吴昊霖的讲义-整数的奇偶性
例1.用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？’
例2.7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？
例3.有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？
（2）相邻的两个自然数必然是一个奇数和一个偶数；
（3）任意三个自然数中必然有两个数的奇偶性相同；
（4）奇数±奇数﹦偶数，偶数±偶数﹦偶数；
（5）奇数±偶数﹦奇数，偶数±奇数﹦奇数；
（6）奇数个奇数相加的和是奇数，偶数个奇数相加的和是偶数；
（7）偶数×偶数﹦偶数，偶数×奇数﹦偶数，奇数×偶数﹦偶数，奇数×奇数﹦奇数；
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8.将3998张卡片分成两组，每组1999张，在每组的1999张卡片上分别写上1，2，3…，1998，1999，每次从两组中分别任意抽取两张，共得到1999对卡片.计算每对卡片上两个数的和，则这1999个和的积是奇数还是偶数？
9.苹果、梨、橘子这三种水果都有许多，混在一起合成一大堆，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨、橘子），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数.
环球雅思学科教师辅导讲义
讲义编号GELYsxsrl024
学员编号：GELY141128whl年级：五年级课时数：3
学员姓名:吴昊霖辅导科目：数学学科教师：孙仁龙
学科组长签名及日期
教务长签名及日期
课题
整数的奇偶性
授课时间：2014.12.2013:00-15:00
备课时间：2014.12.16
教学目标
4.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？
5.学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？
考点及考试要求
整数的奇偶性是奥数中的重要组成部分，因此一定要掌握好。
教学内容
【新授知识讲解】
一、基本概念：
一个整数按照能否被2整除分为两大类：能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。0是偶数
二、表示方法：一般地，偶数可以写作2n，奇数可以写作2n＋1（n为整数）
三、奇偶数的性质：
（1）偶数不等于任何奇数；
3.在1993，1992，1991，…，2，1这1993个整数之间，任意添上加号或减号，其结果总是奇数，这是为什么？
4.1＋2×3＋4×5＋6×7＋…＋100×101的和是奇数，还是偶数？
5.某班学生参加学校的数学竞赛，试题共50道.评分标准是：答对1道给3分，不答给1分，答错倒扣1分，请你说明，不管情况如何，该班同学得分总数一定是偶数.
（3）这两个数的四个数字之和是14（）
例6.任意取出1994个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？
例7.新年前夕，同学们相互送贺年卡，每人只要接到别人赠的贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？
例8.有1993个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到1993各不相同.试问，能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由.
【课堂训练】
1.有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？
例4.一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，…，15页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？
例5.如果两个两位数的差是30，下面哪一种说法有可能是对的，请在它后面的括号里面画上“√”.
（1）这两个数的和是57（）
（2）这两个数的四个数字之和是19（）
6.平面上有99个点，每3个点都不在一条直线上，现在从每个点引出5条直线和其余的任意5个点相连，你能连成吗？为什么？
7.小芳买了一本有96张纸的练习本，并依次将每张纸的正反面编号（从第一页编到第192页），小芳从这本练习本中撕下25张纸，并将写在它们上的50个编号相加，试问，小芳所加的和数能不能是1994？
例9.一串数排成一行，它们的规律是头两个数都是1，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，….
试问：这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？
例10.在八个房间中，有七个房间开着灯，一个房间关着灯，如果每次同时拨动四个房间的开关，能不能把全部房间的灯关上？为什么？
11.甲、乙两人做游戏，先任意指定7个整数（允许有相同的），甲先把这7个整数以任意顺序填在下图第一行的方格内.然后，乙再将这7个数以任意的顺序填在下图的第二行的方格里，最后将所有的同一列的两个数的差（这样的数当然有7个）相乘.约定：如果积为偶数，算甲胜；如果积为奇数，算乙胜.请你判断一下，究竟谁获胜，为什么？
6.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？
【课后作业】
1.能否将1～25这25个自然数分成若干组，使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和？
2.已知a、b、c都是质数，且a＋b﹦c，那么a×b×c的最小值是多少？
（8）若干个奇数的积是奇数；若干个偶数的积是偶数；
（9）若一个偶数能被奇数整除，则商是偶数，任何奇数都不能被偶数整除；
（10）如果两个自然数的和或差是偶数，那么这两个自然数都是奇数或者都是偶数；
（11）偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4和8除都余1；
（12）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是完全平方数.如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是完全平方数。
2.一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？
3.1983年中央电视台在小学生智力竞赛中有一道题是：12张卡片，其中3张写着1，3张写着3，3张写着5，3张写着7，你能否从中选出5张，使它们的和为20，为什么？
4.有9只杯口全部向上的杯子，每次将其中4只同时“翻转”，问能不能经过若干次“翻转”使杯口全部向下？为什么？
2.一本书由17个故事组成，各个故事排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？
3.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？
10.有大小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚黑棋子.小盒子内装有足够多的黑棋子.张明每次从大盒子内随意摸出两枚棋子：若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取出一枚黑子放入大盒，若摸出的两枚棋子异色，则把其中白子放回大盒内.问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还有几枚棋子？它们是什么颜色？
1.尝试用“列表”、画“示意图”等方法发现规律，运用数的奇偶性解决生活中一些简单的问题。
2.经历探索加法中数的奇偶性变化的过程，在活动中发现加法中数的奇偶性的变化规律，在活动中体验研究方法，提高推理能力。
重点、难点
重点：发现并掌握数的奇偶性的变化规律。
难点：应用数的奇偶性变化规律分析和解决生活中的一些简单问题。
5.有一串数1，9，9，8…从第五个数起，每个数字都等于它前面四个数字之和的个位数字，这样一直写下去，在前99个数（包括第99个数）中，有多少个偶数？
6.100个自然数，它们的和是10000，在这些数里，奇数的个数比偶数的个数多.问这些数里至多有多少个偶数.
【巩固训练】
1.在11，111，1111，11111，…这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗？
例11.a、b、c都是质数.c是一位数，且a×b＋c﹦1993，那么a＋b＋c﹦.
例12.沿江有A1、A2、A3、A4、A5、A6六个码头，相邻两个码头间距离都相等.早晨有甲、乙两船从A1出发，各自在这些码头间多次往返运送货物.傍晚，甲船停泊在A6码头，而乙船返回A1码头.求证：无论如何两船的航程总不想等.
x＋y与x-y的奇偶性相同
x＋y与x-y的奇偶性相同
吴行民
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2009(000)007
【摘要】当x、y都是整数时，x＋y与x—y的奇偶性相同．在解题时，若能注意到这一事实，不少题目变得易于获解．下面举例说明．
【总页数】1页(P26)
【作者】吴行民
【作者单位】河南省濮阳市油田建工18中,457001
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.用命题的方法研究函数的奇偶性--“函数的基本性质：奇偶性”教学案例与反思
2.满足条件f（x）＋f（y）=2f（（x＋y）／2）f（（x-y）／2）的函数浅探
3.用命题的方法研究函数的奇偶性——"函数的基本性质:奇偶性"的教学案例与反思
4.巧用“a＋b与a-b的奇偶性相同”
5.积分算子f|→∫e^(ih(x,y))K(x-y)f(y)dy|x-
y|<1带权不等式
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数的奇偶性讲课逐字稿
数的奇偶性讲课逐字稿同学们，今天我们要一起探讨一个非常有趣的数学概念——数的奇偶性。
这个概念在我们的日常生活中非常常见，比如我们经常会遇到一些需要区分奇数和偶数的情况。
那么，什么是奇数和偶数呢？让我们一步步来揭开这个谜题。
首先，我们来看一个简单的定义。
在自然数中，能被2整除的数被称为偶数，而不能被2整除的数则被称为奇数。
例如，2、4、6、8等都是偶数，而1、3、5、7等则是奇数。
接下来，我们通过一些例子来加深理解。
假设我们有一个班级，里面有30个学生。
如果我们要将这些学生分成两组进行游戏，每组15人，那么我们可以很容易地做到这一点，因为30是一个偶数。
但如果班级里有31个学生，我们就很难平均分成两组了，因为31是一个奇数。
现在，让我们来看一些关于奇偶性的数学性质。
首先，偶数加偶数总是得到一个偶数，奇数加奇数也总是得到一个偶数，而偶数加奇数则得到一个奇数。
同样，偶数乘以偶数、奇数乘以奇数都是偶数，而偶数乘以奇数则是奇数。
为了帮助大家更好地记忆这些性质，我们可以做一个小游戏。
我会随机给出一些数，然后请大家判断它们的奇偶性，并且解释为什么。
比如，数字7，它是奇数，因为它不能被2整除，除以2会余1。
此外，我们还可以探讨一下奇偶性在实际生活中的应用。
比如在计算机科学中，奇偶性可以用来检测数据传输中的错误。
在体育比赛中，奇偶性也可以用来决定谁先发球或者谁先选择场地。
最后，我们来做一个小练习。
我会给大家出几道题目，让大家判断一些数的奇偶性，并解释你们的判断依据。
比如，数字100，它是偶数，因为它可以被2整除，没有余数。
通过今天的学习，希望大家能够掌握奇偶性的基本概念和性质，并能够灵活运用到实际问题中去。
现在，让我们开始今天的练习吧！。
[五年级春季]第四讲：数的奇偶性[分析与解]_小林老师与木木同学_新浪博客
![[五年级春季]第四讲：数的奇偶性[分析与解]_小林老师与木木同学_新浪博客](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/5b8b62a8a1116c175f0e7cd184254b35eefd1a26.webp)
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2、奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；3、奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数；任意多个偶数的和（或差）为偶数。
4、奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数；5、若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，则积为偶数；如果所有的因数都是奇数，则积为奇数；6、偶数的平方能被4整除，奇数的平方除以4余1，奇数的平方除以8也余1；7、相邻两个整数中，一定有一个奇数，另一个是偶数；8、相邻两个奇数相差2，相邻的两个偶数也相差2.精典例题例1：数列1+2+3+4+……+2003+2004的结果是奇数还是偶数？思路点拨偶数的和还是偶数，1+2+3+4+……+2003+2004的结果是奇数还是偶数，由1+3+5+……+2003的结果来决定。
1+3+5+……+2003一共有2004÷2=1002个奇数，偶数个奇数的和是偶数，1+3+5+……+2003的结果是偶数，从而可得1+2+3+4+……+2003+2004的结果是偶数。
【分析与解】①1至2004的连续自然数共有2004个，其中奇数有：2004÷2=1002个②所有奇数和：偶数个奇数的和是偶数。
③所有数的和是偶数。
模仿练习数列1+2+3+4+……+1997+1998的结果是奇数还是偶数？【分析与解】①1至1998的连续自然数共有1998个，其中奇数有：1998÷2=999个②所有奇数和：奇数个奇数的和是奇数。
③所有数的和是奇数。
数字的奇偶性与整除性质知识点总结
数字的奇偶性与整除性质知识点总结数字的奇偶性与整除性知识点总结数字的奇偶性和整除性是数学中非常基础但重要的概念。
它们在数论、代数和计算机科学等各个领域都有重要应用。
本文将总结数字的奇偶性与整除性的相关知识点，并探讨其应用。
一、数字的奇偶性在自然数集中，数字可以被分为奇数和偶数两类。
奇数是不能被2整除的数，偶数则可以被2整除。
1. 奇数的性质：- 任何奇数都可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
- 任意两个奇数的和是偶数。
- 任意奇数与偶数的积是偶数。
2. 偶数的性质：- 任何偶数都可以表示为2n的形式，其中n为整数。
- 任意两个偶数的和是偶数。
- 任意偶数与奇数的积是偶数。
奇偶性在数学推导和计算中有重要的应用。
例如，在判断数字是否可以整除时，我们可以利用奇偶性质来简化计算。
二、数字的整除性在数学中，整除性是指一个数能够被另一个数整除，也可以称为倍数关系。
1. 整除的定义：给定两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b * c，则称a能够被b整除（或b是a的约数），记作b|a。
其中符号“|”表示整除关系。
2. 整除的性质：- 对任意整数a，a|0，0|a。
- 如果a|b，且b|c，则a|c（传递性）。
- 如果a|b且a|c，则a|(b + c)和a|(b - c)。
- 如果a|b，且a|c，则a|（b + c）和a|（b - c）。
整除性是数论中重要的概念，它与素数、因数分解等概念密切相关。
在计算中，我们常常利用整除性质来简化计算或判断数的性质。
三、奇偶性与整除性的关系数字的奇偶性与整除性之间有一些重要的联系。
1. 奇偶数的乘积：- 任何偶数与偶数的乘积是偶数。
- 任何奇数与奇数的乘积是奇数。
- 任何奇数与偶数的乘积是偶数。
2. 偶数与整除性：- 一个整数能够被2整除，当且仅当它是偶数。
- 如果一个整数能够被另一个偶数整除，那么它也能够被2整除。
通过运用奇偶性与整除性的关系，我们可以简化计算、推导和证明过程，提高解题效率。
高考数学大一轮复习 第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性课件
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规律方法 1 1.本例第(1)题，若盲目化简：f(x)＝ x＋12·xx－＋11＝ x2－1将扩大函数的定义域，作出错
误判断．第(2)题易忽视定义域无从入手．
2．判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原
点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，
根据 f(－x)与 f(x)的关系作出判断，对于分段函数，应分情
不等式fx＋xf－x＞0 的解集为________．
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【答案】
(1)－1
(2)f(x)＝
x2－2x，x≥0， x2＋2x，x＜0
＜－2 或 0＜x＜2}
(3){x|x
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规律方法 2 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式，常 利用奇偶性构造关于 f(x)的方程，从而可得 f(x)的解析式．
(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数， 常常采用待定系数法：利用 f(x)±f(－x)＝0 产生关于字母的恒 等式，由系数的对等性可得知字母的值．
(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称 的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性相反．
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对点训练 (1)(2014·湖南高考)已知 f(x)，g(x)分别是定义
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1．奇、偶函数对称区间上的单调性 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． 2．奇函数图象与原点的关系： 如果奇函数 f(x)在原点有定义，则 f(0)＝0.
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二、周期性 1．周期函数：T 为函数 f(x)的一个周期，则需满足的条 件： ①T≠0； ② f(x＋T)＝f(x) 对定义域内的任意 x 都成立． 2．最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在 一个_最__小__的__正__数__，那么这个最__小__的__正__数___就叫做它的最小正 周期．
第一讲__整数奇偶性与整除性分析
• 定义3:(最小公倍数)设a,b是两个非零整数，一个同时为 a,b倍数的数称为它们的公倍数，a、b的公倍数有无穷多个 ，这其中最小的一个称为a、b的最小公倍数，记作[a,b]. 对于多个非零实数a,b,…,c，可类似地定义它们的最小公倍 数［a,b,…,c］. 最小公倍数主要有以下几条性质： • 1）a与b的任一公倍数都是[a,b]的倍数，对于多于两个数 的情形，类似结论也成立； • 2）两个整数a,b的最大公约数与最小公倍数满足： (a,b)[a,b]=|ab|(但请注意，这只限于两个整数的情形， 对于多于两个整数的情形，类似结论不成立)； • 3）若a,b,…,c两两互素，则［a,b,…,c］＝｜a·b·…·c｜； • 4）若a|d，b|d,……，c|d且两两互素，则a·b·…·c｜d.
2000 个 0
10 01 10 证明：
2000 个0
2001
1 (103 ) 667 1 (103 1)[(103 ) 666 (103 ) 665 103 1]
.
01 所以103+1(=1001)整除 10
2000 个 0
例6 若17|(2a+3b),试证：17|(9a+5b).
证明：注意到2(9a+5b)=9(2a+3b)－17b,于是17|2(9a+5b). 但是(17,2)=1,即得17|(9a+5b).
三 · 最大公约数、最小公倍数
• 定义2：（最大公约数）设a，b不全为零，同时整除a,b的 整数（如 1）称为它们的公约数. 因为a,b不全为零，故 a,b的公约数只有有限多个，我们将其中最大一个称为a,b 的最大公约数，用符号（a,b）表示. 显然，最大公约数是 一个正整数. • 当（a,b）＝1（即公约数只有 1）时，我们称a与b 互素（互质）。这是数论中的非常重要的一个概念. • 同样，如果对于多个（不全为零）的整数a,b,…c， 可类似地定义它们的最大公约数（a,b,…c）. 若（ a,b,…c）＝1，则称a,b,…c互素. 请注意，此时不能推 出a,b,…c两两互素；但反过来，若（a,b,…c）两两互素 ，则显然有（a,b,…c）＝1.
数学奥赛辅导 第一讲 奇数、偶数、质数、合数
数学奥赛辅导第一讲奇数、偶数、质数、合数知识、方法、技能Ⅰ.整数的奇偶性将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m（m∈Z），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m 或8m+4的形式（m∈Z）.（3）任何一个正整数n，都可以写成l的形式，其中m为非n m2负整数，l为奇数.这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.Ⅱ.质数与合数、算术基本定理大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数.显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数.定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数A 都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A 可以写成标准分解式：n a n a a p p p A 2121⋅= （*）.其中i n p p p p ,21<<< 为质数，i α为非负整数，i =1，2，…，n .【略证】由于A 为一有限正整数，显然A 经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积，把相同的质因子归类整理可得如（*）的形式（严格论证可由归纳法证明）.余下只需证惟一性.设另有j m n q q q q q q q A m,,212121<<<⋅= 其中βββ为质数，i β为非负整数，j=1，2，…，m .由于任何一i p 必为j q 中之一，而任一j q 也必居i p 中之一，故n=m .又因),,2,1(,,2121n i q p q q q p p p i i n n ==<<<<<则有，再者，若对某个i ，i i βα≠（不妨设i i βα>），用i i p β除等式n n n a n a a p p p p p p βββ 21122121⋅=两端得：.11111111n i i n i i n i i n i p p p p p p p ββββεβαα +-+--⋅=此式显然不成立（因左端是i p 的倍数，而右端不是）.故i i βα=对一切i =1，2，…，n 均成立.惟一性得证.推论：（合数的因子个数计算公式）若nn p p p A ααα 2121=为标准分解式，则A 的所有因子（包括1和A 本身）的个数等于).1()1)(1(21+++n ααα（简记为∏=+ni i 1)1(α）这是因为，乘积2222212111()1()1(21nn p p p p p p p p ++++++⋅++++ αα )nn p α++ 的每一项都是A 的一个因子，故共有∏=+ni i 1)1(α个. 定理：质数的个数是无穷的.【证明】假定质数的个数只有有限多个,,,21n p p p 考察整数.121+=n p p p a 由于1>a 且又不能被),,2,1(n i p i =除尽，于是由算术基本定理知，a 必能写成一些质数的乘积，而这些质数必异于),,2,1(n i p i =，这与假定矛盾.故质数有无穷多个.赛题精讲例1．设正整数d 不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素a ,b ，使得a b －1不是完全平方数. （第27届IMO 试题）【解】由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d －1，5d －1，13d －1中至少有一个不是完全平方数. 用反证法，假设它们都是完全平方数，令2d －1=x 2 ①5d －1=y 2 ②13d －1=z 2 ③x,y,z ∈N *由①知，x 是奇数，设x =2k －1，于是2d －1=（2k －1）2，即d =2k 2－2k+1，这说明d 也是奇数.因此，再由②，③知，y,z 均是偶数.设y=2m ,z =2n ,代入③、④，相减，除以4得，2d =n 2－m 2=(n+m)(n －m)，从而n 2－m 2为偶数，n ，m 必同是偶数，于是m+n 与m －n 都是偶数，这样2d 就是4的倍数，即d 为偶数，这与上述d 为奇数矛盾.故命题得证.例2．设a 、b 、c 、d 为奇数，bc ad d c b a =<<<<并且,0，证明：如果a +d =2k ，b+c=2m ，k,m为整数，那么a =1. （第25届IMO 试题）【证明】首先易证：.22m k >从而add a d a c b a d m k 4)()(,(22+-=+->->于是因为 22)(4)(c b bc c b +=+->.再由,222,2,22a b a b b c a d bc ad k m m k -=⋅-⋅-=-==可得 因而))(()2(2a b a b a b m k m -+=⋅-- ①显然，a b a b -+,为偶数，a b m k --2为奇数，并且a b a b -+和只能一个为4n 型偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a 不是4的倍数），因此,如果设f e a b m k ⋅=--2，其中e,f 为奇数，那么由①式及a b a b -+,的特性就有（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21f a b e a b m 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21e a b f a b m 由f a b a b a b efm k 222≤-<-≤-=- 得e=1， 从而.2a b f m k --=于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--)2(2,21a b a b a b m k m 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--12),2(2m m k a b a b a b 解之，得1122-+-=⋅m m k a .因a 为奇数，故只能a =1.例3．设n a a a ,,,21 是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a 1a 2a 3a 4+a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0，证明：n 必须是4的倍数. （第26届IMO 预选题）【证明】由于每个i a 均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项321+++i i i i a a a a 也只取1或－1，而这样的n 项之和等于0，则取1或－1的个数必相等，因而n 必须是偶数，设n=2m.再进一步考察已知等式左端n 项之乘积=(n a a a 21)4=1，这说明，这n项中取－1的项（共m 项）也一定是偶数，即m=2k ，从而n 是4的倍数.例4．如n 是不小于3的自然数，以)(n f 表示不是n 的因数的最小自然数[例如)(n f =5].如果)(n f ≥3，又可作))((n f f .类似地，如果))((n f f ≥3，又可作)))(((n f f f 等等.如果2)))(((= n f f f f ，就把k 叫做n 的“长度”.如果用n l 表示n 的长度，试对任意的自然数n （n ≥3），求n l ，并证明你的结论.（第3届全国中学生数学冬令营试题）【解】令m t n m ,2=为非负整数，t 为奇数. 当m=0时，2)()(==t f n f ，因而l n =1；当0≠m 时，设u 是不能整除奇数t 的最小奇数，记).(t g u =（1）若.2,2))((,)(,2)(1===<+n m l n f f u n f t g 所以则（2）若.3,2)3()))(((,3)2())((,2)(,2)(111======>+++n m m m l f n f f f f n f f n f t g 所以则故⎪⎩⎪⎨⎧>>==+.,2);)((2)(,,0,2,3;,11其他情形如上且为奇数当为奇数时当t g t g t m t n n l m m n例5．设n 是正整数，k 是不小于2的整数.试证：k n 可表示成n 个相继奇数的和.【证明】对k 用数学归纳法.当k=2时，因),12(312-+++=n n 命题在立.假设k=m 时成立，即,)12()3()1(2n na n a a a n m +=-++++++= （a 为某非负数） 则,)()(2221n n n na n n n na n n n m m +-+=+=⋅=+若记n n na b -+=2（显然b 为非负偶数），于是1),12()3()1(21+=-++++++=+=+m k n b b b n nb n m 即 时，命题成立，故命题得证.例6．在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）【解】令符合题设条件的闭折线为A 1A 2…A n A 1，则所有顶点i A 的坐标（i i y x ,）符合).,,2,1(,n i Z y x i i =∈并且C n i C Y X i i ,,2,1(22 ==+为一固定的正整数），其中),,,,,2,1(,111111y y x x n i y y Y x x X n n i i i i i i ===-=-=++++ 则由已知有∑==n i i X1,0 ① ∑==n i i Y1,0 ②2222222121n n Y X Y X Y X +==+=+ ③不妨设i i Y X 和中至少有一个为奇数（因为设m t X i m i ,2=是指数最小的，t i 为奇数，用2m 除所有的数后，其商仍满足①、②、③式），于是它们的平方和C 只能为4k+1或4k+2.当C=4k+2时，由③知，所有数对i i Y X 与都必须是奇数，因此，根据①、②式知，n 必为偶数.当C=4k+1时，由③知，所有数对i i Y X 与都必一奇一偶，而由①知，X i 中为奇数的有偶数个（设为2u ），余下的n －2u 个为偶数（与之对应的Y i 必为奇数），再由②知，这种奇数的Y i 也应有偶数个（设为u n 22-=ν），故)(2ν+=u n =偶数. 综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线.例7．求出最小正整数n ，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数.（第26届IMO 预选题）【解】根据题目要求，n 是10个连续整数积的倍数，因而必然能被2，3，…，10整数.由于8=23，9=32，10=2×5，故其标准分解式中，至少含有23·32·5·7的因式，因此，若设 ,11753254321 ααααα⋅⋅⋅⋅=n 则.1,1,2,34321≥≥≥≥αααα由,144)1)(1)(1)(1(4321=++++ αααα而,482234)1)(1)(1)(1(4321=⋅⋅⋅≥++++αααα故最多还有一个,2),5(0≤≥>j j j αα且为使n 最小，自然宜取.025≥≥α由)0(144)1)(1)(1)(1()0(144)1)(1)(1)(1)(1(54321554321时或时==++++≠=+++++ααααααααααα,考虑144的可能分解，并比较相应n 的大小，可知合乎要求的（最小）,2,521==αα,1543===ααα故所求的.11088011753225=⋅⋅⋅⋅=n下面讲一个在指定集合内的“合数”的问题.这种合数与通常的合数有区别，题中的“素元素”是指在该集合内的素数，也与通常的素数有区别.例8．设n>2为给定的正整数，{}.,1*N k kn V n ∈+=试证：存在一数,n V r ∈这个数可用不只一种方式表示成数集V n 中素元素的乘积. （第19届IMO 试题）【证明】由于V n 中的数都不小于),2(1>+n n 因而n V n n n n ∈-⋅---)12()1(,)12(,)1(22.显然)12()1(,)1(2-⋅--n n n 是V n 中的素元素.又若（2n －1）2不是V n 中素元素，则有,)12()1()1(,12-=+⋅+≥≥n bn an b a 使由此有,44b a abn n ++=-于是,31≤≤ab 从而b=1,a =1;b=1,a =2,b=1,a =3,对此就有,8,28,2=n 故n=8.这说明 ，当2)12(,8-≠n n 时就是V n 中素元素. 当)]12)(1[()12()1(,.)12()1(,82222--=--=∈--=≠n n n n r V r n n r n n 且显然令时)].12)(1[(--n n 当n=8时，有1089=136×8+1=9×121=33×33，而9，121，33∈V 8.综上知，命题得证.例9．已知n ≥2，求证：如果n k k ++2对于整数k （30n k ≤≤）是质数，则n k k ++2对于所有整数)20(-≤≤n k k 都是质数.（第28届（1987）国际数学奥林匹克试题6）【证】设m 是使n k k ++2为合数的最小正整数.若n m m p n m n ++-≤<2,23是令的最小质因子，则n m m p ++≤2. （1）若m ≥p ，则p|(m －p)2+(m －p)+n. 又(m －p)2+(m －p)+n ≥n ＞p ，这与m 是使n k k ++2为合数的最小正整数矛盾.（2）若m ≤p －1，则n m p m p n m p m p +---=+--+--))(1()1()1(2被p 整除，且.)1()1(2p n n m p m p >≥+--+--因为n m p m p +--+--)1()1(2为合数，所以.12,1+≥≥--m p m m p 由 ,122n m m p m ++≤≤+ 即 ,01332≤-++n m m 由此得363123n n m <-+-≤ 与已知矛盾.所以，对所有的n k k n k n ++-≤<2,23为质数.。
探索整数的奇偶性
探索整数的奇偶性整数是数学中的基本概念，包括自然数、负整数和零。
在整数的范围内，我们发现整数可以被分为两个不同的类型，即奇数和偶数。
本文将探索整数的奇偶性，分析其特点和性质。
1. 奇数的定义及特点奇数是指不能被2整除的整数。
奇数的特点是末尾数字为1、3、5、7、9。
例如：1、3、5、7、9等都是奇数。
奇数在数轴上位于偶数的两侧，相邻的奇数之间间隔为2。
2. 偶数的定义及特点偶数是指能被2整除的整数。
偶数的特点是末尾数字为0、2、4、6、8。
例如：2、4、6、8、10等都是偶数。
偶数在数轴上相邻的两个偶数之间的间隔也是2。
3. 整数奇偶性之间的关系整数的奇偶性是相互联系的，每个整数必定是奇数或偶数。
奇数加偶数得到奇数，奇数加奇数得到偶数，偶数加偶数得到偶数。
换言之，两个奇数之和或两个偶数之和均为偶数，奇数与偶数的和为奇数。
4. 整数的乘法规律奇数与奇数相乘得到奇数，奇数与偶数相乘得到偶数，偶数与偶数相乘得到偶数。
这个规律可以通过数学归纳法进行证明。
5. 整数的性质及应用奇数和偶数在实际生活中有广泛的应用。
例如，在日历上的日期分奇偶日，每周特定的日期为奇数或偶数，这样可以方便人们安排工作和生活。
此外，奇数和偶数在计算机编程中也有重要的应用，比如判断一个数是奇数还是偶数，根据奇偶性选择不同的操作等。
6. 整数奇偶性的判断方法判断一个整数的奇偶性有多种方法，常见的有以下几种：a. 末尾数字法：直接观察整数的末尾数字，如果为0、2、4、6、8，则为偶数；如果为1、3、5、7、9，则为奇数。
b. 除以2法：将整数除以2，如果余数为0，则为偶数；如果余数为1，则为奇数。
c. 位运算法：使用位运算符 & 来判断整数的奇偶性，将整数与1进行按位与操作，如果结果为0，则为偶数；如果结果为1，则为奇数。
7. 总结整数的奇偶性在数学中扮演着重要的角色，它们有着不同的特点和性质。
通过对整数奇偶性的探索和理解，我们可以更好地应用于实际生活中的不同领域，如日历日期、计算机编程等。
数字的奇偶性质掌握数字的奇偶性质及其应用
数字的奇偶性质掌握数字的奇偶性质及其应用数字的奇偶性质与应用数字的奇偶性质是数学中一个基本且重要的概念，指的是整数可以分为奇数和偶数两种类型。
本文将探讨数字的奇偶性质以及其应用。
一、奇偶数的定义与区别在了解奇偶性质之前，我们需要先了解奇数和偶数的定义和区别。
一个整数，如果能够被2整除，那么它就是偶数；反之，如果不能被2整除，那么它就是奇数。
例如，数字2、4、6、8等都是偶数，而数字1、3、5、7等都是奇数。
奇数和偶数之间存在明显的区别。
奇数与偶数的主要差异在于其末位数字。
奇数的末位数字通常是1、3、5、7或9，而偶数的末位数字则通常是0、2、4、6或8。
二、奇偶数的性质数字的奇偶性质可以通过以下几个方面进行探讨：1. 加法性质：两个奇数的和一定是偶数，两个偶数的和一定是偶数，一个奇数和一个偶数的和一定是奇数。
例如，3+5=8，4+6=10，2+5=7。
2. 乘法性质：两个奇数的乘积一定是奇数，两个偶数的乘积一定是偶数，一个奇数和一个偶数的乘积一定是偶数。
例如，3×5=15，4×6=24，2×5=10。
3. 平方性质：任意整数的平方一定是非负数，即平方数一定是非负数。
奇数的平方一定是奇数，偶数的平方一定是偶数。
例如，(-3)²=9，(4)²=16，(5)²=25。
4. 除法性质：当一个偶数被2整除时，商一定是偶数；当一个奇数被2整除时，商可能是奇数也可能是偶数。
例如，8 ÷ 2 = 4（整除，商为偶数），5 ÷ 2 = 2余1（不整除，商为奇数）。
三、奇偶性质的应用数字的奇偶性质在数学问题的求解中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景。
1. 判断整数的奇偶性：通过对一个整数进行2的整除运算，可以得知其奇偶性。
当一个整数被2整除时，如果得到的商是0，则该数为偶数；如果得到的商是1，则该数为奇数。
例如，32 ÷ 2 = 16（偶数），21 ÷ 2 = 10余1（奇数）。
第二讲 整数的奇偶性
第二讲 整数的奇偶性阅读与思考在自然数这个大家族中，可按被2除的余数不同划分为奇数和偶数两大类。
我们把能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可用2n （n 取自然数）表示，奇数用（2n+1）（n 为自然数）或（2n-1）（n 为大于0的自然数）表示。
关于奇数和偶数具有以下性质：1、一个自然数不是奇数就是偶数；2、两个数相加、相减、相乘，其结果的奇偶性如下：3、两个连续自然数必是一奇一偶，这两数的和一定是奇数，积一定是偶数；4、若干个奇数的积是奇数，任意自然数乘偶数积是偶数；偶数个奇数之和为偶数，奇数个奇数之和为奇数；自然数a+b 与a-b 的奇偶性相同。
5、偶数的平方能被4整除；奇数的平方被4除余1，奇数的平方被8除也余1。
我们掌握了数的奇偶性，就可以巧妙地用奇偶数进行分析讨论，解决许多有趣的题目。
典型例题|例①|有12张卡片，其中三张写着1，三张写着3，三张写着5，三张写着7，你能否从中选出5张，使它们的和是20，为什么？分析与解 因为1、3、5、7都是奇数，选出的张数也是奇数，根据自然数的奇偶性：奇数个奇数的和为奇数。
所以，无论选几，选出的5张卡片不可能使它们的和是20.训练快餐1任意取出2006个连续的自然数，它们的总和是奇数还是偶数？|例②|有9枚1元的硬币，“1元”面朝上放在桌子上，现规定每次翻动其中的8枚，你能否翻动几次，使“国徽”面全部朝下？分析与解 对于每枚硬币来说，当“国徽”面朝上时，只有翻动奇数次，才能使“国徽”朝下，要使9枚硬币的“国徽”面全部朝下，必须经过9个奇数之和次“翻动”，即“翻动”的总次数是奇数，但按规定每次“翻动”其中的8枚，无论经过多少次“翻动”，翻动的总次数只能是偶数。
所以无论多少次的“翻动”，都不可能使9枚“国徽”面全部朝下。
训练快餐23只杯子杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子，使其杯口朝下，能否经过若干次翻转，使3只杯子全部杯口朝下？|例③|能不能将1010写成10个连续自然数之和？如：75=3+4+5+6+7+8+9+10+11+12，如果能，把它写出来；如果不能，请说明理由。