. 戽 12. 岁岁重阳今又重阳

13. 追本溯源 14. 对症下药 15. 多十分 16. 集体钓鱼

17. 协议离婚 18. 打成和局 19. 团体赛 20. 刮胡子

21. 摩拳擦掌 22. 谁押林冲去沧州（打两个数学用语）

二、以数字为谜面的谜语

23. 一（打一成语） 24. 十百千（打一成语）

25. 一二三四五六七九十（打一字） 26. 壹贰叁肆伍陆柒捌玖（打一古书名）

27. 三八二十四（打一体育用语） 28. 7×9（打一古军事书名，卷帘格）

三、以方程为谜面的谜语

29. x=只-吾（打一工业用语） 30. x=旭÷3（打一化学用语）

四、以数学家为谜底的谜语

31. 东坡游春 32. 回眸一笑百媚生

五、以数学科目为谜面的谜语

33. 解析几何（打一口头用语）

六、以运算符号为谜面的谜语

34. +-×（打一成语）

谜底：

1.一元二次（推算法）

2.对顶角

3.绝对值

4.常数（通假法）

5.分数

6.同心圆

7.有理数

8.公分母

9.等于（通假法） 10.乘法 11.内角（分解法） 12.循环节 13.求根 14.

开方 15.余角（换算、通假） 16.公垂线 17.约分 18.平角 19.公共角 20.平角（词性通假）21.等角22.两个解、差（问答法。答曰：两个解差，分开即是） 23.大有人在 24.万无一失（别解为没有“一”和“万”） 25.口（谜面意为“只”少“八”） 26.《拾遗记》（意为忘记写“拾”） 27.女子双打（双打即两打，二十四） 28.三十六计（7×9计六十三，反序读之即得） 29.成品（八口减五口为三口，三口即成“品”字） 30.结晶（九日除以3得3日，结合为“晶”） 31.苏步青 32.杨乐 33.十八斤（谜面别解为把“析”分解开是多少？）34.支离破碎（把支分解开即为“+、-、×”）

你能总结出猜数学谜语的基本方法吗？

【猜一猜，练一练】

第一组：

1.群策群力

2.裁判职责

3.批准法规

4.弹簧弹性

5.人人富裕

6.啦叭套子

7.主动争取

8.听候下令

9.财政赤字 10.伪造账目 11.追问到底 12.准备参赛

13.交换赛场 14.热身赛 15.团体赛 16.互相呼喊

17.中秋明月 18.平原铁道 19.货真价实 20.提弦调音

谜底：

1.公理

2.定理

3.定律

4.有限

5.无穷

6.大于号

7.不等号

8.等号

9.负数 10.无理数11.求根 12.等比13.更比 14.相似 15.合比 16.对称17.圆 18.直径 19.绝对值 20.正弦

第二组：

1.断纱接头（打一数学名词）

2.抬头望月正好初八（打一三角函数名）

3.一笔债务（打一数学名词）

4.两牛打架（打一数学名词）

5.大甩卖（打一数学名同）

6.再见吧妈妈（打一数学名词）

7.医生提笔（打一数学名词） 8.99 （打一成语）

9.110 （打一成语） 10.103与1002 （打一成语）

11.大同小异（打一数学名词） 12.并驾齐驱（打一数学名词）

13.周而复始（打一数学名词） 14.考试不作弊（打一数学名词）

15.夏周之间（打一数学名词）16.捷道（打一数学名词）

17.算盘珠（打一数学名词） 18.联合国宪章（打一数学名词）

19.岁岁重阳，今又重阳（打一数学名词）

谜底：

1.延长线；

2.正弦；

3.负数；

4.对顶角；

5.绝对值；

6.分子分母；

7.开方；

8.百无一是；

9.一成不变； 10.千变万化；11.近似；12.平行；13.循环；14.真分数； 15.商； 16.直径；

17.代数；18.最大公约数； 19.循环节。

【数学谜语集锦】

（一）、打数学名词方面的

1.五四三二一；

2.缺了会计；

3.邮寄账本；

4.信件统计；

5.替人查账；

6.查账；

7.开奖；

8.算术老师的教鞭；

9.一笔债务； 10.商店盘货； 11.用； 12.同室操戈；

13.团体赛； 14.兵对兵，将对将； 15.左右夹攻； 16.重判；

17.轻判； 18.车站告示； 19.背着喇叭； 20.待命冲锋；

21.朱元璋登基； 22.婚姻法； 23.演员招考制度； 24.五角；

25.员；26.刀口； 27.海峡两岸盼统一； 28.有情人终成眷属；29.马路没弯儿；

30.两个寨子隔条岗，南寨没有北寨强；南寨好汉有五条，不及北寨人一双。

31.健全法制； 32.儿童储蓄； 33.聚散无常； 34.千丝万缕；

35.身高； 36.会谈； 37.欲言又止； 38.保持距离，同时起飞；

39.五角钱一趟； 40.浮萍； 41.互盼； 42.合家欢；

43.恰如其分； 44.一望无际； 45.一模一样； 46.哨声响了；

47.减法没算对； 48.垂钓； 49.走致富之路； 50.北；

51.抬头望月，正好初八； 52.二胡调音；

53.时刻盼望上战场（打数学二名词）； 54.丞（打数学三名同）；

55.一个邮递员掀起了信箱的盖子，在清点有多少信件。你能根据这一情况猜出三个数学

名词吗？

（二）、打数学家名字方面的

1.虎丘游春；

2.博览群书。

（三）、打其它方面的

1.八十五（打一影片名）；

2.三八二十四（打一体育名词）；

3.四加四（打一字）；

4.+-×÷（打一政治名词）；

5.圆规画鸡蛋（打一城市名称）；

6.力（打一珠算口诀）；

7.千古兴亡多少事（打三学科名称）；

8.向阳村和青松村比赛篮球。向阳队是东方乡的冠军，而青松队是长丰乡的冠军，这场

两个冠军队的比赛打得非常激烈、精彩，每球必争，比分不相上下，直到最后一分钟，向阳队罚进一球才分出胜负。当有人问起胜负情况和比分时，向阳队的球员说，这次比赛是“白”字比“杂”字，我们只赢了一分。你知道两个队各得几分？

谜底：

（一）、1.倒数：2.无理数；3.函数；4.函数；5.代数；6.对数；7.对数；8.指数：9.负数；10.复数； 11.半角； 12. 内角； 13.公共角；14.同位角；15.两面角；16.加法（谜面意即“加罚”，“罚”与“法”谐音）；17.减法；18.乘法（乘车方法，取乘法）；19.

负号；20.等号；21.消元；22.结合律；23.优选法；24.半圆；25.圆心；26.切点；27.同心圆；28.同心圆；29.直径；30.算盘；31.圆规；32.微积分；33.不定积分；34.繁分式；35.立体几何；36.集合论；37.控制论；38.平行；39.一元二次；40.不定根；41.相等；42.共圆；

43.精确值；44.无穷大；45.全等；46.集合；47.误差；48.等于（“于”与“鱼”谐音）；

49.趋向无穷；50.反比（反扣法，“北”反为“比”）；51.正弦（假借法，因为初八月亮是上弦，“上”含“正”，故为“正弦”）；52.正弦；53.等角、正切；54.大于、小于、分子（用增损法猜测）；55.开立方、函数、几何。

（二）、1.苏步青；2.张广厚。

（三）、1.月到中秋；2.女子双打（“三八”扣“女子”，“二十四”扣“双打”，因为十二为一打）；3.积（“四加四”和是八，再由“和八”拼成“积”字）；4.分裂主义；

5.太原（“原”与“圆”谐音）；

6.二一添作五；

7.历史、代数、几何；9.九十九比九十八（“白”是“百”减“一”：“杂”是“九”、“十”、“八”的组合）。

注：1、不同的谜面有时有相同的谜底；

2、同一个谜面它的谜底有时是由几部分组成的，且这几部分都是并列的，必须都猜出来才算全对；

3、第五十五个谜语属哑谜，最后一个谜语属故事谜。

猜数学谜语可锻炼思维能力，提高学习数学的兴趣。在猜谜的过程中，有时需要一步步地深入，前面猜测的结果可能成为下一步的前提。因此，算法思想始终渗透在数学谜语中，条理清晰，理由充分，推理正确，才能一步步地贴近谜面。同时，请学生表述答案的过程是提高表达能力的过程。

第二节鸡兔同笼问题

鸡兔同笼，这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

第一类：列表举例法。

方法1：根据鸡和兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔有19只，腿共有78条。。。在这样的逐一举例中，直至寻求到所求的答案。

方法2：先作一些分析，比较后再试。

方法3：先假设鸡和兔各占一半，再列表。

60>54，说明兔子多了，应减少兔子的只数。

上面三种方法中，第一张表格是常规的逐一列举法，即根据鸡与兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔就有19只，腿共有78条；假设鸡有2只，那么兔就有18只，腿共有76条。。。，再这样的逐一举例中，直至找到所求的答案。

第二类：作图分析法。

方法1：先画20个圆圈表示20个头。再为每个动物画两条腿，20只动物只用完40条腿，还多出了14条腿。把剩下的14条腿用完，要给其中的7只动物加2条腿，这7只就是兔子，另外的13只就是鸡。

方法2：先画20个头，接着假设全部是兔，共画80条腿，多出了26条腿，要给其中的13只动物去掉2条腿，这13只就是鸡，另外的7只就是兔了。

第三类：方程解答法。

解法1：设其中有X只兔，有Y只鸡。列式为：X＋Y＝20 ，4X+2Y=54。

最后算出X=7，Y=13。

解法2：设其中有X只兔，有（20－X）只鸡。列式为：2X+4x（20－X）=54,最后算出X＝7，得出兔的只数是7只，那么20－X＝13就是鸡的只数。

第四类：假设推理法。

方法1：假设这20只全部是兔子，那么就应该有80条腿，而题目只告诉我们有54条腿，我们算的80与实际相比多算了26条腿，这是为什么呢？因为一只鸡是两条腿，

而我们把它当成四条腿算了，如果用一只鸡来换一只兔，就要减少2条腿，也就是

我们把多少只鸡当成了兔子，显然26÷2＝13(只），所以鸡有13只，兔子有7只。

可以列式为：（20X4-54)÷(4-2)=13（只），20-13=7(只）。

方法2：假设这20只全部是鸡，那么就应该有40条腿，比实际少了14条腿，是因为每只兔子少算了2条腿，这样共有兔子是7只，鸡则是13只。列式如下：（54-20x4)÷(4

－2）=13(只），20－13＝7（只）。

解决鸡兔同笼问题通常使用假设法，可以假设所有的动物都是兔子，并求出在假设情况下的总腿数，再把实际的腿数和假设情况下的腿数相比较，看看多出了多少，每多2只腿说

明有一只鸡，将多出的腿数除以2就算出共有多少只鸡。也可以假设全部是兔子来解。

方法3：把一只鸡和一只兔看做一个整体，一个整体中就有（4＋2=6）条腿，54条腿应该是几个这样的整体呢？54÷6＝9(个），在9个这样的整体里兔子的只数应该不是9只，因为9只兔和11只鸡的腿的条数超过了总条数54。那么就把兔看成8只，还是偏

大，最后把兔的只数看成7只，鸡是13只，腿的总条数就正好是54了。列式为：4

＋2＝6（只），54÷6＝9(个），9－1＝8（只），9－2＝7（只），20－7＝13（只），7X4

＝28（条），13X2＝26（条）28+26=54(条）

第五类：“金鸡独立”法

此方法是：每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后脚站起来”。

显然，在这种情况下，总脚数出现了一半，是27，此时，鸡的脚数与鸡的头数是相等的，兔子的脚数是兔子的头数的2倍。所以，从27中减去总的头数20得7，就是兔子的头数。当然，20-7=13，鸡就是13只了。

鸡兔同笼问题早在我国古代数学名著《孙子算经》中就出现过，社会发展到今天，鸡和兔同装一笼的此类事件应该不多见了。但学生可以借助“鸡兔同笼”这个载体经历尝试、创新的过程，让学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，体会到数学的价值。

作业：设计一个算法，输入鸡兔的头和脚数，输出鸡和兔的数量。

第三节九宫图的应用

一、数学故事：任意写一个三位数

做几次简单运算，可以发现一个小小规律。任意写一个三位数，例如135。把它的数字倒过来写，成为531。用其中较大的减去较小的，得到

531-135=396。

换几个另外的三位数，也做同样的计算，分别得到

876-678=198，995-599=396，963-369=594。

以上4个式子里得到的差，有一个明显的共同点：差的中间一位数字都是9。再仔细看看，还发现一个共同点：差的首、尾两位数字的和等于9。这样，通过观察和归纳，就发现了三位数颠倒相减的规律。还可以再随意写很多三位数颠倒相减的例子，来验证上面得到的规律，结果大部分都完全符合，只有两种例外情形。

第一种例外，如594-495=99，差是两位数99，不是三位数。

第二种例外，如323-323=0，这时的差是0。

由此可见，刚才初步归纳出来的规律，需要作两点小补充：

第一，如果差的末位数字是9，这个差一定是99；

第二，如果差的末位数字是0，这个差一定是0。

在其他情形下，差都是三位数。

这样一来，规律就完整了。你可以让你的朋友转过身去，在纸上任意写三位数，然后颠倒相减，只要把差的末位数字告诉你，就能猜出差是多少。

无论哪种情形，只要掌握规律，总能应答如流，一猜就准。

二、九宫图的应用

历史

古老而悠久的中华文化的宝殿中，有两颗璀璨夺目的明珠--河图洛书，至今吸引着众多学者的研究热情，人们为河图洛书的神话般的传说，高深的奥义，丰富的内容，简洁的形式万分惊讶，对河图洛书与中国的思想文化、社会科学、自然科学的密切联系更是迷惑不解。种种论述表明，河图洛书是中华文化的总源头，对中国及世界文化的发展，都有过深刻的影响。然而，令我们每个人吃惊和迷惑不解的是，河图洛书只是两个简单的数字图。

龙马载河图，神龟背洛书

河图洛书是我们祖先创造出来的，翻遍祖国的各种古典著作，我们根本找不到这位创始人。河图洛书的产生，至少要追溯到四千五百多年以前，那时，人类尚处于无文字时代，人

类的认识水平还十分低，很难想象那时就有人能够制造出如

此高深莫测的图书。在我国各种古籍中，对河图洛书的起源，

仅有两个龙马载河图，神龟背洛书的传说。

（一）龙马载河图

相传远古时期的孟津河边，一天河水忽然大涨，波浪滔

天，水中有一巨兽，似龙非龙，似马非马，浪里飞腾。当时的伏羲黄帝与众臣听到有人报告，立即去河边观看，只见河中洪涛巨浪，波浪中一巨兽踏水如登平地，大体象马却身有鱼鳞，高八九尺，有两翼，形体象骆驼，身上负有由花点构成的图案，黄帝命人走近河边，将图案记录下来，刚刚记下，怪兽即没而不见。后伏羲皇帝认真研究了这副图发现它正是由十种花点组成，这十种花点代表1-10这10个数，两种花点构成一组，布局在东西南北中五个位置上，每组花点所表示的数，其差均是5.这种和谐统一，四方对称的特征，黄帝越研究越感到奇妙无比，后来他就依此画八卦，建甲历，定时辰，治理国家。由于此幅图是在孟津河中发现的，故称此图为河图。

（二）神龟背洛书

公元前23世纪，大禹治水的时候，在黄河支流洛水中，有一天突然浮规出一个大乌龟，当时，大禹与治水士兵正在河边现察洛河水情，商议治理黄河大计，遇到乌龟在河里上下翻腾就十分奇怪，只见此龟行走水面，游来游去，其身形庞大，甲背平圆。近处仔细观看，发现甲上载有9种花点的图案，大禹令士兵们将图案中的花点布局记了下来，带回去作了深入的研究，他惊奇地发现，9种花点数正好是1-9这9个数，各数的位置排列也相当奇巧，纵横六线及两条对角线上三数之和都为15，既均衡对称，又深奥有趣，在奇偶数的交替变化之中似有一种旋转运动之妙。大禹受到启发，他参照九数而划分天下雨九别，并且把一般政事也区分为九奥。据《史记．夏本纪》写道：夏禹治水时，“左准通、右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽……”大禹治水以九宫为据，应用到测量、气象、地理与交通运输之中，从而治理黄河，大获成功，受到黄河两岸人们的拥戴。由于神龟所背图是在黄河支流洛水中发现，且图中内容如书一样深奥，故人们称此为洛书。

应用：如何分班？

为师各班成绩均匀，我们给先学生排序，然后按照一定的规律将学生分组。如分3个班，将学生排序后，按照图1的行（或列）从上到下一次编号132321213为一组，向下重复。所有编号为1的一个班，编号为2的一个班，编号为3的一个班。如分4个班则按图2处理；5个班按图3处理；6个班按图4处理。

图2

图3

图4

作业：按照示例4图，请与同学合作，编制一张分7个班的分班表。

第四节大衍求一术