2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020年11月河南省九师联盟高2021届高2018级高三11月联考理科数学试题参考答案
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2020届高三第十一次考试数学(理)河南省顶级名校答案
设
AQ
a
,b,
c
是平面
ACM
的一个法向量
则 AQAM 2xb 2 2x c 0
AQ AC 2a 2b 0
a b
∴
c
2x 2x 2
b
令 b 2x 2 ，则 AQ 2x 2, 2x 2, 2x ，它背向二面角
又∵平面
ACD
的法向量
AP
0,
0,
2
，它指向二面角
这样，二面角 M AC D 的大小为 60
1
2 时， e 3
x22 x1x2
x22 x22
x12 x12
，∴
x2 x1
1
e3 ，令 q
x2 x1
1
e3
0 ，则 q
1，
∵
x1
1，∴下面证明对任意的正整数
n，
xn
n1
e3
.
①当 n 1 ，2 时，显然成立；
k 1
k
②假设对任意的 n k 时， xk e 3 ，下面证明 n k 1 时， xk1 e 3 ；
a2
分
（Ⅱ）又
A 2, 0 ,
B 0,1 ，所以
k AB
1 2
.由 CD
/
/
AB
，可直线 CD
的方程为
y
1 2
x
m
.由已知得
M
2m,
0,
N
0,
m
，设
C
x1,
y1 ,
D
x2 ,
y2
.
由
x2 4
y2
1
，得：
y
1 2
x
m
x2 2mx 2m2 2 0 . 2m2 4 2m2 2 0 m2 2 ，所以
河南省名校联盟2020届高三数学11月教学质量检测试题 理(含答案)
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（1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最大值．
-4-
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知 a，b 为正数，且满足 a＋b＝1．
（1）求证：（1＋ 1 ）（1＋ 1 ）≥ 9 ；
a
b
（2）求证：（ a ＋ 1 ）（ b ＋ 1 ）≥ 25 ．
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河南省顶级名校2019-2020学年高三尖子生11月诊断性检测数学(理)试卷及答案解析
河南省顶级名校2019-2020学年高三尖子生11月诊断性检测数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。
第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5,7,9U =-，{}1,5A =，{}1,5,7B =-，则()U C AB =（ ）A ．{}3,9B ．{}1,5,7C ．{}1,1,3,9-D ．{}1,1,3,7,9-2．已知空间三条直线,,l m n ，若l 与m 垂直，l 与n 垂直，则（ ） A ．m 与n 异面 B ．m 与n 相交C ．m 与n 平行D ．m 与n 平行、相交、异面均有可能3．复数z 满足|1||3|z z -=+，则||z （ ） A ．恒等于1B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为1，无最大值D ．无最大值，也无最小值4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm 2)是（ ）A ．16B ．32C ．44D ．645．已知0x y +>，则“||2||222x y x y +>+”是“0x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．函数y ＝ln |x |·cos (2π－2x )的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知两个不相等的非零向量a ，b ，满足1a =，且a 与b －a 的夹角为60°，则b 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．()1,+∞8．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是（ ）A ．存在x ，y ∈(0，1)，E (ξ)>12B ．对任意x ，y ∈(0，1)，E (ξ)≤14C ．对任意x ，y ∈(0，1)，D (ξ)≤E (ξ)D ．存在x ，y ∈(0，1)，D (ξ)>149．设函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，若()()()02233441f f f <==<，则()()15f f +的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,410．已知F 1，F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，使得点F 2到直线PF 1的距离为a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．1,2⎛ ⎝⎭ B ．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．(D ．)+∞11．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，现将△ABC 沿着对角线AC 翻折，则直线EF 与平面ACD 所成角的正切值最大值为（ ）ABC ．3D ．212．己数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝lna n ＋1na ＋1，记S n ＝[a 1]＋ [a 2]＋···＋[a n ]，[t ]表示不超过t 的最大整数，则S 2019的值为（ ） A ．2019 B ．2018 C ．4038 D ．4037第II 卷（非选择题）二、填空题13．[]22-,上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx 与圆()2259x y -+=相交”发生的概率为_________。
河南省名校联盟2020-2021学年高三11月联考数学试题
河南省名校联盟2020-2021学年高三11月联考数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．2. 若，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．3. 中，角，，，的对边分别为，，，若，，，则（）A．B．C．D．4. 已知向量，，若向量与的夹角为，则（）A．B．10 C．D．5. 已知幂函数为奇函数，则实数的值为（）A．4或3 B．2或3 C．3 D．26. 已知，为第二象限角，则（）A．B．C．D．7. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，在不改变的情况下，将信噪比从1999提升至，使得大约增加了20%，则的值约为（参考数据：，）（）A．7596 B．9119 C．11584 D．144698. 已知函数，则函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49. 已知数列满足，，则（）A．B．3 C．1D．10. 的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A．B．C．D．11. 如图，在离地面的热气球上，观察到山顶处的仰角为，在山脚处观察到山顶处的仰角为60°，若到热气球的距离，山的高度，，则（）A．30°B．25°C．20°D．15°12. 已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围为（）C．D．A．B．二、填空题13. 已知变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为______.14. 已知为等比数列，为其前项和，若，，则______.15. 曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为2，则实数的值为______.16. 已知一个圆锥内接于球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的侧面积为______.三、解答题17. 设等差数列的前项和为，.（1）求；（2）求数列的前项和.18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求c的值；（2）若，求面积的最大值．19. 已知的图象过点，且图象的相邻两条对称轴的距离为.（1）求函数的单调区间；（2）若在区间上的最大值与最小值之和为，求实数的值.20. 已知向量，，且. （1）求及；（2）求函数的最值以及对应的值.21. 如图，已知平行四边形中，为的中点，且，且，且.将四边形沿折起，使平面，连接、.（1）求证：平面；（2）设为的中点，求点到平面的距离.22. 已知函数，.（1）求的单调区间；（2）当时，判断函数的零点个数.。
2020届高三11月联考数学(理)试题(解析版)
2020届高三11月联考数学（理）试题一、单选题1．复数312112ii i +++-的模为（ ）A ．1BCD ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案.【详解】 根据题意，31211211212i i i i i i +++++=+-+(12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以|2|i +==故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（ ）A ．{|0}x x ≤B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或C ．{|23}x x ≤≤D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案.【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð.故选：B.【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r 能否得到1λ=，从而得到答案.【详解】因为向量(3,4)a =r，所以5a ==r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r ，所以1λ=是||5a λ=r的充分条件. 因为||5a λ=r ，所以||||5a λ= ||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题. 4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ） A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案.【详解】 根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<.即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-.故选：C.【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图A ．43-B ．23-C ．32-D ．34- 【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积.【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上，所以DE ⊥平面ACD ，所以113E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 11)3=1=，所以几何体的体积为2. 故选：C.【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题.6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ）A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案.【详解】 由题意，22()(1)f x x '=--， 221(3)(31)2f '∴=-=--， 所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =. 故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12548= 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题.7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5B ．4C ．2D ．1 【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1n a +的通项和前n 项和n S ，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+， 所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列，所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 12111n n T S S S =++⋅⋅⋅+ 11111212231n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2.故选：C.【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,0)(2,)-+∞UC ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围.【详解】 根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点，所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-.故选：D.【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题.9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n+的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．1 D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m --=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】 因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m --=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1(52≥+92=， 当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A.【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题.10．已知sin()1223πα-= 则sin(2)6πα+= （ ） A ．710- B ．710 C ．79- D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=,(2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C. 【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DH DA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GH k DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EH k DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =，所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GH k DA AC==(01)k <<， BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =，所以BD HE P ，同理∥FG BD所以1AH EH k DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-，在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B.【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围.【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 求导得2()3(4)2g x x m x '=++-，令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=， 2(4)240m ∆=++>， 由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根.又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立， 又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小， 由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF = 所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角），因为AE =OA =OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知222cos 22EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.16．已知函数()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭14cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 2cos 1x x x ωωω=+-sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z .因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和nT.【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比2q =，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题. 18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+，因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大， 由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =-- 代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：x (,)b -∞ b(,1)b 1(1,)+∞ ()h x '+-+()h xZ极大值32111623b b -+- ]极小值12b -要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b b b b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩解得1b <，而1215>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =.（1）求角C 的大小； （2）若3PB =，sin 38BAP ∠=，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（2【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案. 【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C =所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠， 即2357sin 3ABπ=，所以19AB =. 所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =， 所以11353sin 252222ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，12AA =，且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ， 所以平面EFQ ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，所以11242OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,,222A ⎛-- ⎝⎭，所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭， 设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.21．已知函数1()1ln1mxf x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值. 【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭， 当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94≥= 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m =， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数， 又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a =. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。
河南省名校联盟2020届高三11月教学质量检测——理科综合
河南省名校联盟2020届高三11月教学质量检测理科综合能力测试本试题卷共12页，38题（含选考题）。
全卷满分300分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写存答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将答题卡上交。
可能用到的相对原子质量：H 1 Li 3 B 11 C 12 N 14 O 16 Na 23 P 31 Fe 56 Pt 207一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于细胞结构及其组成成分的叙述，正确的是A．变性的蛋白质、DNA在环境条件改变时活性都不能恢复B．人体不同细胞内的DNA和RNA都是相同的C．神经元兴奋前后细胞内的Na＋浓度都低于组织液的Na＋浓度D．有丝分裂和减数第一次分裂中都发生姐妹染色单体的分离2．下列实验方法或操作，可以达成实验目的的是3．将洋葱鳞茎从土壤中拔出，立即取其鳞片叶表皮置于0．3 g·mL－1的蔗糖溶液中，待细胞形态不再发生变化，将该表皮从蔗糖溶液中取出并置于清水中，当细胞形态再次不发生变化时，则A．细胞中的含水量与实验开始时相等B．细胞液中蔗糖浓度较实验开始时高C．细胞壁对原生质层的“挤压”达到最大程度D．细胞液渗透压消失，细胞不再吸水4．如图是某个体的一对同源染色体，其中有一条染色体发生了变异（图中字母表示基因，竖线标明相应基因在染色体上的位置）。
河南省2020届高三11月质量检测数学(理)试卷
数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列集合中不同于另外三个集合的是（） A.{}3|1x x =B.{}4|1x x = C.{1}D.1|1x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭答案：B 【分析】计算每个集合中的元素再判断即可.解：{}4|1{1,1}x x ==-,另外三个集合都是{1}, 故选：B ．点评：本题主要考查集合中元素的求解,属于基础题型. 2.下列说法正确的是（） A.若a b >，则44ac bc > B.若a b <，则2211a b> C.若a b c >>，则222a b c >> D.若a b >，c d >，则a c b d +>+答案：D 【分析】根据不等式的性质或者举反例逐个选项判断即可. 解：对于A 选项,若0c,则命题错误．故A 选项错误；对于B 选项,取2a =-,1b =-,则满足a b <,但2211a b <,故B 选项错误； 对于C 选项,取1a =,2b =-,3c =-,则满足a b c >>,但222a b c <<,故C 选项错误； 对于D 选项,由不等式的性质可知该选项正确． 故选：D ．点评：本题主要考查了不等式的性质,属于基础题型.3.已知向量(,3)a x =，(2,7)b =-，若()a b b -⊥，则实数x 的值为（） A.-16 B.67-C.67D.16答案：A 【分析】根据向量坐标的运算与垂直的数量积为0求解即可.解：因为(,3)(2,7)(2,4)a b x x -=--=+-,且()a b b -⊥,所以()(2,4)(2,7)a b b x -⋅=+-⋅-=2(2)(4)70x -++-⨯=,解得16x =-． 故选：A ．点评：本题主要考查了向量的坐标运算与向量垂直则数量积为0,属于基础题型. 4.若函数21()x f x e +=，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A.220x y ++=B.220x y -+=C.220x y +-= D.220x y --=答案：B 【分析】 先求出12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再求导代入12x =-求得在切点出的切线斜率,再根据点斜式求解方程即可.解：依题意,得0112f e ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,21()2x f x e '+=,则切线的斜率为122f '⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以切线方程为1122y x ⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即220x y -+=．故选：B ．点评：本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题型. 5.下列命题中正确的是（）A.若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行B.若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面C.若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D.不共线的四点可以确定一个平面 答案：C 【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质,或举出反例逐个判断即可.解：在A 中,从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交,但他们的交线互相垂直,故A 错误；在B 中,从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个平面,故B 错误；在C 中,不同的两条直线均垂直于同一个平面,则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行,故C 正确；在D 中,若四点连线构成两条异面直线,这时四点不能确定一个平面,故D 错误． 故选：C ．点评：本题主要考查了线面垂直与平行的性质与判定,属于基础题型.6.若关于x 的不等式20x ax b +-<（a ，b 为常数）的解集为(2,1)-，则不等式230bx ax +->的解集是（）A.3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B.3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C.3(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：A 【分析】根据不等式20x ax b +-<（a ,b 为常数）的解集为(2,1)-可知2,1x =-为方程20x ax b +-=的两根即可求得,a b ,再求解230bx ax +->即可.解：由20x ax b +-<解集为(2,1)-,可得211(2)12a b -=-+=-⎧⎨-=-⨯=-⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩．∴所求不等式230bx ax +->即为2230x x +->,解得32x <-或1x >． 即不等式230bx ax +->的解集是3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 故选：A ．点评：本题主要考查了二次不等式的解集的性质,属于基础题型.7.函数()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则将()f x 的图象向右平移4π个单位长度，所得函数图象的一个对称中心是（） A.,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,03π⎛-⎫⎪⎝⎭答案：D 【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π即可得()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期,再求得平移后的函数表达式,再求解对称中心即可.解：由题意．函数()f x 的最小正周期为π,则2ππω=,解得2ω=,所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度．所得函数3sin 246y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．令2()3x k k ππ-=∈Z ,得()26k x k ππ=+∈Z , 所以所得函数图象的一个对称中心是,03π⎛-⎫⎪⎝⎭．点评：本题主要考查了三角函数图像的平移与基本性质,属于中等题型. 8.已知实数a ，b 满足0b >，||1a b +=，则120192019||a a b++的最小值为（）A.2018B.2019C.2020D.2021答案：D 【分析】 将12019||a a +拆成12019||2019||a a a +,再根据||1ab +=构造12019(||)2019||a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的结构,利用基本不等式从而求得最小值.解：因为0b >,||1a b +=,所以12019120192019||2019||2019||2019||a a a ab a a b a ++=++=+1201912019||(||)20192019||2019||20192019||a b a a b a b a a b ⎛⎫+⋅+=++++ ⎪⎝⎭1120192019≥-++20192021+=, 当且仅当0a <,2019||2019||b a a b =,即12020a =-,20192020b =时等号成立．故选：D ．点评：本题主要考查了基本不等式的运用与构造,属于中等题型. 9.在单调递减的等比数列{}n a 中，已知3a ，5a 为一元二次方程2204081729x x -+=的两个根，则其前n 项和为（）A.31729n -B.131243n +-C.1313n n --D.1313n n+- 答案：C由3a ,5a 为一元二次方程2204081729x x -+=与单调递减的等比数列{}n a 可求得35,a a 进而求得13q =.再利用求和公式求前n 项和即可. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ,由已知得352081a a +=,35354,729a a a a =>, 所以329a =,5281a =,2532918129a q a ==⨯=,又数列{}n a 单调递减,所以13q =, 3122929a a q ==⨯=,所以其前n 项和为11213311313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=-．故选：C ．点评：本题主要考查了等比数列的性质与求和,属于基础题型. 10.函数()ln 2(1)2(1)x x f x x x ⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦的图象大致是（）A. B. C.D.答案：B 【分析】先求得()ln 2(1)2(1)x x f x x x ⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦求得定义域,排除A,D,再分析当1x >时的单调性即可.详解】22(1)(1)11()ln ln ln ln ln 2(1)2(1)2(1)(1)1x x x x x x x x f x x x x x x x x x ⎡⎤+---⎛⎫=--=-=-==- ⎪⎢⎥-+-+-⎝⎭⎣⎦, 由10x x->得10x -<<或1x >,即函数()f x 的定义域为(1,0)(1,),故A,D 错误；当1x >时,1y x x =-为增函数,所以1()ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为增函数,所以排除C ．故选：B ．点评：本题主要考查了函数图像的判定,属于基础题型.11.在三棱锥A BCD -中，BCD 3BAC π∠=，二面角A BC D --的大小为θ，且1cos 3θ=-，则三棱锥A BCD -体积的最大值为（）答案：B 【分析】画图分析,设AB x =,AC y =,在BCD 中利用BAC ∠对应的余弦定理求得,x y 的关系式,再表达出三棱锥A BCD -体积关于,x y 的关系式利用基本不等式求解即可. 解：设AB x =,AC y =,因为3BAC π∠=,所以2223BC x y xy =+-=,所以223x y xy =+-2xy xy xy ≥-=,即3xy ≤,当且仅当x y ==过A 作AO ⊥平面BCD ,垂足为O ,作AE BC ⊥垂足为E ,连接OE ,则AEO πθ∠=-,所以sin()sin AO AE AE πθθ=-=3AE ==,又11sin 223BC AE xy π⋅=,所以12AE xy =,所以3AO xy =≤所以1133344A BCD BCDV SAO AO -=⋅=⋅⋅⋅≤．故选：B ．点评：本题主要考查了基本不等式在立体几何中的运用,需要根据题意建立未知量的关系,再根据关系选用合适的基本不等式求解.属于中等题型.12.已知定义域为R 的函数2log (1),1()1,12,1x x f x x x +>-⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞，则()123f x x x b c ++++=（）A.2log 5B.2log 6C.3D.2答案：A 【分析】对每个分段中的函数表达式讨论,即可得11x =-,再根据只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞,可分析得()1,2f x =为2()()0f x bf x c --=的根,进而求得3b =,2c =-．再求()123f x x x b c ++++即可.解：当1x >-时．函数()f x 单调递增,则关于x 的方程2()()0f x bf x c --=在(1,)-+∞内至多只有两个解,所以1x =-必为其中一解,即11x =-．故当1x =-时,2()()0f x bf x c --=,此时由函数()1f x =,得10b c --=；①若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解,则当1x <-时, ()2f x =也一定满足2()()0f x bf x c --=,代入得420b c --=．②联立①②,解得3b =,2c =-．当1x >-时,2()log (1)=+f x x ,由2()()0f x bf x c --=即2()3()20f x f x -+=,得22log 2(1)3log (1)20x x +-++=,解得2log (1)1x +=或2log (1)2x +=,解得21x =或33x =．所以()1232(11332)(4)log 5f x x x b c f f ++++=-+++-==． 故选：A ．点评：本题主要考查了分段函数的运用以及复合函数的问题,需要根据题意分析每个根满足的条件与具体值等.属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，448a b ==，则33a b +=________． 答案：293【分析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得33a b +即可. 解：由4137173733a a d d a -==⇒=⇒=,34182b q q b ==⇒=,34b =,则331729433a b +=+=． 故答案为：293点评：本题主要考查了等差等比数列的基本性质与运用,属于基础题型.14.若命题“0x R ∃∈，使得201k x >+成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________． 答案：(,1]-∞ 【分析】由题意先找到等价命题“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”,再求21x +的最小值即可. 解：“0x R ∃∈,使得201k x >+成立”是假命题等价于“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”是真命题．因为211x +≥,即21x +的最小值为1,要使“21k x ≤+恒成立”,只需()2min1k x ≤+,即1k ≤．故答案为：(,1]-∞点评：本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型.15.若x ，y 满足约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为________．答案：-7 【分析】画出可行域,再判断3z x y =+取最小值时的点即可.解：画出约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩,表示的平面区域（阴影部分）如图所示：平移直线30x y +=,由图形知,当目标函数3z x y =+过点M 时取得最小值,由2201x y y -+=⎧⎨=-⎩,解得(4,1)M --．代入得min (4)3(1)7z =-+⨯-=-．所以3z x y =+的最小值为―7． 故答案为：-7点评：本题主要考查了线性规划的不等式问题,属于基础题型.16.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2Q .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2Q 的表面积为______. 答案：29π 【分析】先求出球O 1的半径，再求出球2Q 的半径，即得球2Q 的表面积.解：由题得AC=5,设球O 1的半径为r ，由题得11345)34,122r r r r ++=⨯⨯∴=（. 所以棱柱的侧棱为22r.，所以球2Q 的表面积为2429ππ⋅=. 故答案：29π点评：本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知在ABC 中.,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2228a b c ，ABC 的面积为(1)求角C 的大小;(2)若c =,求 sin A sin B +的值. 答案：（1）3π；（2）32【分析】(1)由三角形的面积为12absinC =，由余弦定理以及2228a b c +-=得到28abcos C =，进而可求出tan C ，得到角C ；(2)由(1)的结果，先求出ab ，根据c =，即可求出a b +，再由正弦定理可得sin sin sin sin a C b CA B c c+=+，即可求出结果.解：（1）由ABC ∆的面积为12absinC =，由2228a b c +-=及余弦定理可得28abcos C =，故tan 3C π==;(2)∵,2cos 8,83C ab C ab π==∴=又2228,23a b c c +-==，可得6a b += 由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==,得()sin sin sin 3sin sin 2a Cb C C A B a bc c c +=+=+= 点评：本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型. 18.城市中大量公园的兴建意味着建筑让位，还地于民，城市公共空间被越来越充分地打开．这种打开不只是物理意义上的空间开放，而是使城市公园不仅供民众用来休憩、娱乐、锻炼，还用于相互交往、传播文化、锤炼公民意识，让城市与人建立更好的连接，推动城市回归人本．某城市计划在靠近环城公路Ax ，Ay 的P 处建一所职业技校，且配套修建一条道路BC ，并把三条路围成的三角形区域开辟为休闲公园（如图）．经测量P 到Ax ，Ay 的距离PE ，PF 分别为4km ，3km ，若,2BAC πθθπ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3sin 4θ=，km AB x =，km AC y =．（1）试建立x ，y 间的等量关系；（2）为尽量减少土地占用，试问如何确定B 点的位置，才能使得该公园的面积最小？并求最小面积． 答案：（1）3434x y xy +=；（2）当8km AB =时，最小面积为232km 【分析】 (1)根据ABCABPAPCSSS=+建立等量关系即可.(2)由(1)有3434x y xy +=,表达出公园的面积38ABCS xy =,再利用基本不等式求解即可. 解：（1）因为Р到Ax ．Ay 的距离分别为4,3．所以4PE =,3PF =．因为11143(43)222ABC ABP APCSSSx y x y =+=⋅⋅+⋅⋅=+,① 又1324ABC S xy =⨯,②,所以3434x y xy +=．（2）因为43212x y xy +≥所以32124xy xy ≥,解得2563xy ≥．当且仅当43x y =时,取“＝”,即8x =,323y =．所以38ABC S xy =有最小值32．所以当8km AB =时,该公园的面积最小,最小面积为232km ．点评：本题主要考查了基本不等式的实际运用,需要根据题目条件列出对应的表达式,再根据变量间的关系选用合适的基本不等式即可.属于中等题型.19.已知函数()4(sin cos )cos 2(0)f x x x x ωωωω=-+>图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭，设函数()f x 的最小正周期为T ． （1）求T 的最大值；（2）当T 取最大值时，若82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，04πα<<，求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．答案：（1）π；（2 【分析】(1)利用降幂公式与辅助角公式求得()24f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭,再根据一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭求得41()k k ω=+∈Z ,再求T 的最大值即可.(2)由(1)有()24π⎛⎫=-⎪⎝⎭f x x ,利用82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭求得sin 24α=,再求得cos2α,利用降幂公式求解sin ,cos αα与sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭即可. 解：（1）由题意得()4(sin cos )cos 2f x x x x ωωω=-+24sin cos 4cos 2x x x ωωω=-+2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭,所以2()84k k ππωπ⋅-=∈Z ,得41()k k ω=+∈Z ．又0>ω,所以ω最小值为1．所以T 的最大值为22ππ=．（2）由（1）知,()24π⎛⎫=-⎪⎝⎭f x x ,若82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2284ππαα⎡⎤⎛⎫+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即sin 24α=．因为04a π<<,所以022πα<<．所以3cos24α==．所以sin 44αα====．所以1sin sin cos cos sin 44442424πππααα+⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭． 点评：本题主要考查了三角恒等变换中的公式,包括降幂公式、辅助角公式等.需要根据题目中角度的关系选用合适的公式,属于中等题型.20.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足126n n a S +=+，且16a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：23123111133333nnT T T T ++++<⋅⋅⋅⋅. 答案：(Ⅰ)16323n n n a -=⋅=⋅；(Ⅱ)试题分析：（Ⅰ）根据1n n n a S S -=-得出{}n a 是等比数列，从而可得{}n a 的通项；（Ⅱ）求出n T ，利用裂项法计算2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅得出结论. 试题解析：(Ⅰ)由已知得当2n ≥时，()1122n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=， 又2112626183n a S a a =+=+==.所以{}n a 是以16a =为首项，3为公比的等比数列，所以16323n nn a -=⋅=⋅.(Ⅱ)由(Ⅰ)得1123nn a =⋅，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，1111163114313n n nT ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-⎪⎝⎭-. 所以()()()()111111431431146331313131313131n n n n n n n n n n n T +++++-⋅⎛⎫==⋅<=- ⎪⋅-------⎝⎭.所以2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅122311111116313131313131n n +⎛⎫<-+-+⋯⋯+- ⎪------⎝⎭11163231n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭.得证点睛：本题主要考查了等比数列的证明，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}na 和{}nb 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.21.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，SAB 是等边三角形．SAB ⊥底面ABCD ，23AB =，3BC =，1AD =，点M 是棱SB 上靠近点S 的一个三等分点．（1）求证：AM平面SCD ；（2）求二面角S CD B --的大小． 答案：（1）见解析；（2）60︒ 【分析】(1)取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,再证明AM ND ∥即可.(2)作SO AB ⊥,垂足为点O .再建立空间直角坐标系,分别求平面SCD 的一个法向量与平面BCD 一个法向量,利用法向量夹角的余弦值求二面角S CD B --的大小即可.解：（1）证明：取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,连接MN ,DN , 因为13SM SN SB SC ==,所以MN BC 且13MN BC =．因为AD BC ∥,所以MN AD ．又因为3BC =,1AD =,所以13AD BC MN ==．所以四边形MNDA 是平行四边形． 所以AMND ∥．又因为AM ⊄平面SCD ,ND ⊂平面SCD ,所以//AM 平面SCD ．（2）作SO AB ⊥,垂足为点O ．如图所示．因为SAB 是等边三角形,所以点O 是线段AB 的中点．因为侧面SAB ⊥底面ABCD , 侧面SAB底面ABCD AB =,SO AB ⊥,SO ⊂二侧面SAB ,所以SO ⊥底面ABCD ．所以以点O 为原点,OA 为x 轴,过点O 且平行于EC 的射线为y 轴,OS 为z 轴,建立如上图所示的空间直角坐标系O xyz -．因为23AB =3BC =,1AD =,SAB 是等边三角形, 所以132AO BO AB ===3sin 602332SO AS ︒=⋅==． 所以点(0,0,0)O ,3,0,0)A ,(3,1,0)D ,(3,3,0)C ,(0,0,3)S ,所以(3,1,3)SD =-,(3,3,3)SC =--．设平面SCD 的一个法向量为(,,)x y z =m ,则由00m SD m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得3303330x y z x y z +-=-+-=⎪⎩,解得3232x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 令2z =,得平面SCD 的一个法向量为(3,3,2)m =．易知平面BCD 一个法向量为(0,0,1)n =．设二面角S CD B --的大小是θ,易知θ是锐角,则||1cos ||||2m n m n θ⋅===．又0180θ︒︒≤≤,所以60θ︒=．所以二面角S CD B --的大小是60︒．点评：本题主要考查了空间中平行垂直的证明与性质等,同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角的问题,属于中等题型. 22.已知函数1()2(2)x f x ea x -=-+，()(1ln )()g x a x a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 答案：（1）当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）(,2]-∞ 【分析】(1)求导得1()2(2)x f x ea '-=-+,再分(2)0a -+≥与(2)0a -+<两种情况讨论即可.(2)将()()f x g x ≥中()g x 移至左边,再构造新函数1()ln 2(2)x h x a x e a x a -=+-++,根据第(1)问的结论,分2a ≤与2a >两种情况讨论()h x 的最小值即可. 解：（1）1()2(2)x f x ea x -=-+的定义域是R ,则1()2(2)x f x ea '-=-+．当(2)0a -+≥,即2a ≤-时,()0f x '>对任意x ∈R 恒成立,故函数()f x 在R 上单调递增 当(2)0a -+<,即2a >-时,令()0f x '<,得2ln12a x +<+；令()0f x '>,得2ln12a x +>+, 故函数()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上,当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）()()f x g x ≥,即12(2)(1ln )x e a x a x --+≥-+,得1ln 2(2)0x a x e a x a -+-++≥．令1()ln 2(2)x h x a x ea x a -=+-++,则112(2)()2(2)x x a xe a x a h x e a x x-'--++=+-+=． 由（1）知,函数122x y ex -=-在区间(1,)+∞上单调递增,所以当1x >时,1022220x e x e -->-=,即在(1,)+∞上,恒有1x e x ->．所以在(1,)+∞上22(2)(2)(1)()x a x a x a x h x x x'-++-->=． ①当2a ≤时,()0h x '≥在区间[1,)+∞上恒成立,即()h x 在[1,)+∞上单调递增,所以()(1)0h x h ≥=（符合题意）；②当2a >时,由12(2)()x xe a x a h x x-'-++=,得12()2x a h x e x ''-=-+,且()h x ''在[1,)+∞上单调递增,又(1)20h a ''=-<,1210h ''=->,故()h x ''在上存在唯一的零点0x ,当[)01,x x ∈时,()0h x ''<,即()h x '在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h ''≤=,知()h x 在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h <=与已知矛盾（不合题意）． 综上,a 的取值范围是(,2]-∞．点评：本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与最值问题,同时也考查了利用导数解决恒成立问题与最值问题等,需要求导分情况进行最值的讨论,属于难题.。
河南省九师联盟2020届高三数学11月质量检测试题理(含解析)
河南省九师联盟2020届高三数学11月质量检测试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列集合中不同于另外三个集合的是（ ） A. {}3|1x x =B. {}4|1x x =C. {1}D.1|1x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】 【分析】计算每个集合中的元素再判断即可.【详解】{}4|1{1,1}x x ==-,另外三个集合都是{1}, 故选：B ．【点睛】本题主要考查集合中元素的求解,属于基础题型. 2.下列说法正确的是（ ） A. 若a b >，则44ac bc > B. 若a b <，则2211a b> C. 若a b c >>，则222a b c >> D. 若a b >，c d >，则a c b d +>+【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质或者举反例逐个选项判断即可. 【详解】对于A 选项,若0c,则命题错误．故A 选项错误；对于B 选项,取2a =-,1b =-,则满足a b <,但2211a b <,故B 选项错误； 对于C 选项,取1a =,2b =-,3c =-,则满足a b c >>,但222a b c <<,故C 选项错误； 对于D 选项,由不等式的性质可知该选项正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质,属于基础题型.3.已知向量(,3)a x =，(2,7)b =-，若()a b b -⊥，则实数x 的值为（ ） A. -16 B. 67-C.67D. 16【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标的运算与垂直的数量积为0求解即可.【详解】因为(,3)(2,7)(2,4)a b x x -=--=+-,且()a b b -⊥,所以()(2,4)(2,7)a b b x -⋅=+-⋅-=2(2)(4)70x -++-⨯=,解得16x =-． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算与向量垂直则数量积为0,属于基础题型. 4.若函数21()x f x e+=，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ）A. 220x y ++=B. 220x y -+=C. 220x y +-=D.220x y --=【答案】B 【解析】 【分析】 先求出12f ⎛⎫-⎪⎝⎭,再求导代入12x =-求得在切点出的切线斜率,再根据点斜式求解方程即可. 【详解】依题意,得0112f e ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,21()2x f x e '+=,则切线的斜率为122f '⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以切线方程为1122y x ⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即220x y -+=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题型. 5.下列命题中正确的是（ ）A. 若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行B. 若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面C. 若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D. 不共线的四点可以确定一个平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质,或举出反例逐个判断即可.【详解】在A 中,从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交,但他们的交线互相垂直,故A 错误；在B 中,从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个平面,故B 错误；在C 中,不同的两条直线均垂直于同一个平面,则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行,故C 正确；在D 中,若四点连线构成两条异面直线,这时四点不能确定一个平面,故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了线面垂直与平行的性质与判定,属于基础题型.6.若关于x 的不等式20x ax b +-<（a ，b 为常数）的解集为(2,1)-，则不等式230bx ax +->的解集是（ ） A. 3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B. 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 3(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式20x ax b +-<（a ,b 为常数）的解集为(2,1)-可知2,1x =-为方程20x ax b +-=的两根即可求得,a b ,再求解230bx ax +->即可.【详解】由20x ax b +-<解集为(2,1)-,可得211(2)12a b -=-+=-⎧⎨-=-⨯=-⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩．∴所求不等式230bx ax +->即为2230x x +->,解得32x <-或1x >．即不等式230bx ax +->的解集是3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次不等式的解集的性质,属于基础题型. 7.函数()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则将()f x 的图象向右平移4π个单位长度，所得函数图象的一个对称中心是（ ） A. ,04π⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,04π⎛⎫-⎪⎝⎭C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.,03π⎛-⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π即可得()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期,再求得平移后的函数表达式,再求解对称中心即可.【详解】由题意．函数()f x 的最小正周期为π,则2ππω=,解得2ω=,所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度．所得函数3sin 246y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．令2()3x k k ππ-=∈Z ,得()26k x k ππ=+∈Z , 所以所得函数图象的一个对称中心是,03π⎛-⎫⎪⎝⎭． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数图像的平移与基本性质,属于中等题型. 8.已知实数a ，b 满足0b >，||1a b +=，则120192019||a a b++的最小值为（ ）A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021【答案】D 【解析】 【分析】 将12019||a a +拆成12019||2019||a a a +,再根据||1ab +=构造12019(||)2019||a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的结构,利用基本不等式从而求得最小值.【详解】因为0b >,||1a b +=,所以12019120192019||2019||2019||2019||a a a ab a a b a ++=++=+1201912019||(||)20192019||2019||20192019||a b a a b a b a a b ⎛⎫+⋅+=++++ ⎪⎝⎭1120192019≥-++20192021+=, 当且仅当0a <,2019||2019||b a a b =,即12020a =-,20192020b =时等号成立．故选：D ．【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用与构造,属于中等题型.9.在单调递减的等比数列{}n a 中，已知3a ，5a 为一元二次方程2204081729x x -+=的两个根，则其前n 项和为（ ）A. 31729n -B. 131243n +-C. 1313n n --D. 1313n n+- 【答案】C 【解析】 【分析】由3a,5a为一元二次方程22040 81729x x-+=与单调递减的等比数列{}n a可求得35,a a进而求得13 q=.再利用求和公式求前n项和即可.【详解】设等比数列{}n a的公比为q,由已知得352081a a+=,35354,729a a a a=>,所以329a=,5281a=,2532918129aqa==⨯=,又数列{}na单调递减,所以13q=,3122929aaq==⨯=, 所以其前n项和为11213311313nnn-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=-．故选：C．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质与求和,属于基础题型.10.函数()ln2(1)2(1)x xf xx x⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得()ln2(1)2(1)x xf xx x⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦求得定义域,排除A,D,再分析当1x>时的单调性即可.详解】22(1)(1)11 ()ln ln ln ln ln 2(1)2(1)2(1)(1)1x x x x x x x xf x xx x x x x x x ⎡⎤+---⎛⎫=--=-=-==-⎪⎢⎥-+-+-⎝⎭⎣⎦, 由10x x->得10x -<<或1x >,即函数()f x 的定义域为(1,0)(1,),故A,D 错误；当1x >时,1y x x =-为增函数,所以1()ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为增函数,所以排除C ．故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数图像的判定,属于基础题型.11.在三棱锥A BCD -中，BCD 是边长为3的等边三角形，3BAC π∠=，二面角A BC D --的大小为θ，且1cos 3θ=-，则三棱锥A BCD -体积的最大值为（ ）A.36B.6 C.3 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】画图分析,设AB x =,AC y =,在BCD 中利用BAC ∠对应的余弦定理求得,x y 的关系式,再表达出三棱锥A BCD -体积关于,x y 的关系式利用基本不等式求解即可. 【详解】设AB x =,AC y =,因为3BAC π∠=,所以2223BC x y xy =+-=,所以223x y xy =+-2xy xy xy ≥-=,即3xy ≤,当且仅当3x y ==时等号成立．过A 作AO ⊥平面BCD ,垂足为O ,作AE BC ⊥垂足为E ,连接OE ,则AEO πθ∠=-, 所以sin()sin AO AE AE πθθ=-=122193AE AE =-=,又11sin 223BC AE xy π⋅=,所以12AE xy =,所以22AO xy =≤,所以113633344A BCD BCDV SAO AO -=⋅=⋅⋅⋅≤．【点睛】本题主要考查了基本不等式在立体几何中的运用,需要根据题意建立未知量的关系,再根据关系选用合适的基本不等式求解.属于中等题型.12.已知定义域为R 的函数2log (1),1()1,12,1x x f x x x +>-⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞，则()123f x x x b c ++++=（ ）A. 2log 5B. 2log 6C. 3D. 2【答案】A 【解析】 【分析】对每个分段中的函数表达式讨论,即可得11x =-,再根据只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞,可分析得()1,2f x =为2()()0f x bf x c --=的根,进而求得3b =,2c =-．再求()123f x x x b c ++++即可.【详解】当1x >-时．函数()f x 单调递增,则关于x 的方程2()()0f x bf x c --=在(1,)-+∞内至多只有两个解,所以1x =-必为其中一解,即11x =-．故当1x =-时,2()()0f x bf x c --=,此时由函数()1f x =,得10b c --=；①若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解,则当1x <-时, ()2f x =也一定满足2()()0f x bf x c --=,代入得420b c --=．②联立①②,解得3b =,2c =-．当1x >-时,2()log (1)=+f x x ,由2()()0f x bf x c --=即2()3()20f x f x -+=,得22log 2(1)3log (1)20x x +-++=,解得2log (1)1x +=或2log (1)2x +=,解得21x =或33x =．所以()1232(11332)(4)log 5f x x x b c f f ++++=-+++-==．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用以及复合函数的问题,需要根据题意分析每个根满足的条件与具体值等.属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，448a b ==，则33a b +=________． 【答案】293【解析】 【分析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得33a b +即可. 【详解】由4137173733a a d d a -==⇒=⇒=,34182b q q b ==⇒=,34b =,则331729433a b +=+=． 故答案为：293【点睛】本题主要考查了等差等比数列的基本性质与运用,属于基础题型.14.若命题“0x R ∃∈，使得201k x >+成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________．【答案】(,1]-∞ 【解析】 【分析】由题意先找到等价命题“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”,再求21x +的最小值即可.【详解】“0x R ∃∈,使得201k x >+成立”是假命题等价于“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”是真命题．因为211x +≥,即21x +的最小值为1,要使“21k x ≤+恒成立”,只需()2min1k x ≤+,即1k ≤．故答案为：(,1]-∞【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型.15.若x ，y 满足约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为________．【答案】-7 【解析】 【分析】画出可行域,再判断3z x y =+取最小值时的点即可.【详解】画出约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩,表示的平面区域（阴影部分）如图所示：平移直线30x y +=,由图形知,当目标函数3z x y =+过点M 时取得最小值,由2201x y y -+=⎧⎨=-⎩,解得(4,1)M --．代入得min (4)3(1)7z =-+⨯-=-．所以3z x y =+的最小值为―7． 故答案为：-7【点睛】本题主要考查了线性规划的不等式问题,属于基础题型.16.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2Q .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2Q 的表面积为______. 【答案】29π 【解析】 【分析】先求出球O 1的半径，再求出球2Q 的半径，即得球2Q 的表面积. 【详解】由题得AC=5,设球O 1的半径为r ，由题得11345)34,122r r r r ++=⨯⨯∴=（. 所以棱柱的侧棱为22r.所以球2Q 的表面积为2429ππ⋅=. 故答案：29π【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知在ABC 中. ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2228a b c ，ABC 的面积为(1)求角C 的大小;(2)若c =,求 sin A sin B +的值. 【答案】（1）3π；（2）32【解析】 【分析】(1)由三角形的面积为得到12absinC =，由余弦定理以及2228a b c +-=得到28abcos C =，进而可求出tan C ，得到角C ；(2)由(1)的结果，先求出ab ，根据c =a b +，再由正弦定理可得sin sin sin sin a C b CA B c c+=+，即可求出结果.【详解】（1）由ABC ∆的面积为 12absinC =，由2228a b c +-=及余弦定理可得28abcos C =，故tan 3C π==;(2)∵,2cos 8,83C ab C ab π==∴=又2228,a b c c +-==6a b += 由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==,得()sin sin sin 3sin sin 2a Cb C C A B a bc c c +=+=+= 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.18.城市中大量公园的兴建意味着建筑让位，还地于民，城市公共空间被越来越充分地打开．这种打开不只是物理意义上的空间开放，而是使城市公园不仅供民众用来休憩、娱乐、锻炼，还用于相互交往、传播文化、锤炼公民意识，让城市与人建立更好的连接，推动城市回归人本．某城市计划在靠近环城公路Ax ，Ay 的P 处建一所职业技校，且配套修建一条道路BC ，并把三条路围成的三角形区域开辟为休闲公园（如图）．经测量P 到Ax ，Ay 的距离PE ，PF 分别为4 km ，3 km ，若,2BAC πθθπ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3sin 4θ=，km AB x =，km AC y =．（1）试建立x ，y 间的等量关系；（2）为尽量减少土地占用，试问如何确定B 点的位置，才能使得该公园的面积最小？并求最小面积．【答案】（1）3434x y xy +=；（2）当8km AB =时，最小面积为232km 【解析】 【分析】 (1)根据ABCABPAPCSSS=+建立等量关系即可.(2)由(1)有3434x y xy +=,表达出公园的面积38ABCS xy =,再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为Р到Ax ．Ay 的距离分别为4,3．所以4PE =,3PF =．因为11143(43)222ABC ABP APCSSSx y x y =+=⋅⋅+⋅⋅=+,① 又1324ABC S xy =⨯,②,所以3434x y xy +=．（2）因为43212x y xy +≥所以32124xy xy ≥,解得2563xy ≥．当且仅当43x y =时,取“＝”,即8x =,323y =．所以38ABCS xy =有最小值32． 所以当8km AB =时,该公园的面积最小,最小面积为232km ．【点睛】本题主要考查了基本不等式的实际运用,需要根据题目条件列出对应的表达式,再根据变量间的关系选用合适的基本不等式即可.属于中等题型.19.已知函数()4(sin cos )cos 2(0)f x x x x ωωωω=-+>图象的一个对称中心为,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，设函数()f x 的最小正周期为T ． （1）求T 的最大值；（2）当T 取最大值时，若82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，04πα<<，求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）π；（2 【解析】 【分析】(1)利用降幂公式与辅助角公式求得()24f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭,再根据一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭求得41()k k ω=+∈Z ,再求T 的最大值即可.(2)由(1)有()24π⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ,利用82f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭求得sin 24α=,再求得cos2α,利用降幂公式求解sin ,cos αα与sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭即可.【详解】（1）由题意得()4(sin cos )cos 2f x x x x ωωω=-+24sin cos 4cos 2x x x ωωω=-+2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭,所以2()84k k ππωπ⋅-=∈Z ,得41()k k ω=+∈Z ．又0>ω,所以ω最小值为1．所以T 的最大值为22ππ=．（2）由（1）知,()24π⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ,若82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则22842ππαα⎡⎤⎛⎫+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即sin 2α=．因为04a π<<,所以022πα<<．所以3cos24α==．所以sin 44αα====．所以1sin sin cos cos sin 44442424πππααα+⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换中的公式,包括降幂公式、辅助角公式等.需要根据题目中角度的关系选用合适的公式,属于中等题型.20.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足126n n a S +=+，且16a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：23123111133333nnT T T T ++++<⋅⋅⋅⋅. 【答案】(Ⅰ) 16323n nn a -=⋅=⋅；(Ⅱ)【解析】试题分析：（Ⅰ）根据1n n n a S S -=-得出{}n a 是等比数列，从而可得{}n a 的通项；（Ⅱ）求出n T ，利用裂项法计算2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅得出结论. 试题解析：(Ⅰ)由已知得当2n ≥时，()1122n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=， 又2112626183n a S a a =+=+==.所以{}n a 是以16a =为首项，3为公比的等比数列，所以16323n nn a -=⋅=⋅.(Ⅱ)由(Ⅰ)得1123n n a =⋅，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，1111163114313nn nT ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-⎪⎝⎭-. 所以()()()()111111431431146331313131313131n n n n n n n n n n n T +++++-⋅⎛⎫==⋅<=- ⎪⋅-------⎝⎭.所以2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅ 122311111116313131313131n n +⎛⎫<-+-+⋯⋯+- ⎪------⎝⎭ 11163231n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭.得证点睛：本题主要考查了等比数列的证明，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.21.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，SAB 是等边三角形．SAB ⊥底面ABCD ，23AB =，3BC =，1AD =，点M 是棱SB 上靠近点S 的一个三等分点．（1）求证：AM平面SCD ；（2）求二面角S CD B --的大小． 【答案】（1）见解析；（2）60︒ 【解析】 【分析】(1) 取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,再证明AM ND ∥即可.(2) 作SO AB ⊥,垂足为点O .再建立空间直角坐标系,分别求平面SCD 的一个法向量与平面BCD 一个法向量,利用法向量夹角的余弦值求二面角S CD B --的大小即可.【详解】（1）证明：取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,连接MN ,DN , 因为13SM SN SB SC ==,所以MN BC 且13MN BC =．因为AD BC ∥,所以MN AD ．又因为3BC =,1AD =,所以13AD BC MN ==．所以四边形MNDA 是平行四边形．所以AM ND ∥．又因为AM ⊄平面SCD ,ND ⊂平面SCD ,所以//AM 平面SCD ．（2）作SO AB ⊥,垂足为点O ．如图所示．因为SAB 是等边三角形,所以点O 是线段AB 的中点．因为侧面SAB ⊥底面ABCD , 侧面SAB底面ABCD AB =,SO AB ⊥,SO ⊂二侧面SAB ,所以SO ⊥底面ABCD ．所以以点O 为原点,OA 为x 轴,过点O 且平行于EC 的射线为y 轴,OS 为z 轴,建立如上图所示的空间直角坐标系O xyz -．因为23AB =3BC =,1AD =,SAB 是等边三角形, 所以132AO BO AB ===3sin 602332SO AS ︒=⋅==． 所以点(0,0,0)O ,3,0,0)A ,3,1,0)D ,(3,3,0)C ,(0,0,3)S ,所以(3,1,3)SD =-,(3,3,3)SC =--．设平面SCD 的一个法向量为(,,)x y z =m ,则由00m SD m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得3303330x y z x y z +-=+-=⎪⎩,解得332x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 令2z =,得平面SCD 的一个法向量为3,3,2)m =．易知平面BCD 一个法向量为(0,0,1)n =． 设二面角S CD B --的大小是θ,易知θ是锐角,则222|||(3,3,2)(0,0,1)|1cos ||||2(3)321m n m n θ⋅⋅===++⨯．又0180θ︒︒≤≤,所以60θ︒=．所以二面角S CD B --的大小是60︒．【点睛】本题主要考查了空间中平行垂直的证明与性质等,同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角的问题,属于中等题型. 22.已知函数1()2(2)x f x ea x -=-+，()(1ln )()g x a x a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）(,2]-∞ 【解析】 【分析】(1)求导得1()2(2)x f x ea '-=-+,再分(2)0a -+≥与(2)0a -+<两种情况讨论即可.(2)将()()f x g x ≥中()g x 移至左边,再构造新函数1()ln 2(2)x h x a x e a x a -=+-++,根据第(1)问的结论,分2a ≤与2a >两种情况讨论()h x 的最小值即可. 【详解】（1）1()2(2)x f x ea x -=-+的定义域是R ,则1()2(2)x f x ea '-=-+．当(2)0a -+≥,即2a ≤-时,()0f x '>对任意x ∈R 恒成立,故函数()f x 在R 上单调递增 当(2)0a -+<,即2a >-时,令()0f x '<,得2ln12a x +<+；令()0f x '>,得2ln12a x +>+, 故函数()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上,当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）()()f x g x ≥,即12(2)(1ln )x e a x a x --+≥-+,得1ln 2(2)0x a x e a x a -+-++≥．令1()ln 2(2)x h x a x ea x a -=+-++,则112(2)()2(2)x x a xe a x a h x e a x x-'--++=+-+=． 由（1）知,函数122x y ex -=-在区间(1,)+∞上单调递增,所以当1x >时,1022220x e x e -->-=,即在(1,)+∞上,恒有1x e x ->．所以在(1,)+∞上22(2)(2)(1)()x a x a x a x h x x x'-++-->=． ①当2a ≤时,()0h x '≥在区间[1,)+∞上恒成立,即()h x 在[1,)+∞上单调递增,所以()(1)0h x h ≥=（符合题意）；②当2a >时,由12(2)()x xe a x a h x x-'-++=,得12()2x a h x e x ''-=-+,且()h x ''在[1,)+∞上单调递增,又(1)20h a ''=-<,1210h ''=->,故()h x ''在上存在唯一的零点0x ,当[)01,x x ∈时,()0h x ''<,即()h x '在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h ''≤=,知()h x 在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h <=与已知矛盾（不合题意）． 综上,a 的取值范围是(,2]-∞．【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与最值问题,同时也考查了利用导数解决恒成立问题与最值问题等,需要求导分情况进行最值的讨论,属于难题.。
2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测数学(文)试题(解析版)
2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合3{}12A =，，，5{}13B =，，，则A B =（ ）A ．{1}3，B ．{123}，，C ．{135}，，D ．15}2{3，，， 【答案】A【解析】直接利用交集的运算即可得到结果. 【详解】{1,2,3}{1,3,5}{1,3}A B ==．故选：A . 【点睛】本题主要考查交集的定义及运算，属于基础题． 2．复平面内表示复数1212iz i-+＝的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出z 的坐标得答案． 【详解】因为212i (12i)34i 12i (12i)(12i)55z --===--++-， 所以复数1212i z i -=+所对应的复平面内的点为34,55Z ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限． 故选：C . 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的运算，属于基础题．3．设向量a b ，满足1a b ==，12a b ⋅=-r r ，则34a b +=（ ）A ．1B CD ．7【答案】B【解析】由222349+24+16a b a a b b +=⋅，然后用数量积的定义，将a b ，的模长和a b ⋅代入即可求解.因为222349+24+16a b a a b b +=⋅191624132⎛⎫=++⨯-= ⎪⎝⎭，所以34a b += 故选：B . 【点睛】本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.4．设有不同的直线a ，b 和不同的平面α，β，给出下列四个命题： ①若//a α，//b α，则//a b ； ②若//a α，//a β，则//αβ； ③若a α⊥，b α⊥，则//a b ； ④若a α⊥，a β⊥，则//αβ． 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可． 【详解】对于①，若a ∥α，b ∥α，则直线a 和直线b 可以相交也可以异面，故①错误； 对于②，若a ∥α，a ∥β，则平面a 和平面β可以相交，故②错误； 对于③，若a ⊥α，b ⊥α，则根据线面垂直性质定理，a ∥b ，故③正确； 对于④，若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β成立； 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查推理判断能力，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．甲、乙2名党员干部各自等可能地从A ，B ，C ，D ，4个贫困村中选择1个驻村扶贫，则他们选择不同的贫困村驻村扶贫的概率为（ ） A ．34B ．12C ．14D ．116【答案】A【解析】列举出符合题意的所有情况，找出满足选择不同的贫困村驻村扶贫的种数，利用古典概型的概率公式计算即可..甲乙2名党员干部各自等可能地从A ，B ，C ，D ，4个贫困村中选择1个驻村扶贫，可能的结果共有如下16种：(,)A A ，(,)A B ，(A,C)，(,)A D ，(,)B A ，(,)B B ，(,)B C ，(,)B D ，(C,A)，(,)C B ，(,)C C ，(,)C D ，(,)D A ，(,)D B ，(,)D C ，(,)D D ，其中他们选择相同的贫困村驻村扶贫的结果共有如下4种：(,)A A ，(,)B B ，(,)C C ，(,)D D ，故他们选择不同的贫困村驻村扶贫的概率为431164-=． 故选：A . 【点睛】本题主要考查古典概型，考查了列举法求基本事件的方法，属于基础题.6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ） A ．甲不是海南人 B ．湖南人比甲年龄小 C ．湖南人比河南人年龄大 D ．海南人年龄最小 【答案】D【解析】通过分析，排除即可． 【详解】由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人； 由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人； 故：乙（河南人）的年龄＞丙（湖南人）的年龄＞甲（海南人）的年龄； 所以ABC 错，D 对． 故选：D ． 【点睛】本题考查简单的逻辑推理，属于基础题． 7．已知tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝，则sin 21cos 2αα=+（ ） A ．13 B ．12C ．2D ．3【答案】A【解析】利用二倍角公式化简，再利用两角差的正切公式，将弦化切，代入计算即可求出值．2tan tansin 22sin cos 21144tan tan 1cos22cos 441231tan tan 44ππααααππααππααα⎛⎫+- ⎪-⎡⎤⎛⎫⎝⎭===+-=== ⎪⎢⎥++⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭． 故选：A . 【点睛】此题考查了运用二倍角的正余弦公式化简求值，考查了同角三角函数间的基本关系的应用，属于基础题．8．函数()3sin 3x f x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题首先可根据()3sin 3x f x x =+得出()3sin 3x f x x 骣琪-=-+琪桫，然后即可判断出函数是奇函数并排除B 项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解。
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2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测数学
（理）试题
一、单选题
1．已知集合{|20}A x x =-<，2{|20}B x x x =--<，则A B =（ ）
A ．()2-∞，
B ．()1-∞，
C ．(21)-，
D ．(12)-，
【答案】D
【解析】先求出集合={|12}B x x -<<，再与集合A 求交,
【详解】
本题主要考查集合的运算和一元二次不等式的解法．
因为{|20}={|2}A x x x x =-<<，
2{|20}B x x x =--<={|12}x x -<<，
所以{|12}B x x A -<<⋂=．
故选：D
【点睛】
本题考查解二次不等式，考查集合的交集。
属于基础题.
2．复平面内表示复数1212i
z i -+＝的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出z 的坐标得答案．
【详解】 因为2
12i (12i)34
i 12i (12i)(12i)55z --===--++-， 所以复数1212i
z i -=+所对应的复平面内的点为34,55Z ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，位于第三象限．
故选：C .
【点睛】
本题主要考查复数的几何意义，复数的运算，属于基础题．
3．设两个单位向量a b ，的夹角为
23π，则34a b +=（ ）
A ．1
B C D ．7 【答案】B 【解析】由222349+24+16a b a a b b +=⋅，然后用数量积的定义，将a b ，的模长和夹角代入即可求解.
【详解】 2222349+24+16=9+24cos
16133
a b a a b b π+=⋅+=， 即3413a b +=.
故选：B
【点睛】 本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.
4．设有不同的直线a ，b 和不同的平面α，β，给出下列四个命题：
①若//a α，//b α，则//a b ；
②若//a α，//a β，则//αβ；
③若a α⊥，b α⊥，则//a b ；
④若a α⊥，a β⊥，则//αβ．
其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可．
【详解】
对于①，若a ∥α，b ∥α，则直线a 和直线b 可以相交也可以异面，故①错误；
对于②，若a∥α，a∥β，则平面a和平面β可以相交，故②错误；
对于③，若a⊥α，b⊥α，则根据线面垂直性质定理，a∥b，故③正确；
对于④，若a⊥α，a⊥β，则α∥β成立；
故选：B．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查推理判断能力，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
5．如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（）
A．这14天中有7天空气质量优良
B．这14天中空气质量指数的中位数是103
C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好
D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日
【答案】B
【解析】根据题目给出的折线图的信息对选项进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
这14天中空气质量指数小于100的有7天，所以这14天中有7天空气质量优良，故选项A正确；
这14天中空气质量指数的中位数是86121
103.5
2
+
=，故选项B不正确；
从10月11日到10月14日，空气质量指数越来越小，所以空气质量越来越好，故。