九年级数学教学大纲

第二十一章 一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式:（1） 等号两边都就是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数式2(二次)的方程,叫做一元二次方程。

（2） 一元二次方程的一般形式: 20(0)ax bx c a ++=≠。

其中a 为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项。

注意:三个要点,①只含有一个未知数;②所含未知数的最高次数就是2;③就是整式方程。

2. 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解,两边直接开平方得x a +=或者x a +=∴x a =-注意:若b<0,方程无解 (2)因式分解法:一般步骤如下:①将方程右边得各项移到方程左边,使方程右边为0; ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式; ③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程; ④解这两个一元一次方程,她们的解就就是原方程的解。

（3） 配方法:用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤①二次项系数化为1:方程两边都除以二次项系数; ②移项:使方程左边为二次项与一次项,右边为常数项; ③配方:方程两边都加上一次项系数一般的平方,把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式;④用直接开平方法解变形后的方程。

注意:当0n <时,方程无解 （4） 公式法:一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式:24b ac ∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根:x =(240b ac -≥)⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点3. 韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后,设它的两个根就是1x 与2x ,则1x 与2x 与方程的系数a,b,c 之间有如下关系:1x +2x ＝b a -; 1x •2x ＝c a4、一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题,其步骤与二元一次方程组解应用题类似 ①“审”,弄清楚已知量,未知量以及她们之间的等量关系; ②“设”指设元,即设未知数,可分为直接设元与间接设元;③“列”指列方程,找出题目中的等量关系,再根据这个关系列出含有未知数的等式,即方程。

④“解”就就是求出说列方程的解;⑤“答”就就是书写答案,检验得出的方程解,舍去不符合实际意义的方程。

注意:一元二次方程考点:定义的考察;解方程及一元二次方程的应用。

第二十二章 二次函数一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ，，就是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。

强调:与一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零.二次函数的定义域就是全体实数.2、 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边就是函数,右边就是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数就是2. ⑵ a b c ，，就是常数,a 就是二次项系数,b 就是一次项系数,c 就是常数项. 二、二次函数的基本形式1、 二次函数基本形式:2y ax =的性质:2. 2y ax c =+的性质:上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质:左加右减4. ()2y a x h k =-+的性质:5.二次函数的图象与性质附图如下:a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a > 向上()h k ，X=hx h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x的增大而减小;x h =时,y 有最小值k .0a < 向下()h k ，X=hx h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x的增大而增大;x h =时,y 有最大值k .函数的图象图象特点函数性质①当a>O 时向上无限伸展; 当a<O 时向下无限伸展. ①自变量x 的取值范围就是全体实数.②a>O 时开口向上; a<O 时开口向下;顶点为(－ab 2,a b ac 442-).②a>O 时,当x=－ab2时, y 有最小值为ab ac 442-;a<O 时,当x=－ab2时, y 有最大值为ab ac 442-.③对称轴为x=－ab 2, a>O 时, 对称轴左侧图象从左到右下降,对称轴右侧图象从左到右上升;③a>O 时,当x<－ab2时, y 随x 的增大而减小;当x>－ab 2时,y 随x 的增大而增大;a<O 时,当x<－ab2时,三、二次函数图象的平移 1、 平移步骤:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2、 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上瞧,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++就是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=，.五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图、一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)、画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点、 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1、 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a>-时,y 随x 的增大而增大; 当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a -.2、 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a>-时,y 随x 的增大而减小; 当2bx a =-时,y 有最大值244ac b a -.七、二次函数解析式的表示方法1、 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);2、 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);3、 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 就是抛物线与x 轴两交点的横坐标)、 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化、 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1、 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大. 总结起来,a 决定了抛物线开口的大小与方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.2、 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就就是y 轴; 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就就是y 轴; 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置. 3、 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0;⑶当0c<时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之,只要a b c，，都确定,那么这条抛物线就就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1、已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2、已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4、已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1、关于x轴对称2=---;y ax bx c=++关于x轴对称后,得到的解析式就是2y ax bx c()2=---;y a x h k=-+关于x轴对称后,得到的解析式就是()2y a x h k2、关于y轴对称2=-+;y ax bx c=++关于y轴对称后,得到的解析式就是2y ax bx c()2=++;y a x h k=-+关于y轴对称后,得到的解析式就是()2y a x h k3、关于原点对称2=-+-;y ax bx c=++关于原点对称后,得到的解析式就是2y ax bx c()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式就是()2y a x h k =-+-;4、 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式就是222b y ax bx c a=--+-;()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式就是()2y a x h k =--+. 5、 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后,得到的解析式就是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上就是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 十、二次函数与一元二次方程:1、 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况、 图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，就是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点、1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.2、 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;3、 二次函数常用解题方法总结:⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶根据图象的位置判断二次函数2=++中a,b,c的符号,或由二次函y ax bx c数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求与已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标、⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)++≠本身就就是所含字母ax bx c aa>时为例,揭示二次函数、二次三项式与一元二次方程之间的内在x的二次函数;下面以0联系:十一、实际问题与二次函数1.利用二次函数求几何图形面积的最值问题2.利用二次函数求最大利润问题3.建立适当的坐标系解决实际问题4.利用二次函数解决图形运动问题第二十三章旋转一、图形的旋转1、图形旋转有关的概念2、旋转的性质及其应用3、图形旋转的作图步骤4、旋转、平移与轴对称的异同点5、利用旋转巧添辅助线解题6、旋转问题中的常见图形二、中心对称1.中心对称的概念2.中心对称的性质3.中心对称的作图方法4.中心对称图形5.关于原点对称的点的坐标6.中心对称与中心对称图形的区别与联系7.对称图形在平面直角系中的综合应用第二十四章圆一、圆的概念集合形式的概念: 1、圆可以瞧作就是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以瞧作就是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以瞧作就是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就就是以定点为圆心,定长为半径的圆;固定的端点O为圆心。