7.1《正切(1)》ppt课件
7.1 正切（1）
尝试与交流
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝10， tanA＝ 3 ，求AC 、BC和tanB．
4
7.1 正切（1）
畅所欲言
通过这节课的学习，我的收获是…
tanA是tan •A吗
7.1 正切（1）
作业题
1．课本P99习题7.1第1、2题； 2．思考题（选做）：你能判断下面两个楼梯哪一 个更陡吗？
正切的定义
在直角三角形中，我们将∠A的对边与它 的邻边的比称为∠A的正切，记作 tanA
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
B
你能写出∠B的正切表达式吗？
试试看.
A 邻边b
对边a C
7.1 正切（1）
例题
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4， AB＝5，求tanA、tanB．
拓展
通过计算tanA、tanB的值，你有什么新的发现吗？
7.1 正切（1）
例题
例2 如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，求tanA．
C
拓展
A
D
B
通过计算tanA的值，你对60º的正切值有什么认
识？30º呢？你还能得到其他的吗？
7.1 正切（1）
尝试与交流
1．如图，求下列图中各直角三角形中锐角的正切值．
那么，你有什么发现？
B2 B3 B1
A C1 C2 C3
一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个
以A为一个顶点的直角三形（如图），那么图中：
BC B1C1 B2C2 成立吗？为什么？
AC AC1 AC2
B
B1 B2
A C C1 C2
如果直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个 锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。
7.1 正切（1）
问题1：人们在行走的过程中，自行车、汽车在行 驶的过程中免不了爬坡．
如下图，哪个台阶更陡？
Hale Waihona Puke 7.1 正切（1）问题2：哪个台阶最陡？你是如何判断的？
7.1 正切（1）
问题3：在问题2中的①、③两个台阶，你认为 哪个台阶更陡？你有什么发现？
4 8
7.1 正切（1）
问题4：如图，一般地，如果锐角A的大小确定，我 们可以作出Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、Rt△AB3C3……
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北师大版高中数学课件第一章 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式
三象限时,点T位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,点T位
于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终
边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT为
角α的正切线.
-6-
7.1
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
-5-
7.1
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
微拓展
正切线
如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意
角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边
或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和第
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
3
变式训练 1 若点 P(3,y)是角 α 终边上的一点,且满足 y<0,cos α= ,则
5
tan α=(
)
3
3
A.-
B.
4
解析 cos α=
4
3
32 + 2
4
C.
3
4
D.-
3
3
4
5
3
= ,解得 y=±4,又 y<0,所以 y=-4,故 tan α=- .
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
-1-
7.1
7.2
于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终
边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT为
角α的正切线.
-6-
7.1
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
-5-
7.1
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
微拓展
正切线
如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意
角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边
或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和第
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
3
变式训练 1 若点 P(3,y)是角 α 终边上的一点,且满足 y<0,cos α= ,则
5
tan α=(
)
3
3
A.-
B.
4
解析 cos α=
4
3
32 + 2
4
C.
3
4
D.-
3
3
4
5
3
= ,解得 y=±4,又 y<0,所以 y=-4,故 tan α=- .
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
-1-
7.1
7.2
《正切》优秀课件
叫做角α的正切， 记作：tan
B
tanα
角的对边 角的邻边
．
tan A BC 4
AC 3
54
C 3
tan B AC 3 BC 4
（二）经典例题
例1 分别求出tan300和tan600
B
解：设BC=x 则AB=2x
2X
X
在RtABC中，由勾股定理得
A
AC AB2 BC2 (2x)2 x2 3x
3、探究三 求下列各式的值
（1）1+tan²60
（2）2sin30°+4cos²30°-tan²45°
（四）巩固提升
2、在RtΔABC中，∠C=90°,若 c 2 3,b 3
求tanB和 SABC
（四）巩固提升
3★若∠A为锐角，且tan²A+2tanA-3=0，求∠A.
本节课你有什么收获呢？
……
（五）课外作业 P113 习题4.2 A组 2题 B组 4题
tan A BC
?
AC
A 470
C
即 tan 470 BC 10
1米E
10米
D
计算器
BC 10 tan 470101.07 10.7 BD BC CD 10.7 1 11.7
答：国旗的高度大约为11.7米。
（三）合作交流
内容： 1. 预习中、课堂中遇到的疑问； 2.讲学稿“合作交流”部分的问题。
1.正切的定义: tanA= ∠A的对边
∠的邻边
知识目标： 1、掌握一个锐角的正切的定义，能够正确地应用 tanA表示直角三角形两直角边之比；
2、会求锐角的正切值，熟记特殊角30 ° 、45°、60°角 的正切值，并能运用正切解决简单的实际问题；
正切的课件
函数的关系
正切函数与余切函数的关系
互为导数
正切函数和余切函数互为导数， 即它们是互为逆运算的关系。
互补角关系
正切函数和余切函数在角度互补 时相等，即当两个角的和为90度 时，它们的正切值和余切值相等
。
定义域和值域
正切函数的定义域是除了 kπ+π/2以外的所有实数，值域 是所有实数。余切函数的定义域 是除了kπ以外的所有实数，值域
Part
05
正切函数的扩展知识
正切函数的泰勒级数展开
泰勒级数展开
正切函数可以展开为无穷级数，表示为一系列多项式的和， 用于近似计算正切函数值。
收敛性
泰勒级数展开的收敛性取决于x的取值，对于某些x值，级数 可能不收敛。
正切函数的积分
定义与性质
正切函数的积分是指不定积分，表示原函数在某个区间上的面积 。正切函数具有一些特殊的积分性质和公式。
穷大。
正切函数的图像在每一个周期内 都有两个极值点，分别是最小值
和最大值。
正切函数的单调性
01
在每一个周期内，正切函数在开 区间(kπ - π/2, kπ + π/2) (k ∈ Z)内是单调递增的。
02
在每一个周期内，正切函数在闭 区间[kπ - π/2, kπ) (k ∈ Z)和 (kπ, kπ + π/2] (k ∈ Z)内是单调 递减的。
正切函数在实际应用中通常与其他数学工具结合使用，如微积分、线性代数等，以解决各种实际问题 。
在数学建模中的应用
正切函数在数学建模中也有着广泛的应用。例如，在建立物理、工程、经济等领 域的数学模型时，正切函数常常被用作模型中的重要参数或变量。
通过正切函数，可以更好地描述和预测一些自然现象和社会现象，如气候变化、 人口增长、市场供需关系等。同时，正切函数在数学建模中还可以与其他数学工 具结合使用，如微分方程、线性规划等，以建立更加精确和实用的数学模型。
正切函数与余切函数的关系
互为导数
正切函数和余切函数互为导数， 即它们是互为逆运算的关系。
互补角关系
正切函数和余切函数在角度互补 时相等，即当两个角的和为90度 时，它们的正切值和余切值相等
。
定义域和值域
正切函数的定义域是除了 kπ+π/2以外的所有实数，值域 是所有实数。余切函数的定义域 是除了kπ以外的所有实数，值域
Part
05
正切函数的扩展知识
正切函数的泰勒级数展开
泰勒级数展开
正切函数可以展开为无穷级数，表示为一系列多项式的和， 用于近似计算正切函数值。
收敛性
泰勒级数展开的收敛性取决于x的取值，对于某些x值，级数 可能不收敛。
正切函数的积分
定义与性质
正切函数的积分是指不定积分，表示原函数在某个区间上的面积 。正切函数具有一些特殊的积分性质和公式。
穷大。
正切函数的图像在每一个周期内 都有两个极值点，分别是最小值
和最大值。
正切函数的单调性
01
在每一个周期内，正切函数在开 区间(kπ - π/2, kπ + π/2) (k ∈ Z)内是单调递增的。
02
在每一个周期内，正切函数在闭 区间[kπ - π/2, kπ) (k ∈ Z)和 (kπ, kπ + π/2] (k ∈ Z)内是单调 递减的。
正切函数在实际应用中通常与其他数学工具结合使用，如微积分、线性代数等，以解决各种实际问题 。
在数学建模中的应用
正切函数在数学建模中也有着广泛的应用。例如，在建立物理、工程、经济等领 域的数学模型时，正切函数常常被用作模型中的重要参数或变量。
通过正切函数，可以更好地描述和预测一些自然现象和社会现象，如气候变化、 人口增长、市场供需关系等。同时，正切函数在数学建模中还可以与其他数学工 具结合使用，如微分方程、线性规划等，以建立更加精确和实用的数学模型。
正切PPT课件
C．sin2 A＋sin2 B＝1 D ．tan A·tan B＝1
感悟新知
知3－练
2．当45°<∠A<90°时，下列不等式中正确的是 ( D) A．tan A>cos A>sin A B．cos A>tan A>sin A C．sin A>tan A>cos A D．tan A>sin A>cos A
感悟新知
例3
知3－练
求证 tan A =sin A .
1 tan2 A
解题秘方：将 tan A 转化为 sin A ，将 cos 2A + sin2 A
cos A
转化为1，即可将左边化简，得到右边.
感悟新知
sin A
证明： 左边 = cos A sin2 A
1+ cos2 A
右边= sin A，
1 12 1
4
(1 )2
3(
3 )2 2
2 2
2
2
= 1 4 91
44
= 1.
知2－练
感悟新知
归纳
知2－讲
含有特殊角的三角函数的式子的计算方法： 先直接写出三角函数值， 将运算转化为实数的混
合运算，然后根据实数的运算法则计算.
感悟新知
1．下列运算结果正确的是( D )
A．3a3·2a2＝6a6 B．(－2a)2＝－4a2
的 3 倍，则 tan B 的值是( D )
A．13
B．3
C．
2 4
D．2 2
感悟新知
知识点 2 锐角（含特殊角）的正切值及相关计算
如何求tan 30°, tan 60°的值呢?
知2－导
高中数学：..《正切函数的图象和性质》课件(共9张PPT)
u解 1 2 :(1 xk由 k) 令 u4 2u 2为 12 u12x1 2 x增 kx 442 ;得 且 2 4 函 k,y:k,则 42Z数 tya un 3 的 ta单 un调:令 解 区 u:因 2x间 为 4;为 k所 k 原 由 22以 yuu1函 2tx12aknxu4:的 数 y2k4,2k得 单 可 32Z:t4 a调 化 n2递 (4 为 )增 :;
正切函数是奇函数，正切曲线关于原点0对称
由上面两例，你能得到函数y=Atan(ωx+Ф)的周期吗
的大小： 正弦线: sinα=M’P’>0 余弦线: cosα=0M’<0 正切线：tanα=AT’ <0
例4 求下列函数的周期：
由上面两例，你能得到函数y=Atan(ωx+Ф)的周期吗
把单位圆右半圆中作出正切线。
例1 求函数
的定义域。
把单位圆右半圆中作出正切线。
正切函数是周期函数，T=
(1)tan167 tan173 ; 正切线：tanα=AT>0
例4 求下列函数的周期：
0与
0
(2)tan(11)与 tan(13 )
4
5
例3 求下列函数的单调区间：
(1)y3tan1(x);
变(题 2)y3ta nx()
3tan1(x24)
3tan2([x)]
f (x ) 2 4
2 周期T
2
3tan12([x24)]
2
4
f(x2)
周T 期 2
周期T | |
画出函数y= tanx 的图象，指出它的单调区间，奇偶 性，周期。
3 2
2
3 2
3 2
2
3
高中数学第一章三角函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质课件北师大版
规律方法
1.比较同名三角函数值的大小，实质上是将两个角利
用周期性放在同一个单调区间内，利用单调性比较大小． 2．对于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图像 的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和 换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正 数，再进行求解.
π π x(a≠0)，x∈－3，3，
∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan x＝－f(x)．
π π 又∵定义域－3，3关于原点对称，
∴f(x)为奇函数． (2)f(x)的最小正周期为 π.
(3)∵y＝tan x ∴当 a＞0 当 a＜0
π π 在kπ－2，kπ＋2(k∈Z)上单调递增，
解 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， π π 又∵2<2<π，∴－2<2－π<0. π π ∵2<3<π，∴－2<3－π<0， π π 显然－2<2－π<3－π<1<2， 且 y＝tan x
π π 在－2，2内是增函数，
∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1， 即 tan 2<tan 3 <tan 1.
π π 时，f(x)在kπ－2，kπ＋2(k∈Z)上单调递减，
π π 时，f(x)在kπ－2，kπ＋2(k∈Z)上单调递增． π π 时，f(x)在4，2上单调递减，故
(4)当 a＞0
π x＝4时，f(x)max＝－a，
无最小值． ∴f(x)的值域为(－∞，－a]．
3π π 解之得 kπ－ 4 ＜x＜kπ＋4，故选 C.
答案 C
正切函数图像和性质PPT课件.ppt
正切函数图像和性质
一、复习 1.正切曲线的几何做法 2.正切函数图像
二、正切函数的性质 1.
函数 定义域
值域
y=tanx
{x | x R且x k ,
2
k Z}
R,没有最大 值和最小值
函数
周期性 奇偶性 单调性
y=tanx
tan(x)
最小 tan x
正周 期为 奇函数 π
4
{z | z k , k Z}
2
由x z k , 可得
4
2
x k
4
所以函数 y tan(x )的定义域是
4
{x | x k , k Z}
4
练习：求函数的定义域
(1) y tan x 2
(2) y 1
分析：(1) x1ktanx
2 A.y tan x
B.y cos x
C.y tan x 2
D.y tan x
C.令 x ，则y tan
2
tan（ ） tan
即 tan（ x ） tan x
2
2
f (x 2 ) tan x 2 tan（x ） tan x f (x)
分析：观察正切函数图像
(1){x | k x k , k Z}
2
(2){x | x k , k Z}
(3){x | k x k , k Z}
2
三、例题
例1 .求函数y=tan(x+4 )的定义域
解：令z x , 那么函数y tan z的定义域是
(1 )t an 1 3 8与t an1 4 3
一、复习 1.正切曲线的几何做法 2.正切函数图像
二、正切函数的性质 1.
函数 定义域
值域
y=tanx
{x | x R且x k ,
2
k Z}
R,没有最大 值和最小值
函数
周期性 奇偶性 单调性
y=tanx
tan(x)
最小 tan x
正周 期为 奇函数 π
4
{z | z k , k Z}
2
由x z k , 可得
4
2
x k
4
所以函数 y tan(x )的定义域是
4
{x | x k , k Z}
4
练习：求函数的定义域
(1) y tan x 2
(2) y 1
分析：(1) x1ktanx
2 A.y tan x
B.y cos x
C.y tan x 2
D.y tan x
C.令 x ，则y tan
2
tan（ ） tan
即 tan（ x ） tan x
2
2
f (x 2 ) tan x 2 tan（x ） tan x f (x)
分析：观察正切函数图像
(1){x | k x k , k Z}
2
(2){x | x k , k Z}
(3){x | k x k , k Z}
2
三、例题
例1 .求函数y=tan(x+4 )的定义域
解：令z x , 那么函数y tan z的定义域是
(1 )t an 1 3 8与t an1 4 3