2020高三理科数学一轮复习讲义2.8《函数与方程》
2020年高考理科数学一轮总复习：函数与方程
2020年高考理科数学一轮总复习：函数与方程第8讲 函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)三个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．2．函数零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系导师提醒 1．关注两个易错点(1)函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．2．记牢三个结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( )(5)若函数f (x )在(a ，b )上连续单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√(教材习题改编)已知函数y ＝f (x )的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：选B.由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1，6]上至少有3个零点．故选B.函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3) C.⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3，4)D ．(4，＋∞)解析：选B.易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：选C.因为2a ＋b ＝0，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)．所以零点为0和－12.(教材习题改编)函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．解析：因为f (2)＝6－7＋ln 2＝ln 2－1<0，f (3)＝9－7＋ln 3＝2＋ln 3>0，又f (x )＝3x －7＋ln x 为增函数，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2.答案：2函数零点所在区间的判断(自主练透)1．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，所以f (1)·f (2)＜0， 因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数，所以f (x )的零点所在的区间是(1，2)．2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：选A.因为a ＜b ＜c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.3．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13 解析：选C.令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，f (x )＝x 13， 则g (0)＝1>f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212<f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1213，g ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213>f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1313， 所以由图象关系可得13<x 0<12.4．(一题多解)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：选D.法一：令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点．法二：当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x＜0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，e 上单调递减．又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1＞0，f (1)＝13＞0，f (e)＝13e －1＜0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．函数零点的个数(师生共研)(1)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(一题多解)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0【解析】 (1)因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x ＋x －3＝0. 则e x ＝－x ＋3.分别画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x ＜0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.(2)法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点． 法二：函数f (x )的图象如图所示， 由图象知函数f (x )共有2个零点．【答案】 (1)C (2)B判断函数零点个数的方法(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．1．(一题多解)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}C．{2－7，1，3} D．{－2－7，1，3}解析：选D.法一：求出当x＜0时f(x)的解析式，分类讨论解方程即可．令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋7＞0(舍去)或x＝－2－7.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－7，1，3}．法二：令g(x)＝0，即f(x)－x＋3＝0，所以f(x)＝x－3，作y＝f(x)与y＝x－3的图象，有3个交点．y轴右侧有2个交点，其零点为1或3.y轴左侧零点x＜－3.结合各选项，D项符合题意．2．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋1，则关于x的方程f(x)＝lg(x＋1)在x∈[0，9]上解的个数是()A．7 B．8C．9 D．10解析：选C.依题意得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝lg(x＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图象在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0，9]时，方程f (x )＝lg(x ＋1)的解的个数是9.函数零点的应用(多维探究) 角度一 根据函数零点个数求参数(1)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 (2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x， x ≤0，ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 (1)由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. (2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.【答案】 (1)D (2)C角度二 根据函数零点的范围求参数(1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)(2)设函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，g (x )＝log 2(2x －1)，若关于x 的函数F (x )＝g (x )－f (x )－m 在[1，2]上有零点，则m 的取值范围为________．【解析】 (1)由题意，知函数f (x )在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C.(2)令F (x )＝0，即g (x )－f (x )－m ＝0. 所以m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 2 2x －12x ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1. 因为1≤x ≤2， 所以3≤2x ＋1≤5.所以25≤22x ＋1≤23，13≤1－22x ＋1≤35.所以log 2 13≤log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1≤log 2 35，即log 2 13≤m ≤log 2 35.所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤log 2 13，log 2 35.【答案】 (1)C (2)⎣⎡⎦⎤log 2 13，log 2 35根据函数零点的情况求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．1．(2019·石家庄质量检测)已知M 是函数f (x )＝|2x －3|－8sin πx (x ∈R )的所有零点之和，则M 的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选D.将函数f (x )＝|2x －3|－8sin πx 的零点转化为函数h (x )＝|2x －3|与g (x )＝8sin πx 图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，画出函数h (x )与g (x )的图象，如图，因为函数h (x )与g (x )的图象都关于直线x ＝32对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f (x )的所有零点之和M ＝8×32＝12，故选D.2．(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1]解析：选A.画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0＜a ≤1；当x ＞0时，f (x )有一个零点，需－a ＜0，即a ＞0.综上，0＜a ≤1，故选A.利用转化思想求解函数零点问题(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ＜1，log 12x ，x ≥1，若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是______．(2)若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为________． 【解析】 (1)关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，等价于函数y 1＝f (x )与函数y 2＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(－1，0)．(2)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎡⎦⎤（t ＋1）＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2. 【答案】 (1)(－1，0) (2)(－∞，2－22](1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围． (2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )和y ＝a |x |的图象可知，若满足条件，则a ＞0.当a ≥2时，在y 轴右侧，两函数图象只有一个公共点，此时在y 轴左侧，射线y ＝－ax (x ≤0)与抛物线y ＝－x 2－5x －4(－4＜x ＜－1)需相切．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－5x －4，y ＝－ax消去y ， 得x 2＋(5－a )x ＋4＝0.由Δ＝(5－a )2－16＝0，解得a ＝1或a ＝9.a ＝1与a ≥2矛盾，a ＝9时，切点的横坐标为2，不符合题意．当0＜a ＜2，此时，在y 轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则－a ＜－1，即a ＞1.故1＜a ＜2.答案：(1，2)[基础题组练]1．(2019·沧州模拟)设f (x )是区间[－1，1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12＜0，则方程f (x )＝0在区间[－1，1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根解析：选C.因为f (x )在区间[－1，1]上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12＜0，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上有唯一的零点．所以方程f (x )＝0在区间[－1，1]内有唯一的实数根．2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( ) A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[－2，－1]D ．[－1，0]解析：选D.因为f (x )＝3x －x 2，所以f (－1)＝3－1－1＝－23＜0，f (0)＝30－0＝1＞0，所以f (－1)·f (0)＜0.3．(一题多解)(2019·南宁模拟)设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B.法一：函数f (x )＝ln x －2x ＋6的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，当0＜x ＜12时，f ′(x )＞0，当x ＞12时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减．因为f ⎝⎛⎭⎫1e 10＝－4－2e 10＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＝5－ln 2＞0，f (e 2)＝8－2e 2＜0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e 10，12，⎝⎛⎭⎫12，e 2上各有一个零点，所以函数f (x )的零点个数为2，故选B.法二：令f (x )＝0，则ln x ＝2x －6，令g (x )＝ln x ，h (x )＝2x －6(x ＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x )零点的个数，容易看出函数f (x )零点的个数为2，故选B.4．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( ) A ．恒为正值 B ．等于0 C ．恒为负值D ．不大于0解析：选A.因为函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x 在(0，＋∞)上是减函数，所以当0＜x 1＜x 0时，有f (x 1)＞f (x 0)．又x 0是函数f (x )的零点，因此f (x 0)＝0，所以f (x 1)＞0，即此时f (x 1)的值恒为正值，故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析：选D.函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．6．(2019·安徽黄山一模)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，－1)解析：选B.方程f (x )＝k 化为方程e |x |＝k －|x |.令y ＝e |x |，y ＝k －|x |，y ＝k －|x |表示过点(0，k )，斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y ＝e |x |恰好有一个公共点时，有k ＝1.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(1，＋∞)．7．(2019·河南郑州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为________．解析：如图，作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3.答案：3 8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：可转化为两个函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在[－4，6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x ＝1对称，所以两个函数在x ＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x ＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.答案：109．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是________．解析：依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f （－1）·f （0）＜0，f （1）·f （2）＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）＜0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]＜0， 解得14＜m ＜12.答案：⎝⎛⎭⎫14，1210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋3，x ≤1，ln x ，x ＞1，若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则f (x )的图象和直线y ＝kx －12有4个交点．作出函数f (x )的图象，如图，故点(1，0)在直线y ＝kx －12的下方．所以k ·1－12＞0，解得k ＞12.当直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，设切点横坐标为m ，则k ＝ln m ＋12m ＝1m ，所以m ＝ e.此时，k ＝1m ＝e e ，f (x )的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件，故要求的k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，ee .答案：⎝⎛⎭⎫12，ee11．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解：(1)如图所示． (2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数， 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ， 且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. [综合题组练]1．(应用型)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b解析：选B.f (x )＝2x ＋x 的零点a 为函数y ＝2x 与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a ＜0，g (x )＝log 2x ＋x 的零点b 为函数y ＝log 2x 与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b ＞0，令h (x )＝0，得c ＝0.故选B.2．(创新型)(2019·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14 B.18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.3．(应用型)(2019·甘肃一模)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋2)＝f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝sin π2x ，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，15∪(5，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，15∪[5，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤17，15∪(5，7)D.⎝⎛⎭⎫17，15∪[5，7)解析：选A.当a ＞1时，作出函数f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图所示．结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧log a |－5|＜1，log a |5|＜1，故a ＞5；当0＜a ＜1时，作出函数f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图所示．结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧log a |－5|≥－1，log a |5|≥－1，故0＜a ≤15.故选A.4．设函数f (x )＝x ＋1x －1，x ∈R 且x ≠1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫110＋f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫16＋f ⎝⎛⎭⎫14＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)的值；(2)就m 的取值情况，讨论关于x 的方程f (x )＋x ＝m 在x ∈[2，3]上解的个数． 解：(1)根据题意，函数f (x )＝x ＋1x －1，则f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋11x －1＝1＋x 1－x ＝－1＋x x －1，则f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0，则f ⎝⎛⎭⎫110＋f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫16＋f ⎝⎛⎭⎫14＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)＝f ⎝⎛⎭⎫110＋f (10)＋f ⎝⎛⎭⎫18＋f (8)＋f ⎝⎛⎭⎫16＋f (6)＋f ⎝⎛⎭⎫14＋f (4)＝0.(2)根据题意，设g (x )＝f (x )＋x ＝x ＋1x －1＋x ＝(x －1)＋2x －1＋2，令t ＝x －1，又由x ∈[2，3]，则t ∈[1，2]， 则设h (t )＝t ＋2t＋2，有h ′(t )＝1－2t 2＝t 2－2t2，分析可得：在区间[1，2]上，h (t )单调递减，在区间[2，2]上，h (t )单调递增； 则h (t )在[1，2]有最小值h (2)＝22＋2， 且h (1)＝h (2)＝5，则函数h (t )在区间[1，2]上有最大值5，最小值22＋2，方程f (x )＋x ＝m 的解的个数即为函数g (x )与直线y ＝m 的交点个数，分析可得：当m＜22＋2时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；当m＝22＋2时，函数g(x)与直线y＝m有1个交点，方程f(x)＋x＝m有1个解；当22＋2＜m≤5时，函数g(x)与直线y＝m有2个交点，方程f(x)＋x＝m有2个解；当m＞5时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；综上可得，当m＜22＋2或m＞5时，方程f(x)＋x＝m无解；当m＝22＋2时，方程f(x)＋x＝m有1个解；当22＋2＜m≤5时方程f(x)＋x＝m有2个解．。
2020届高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第八节函数与方程课件理新人教A版
答案：(1，2)
1．确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0. 若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴 在给定区间上是否有交点来判断． 2．函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间 上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行 分析判断．
函数零点个数的判断方法 1．直接求零点，令 f(x)＝0，有几个解就有几个零点． 2．零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连 续不断的曲线， 且 f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性 质确定函数零点个数． 3．利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交 点个数即得零点个数．
[变式训练]
1．函数的零点 (1)定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使_f_(_x_)＝__0__成 立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)函数零点与方程根的关系：方程 f(x)＝0 有实根⇔ 函数 y＝f(x)的图象与_x_轴__有交点⇔函数 y＝f(x)有_零__点__． (3)零点存在性定理：如果函数 y＝f(x)在区间[a，b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_f_(a_)_·_f(_b_)_<_0_，那 么函数 y＝f(x)在区间_(_a_，__b_)_内有零点，即存在 x0∈(a， b)，使得_f_(x_0_)_＝__0_．
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
法二 函数 f(x)的图象如图所示，由图象知函数 f(x) 共有 2 个零点．
2020届高三一轮复习理科数学课件 第2章-2.8-函数与方程
夯实双击 自主梳理
1．函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数 y＝f(x)，把使 ff((xx))＝＝00 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程根的关系 方程 f(x)＝0 有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 xx轴轴 有交点 函数 y ＝f(x)有 零零点点 ．
2．函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是(B)
A．(－2，－1)
B．(－1，0)
C．(0，1)
D．(1，2)
解析 易知 f(x)＝2x＋3x 在 R 上是增函数． 而 f(－2)＝2－2－6＜0，f(－1)＝2－1－3＜0，f(0)＝20＝1＞0，∴f(－1)·f(0) ＜0，故函数 f(x)在区间(－1，0)上有零点．故选 B.
3．(教材改编)函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是(B)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 由已知得 f′(x)＝ex＋3＞0，∴f(x)在 R 上单调递增，又 f(－1)＝1e
－3＜0，f(0)＝1＞0，因此函数 f(x)有且只有一个零点．
4．函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点所在区间为(B)
(4)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)·f(b)＜0，则函数 f(x)在[a，b]上有且 只有一个零点．(√√)
解析 由已知条件，数形结合可得 f(x)与 x 轴在区间[a，b]上有且仅有 一个交点．
(5)函数 y＝2sin x－1 的零点有无数多个．(√ ) 解析 函数 y＝2sin x－1 的零点即为方程 sin x＝12的实数根，有无数 多个．
(3)零点存在性定理 若函数 y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线； ② ff((aa))··ff((bb))＜＜00 ，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，即存在 c∈(a， b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第8节函数与方程教学案理新人教版
第八节函数与方程[考纲传真]结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系1．f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)C [由题意得f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， f (4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0，∴f (x )的零点所在的区间为(2,3)．]3．(教材改编)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0， 故函数f (x )在区间[1,6]内至少有3个零点．]4．函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点有________个．1 [如图所示，函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点有1个．]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线， 由题意可得f (－1)·f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]判断函数零点所在的区间1．函数f (x )＝ln x －2x2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)B [由题意知函数f (x )是增函数，因为f (1)＜0，f (2)＝ln 2－12＝ln 2－ln e ＞0，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1,2)．故选B.]2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内A [∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a ，b )(b ，c )内分别存在一个零点； 又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点，因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.]3．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k ＋12(k ∈Z)内，那么k ＝________.5 [∵f ′(x )＝1x ＋2＞0，x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln52－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，∴f (x )的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3内，则整数k ＝5.]解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来判断利用零点存在性定理进行判断数形结合画出函数图象，通过观察图象与判断函数零点的个数【例1】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(1)D (2)C [依题意，在考虑x ＞0时可以画出函数y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x ≤0时，函数f (x )＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，综上，函数f (x )有3个零点．故选D. (2)因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即x ＝0是函数f (x )的1个零点． 当x ＞0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0，则e x＝－x ＋3，分别画出函数y＝e x和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x )有1个零点．根据对称性知，当x ＜0时，函数f (x )也有1个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.]直接求零点，令x＝零点存在性定理，要求函数在区间a f b ＜再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.(1)0.5A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．(1)B (2)3 [(1)令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．故选B.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0，该方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0 ，－2＋x ＝0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0.②解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2.因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]函数零点的应用【例2】 (1)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )＜0＜f (b ) B ．f (b )＜0＜g (a ) C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． (1)A (2)(3，＋∞) [(1)∵f (x )＝e x＋x －2， ∴f ′(x )＝e x＋1＞0， 则f (x )在R 上为增函数，又f (0)＝e 0－2＜0，f (1)＝e －1＞0，且f (a )＝0，∴0＜a ＜1.∵g (x )＝ln x ＋x 2－3， ∴g ′(x )＝1x＋2x .当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0， ∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又g (1)＝ln 1－2＝－2＜0，g (2)＝ln 2＋1＞0，且g (b )＝0，∴1＜b ＜2，∴a ＜b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f b ＞f a ＝0，g a ＜g b ＝0.故选A.(2)画出f (x )的草图如图所示，若存在实数b ，使得f (x )＝b 有3个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0， 又m ＞0，解得m ＞3.]直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解(1)c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c(2)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(1)A (2)C [(1)在同一坐标系中，画出函数y ＝e x，y ＝ln x 与y ＝－x ，y ＝－1的图象如图所示． 由图可知a ＜b ＜c ， 故选A.(2)∵函数f (x )＝2x－2x－a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3.]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)C [函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( ) A ．－12B.13C.12D ．1C [法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)＝(x －1)2＋a [ex －1＋e－(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t＋e －t)－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t＋e t)－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．又－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a ＞0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 故选C.]。
2.8函数的零点与方程的解课件高三数学一轮复习
角度 2：根据零点所在区间求参数 【例 3】 (2022·黑龙江省实验中学月考)若函数 f(x)＝4x－m·2x＋m＋3 有两个不同的 零点 x1，x2，且 x1∈(0,1)，x2∈(2，＋∞)，则实数 m 的取值范围为( C ) A．(－∞，－2) B．(－∞，－2)∪(6，＋∞) C．(7，＋∞) D．(－∞，－3) 【思路探索】 令 t＝2x，通过换元转化为二次函数零点分布问题，再数形结合求解．
(2)令 f(x)＝|lgx|－kx－2＝0，得|lgx|＝kx＋2， 令 g(x)＝|lgx|，h(x)＝kx＋2，所以 f(x)的零点个数即函数 g(x)与 h(x)图象的交点个数．当 k＝0 时，如图 a，g(x)与 h(x)的图象有两个交点，则 f(x)有两个零点，故①正确；当 k>0 时， 如图 b，存在 h(x)＝k0x＋2 的图象与函数 g(x)＝lgx(x>1)的图象相切，此时 h(x)与 g(x)的图 象有两个交点，当 0<k<k0 时，g(x)与 h(x)的图象有三个交点，则 f(x)有三个零点，故④正 确；当 k<0 时，如图 c，g(x)与 h(x)的图象最多有两个交点，g(x)与 h(x)相切时有一个交点， 如图 d，故②正确，③不正确．综上，正确结论的序号为①②④.
【解析】 ∵对任意 x∈R，都有 f(2－x)＝f(x＋2)，∴函数 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称．
又∵当 x∈[－2,0]时，f(x)＝2－x－1，且函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，∴可作出 f(x) 的图象，如图所示．
当 a>1 时，关于 x 的方程 f(x)－loga(x＋2)＝0 恰有三个不同的实数根，则函数 y＝f(x) 与 y＝loga(x＋2)的图象有三个不同的交点．
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_8函数与方程课件理新人教A版
跟踪训练 (1)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间( )
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
答案：C
(2)(2017·西安五校联考)函数y＝ln(x＋1)与y＝
1 x
的图象交点的横坐标所在区间为
() A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
第八节 函数与方程
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考情考向分析
结合二次函数的图 利用函数零点的存在性定理或函数的图
象，了解函数的零 象，对函数是否存在零点进行判断或利
点与方程根的联 用零点(方程实根)的存在情况求相关参
系，判断一元二次 数的范围是高考的热点，题型以选择、
方程根的存在性及 填空为主，也可和导数等知识交汇出现
．
答案：(1,1.5)
考点一|判定函数零点区间 (方法突破)
方法1 使用零点存在性定理判断区间
【例1】
(2017·安徽芜湖模拟)函数f(x)＝
2 x
＋ln
1 x－1
的零点所在的大致区间是
() A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
[解析]
f(x)＝
2 x
＋ln
1 x－1
＝
2 x
－ln(x－1)，当1＜x＜2时，ln(x－1)＜0，
2 x
＞0，所以
f(x)＞0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝23－ln 2＝2－33ln 2
＝
2－ln 3
8 .∵
8 ＝2
2 ≈2.828＞e，∴8＞e2，即ln
2020年数学(理)一轮复习： 函数与方程
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2．函数 f(x)＝exx2－＋x2－x，2，x＜x≥0 0， 的零点个数是____2____． 解析：当 x＜0 时，令 f(x)＝0，即 x2＋2x＝0，解得 x＝－2 或 x＝0(舍去)，所以当 x＜0 时，只有一个零点；当 x≥0 时， f(x)＝ex－x－2，而 f′(x)＝ex－1，显然 f′(x)≥0，所以 f(x) 在[0，＋∞)上单调递增，又 f(0)＝e0－0－2＝－1＜0，f(2)＝ e2－4＞0，所以当 x≥0 时，函数 f(x)有且只有一个零点．综 上，函数 f(x)只有 2 个零点．
B．[1，＋∞)
C．(0,1)
D．(－∞，1]
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[解析] (1)画出函数 f(x)的大致图象如 图所示．因为函数 f(x)在 R 上有两个零点， 所以 f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个 零点．当 x≤0 时，f(x)有一个零点，需 0＜a≤1；当 x＞0 时， f(x)有一个零点，需－a＜0，即 a＞0.综上，0＜a≤1，故选 A.
＞f13＝13
1 3
，
结合图象可得13＜x0＜12.
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( C)
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3．(2019·河北武邑中学调研)函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位 于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝____2____. 解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln 2＜ 0，f(3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内， 故n＝2.
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[规律探求]
考法(一)是根据函数零点的个数及零点存在情况求参数 范围，解决此类问题通常先对解析式变形，然后在同一 坐标系内画出函数的图象，数形结合求解． 考法(二)是根据函数零点所在区间求参数，解决此类问题 看 应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立 个 参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围． 性 考法(三)是求函数零点的和，求函数的多个零点(或方程
2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2_8函数与方程课件文新人教版
e)上单调递增，令 g′(x)<0，解得 x>e，则 g(x)在(e，＋∞)上单调递减，则
g(x)max＝g(e)＝2e，当 x→＋∞时，g(x)→0 且 g(x)>0，当 x→0 时，g(x)→－
∞，则有
0<lna<2e，解得
1<a<e
2 e
。综上，a
的取值范围是1，e
2 e
。
2
答案
方向 2：确定函数零点个数
x2＋x－2，x≤0，
【例 2】 (1)函数 f(x)＝－1＋lnx，x>0
的零点个数为(
)
A．3
B．2 C．1
D．0
x≤0，
x>0，
解析 (1)由 f(x)＝0 得x2＋x－2＝0 或－1＋lnx＝0， 解得 x＝－2
或 x＝e。因此函数 f(x)共有 2 个零点。故选 B。
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与 x 轴的交点 ___(x_1_,0_)_，__(_x_2,_0_)
零点个数
__2____
__(_x_1,_0_)__ ___1____
无交点 ___0____
1．若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点。 函数的零点不是一个“点”，而是方程 f(x)＝0 的实根。
1，e
e
求解本题的关键在于底数与指数都含有自变量时，需两边同时取自然 对数，构造新的函数。该题考查了数形结合的转化能力及把陌生问题熟悉 化的逻辑推理能力。