无穷限反常积分的审敛法
反常积分判敛法
1 3 3 ( ) 1 3 ( 1 1) 1 3 1 ( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
20
6.2
反常积分判敛法
（2）
1
xe
x2 2 x
dx
( x ) e t t x 1 dt
∴ I2
1
e t t x 1dt 收敛。
故反常积分 0 e t t x 1dt ，当 x 0 时收敛；当 x 0 时发散。
16
6.2
反常积分判敛法
三、Γ函数
1. 函数的定义
函数 ( x )
0
et t x 1 dt ， x (0,) 称为 Gamma 函数。
0
1
t x 1
dt ， I 2
1
e t t x 1dt ，
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x 1 时， I1 是常义积分，收敛的；
15
6.2
反常积分判敛法
1 x t x 1 t t 0) e t lim e 1， ∵ lim( t 0 t 0
②当 0 x 1 时，有 q 1 x 1, l 1,
∴ I1 e t t x 1 dt 收敛。
0
1 0
1
③ x 0 时，有 q 1 x 1 l 1,∴ I1 e t t x 1 dt 发散。
再讨论 I 2 的敛散性。 x 1 t ∵ lim t 2 e t t x 1 lim t 0 ，( p 2 1, l 0) t t e
b a
b
g( x )dx 收敛时， f ( x )dx 也收敛；
同济高等数学第六版-D5_5反常积分审敛法
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
2) 当 p1,0l 时af(x)dx发散 .
证: 1) 当p1时, 根据极限定义, 对取定的 0,当 x 充
分大时, 必有 xpf(x)l, 即
0
f
(x)
M xp
2) 当 q1,0l 时,abf(x)dx发散 .
例5. 判别反常积分 13ldnxx的敛散性 .
解: 此处 x1为瑕,利点 用洛必达法则得
lim(x1) 1 lim 1 1
x1
lnx
x 1
1 x
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
(M l)
可见 af(x)dx收敛 ;
目录 上页 下页 返回 结束
2) 当p1时,可取 0,使 l0,(l 时用任意
数 N代l替 ),必有
xpf(x)l
即
f
(x)
l
xp
N x
(Nl)
可见 af(x)dx发散 .
注意: xl im xpf(x)xl im f(1x) 此极限的大小刻画了
1 3 x4
1
4
x3
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题:
讨论反常积分
13
1 dx x3 1
的收敛性
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)教程文件
无穷限反常积分敛散性及审敛法则一、教学目标分析在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。
让学生反常积分在一些实际问题中的应运。
二、学情/ 学习者特征分析学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。
但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。
由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。
三、学习内容分析1. 本节的作用和地位通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。
例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。
2．本节主要内容1. 无穷限反常积分的定义与计算方法2. 无穷限反常积分的性质3. 无穷限反常积分的比较审敛法则4. 条件收敛与绝对收敛3.重点难点分析教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则；教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。
4.课时要求：2 课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。
五、教学策略在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。
U2 5a f(x)dx a f(x)dxU2uif (x)dx六.教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。
七、教学过程一、无穷限反常积分的定义定义1设函数/定义在无穷区间存在极限［a,)上，且在任何有限区间［a,u］上可积.如果则称此极限J为函数ff (x)dx ,并称af (x)dx 发散.类似地，可定义f在(limuua f(x)dxJ在［a,)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作uf(x)dx收敛.如果极限Jim a f(x)dx J不存在，亦称,b ］上的无穷积分: b bf (x)dx lim f (x)dx.u u)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：af (x)dx f (x)dxaf (x)dx,其中a为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注: f (x)dx收敛的几何意义是：若f在［a,］上为非负连续函数，则介于曲线f (x)，直线x a以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J .dx 例1讨论无穷积分1) 一., 2)0 1 x , 3) 2xe x dx.的收敛性.例2讨论下列无穷积分的收敛性：1) 1dx了，2)2dx ; x(lnx)p'、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分f(x)dx收敛与否，取决于积分上限函数F(u)au 时是否存在极限•因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则. ua f (x)dx 在定理11.1无穷积分一f (x)dx收敛的充要条件是：任给>0,存在G> a ,只要U i,U2 G，便有此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质.k 1 f 1(x) k 2f 2(x)dx 也收敛，定理11.2 (比较法则)设定义在［a,)上的两个函数f 和g 都在任何有限区间［a,u ］性质1 若afMxjdx 与 f 2(x)dx 都收敛，k ! , k 2为任意常数，则k 1f 1(x) k 2 f 2 (x) dx k 1h(x)dx k 2f 2(x)dx .a必收敛, 质2若f 在任何有限区间［a,u )上可积，且有af (x) dx 收敛，则f(x)dx 亦并有f(x)dxf (x) dx •证：af (x) dx 由收敛, 根据柯西准则(必要性)，任给 0 ,存在u 2 5 G 时，总有不等式，又有再由柯西准则 又因U2uif (x) dxU 2uif(x)dx(充分性)，证得uf (x)dxaU 2 f (x)d^U2U lf (x)dx 收敛f (x)dx ，令 uU lf (x) dx .利用定积分的绝对值取极限，立刻得到不等式f (x)dx 收敛时，称a f (x)dx 为绝对收敛.性质3指出：绝对收敛的无穷积分,它自身也一定收敛.但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛.性质3若f 在任何有限区间［a,u ］上可积，a b ，则af (x)dx 与 © f (x)dx 同敛 b态(即同时收敛或同时发散)，且有f (x)dx = f (x)dx +aabf (x)dx ,性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出 f (x)dx 收敛的另一充要条件：任给 >0，存在G 0，当u >G 时，总有f(x)dx事实上，这可由uf (x)dx f (x)dxauf (x)dx 结合无穷积分的收敛定义而得.三、比较判别法u首先给出无穷积分的绝对收敛判别法. 由于af (x) dx 关于上限u 是单调递增的，因此a判别法:f (x) dx 收敛的充要条件是f(x) dx 存在上界•根据这一分析，便立即导出下述比较f(x) g(x),x [a,),(i)当 p 1,0 时， f (x)dx 收敛;a推论3若f 和g 都在任何［a,u )上可积，g(x) 0,且limxg(x)(i) 当0 c 时，由 g(x)dx 收敛可推知 f (x) dx 也收敛；aa(ii)当0 c 时，由g(x)dx 发散可推知 f(x)dx 也发散.aa四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法.u定理11.3 (狄利克雷判别法)若F(u) f(x)dx 在［a,)上有界，g(x)在［a,)a无穷积分f (x) g( x) dx 收敛.a上当x 时单调趋于0，则无穷积分f(x)g(x)dx 收敛.a定理 11.4 (阿贝尔(Abel)判别法)若a)上单调有界，则上可积，且满足则当a g (x)dx 收敛时a f (x) dx 必收敛(或当 解：由于f (x)dx 发散时，a g(x)dx 必发散).sin x 1 x 21 1 x 2,x ［0,］，而舟2为收敛，故o 晋dx为绝对收敛. dx密作为比较对象Paxa当选用1g(x)dx 时，比较判别法有如下两个推论 (称为柯西判别法).(i)当 f(x) 1 r p ,x [a, x p )，且 p1时， af (x)dx 收敛；(ii)当f(x)1p,x [a, x)且p 1时，af (x)dx 发散.推论 2设定义于［a,),在任何有限区间[a,.u ]上可积，且 lim x p f (x)有：.则(ii)当 P 1,0时,a f (x)dx 发散.C,则有f (x)dx 收敛，g(x)在[a,ax 的收敛性.例3讨论o推论 ］(a 0)，且在任何有限区间［a,u ］上可积，则有:1设f 定义于［a.用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法.例5讨论1弓知与1罟dx(p0)的收敛性.解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论.下面分两种情形来讨论:xs^4dx 1 1s "t 2dt ，它也是条件收敛的.从例6中三个无穷积分的收敛性可以时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛.八、学习评价本节成功向学生讲解了两种定积分的推广即反常积分，尤其对无穷反常积 分进行介绍，并对其敛散性及审敛性附带介绍。
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节* 反常积分的审敛法 函数
二、无界函数的反常积分的审敛法
第五节* 反常积分的审敛法 函数
由上节
当
例6 证明知反，常反积常分积分b
q
1
时发散b .
a(
x
dx a)q
a
,
(
x
dx a)
q
当 0< q <1 时收敛
当 0< q <1证时明收敛当，当q =q1时1 ，时发散. 于是有下面两个
b
f (x)dx 发散.
a
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理7(极限审敛法2) 设函数 f (x) 在区间(a , b] 上
连续，且 f (x) 0，x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 0 < q < 1，使得 lim (x a)q f (x) xa
连续，且 f (x) 0 , x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 M > 0 及 q < 1，使得
f
(x)
(x
M a)q
(a x b) ,
则反常积分 b f (x)dx 收敛；
a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得 f (x)
N
(a x b) ,
xa
则反常积分
aa
gg
((
xx))ddxx
收收敛敛，，则则
aa
gg
((
xx))ddxx
发发散散，，则则
证明
设 0< t < +，由 0 g (x) f (x) 及
g ( x)dx
a
收敛，得
t
t
反常积分的审敛法
例１ 判别反常积分 ∫ 1
+∞
dx
3
x4 + 1
的收敛性 .
解 ∵当 x ∈ [1,+∞ ) 时 ,
0<
1
3
<
+∞ 1
1
3
x +1
3
4
4 = , p = > 1, 4 3 x4 / 3 x
1
收敛.
∴ 反常积分 ∫
dx x4 + 1
（比较审敛法１）
定理 4 ( 极限审敛法１) 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) (a > 0) 上连续，且 f ( x ) ≥ 0. 如果存在常数 p > 1，使得 lim x p f ( x ) 存在，
判别反常积分
∫
3
1
dx 的收敛性 . ln x
1 ∵ lim = + ∞ ∴ x = 1是瑕点 x →1+ lnx
1 x −1 lim ( x − 1) = lim + x →1 x →1+ ln x ln x
0 ( )型 0
= lim +
x →1
= 1 > 0, 3 dx ∴ 反常积分 ∫ 发散 . (极限审敛法2) 1 ln x
１．递推公式 Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
证明 Γ( s + 1) =
+∞ −x s 0
∫
+∞
0
e x
+∞ 0 +∞
−x
( s + 1 ) −1
dx
−x
= ∫ e x dx = ∫ = [ x ( −e )]
无界函数反常积分的审敛法
的反常积分中来 .
利用
b
a (
x
1 a)
q
dx
收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
定理6. (比较审敛法 2)
瑕点 , 使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理3
定理7. (极限审敛法2)
x
收敛
,
称为绝对收敛
.
例7. 判别反常积分
的收敛性 .
解:
此处 x 0 为瑕点, 因 lim
x
1 4
ln
x
0
,故对充分小
1
x0
的 x, 有 x4 ln x 1, 从而
1
ln x x
x4 ln x
1
x4
1
1
x4
据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
1
(x 1)2
1
(1 x2 )(1 k 2x2 )
lim
1
1
x1 (1 x)(1 k 2x2 ) 2(1 k 2 )
根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .
定理4
类似定理5, 有下列结论:
若反常积分
b
a
f
(x) d x
(a为瑕点)收敛 , 则反常积分
b
a
f
( x) d
lim (x a)q f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
例5.
判别反常积分
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则
a
f ( x)dx 收 敛 ；
x
如 果limxf ( x) d 0 (或 limxf ( x) ), 则
x
af ( x)dx 发Fra bibliotek散 ．
证明
dx 的收敛性 . 例２ 判别反常积分 2 1 x1 x 1 2 解 lim x 1 , p21 2 x x1 x
F (x )在 [a , )上是单调增加的 .
F (x ) 在 [ a , ) 上有上界
lim F (x ) 存在 （极限的存在准则）
x x
即 lim 存在 f(t)dt
x a
收敛 f(x)dx
a
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f(x ) dx 发散 a 1 特别地，取 g( x ) p ，即得下面的 x
网络课件 教学设计 多媒 比较审敛法. 程序设计体课件 PPT文档
定理 3 (比较审敛法１ ) 设函数 f ( x) 在区间 [a, ) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 M 0 及 p 1 ，使得
arctan x 例４ 判 别 反 常积 dx 分 的收 . 敛性 1 x arctan x x lim arctan x 解 lim 0 x x x 2
定理 2 ( 比较审敛原 ) 理 设函数 f (x)、 g(x) 在 区 间 [a, )上 连 续 、 非 , 负
如果 f (x) g(x),(a x ),并 且 a g(x)dx收 敛 ， 则a f (x)dx也 收 敛 ； 如 f( 果 x) g(x),(a x ), 并且 则 f (x)dx也 发 散 . a g(x)dx发 散 ， a
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法反常积分极限审敛法（IntegralLimitComparisonTest）是一种常用的数学分析方法，可以用来判断一个无穷级数的收敛性质以及它的收敛情况如何。
它是一种非常重要的定理，有助于我们解决无穷级数的问题。
反常积分极限审敛法（Integral Limit Comparison Test）是一种在数学分析中有着重要应用的定理，它可以根据一般情况下的某个无穷级数的收敛性质，对比另一个无穷级数，从而实现对两个无穷级数的收敛性质的比较。
其基本原理是，如果一个无穷级数的某项分母大于另一无穷级数的某项分母，且比值的反常积分不等于零，则该级数收敛。
反常积分极限审敛法的具体步骤是使用经典反常积分技术，先将待证明的无穷级数和另一个已知收敛的无穷级数，比如收敛正项级数，列出来，然后将它们做出比较，比较的结果若为恒等式，则证明无穷级数收敛；若为大于等于式，则证明无穷级数收敛；若为小于等于式，则证明无穷级数可能收敛，但不一定收敛；最后，通过对比反常积分的值，可以得出有关无穷级数收敛性质的最终结论。
反常积分极限审敛法具有很多优势，其中最主要的优势就是可以用来判断一个无穷级数的收敛性质及其如何收敛，只要满足其在无穷级数上的充要条件，就可以得出有关的结论。
另外，由于反常积分的某一项收敛性质被推广到一般情况，因此可以比较一般情况下的无穷级数的收敛性质，而不是只比较其特殊情况下的收敛情况。
最后，通过反常积分极限审敛法，可以有效解决无穷级数的问题，从而提高研究的效率。
综上所述，反常积分极限审敛法是一种非常重要的定理，在数学分析中有着十分重要的应用，它可以用来判断一个无穷级数的收敛性质以及它的收敛情况如何，并可以有效的解决无穷级数的问题，提高研究的效率。
然而，同时也要根据实际情况，审慎选择反常积分极限审敛法，以期获得比较准确的研究结果。
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1
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
x 例3. 判别反常积分 d x 的敛散性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x 解: lim lim x 2 1 2 2 x 1 x x 1 x
3 2
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
例 3．判别下列反常积分的敛散性： 1 比较判别法 （1） sin 2 dx 1 x 1 1 1 解：∵ 0 sin 2 2 ， dx 收敛 ， 而 1 x2 x x 1 ∴ sin 2 dx 收敛 。 1 x
a
2) 若存在常数 N 0 , p 1, 使对充分大的 x 有 N f ( x) p x 则 f ( x) d x 发散 .
a
例1. 判别反常积分
x4 1 1 sin 2 x 解: 3 4 14 03 4 x x 1 x3 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 1 思考题: 讨论反常积分 d x 的敛散性 . 3 3 1 x 1 提示: 当 x≥1 时, 利用 1 1 1 3 3 x 1 3 ( x 1) 3 x 1
a
当 p 1时, 可取 0 , 使 l 0 , (l 时用任意正
数 N 代替 l ) , 必有
x p f ( x) l
即
l N f ( x) p x x
a
(N l )
可见
f ( x) d x 发散 .
x
定理1. 设 f ( x) C [a , ) , 且 f ( x) 0 , 若函数
F ( x) f (t ) d t
a
x
在[a , ) 上有上界 , 则反常积分
根据极限收敛准则知
x
a
f ( x) d x 收敛 .
单调有界准则
证: f ( x) 0 , F ( x) 在[a , ) 上单调递增有上界 ,
可知原积分发散 .
1
sin x
3
2
d x 的敛散性 .
定理4. (极限审敛法1) 若 f ( x) C [a ,) , 且 f ( x) 0 , p lim x f ( x) l 满足
x
则有: 1) 当 p 1, 0 l 时 2) 当 p 1, 0 l 时
lim F ( x) lim
a
f (t ) d t x a
x
存在 , 即反常积分
f ( x) d x 收敛 .
定理2 . (比较审敛原理)
设 f ( x) C [a , ) , 且对充
分大的 x 有 0 f ( x) g ( x) , 则
a
A 故常取 g ( x) p ( A 0) 作比较函数 , x 得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)
设非负函数 f ( x) C [a , )
(a 0) .
1) 若存在常数 M 0 , p 1, 使对充分大的 x 有 M f ( x) p x 则 f ( x) d x 收敛 ;
t a
t
g ( x ) dx
故 f ( x) dx 是 t 的单调递增有上界函数 , 因此
f ( x ) dx a t a lim
极限存在 , 即反常积分
若
a
f ( x) dx 收敛 .
t
a
f ( x) dx 发散 , 因为 t a 时有 0 f ( x ) dx g ( x ) dx
a a t
a
令 t , 可见反常积分
g ( x) d x 必发散 .
思考: 比较判别法需要一个参照的函数来进行比较， 那我们有没有这么一个函数，能适用于大多数函数 的敛散性的判断呢？
下例我们在上节课已经对它的收敛性有过证明 说明: 已知 a
收敛 , p 1 1 dx p x 发散 , p 1
g ( x) dx 收敛 f ( x) dx 发散
a
f ( x) dx 收敛 g ( x) dx 发散
a
若
a
a
t
证: 不失一般性 , 设 x [a , )时, 0 f ( x) g ( x)
g ( x) dx 收敛 , 则对 t a 有
a f ( x) dx a g ( x) dx a
a a
b
f ( x ) dx b a
b
f ( x) dx 收敛 ; 如果上述极限不存在,
f ( x) dx 发散 .
b
f ( x) C ( , b], 则定义
f ( x ) dx f ( x) dx alim a
一、无穷限反常积分的审敛法
dx （2） 0 1 x sin x
1 1 dx 解：∵ 0 ， 而 ln( 1 x ) ， 0 1 x 0 1 x sinx 1 x
注意:
lim x f ( x) lim
p
f ( x)
1 xp
x
此极限的大小刻画了
x 时 f ( x) 趋于 0 的快慢程度 .
例2. 判别反常积分 解:
1
dx x 1 x
2
的敛散性 .
lim x
x
2
1 x 1 x
2
lim
1
1 x2
x
1
第一节 反常积分
无穷限反常积分的审敛法
定义1. 设 f ( x) C [a , ) , 取 b a , 若 b lim f ( x) dx
b a
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
a
这时称反常积分 就称反常积分 类似地 , 若
f ( x) dx lim
a
f ( x) d x 收敛 ;
a
f ( x) d x 发散 .
当x充
证: 当 p 1时, 根据极限定义 , 对取定的
p x f ( x) l , 即 分大时, 必有 M 0 f ( x) p ( M l ) x 可见 f ( x) d x 收敛 ;