2020-2021学年天津市南开区高一上学期期末考试数学试题Word版含解析
2020-2021学年天津市南开区高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．72．与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣π D．π3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣C．D．4．下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx5．已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D 顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣x）的最小正周期为πB．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+，0）（k∈Z）D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）10．设函数f（x）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．函数f（x）=的定义域为．12．函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为；最大值为．13．如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．14．如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ= ．15．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x 1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a= ．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．已知集合A={x|2x﹣6≤2﹣2x≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．18．设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．19．设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．20．函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．2020-2021学年天津市南开区高一上学期期末考试数学试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁（A∪B）中元素个数为（）UA．4 B．5 C．6 D．7【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据已知中集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，结合集合并集，补集的定义，可得答案．【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2，4，5}，∴A∪B={1，2，4，5}，又∵集合U={n|n∈N*且n≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，（A∪B）={3，6，7，8，9}，∴∁U故∁（A∪B）共有5个元素，U故选：B．2．与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣π D．π【考点】终边相同的角．【分析】把化成15°，再根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，即可得答案．【解答】解：由α=+2kπ（k∈Z），得与角α终边相同的角是：，360°+15°=375°．故选：B．3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接由三角函数的诱导公式化简求值即可得答案．【解答】解：sin80°cos70°+sin10°sin70°=cos10°cos70°+sin10°sin70°=．故选：C．4．下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx【考点】函数奇偶性的判断．【分析】运用奇偶性的定义，即可判断出奇函数的函数．【解答】解：A，y=x+sinx，有f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），为奇函数；B，y=|x|﹣cosx，f（﹣x）=|﹣x|﹣cos（﹣x）=f（x），为偶函数；C，y=xsinx，f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；D，y=|x|cosx，f（﹣x）=|﹣x|cos（﹣x）=f（x），为偶函数．故选：A．5．已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由两角和的正切公式化简tan（θ+）=，求出tanθ的值，结合条件和三角函数值的符号判断出θ所在的象限．【解答】解：由题意得，tan（θ+）=，所以=，即，解得tanθ=＜0，则θ在第二或四象限，由cosθ＞0得，θ在第一或四象限，所以θ在第四象限，故选：D．6．函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】二分法的定义．【分析】判断f（x）=log2x+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出答案．【解答】解：f（x）=log2x+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增．∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（2，3）区间内∴函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3），故选：C．7．若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【考点】对数值大小的比较．【分析】由f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），能求出结果．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，∵log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），∴b＜a＜c．故选：B．8．如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D 顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或【考点】扇形面积公式．【分析】由题意可得旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，得：（cosα﹣sinα）2=，进而解得cosα﹣sinα=±，cosα+sinα=，联立解得cos α=，利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，由题意可得：（cosα﹣sinα）2=，可得：cosα﹣sinα=±①，2sinαcosα=又0＜α＜，可得：cosα+sinα==，②所以：由①②可得：cosα=．故α=或．故选：A．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣x）的最小正周期为πB．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+，0）（k∈Z）D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意，ω=2，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为π，φ=，f（﹣x）=Asin （﹣2x+），再进行验证，即可得出结论．【解答】解：由题意，ω=2，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为π，φ=，f（﹣x）=Asin（﹣2x+），x=+，﹣2x+=kπ+，f（﹣x）=Asin（﹣2x+）≠0，故选C．10．设函数f（x）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④【考点】分段函数的应用．【分析】根据已知中函数f（x）=，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．【解答】解：当a≤0时，则f（f（a））==﹣a，故①正确；当a≥1时，f（f（a））==，故③正确；当0＜a＜1，f（f（a））=log0.5（log0.5a）∈R，故此时存在0＜a＜1，使得f（f（a））=﹣a也存在0＜a＜1，使得f（f（a））=，故②④错误；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．函数f（x）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞﹣1且x≠0，故函数的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．12．函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为π；最大值为．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及最大值得出结论．【解答】解：函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）的最小正周期为=π，最大值为，故答案为：π，13．如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先对函数关系式进行平移变换，然后利用对应相等求出结果．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（x+φ）]=sin （2x+2φ）的图象，将函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，可得函数y=cos[2（x﹣φ）﹣]=cos（2x﹣2φ﹣）=sin[﹣（2x﹣2φ﹣）]=sin（﹣2x+2φ）=sin（2x﹣2φ+）的图象，二者能够完全重合，由题意可得，即：2x+2φ=2x﹣2φ++2kπ，k∈Z，解得：φ=kπ+，（k∈Z）=．当k=0时，φmin故答案为：．14．如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用差角的余弦公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，∠OAC=β﹣α，∵A，B是单位圆上两点且|AB|=，∴sinαsinβ+cosαcosβ=cos（β﹣α）=cos∠OAC==，故答案为．15．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x 1，x 2，x 3，且x 1+x 2+x 3=﹣，则a= ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】如图所示，画出函数f （x ）的图象，不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 1+x 2=2×，又x 1+x 2+x 3=﹣，可得x 3，代入a即可得出a ．【解答】解：如图所示，画出函数f （x ）的图象， 不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 1+x 2=2×=﹣3，又x 1+x 2+x 3=﹣， ∴x 3=． ∴a==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 16．已知集合A={x|2x ﹣6≤2﹣2x ≤1}，B={x|x ∈A ∩N}，C={x|a ≤x ≤a+1}． （Ⅰ）写出集合B 的所有子集；（Ⅱ）若A ∩C=C ，求实数a 的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集．【分析】（Ⅰ）根据题意，解2x ﹣6≤2﹣2x ≤1可得集合A ，又由B={x|x ∈A ∩N}，即可得集合B ，进而由子集的定义可得集合B 的子集；（Ⅱ）根据题意，分析可得C 是A 的子集，进而有：，解可得a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于集合A ，因为2x ﹣6≤2﹣2x ≤1，则x ﹣6≤﹣2x ≤0， 解可得：0≤x ≤2．即A={x|0≤x≤2}，又由B={x|x∈A∩N}，则B={0，1，2}；故B的子集有∅、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}；（Ⅱ）若A∩C=C，则C是A的子集，则必有：，解可得：0≤a≤1，即a的取值范围是：[0，1]．17．已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数，由函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，求出f（x）和f（﹣x）即可证得结论；（Ⅱ）由已知条件求出，再由θ为第一象限角，求出，然后利用三角函数的诱导公式化简计算即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数．证明：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）=f（﹣x）=．因此，函数f（x）为定义在R上的偶函数；（Ⅱ）∵f（θ+）=，∴．由于θ为第一象限角，故，∴cos（2θ+）===．18．设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．（Ⅱ）根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣（﹣x+1）2=﹣（x﹣1）2．∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2=﹣f（x），则f（x）=（x﹣1）2，x＜0，则函数f（x）的解析式f（x）=；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，则f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2为减函数，且f（x）＜﹣1＜f（0），当x＜0时，f（x）=（x﹣1）2为减函数，且f（x）＞1＞f（0），则函数f（x）在R上是减函数，则m2+2m＜﹣m，即m2+3m＜0，则﹣3＜m＜0，即m的取值范围是（﹣3，0）．19．设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．【考点】函数的值域．【分析】（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，利用cosβ==﹣cos2α=2sin2α﹣1求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，得出y=sinx在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，即可求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，∴cosβ==﹣cos2α=2sin2α﹣1∵α∈（0，），∴sinα=；（Ⅱ）由题意，函数f（x）=tanx在[﹣，α]上单调递增，∵α∈（0，），sinα=，∴cosα=，∴tanα=2，∴函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域为[﹣，2]，∴函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域为[﹣，2]，∴y=sinx在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，∴≤2m﹣≤，∴≤m≤．20．函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的诱导公式化简即可得答案；（Ⅱ）求出函数f（x）的最值即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1====，由于|AB|=2π，且线段AB与函数f（x）图象有五个交点，因此，故ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函数f（x）=，由题意知，因此x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2）=．即，．∵函数f（x）在[x1，x2]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，∴f（x）在x2处取得最大值，即=2．，即．∴=．=．。
天津市部分区2020-2021学年高一上学期数学答案
天津市部分区2020～2021学年度第一学期期末练习高一数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案DBCABCDBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．2π12．113．214．24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．①③三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 1cos 3α=，由22sin cos 1αα+=得，………………………………1分228sin 1cos 9αα=-=，……………………………………………2分又 α是第四象限角，∴sin 3α==-，…………………………………………4分∴sin 22sin cos ααα=，……………………………………………………5分9=-，…………………………………………………………6分22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………7分79=-.……………………………………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin tan cos ααα==-，…………………………9分∴tan()4πα-tan tan 41tan tan 4παπα-=+⋅，……………………………………11分97+==.…………………………………12分Oxy 864235302520151051017．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由502x ->，得52x <，……………………………………………1分所以函数()f x 的定义域为5(,)2-∞.…………………………………………3分（Ⅱ）令()0f x =，即log (52)0a x -=，………………………………………5分则521x -=，所以2x =，…………………………………………6分所以函数()f x 的零点为2.……………………………………………7分（Ⅲ）(1)log (75(2))log a a f -=--=，(1)log (52)log 3a a f =-=，…………………………………………………8分当1a >时，函数log a y x =是增函数，所以log 7log 3a a >，即(1)(1)f f ->.…………………………………………………………………10分当01a <<时，函数log a y x =是减函数，所以log 7log 3a a <，即(1)(1)f f -<……………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意，可得函数的解析式为：0,010,0.2,1020,0.44,20.x y x x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩……………………………………………6分………………………………9分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当1020x <≤时，24y <≤，………………………10分因为164y =>，∴20x >，令0.4416x -=，解得，50x =，…………………………………………11分故此销售人员为公司创造50万元的销售利润.……………………………12分19．（本小题满分12分）解：2()cos 2cossin 2sin 66f x x x x ππ=++-…………………1分31cos 2sin 2cos 2)22x x x =++--………………………2分13sin 2cos 222x x =-sin(23x π=-………………………………………………………3分(Ⅰ)22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为π.………………………………4分由2[2,2322x k k πππππ-∈-+，k Z ∈……………………………5分可得5[,]1212x k k ππππ∈-+，k Z ∈()f x ∴的单调递增区间为5[,)1212k k k Z ππππ-+∈；…………………………7分(Ⅱ)因为()f x 在区间[,]412ππ--上单调递减，…………………………………8分在区间[,]124ππ-上单调递增，…………………………………9分又1(42f π-=-，()112f π-=-，1(42f π=.所以()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，最小值为1-.………………12分20．（本小题满分12分）解：因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-即：112222xx x x m m ----⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得，11(1)2222x xx x m m ---+=-+解得，2m =.………………………………………………………………………3分(Ⅱ)12,x x ∀∈R ，且12x x <，则12121211()()2222x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………4分()1212112222x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()1212122122x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⋅⎝⎭…………………………5分由12,x x ∈R ，得1220,20xx >>，所以1211022x x +>⋅，………………………………………………………6分又由12x x <，得1222x x<，所以，12220xx -<.……………………………………………7分于是12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <所以()f x 在R 上单调递增.……………………………………8分（Ⅲ）因为()f x 是奇函数，由22(31)()0f x f kx x ++-≥得，22(31)()f x f x kx +≥-，由(Ⅱ)可知，函数()f x 在[]1,1-上单调递增，所以，对任意[]1,1x ∈-，不等式22(31)()f x f x kx +≥-恒成立，等价于2210x kx ++≥在[]1,1x ∈-上恒成立，………………………………………9分设2()21g x x kx =++，[]1,1x ∈-，即：min()0g x ≥，()g x 的对称轴为4kx =-.①当14k-≤-时，即4k ≥时，则()()min 130g x g k =-=-≥，无解.②当114k -<-<时，即44k -<<时，则()2min 1048k k g x g ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭，得，k -≤≤③当14k-≥时，即4k ≤-时，则()()min 130g x g k ==+≥，无解.综上，实数k 的取值范围是⎡-⎣.…………………………………12分。
天津市南开中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
天津市南开中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．cos675︒的值为（ ）A 2B ．2-C ．D ．122．在ABC 中，“sin sin A B =”是“A B =”的（ ） A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件3．函数()21ln f x x x =-的零点所在区间为（ ） A ．()01， B ．()12， C ．()23，D ．()34，4．若tan 3α=，则1cos 2sin 2αα+=（ ）A ．12-B ．13C ．13±D ．25．函数()222x xf x --=是（ ）A ．偶函数，在()0,+∞是增函数B ．奇函数，在()0,+∞是增函数C ．偶函数，在()0,+∞是减函数D ．奇函数，在()0,+∞是减函数6．已知角α的终边上一点(P x ，且cos α=，则x =（ ）A B C ．D ．7．设3log 6a =，5log 20b =，则2log 15(= ) A ．()()311a b a b +---B ．()()211a b a b +---C ．()()2311a b a b +---D ．()()2311a b a b +---8．若3sin )x x x ϕ-=+，其中02ϕπ<<，则ϕ=（ ） A ．23π B ．56π C ．53π D ．116π9．函数()cos xxf x e=的部分图像为（ ）A．B．C．D．10．将函数()sin f x x =的图像先向右平移3π个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．20,9⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．280,,199⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、填空题11．已知集合{}2log 1A x x =≤，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =_________. 12．函数()22,012,02x x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩的零点个数为_________.13．已知110, 0, 4a b a b>>+=，则4a b +的最小值为_______________.14．已知函数()sin y x ωϕ=+02πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，的部分图象如图所示，则ϕ=___________．15．天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮．如图，已知天津之眼的半径是55m ，最高点距离地面的高度为120m ，开启后按逆时针方向匀速转动，每30min 转动一圈．喜欢拍照的南鸢同学想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距离地面最近的舱位进舱．已知在距离地面超过92.5m 的高度可以拍到最美的景色，则在天津之眼转动一圈的过程中，南鸢同学可以拍到最美景色的时间是_________分钟．16．已知函数()()23,1ln ,1x a x a x f x x a x ⎧+-+<=⎨-≥⎩，若R x ∀∈，不等式()0f x ≥恒成立，则a的取值范围是___________. 三、解答题 17．（1）计算：sin 57sin 27cos30cos 27︒-︒︒︒；（2）已知sin 2cos αα+，求tan2α的值.18．已知函数()2sin cos f x x x x =. (1)求其最小正周期和对称轴方程；(2)当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调递减区间和值域.19．已知函数()log (3),()log (3)(0,1)a a f x x g x x a a =-=+>≠，记()()()F x f x g x =-. (1)求函数()F x 的定义域；(2)判断函数()F x 的奇偶性，并说明理由；(3)是否存在实数a ，使得()F x 的定义域为[,]m n 时，值域为[1log ,1log ]a a n m --？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，则说明理由.参考答案：1．A 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得； 【详解】()cos 720c 45cos 45os 675=︒-︒=︒=︒ 故选：A. 2．A 【解析】 【分析】结合三角形内角与充分、必要条件的知识确定正确选项. 【详解】在ABC 中，0,0,0A B A B <<π<<π<+<π， 所以sin sin A B A B =⇔=，所以在ABC 中，“sin sin A B =”是“A B =”的充要条件. 故选：A 3．B 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可； 【详解】解：因为()21ln f x x x =-定义域为()0,∞+，且()21ln f x x x=-在()0,∞+上单调递增，又()211ln111f =-=-，()2112ln 2ln 224f =-=-，因为121ln 22lne >==，所以()20f >，所以()()120f f ⋅<，所以()f x 在()12，上存在唯一零点.故选：B 4．B 【解析】 【分析】应用倍角正余弦公式及商数关系将目标式化为1tan α，结合已知即可求值. 【详解】由题意知，21cos 212cos 111sin 22sin cos tan 3αααααα++-===，故选：B. 5．B 【解析】 【分析】利用奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，根据解析式结合指数函数的单调性判断()f x 的单调性即可. 【详解】由2222()()22x x x xf x f x -----==-=-且定义域为R ，故()f x 为奇函数，又2x y =是增函数，2x y -=为减函数， ∴()222x xf x --=为增函数．故选：B. 6．B 【解析】 【分析】由三角函数的定义可列方程解出x ，需注意x 的范围 【详解】由三角函数定义cos α==解得x =由cos 0α>,知0x >,则x = 故选：B. 7．D 【解析】 【分析】利用对数的运算法则即可得出． 【详解】33log 61log 2a ==+，512log 2b =+，21log 31a ∴=-，22log 51b =-， 则222log 15log 3log 5=+=()()12231111a b a b a b +-+=----. 故选D. 【点睛】本题考查了对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题． 8．D 【解析】 【分析】化简已知条件，结合02ϕπ<<求得ϕ的值. 【详解】依题意3sin )x x x ϕ-=+，()1cos 26x x x x πϕ⎫⎛⎫-=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 所以26k πϕπ=-+，k Z ∈，由于02ϕπ<<，所以11266ππϕπ=-+=. 故选：D 9．D 【解析】 【分析】先判断奇偶性排除C ，再利用()01f =排除B ，求导判断单调性可排除A. 【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，排除C ； 因为()01f =，排除B ；当0x >时，()cos x xf x e=，()4xx f x e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=， 当304x π<<时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间30,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，排除A. 故选：D ．10．C 【解析】 【分析】先由图象的变换求出()g x 的解析式，再由定义域求出3x πω-的范围，再利用正弦函数的图象和性质，求得 ω的取值范围. 【详解】函数()sin f x x =的图象先向右平移3π个单位长度，可得 sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数()sin 3g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，∴周期 2T πω=，由3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则 3(,)32323x πωππωππω-∈--， 若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，结合正弦函数 sin y x =的图象观察则3(,)(,)2323k k ωππωπππππ--⊆+ ∴ 323232T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤， 又23323k k ωπππωππππ⎧≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当0k =时，解得2839ω≤≤，当 1k =-时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939.故选：C. 【点睛】本题考查正弦型的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式求解，属于较难题.11．{}1,2 【解析】 【分析】由对数函数单调性，求出集合A ，再根据交集的定义即可求解. 【详解】 解：{}{}2log 102A x x x x =≤=<≤，{1,0,1,2,3}B =-，{}1,2A B ∴=，故答案为：{}1,2. 12．3 【解析】 【分析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数. 【详解】作出函数图象，如下，由图象可知，函数()f x 有3个零点（3个零点分别为1-，0，2）. 故答案为：3 13．94##2.25【解析】 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【详解】解：因为110, 0, 4a b ab>>+=， 所以()111141944554444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1144a b b a a b⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3438a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立， 所以4a b +的最小值为94.故答案为：94.14．π6- 【解析】 【分析】由图象可得最小正周期T 的值，进而可得ω，又函数图象过点,13π⎛⎫⎪⎝⎭，利用2πϕ<即可求解.【详解】解：由图可知741234T πππ=-=，因为0>ω，所以2T ππω==，解得2ω=， 因为函数()sin 2y x ϕ=+0 2ωϕπ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，的图象过点,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以sin 213πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，所以6πϕ=-，故答案为：π6-. 15．10 【解析】 【分析】借助三角函数模型，设()sin H A t k ωϕ=++，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系，由题意求出解析式，再令()sin 92.5H A t k ωϕ=++≥，解三角不等式即可得答案.【详解】解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，南鸢同学位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-， 根据摩天轮转一周大约需要30min ，可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意，可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，030t ≤≤， 令π55cos 6592.515H t =-+≥，030t ≤≤，可得1020t ≤≤， 所以南鸢同学可以拍到最美景色的时间是201010-=分钟，故答案为：10.16．[]1,e【解析】【分析】原问题等价于1≥x 时，ln 0x a -≥恒成立和1x <时，()230x a x a +-+≥恒成立，从而即可求解.【详解】解：由题意，因为R x ∀∈，不等式()0f x ≥恒成立，所以1≥x 时，ln 0x a -≥恒成立，即()min ln 1a x ≤=，所以0e a <≤；1x <时，()230x a x a +-+≥恒成立， 即2max 31x x a x ⎛⎫--≥ ⎪-⎝⎭， 令()10x t t -=>，则()()22213132133451t t x x t t t t x t t t -------+--+⎛⎫===-++ ⎪-⎝⎭，由对勾函数的单调性知45y t t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减， 所以2t =时，max 4452512t t ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++=-++= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 所以1a ≥；综上，1e a ≤≤.所以a 的取值范围是[]1,e .故答案为：[]1,e17．（1）12；（2）34-. 【解析】【分析】（1）利用凑特殊角的方法结合和角的正弦公式化简求解作答；（2）将给定等式两边平方，再利用二倍公式、同角公式计算作答.【详解】（1）依题意，()sin 3027sin 27cos30sin 57sin 27cos30cos 27cos 27+︒-︒︒-︒︒=︒︒︒︒ sin30cos27cos30sin 27sin 27cos30cos27︒︒+︒︒-︒︒=︒ sin 30cos 271sin 30cos 272=︒︒︒=︒=； （2）将sin 2cos αα+=两边平方得，225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=， 即1cos 2512sin 2322αα+++⋅=，即32sin 2cos 202αα+=， 所以，3tan 24α=-. 18．(1)最小正周期为π，对称轴方程()ππ Z 32k x k =+∈； (2)单调递减区间为ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合正弦函数的性质计算作答. （2）确定函数()f x 的相位范围，再借助正弦函数的性质计算作答.(1)依题意，1cos 2π1()2sin(2)262x f x x x -==-+， 则2ππ2T ==，由()πππZ 622x k k =+-∈解得：()ππZ 32k x k =+∈， 所以，函数()f x 的最小正周期为π，对称轴方程为()ππZ 32k x k =+∈. (2)由（1）知，因ππ36x -≤≤，则5πππ2666x -≤-≤， 而正弦函数sin y x =在5[,]62ππ--上单调递减，在[,]26ππ-上单调递增， 由5πππ2662x -≤-≤-解得ππ36x -≤≤-，由πππ2266x -≤-≤解得ππ66x -≤≤， 因此，()f x 在ππ[,]36--上单调递减，在ππ[,]66-上单调递增， min 1()()62f x f π=-=-，而()0,()136f f ππ-==，即max ()1f x =， 所以函数()f x 的单调递减区间是ππ[,]36--，值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 19．(1){}33x x -<<；(2)奇函数，理由见解析；(3)不存在，理由见解析.【解析】【分析】(1)分别求f (x )和g (x )定义域，F (x )为这两个定义域的交集；(2)先判断定义域是否关于原点对称，再判断F (－x )与F (x )的关系；(3)先根据定义域和值域求出m ，n ，a 的范围，再利用单调性将问题转化为方程有解问题.(1)由题意知()log (3)log (3)a a F x x x =--+要使()F x 有意义，则有3030x x ->⎧⎨+>⎩，得33x -<< 所以函数的定义域为：{}33x x -<<(2)由(1)知函数F (x )的定义域为：{}33x x -<<，关于原点对称，()log (3())log (3)log (3)log (3)()a a a a F x x x x x F x -=----=+--=-∴函数()F x 为()3,3-上的奇函数.(3)3()log 3a x F x x-=+， 假设存在这样的实数a ，则由,[,](3,3),m n m n可知03m n <<<1log 1log ,log log ,1a a a a n m n m a -<-∴>∴> 令33x t x-=+，则613t x =-+在[,]m n 上递减，3()log 3a x F x x -∴=+在[,]m n 上递减， 3()log 1log 33()log 1log 3a a a a m F m m m n F n n n -⎧==-⎪⎪+∴⎨-⎪==-⎪+⎩,m n ∴是方程3log 1log 3a a x x x -=-+，即3log log 3a a x a x x-=+有两个在(0,3)上的实数解 问题转化为：关于x 的方程2(3)30x a x a +-+=在(0,3)上有两个不同的实数解 令2()(3)3g x x a x a =+-+，则有2Δ1890(0)30(3)603032a a g a g a a ⎧=-+>⎪=>⎪⎪⎨=>⎪-⎪<-<⎪⎩，990033a a a a a ⎧>+<-⎪>⎪∴⎨>⎪⎪-<<⎩解得09a <<-1a >，∴a ∈∅故这样的实数a 不存在.。
天津市南开中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试卷 Word版含解析
2020~2021学年天津南开区天津市南开中学高一上学期开学考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设全集U =R ，已知集合{}2|20A x x x =-->，{}1,0,1,2,3B =-，则()UA B ⋂=（ ） A. {}1,0,1- B.1,0,1,2C. {}1,1-D. {}1,2-【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 以及集合A 的补集UA ，再根据集合的交集运算即可求出．【详解】因为(){}{(1)202A x x x x x =+-=或}1x <-，所以{}U1|2A x x -=≤≤，即有(){}U1,0,1,2A B ⋂=-．故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，以及一元二次不等式的解法，属于容易题． 2. 已知集合{}23A x x =-≤≤，集合B 满足A B A =，则B 可能为（ ）A. {}13x x -<≤B. {}23x x -<<C. {}32x x -≤≤D.{}33x x -≤≤【答案】D 【解析】 【分析】 根据AB A =得到，A 是B 的子集，根据选项，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为集合B 满足AB A =，所以A B ⊆，又{}23A x x =-≤≤，A 选项，{}13x x -<≤显然是集合A 的子集，不满足题意，排除； B 选项，{}23x x -<<显然是集合A 的子集，不满足题意，，排除；C 选项，{}32x x -≤≤不是集合A 的子集，且A 也不是{}32x x -≤≤的子集，不满足题意，D 选项，{}33x x -≤≤包含集合A ，故满足题意，正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查由交集的结果确定集合，考查集合的包含关系，属于基础题型. 3. “x y <”是“x y <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】利用取特殊值法判断即可.【详解】取特殊值代入，当4,0x y =-=时，满足x y <但x y >，所以不充分； 当x 1,y 2==-时，满足x y <，但x y >，所以不必要； 故“x y <”是“x y <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查了对充分条件和必要条件的判断.属于较易题． 4. 已知全集R ，设集合{}2430P x x x =-+≤，{}240Q x x =-<，则()RP Q =（ ）A {}23x x ≤≤B. {}13x x <<C. {}23x x <≤D.{2x x ≤-或}1x ≥【答案】D 【解析】 【分析】先求出{}13P x x =≤≤，再求出R{|2Q x x =≤-或2}x ≥，最后求()RPQ 即可.【详解】解：因为{}2430P x x x =-+≤，所以{}13P x x =≤≤， 因为{}240Q x x =-<，所以{}22Q x x =-<<，则R{|2Q x x =≤-或2}x ≥，所以(){R2P Q x x ⋃=≤-或}1x ≥，【点睛】本题考查求解一元二次不等式、集合的交并补混合运算，是基础题.5. 命题“∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2至少有一个成立”的否定为（）A. ∀a，b>0，a＋1b<2和b＋1a<2至少有一个成立B. ∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立C. ∃a，b>0，a＋1b<2和b＋1a<2至少有一个成立D. ∃a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立【答案】D【解析】【分析】将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.【详解】“∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2至少有一个成立”的否定为：∃a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立.故选：D【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.6. 二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，对称轴是直线1x=.下列结论：①0abc<；②30a c+>；③()220a c b+-<.其中结论正确的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.【详解】由图象得：图像的开口向上，所以>0a ， 图象的对称轴在y 轴的右侧，所以0b <， 又图象与y 轴的交点在负半轴，所以0c <， 所以>0abc ，故①错误；从图象观察得，当1x =-时，>0y ，所以+>0a b c -， 又12ba-=，所以2b a =-，代入得()2+>0a a c --， 所以30a c +>成立，故②正确；当1x =时，0y <，所以++0a b c <，即+a c b <-， 又+>a c b ，所以()22+0a c b -<，故③正确； 综上得结论正确的是②③， 故选：C .【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题. 7. 已知集合{}1A x x =≥-，1212B x a x a ⎧⎫=≤≤-⎨⎬⎩⎭，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（ ） A. 1a ≥B. 23a ≥C. 0a ≥D.203a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据两集合交集不为空集，可直接列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为{}1A x x =≥-，1212B xa x a ⎧⎫=≤≤-⎨⎬⎩⎭， 若A B ⋂≠∅，则只需211a -≥-，解得0a ≥【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，属于基础题型.8. 在平面直角坐标系中，先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A. 223y x x =-+-B. 2y x 2x 3=-++C. 223y x x =--+D.223y x x =++【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称得到解析式为2y x 2x 3=-++，再将抛物线关于y 轴作轴对称得到解析式为223y x x =--+，最后给出答案即可.【详解】解：先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称变换，得到2[()2()3]y x x =--+--，整理得2y x 2x 3=-++；再将抛物线2y x 2x 3=-++关于y 轴作轴对称变换，得到2()2()3y x x =--+-+，整理得223y x x =--+；所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为223y x x =--+. 故选：C【点睛】本题考查根据函数的图象变换求解析式，是基础题.9. 菱形ABCD 的边长为6，60C =︒，如果点P 是菱形内一点，且PB PD ==段AP 的长为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断点P在对角线AC上，再分“点P在线段OA上”和“点P在线段OC上”两种情况讨论分别求线段AP的长.【详解】解：因为点P是菱形内一点，且23 PB PD==，所以点P在对角线AC上，设对角线AC与BD的交点为O，所以点P可能在线段OA上，也有可能在线段OC上，①当点P在线段OA上时，如图.因为菱形ABCD的边长为6，60C=︒，所以3OD=，33OA=，又因为23PD=，在Rt PDO△中，223OP PD OD=-=，此时23AP=，②当点P在线段OC上时，如图.因为菱形ABCD的边长为6，60C=︒，所以3OD=，33OA =又因为23PD=Rt PDO△中，223OP PD OD=-，此时3AP=故选：D.【点睛】本题考查几何图形中的计算问题，是基础题.10. 设集合{}1,3,5,6,9M=，1S，2S，，kS都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i iS a b=，{}{}(),,,1,2,3,,j j jS a b i j i j k=≠∈都有max,max,j ji ii i j ja ba bb a b a⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（()max,x y表示两个数x，y中的较大者），则k的最大值为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，首先分析出M 的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对“max ,max ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（()max ,x y 表示两个数x ，y 中的较大者），”的把握，即可得答案．【详解】根据题意，对于M ，含2个元素的子集{1,3}，{1,5}，{1,6}，{1,9}，{3,5}，{3,6}，{3,9}，{5,6}，{5,9}，{6,9}，有10个，但{1,3}、{3,9}只能取一个； 故满足条件的两个元素的集合有9个； 故选：B ． 【点睛】本题考查对集合的特定子集的数目的确定，能否找出集合的所有子集并在其中找出满足条件的所有子集是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数m =_____.【答案】-3 【解析】【详解】因为集合{}0,1,2,3U =， {}1,2U C A =，A={0,3}，故m= -3.12. 集合A 满足{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有________个. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意先求出所有的集合A ，再确定个数即可.【详解】解：因为{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭， 所以{}1,3 {}1,3,5,15A ⊆，所以{}13,5A =,，{}1,3,15A =，{}1,3,5,15A =， 所以集合A 的个数有3个. 故答案为：3【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.13. 设集合{}116A x x =-≤+≤，{}121B x m x m =-<<+，若A B ⊇，则m 的取值范围是________.【答案】][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦． 【解析】 【分析】先化简确定集合A ，再根据A B ⊇分B =∅和B ≠∅两种情况进行讨论，最后解不等式确定m 的取值范围．【详解】解：因为{}116A x x =-≤+≤，所以{|25}A x x =-≤≤， 因为A B ⊇，所以B 是A 的子集，当B =∅时，则121m m -≥+，解得2m ≤-，符合题意；当B ≠∅时，则12215121m m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得12m -≤≤，符合题意；综上所述，m 的取值范围是][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦． 故答案为：][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦．【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数范围，还考查分类讨论思想的应用，是基础题． 14. 已知2514x x -=，则()()()212111x x x ---++=________ 【答案】15 【解析】 【分析】先解方程，得到7x =或2x =-，再分别代入所求式子，即可得出结果. 【详解】由2514x x -=得()()720x x -+=，解得7x =或2x =-， 当7x =时，()()()22121116138115x x x ---++=⨯-+=； 当2x =-时，()()()()212111351115x x x ---++=-⨯--+=. 故答案为：15.【点睛】本题主要考查解一元二次方程，求多项式的值，属于基础题型.15. 已知:3x α>或1x <，124m x m β+≤≤+:，m R ∈，若β是α⌝的必要不充分条件，则m 的取值范围是________. 【答案】102m -≤≤ 【解析】 【分析】先由题意，得到:13x α⌝≤≤，根据β是α⌝的必要不充分条件，得到[]1,3是[]1,24m m ++的真子集，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为:3x α>或1x <，所以:13x α⌝≤≤；又124m x m β+≤≤+:，m R ∈，β是α⌝的必要不充分条件， 所以[]1,3是[]1,24m m ++的真子集，因此11243m m +≤⎧⎨+≥⎩（不能同时取等号）， 解得102m -≤≤.故答案为：102m -≤≤ 【点睛】本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数，属于基础题型.16. 设0a >，若只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}3x x a x a ∈≤≤，都有{}2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，则a =________.【答案】2 【解析】 【分析】先判断函数1y cx =+单调递增，再由题意建立方程组求解a 的值即可.【详解】解：因为10cx y -+=，所以1y cx =+，因为0c >， 所以函数1y cx =+单调递增，因为只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}3x x a x a ∈≤≤，都有{}2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，所以1231a ca a ca =+⎧⎨=+⎩，解得：2a =故答案为：2.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数值、还考查了转化的数学思维方式，是中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）17. 已知{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求a 的取值范围.【答案】{1a a =或}1a ≤- 【解析】 【分析】求出集合A ，对集合B 中的元素个数进行分类讨论，结合B A ⊆可得出实数a 所满足的等式或不等式，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】{}{}2404,0A x x x =+==-，(){}222110B x x a x a =+++-=，对于方程()222110x a x a +++-=，()()()22414181a a a ∆=+--=+，且B A ⊆.①当B =∅时，∆<0，可得1a <-，合乎题意；②当集合B 中只有一个元素时，0∆=，可得1a =-，此时{}{}200B x x A ===⊆，合乎题意；③当集合B 中有两个元素时，B A =，则()221410a a ⎧+=⎨-=⎩，解得1a =.综上所述，实数a 的取值范围是{1a a =或}1a ≤-.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.18. 已知{}28200A x x x =--≤，{}2B x x m =-≤.（1）当1m =时，求集合B ；（2）若“x A ∃∈，使得x B ∈”为真命题，求m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）{}13B x x =-≤≤；（2）[4,12]-；（3）[0,8].【解析】【分析】（1）先化简得到{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，再将1m =代入求集合B 即可；（2）先化简得到{}210A x x =-≤≤和{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，再转化已知条件得到A B ⋂≠∅，最后建立不等式求m 的取值范围；（3）先判断存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，再通过假设并转化已知条件得到B A ，最后建立不等式求m 的取值范围. 【详解】解：因为{}2B x x m =-≤，所以{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，（1）当1m =时，解得{}13B x x =-≤≤；（2）因为{}28200A x x x =--≤，所以{}210A x x =-≤≤，因为“x A ∃∈，使得x B ∈”为真命题，所以A B ⋂≠∅，所以2210m -≤+≤或2210m -≤-≤，解得412m -≤≤，所以m 的取值范围是[4,12]-，（3）存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，假设存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，则B A所以21022m m +≤⎧⎨-≥-⎩，解得08m ≤≤， 当0m =时，{}22B x x =-≤≤，符合题意；当8m =时，{}610B x x =≤≤，符合题意； 所以存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，此时m 的取值范围是[0,8].【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数范围、根据集合的包含关系求参数范围、根据必要不充分条件求参数范围，还考查了转化的数学思维方式，是中档题.19. 设全集I R =，集合{}220,A x x x m m R =-+<∈，{2440,B a R ax ax =∈+-<对任意实数x 恒成立}.，()I A B ≠∅，求实数m 的范围. 【答案】(3,)-+∞【解析】【分析】 先由题意求出{}10B a a =-<<，再化简得到{}2(1)1,I A x x m m R =-≥-∈，最后分1m =，1m 和1m <三种情况讨论求实数m 的范围. 【详解】解：因为{2440B a R ax ax =∈+-<，对任意实数x 恒成立}.， 所以20(4)4(4)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩或040a =⎧⎨-<⎩，解得10a -<≤，则{}10B a a =-<≤， 因为{}220,A x x x m m R =-+<∈，所以{}220,I A x x x m m R =-+≥∈ 则{}2(1)1,I A x x m m R =-≥-∈当10m -=即1m =时，{}1I A x x =≠，此时()I A B ≠∅成立，符合题意； 当10m -<即1m 时，I A R =，此时()I A B ≠∅成立，符合题意；当10m ->即1m <时，{1I A x x =≥或1x ≤，使得()I A B ≠∅成立，则11>-解得3m >-，所以31m -<<；综上所述：3m >-，故答案为：(3,)-+∞.【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解集求参数范围、根据集合分运算结果求参数范围，是中档题.。
2020年天津市南开区高一数学必修一上学期期末考试(含答案和解析)
上面说法中正确的是（）
A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（4）D.（2）（3）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意知图象反映了收支差额 与乘客量 的变化情况，即直线斜率说明票价问题，当 的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明.
【详解】根据题意和图 知，两直线平行，即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为 时，收入是 但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；
【详解】取 ， ， 成立，但 不成立，则“ ” “ ”.
当 ，则 ，由不等式的性质得 ， ，
即“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及了不等式性质的应用，考查推理能力，属于中等题.
5. 等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
A. 个B. 个C. 个D. 个
二．填空题（共5小题）
11.已知幂函数 的图象过点 ，则 ____________．
12.设 ，使不等式 成立的 的取值范围为___________.
13.若函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是______．
14.△ABC中， ， ，则 =_____．
15.已知 ， ，且 ，则 的最大值是_______．
由图 看出，当乘客量为 时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，说明了此时的建议是提高票件而保持成本不变.
故选：C.
【点睛】本题考查了利用图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查读图能力和数形结合思想的应用，属于中等题.
9.已知三个函数 ， ， 的零点依次为 、 、 ，则 （）
2020-2021学年天津市部分区高一数学上学期期末考试练习试题含解析
〖分析〗
由于函数 ， ，进而根据函数平移变换即可得答案.
〖详 解〗解：由于 ， ，
故为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度得 .
故选：C.
〖点 睛〗易错点点睛：本题考查三角函数平移变换，解题时需要注意 时， 到 平移的单位为 个单位.
7.已知 ，且 ，则 的值为（）
天津市部分区2020-2021学年高一数学上学期期末考试练习试题（含解析）
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，则集合 （）
A. B.
C. D.
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
首先求出 ，再根据并集的定义计算可得；
8.已知扇形的圆心角为150°，其弧长为 ，则这个扇形的面积为（）
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
先根据弧长求出半径，再由扇形的面积公式求出答案.
〖详 解〗设扇形的半径为 ，扇形的圆心角为150°，即
所以弧长为 ，则
这个扇形的面积为
故选：B
9.已知函数 为偶函数，当 时， ，则 的值为（）
〖详 解〗解：因为 ，解得 或 ，
因为
“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选： ．
5.已知， ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（）
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
根据指对数函数的单调性，借助中间量 比较大小即可得答案.
〖详 解〗解：因为指数函数 在定义域内是增函数，所以 ；
由于对数函数 在定义域内是减函数，所以 ；
2020-2021学年天津市六校高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年天津市六校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）1．（4分）设集合2{|540}A x x x =-+，{|2}B x N x =∈，则(A B = )A ．{|12}x x <B ．{1，2}C ．{0，1}D ．{0，1，2}2．（4分）已知命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则p ⌝为( ) A ．00x ∃，使得00(1)1x x e + B ．00x ∃>，使得00(1)1x x e +C ．0x ∀>，总有(1)1x x e +D ．0x ∀，总有(1)1x x e +3．（4分）设R α∈，则“23παπ=+，Z ∈”是“1cos 2α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（4分）函数1()()cos (f x x x x xππ=--且0)x ≠的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）设0.5log 0.6a =，0.6log 1.2b =，0.61.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<6．（4分）已知212()log (3)f x x ax a =-+在区间(2,)+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，4]B ．(,4)-∞C ．(4-，4]D ．[4-，4]7．（4分）若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-，则cos()(2βα+= ) A 3B ．3C 53D ．68．（4分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x Ax A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )①函数()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称； ②函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称； ③函数()y f x =在2[,]36ππ--单调递减； ④该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象．A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④9．（4分）设函数|21|,2()7,2x x f x x x ⎧-=⎨-+>⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f （a ）f =（b ）f =（c ），则222a b c ++的取值范围是( ) A ．(8,9)B ．(65,129)C ．(64,128)D ．(66,130)二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）10．（4分）已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为 ．11．（4分）已知函数log (1)6(0a y x a =-+>，1)a ≠的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则tan α的值为 ．12．（4分）设函数2,0()1,0x bx c x f x x ⎧++=⎨<⎩，若f （4）(0)f =，f （2）2=，则函数()()g x f x x =-的零点的个数是 ．13．（4分）对任意的(0,)2πθ∈，不等式2214|21|x sin cos θθ+-恒成立，则实数x 的取值范围是 ．14．（4分）已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+⎪=⎨⎪-++>⎩，()3cos 4g x x x =++，若对任意[3t ∈-，3]，总存在[0,]2s π∈，使得()()(0)f t a g s a +>成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5小题，共64分）15．（12分）设函数y =A ，集合2{|20}B x x x =-． （Ⅰ）求集合A ，B ，并求RAB ；（Ⅱ）若集合{|21}C x a x a =+，且BC C =，求实数a 的取值范围．16．（12分）已知sin(2)cos()2()cos()tan()2f ππαααπαπα-+=-++．（Ⅰ）化简()f α，并求()3f π；（Ⅱ）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值； （Ⅲ）求函数2()2()()12g x f x f x π=-++的值域．17．（12分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本()f x 万元，2550500,040,100()25003013000,40,100x x x x Nf x x x x N x ⎧++<<∈⎪=⎨+-∈⎪⎩．假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元．（1）求出利润()g x （万元）关于产量x （百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润． 18．（14分）已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是2π． （Ⅰ）求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）将()f x 图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移6π个单位，最后将整个函数图象向上平移32个单位后得到函数()g x 的图象，若263x ππ时，|()|2g x m -<恒成立，求m 得取值范围．19．（14分）已知函数()()()f x ln x a a R =+∈的图象过点(1,0)，2()()2f x g x x e =-． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()(2)y f x ln x =+-在区间(1,2)上有零点，求整数的值；（Ⅲ）设0m >，若对于任意1[,]x m m ∈，都有()(1)g x ln m <--，求m 的取值范围．2020-2021学年天津市六校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）1．（4分）设集合2{|540}A x x x =-+，{|2}B x N x =∈，则(A B = )A ．{|12}x x <B ．{1，2}C ．{0，1}D ．{0，1，2}【解答】解：集合2{|540}{|14}A x x x x x =-+=， {|2}{0B x N x =∈=，1，2}， {1AB ∴=，2}．故选：B ．2．（4分）已知命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则p ⌝为( ) A ．00x ∃，使得00(1)1x x e + B ．00x ∃>，使得00(1)1x x e +C ．0x ∀>，总有(1)1x x e +D ．0x ∀，总有(1)1x x e +【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，p ⌝为00x ∃>，使得00(1)1x x e +， 故选：B ．3．（4分）设R α∈，则“23παπ=+，Z ∈”是“1cos 2α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解答】解：当“23παπ=+，Z ∈”时，“1cos 2α=”， 当“1cos 2α=”时，“23παπ=±，Z ∈”， 则“23παπ=+，Z ∈”是“1cos 2α=”的充分不必要条件； 故选：A ．4．（4分）函数1()()cos (f x x x x xππ=--且0)x ≠的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：对于函数1()()cos (f x x x x x ππ=--且0)x ≠，由于它的定义域关于原点对称，且满足1()()cos ()f x x x f x x -=-+=-，故函数()f x 为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A 、B ．当x π=，()0f x <，故排除C ， 但是当x 趋向于0时，()0f x <， 故选：D ．5．（4分）设0.5log 0.6a =，0.6log 1.2b =，0.61.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【解答】解：0.50.50log 0.6log 0.51a <=<=，0.6log 1.20b =<，0.61.21c =>， 则a ，b ，c 的大小关系为b a c <<． 故选：B ．6．（4分）已知212()log (3)f x x ax a =-+在区间(2,)+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，4]B ．(,4)-∞C ．(4-，4]D ．[4-，4]【解答】解：令23t x ax a =-+，则由题意可得函数t 在区间(2,)+∞上是增函数，且0t >， ∴22(2)40at a ⎧⎪⎨⎪=+⎩，求得44a -， 故选：D ． 7．（4分）若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-，则cos()(2βα+= ) A 3B ．3C 53D ．6 【解答】解：02πα<<，02πβ-<<，∴3444πππα<+<，4422ππβπ<-< 122sin()149πα∴+=-=，16sin()1423πβ-=-= 53cos()cos[()()]cos()cos()sin()sin()2442442442βππβππβππβαααα∴+=+--=+-++-=故选：C ．8．（4分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )①函数()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称； ②函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称； ③函数()y f x =在2[,]36ππ--单调递减； ④该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象．A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④【解答】解：根据函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象，可得2A =，124312πππω⋅=-，2ω∴=．再根据五点法作图，可得23πϕπ⋅+=，3πϕ∴=，()2sin(2)3f x x π=+． 当6x π=-时，()0f x =，故()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称，故①正确；当512x π=-时，()2f x =-，是最值，故函数()f x 的图象关于直线512x π=-对称，故②正确； 2[,]36x ππ∈--时，2[3x ππ+∈-，0]，故函数()y f x =在2[,]36ππ--不单调，故③错误； 函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移3π个单位得到22sin(2)2sin(2)333y x x πππ=--=-，故④错误．故选：A ．9．（4分）设函数|21|,2()7,2x x f x x x ⎧-=⎨-+>⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f （a ）f =（b ）f =（c ），则222a b c ++的取值范围是( ) A ．(8,9)B ．(65,129)C ．(64,128)D ．(66,130)【解答】解：作出函数|21|,2()7,2x x f x x x ⎧-=⎨-+>⎩的图象如图，不妨设a b c <<，由f （a ）f =（b ），得1221a b -=-，则222a b +=． 由()6(0f c c --+∈，1)，得(6,7)c ∈，则642128c <<． 66222130a b c ∴<++<，即222a b c ++的取值范围是(66,130)． 故选：D ．二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）10．（4分）已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为 2π ．【解答】解：由扇形的面积2211233223S r r r παπ==⨯⨯=⇒=．此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=， 故答案为：2π．11．（4分）已知函数log (1)6(0a y x a =-+>，1)a ≠的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则tan α的值为 3 ．【解答】解：函数log (1)6(0a y x a =-+>，1)a ≠，令11x -=得：2x =，此时6y =， 所以点(2,6)A ， 所以6tan 32α==， 故答案为：3．12．（4分）设函数2,0()1,0x bx c x f x x ⎧++=⎨<⎩，若f （4）(0)f =，f （2）2=，则函数()()g x f x x =-的零点的个数是 2 ．【解答】解：由f （4）(0)f =可得二次函数的对称轴为2x =，即：22b-=，4b ∴=-，且f （2）22(4)22c =+-⨯+=，6c ∴=， 据此可得246,0()1,0x x x f x x ⎧-+=⎨<⎩，函数()g x 零点的个数即函数()f x 与函数y x =交点的个数， 绘制函数图象如图所示，观察可得，交点个数为2，故函数()g x 零点的个数为2． 故答案为：2．13．（4分）对任意的(0,)2πθ∈，不等式2214|21|x sin cos θθ+-恒成立，则实数x 的取值范围是 [4-，5] ．【解答】解：(0,)2πθ∈∴2222222214141(sin cos )()5(4tan )5249tan sin cos sincos tan θθθθθθθθ+=++=+++=，当且仅当tan θ时取等号． 对任意的(0,)2πθ∈，不等式2214|21|x sin cos θθ+-恒成立，2214|21|()9min x sin cos θθ∴-+=． 9219x ∴--，解得45x -．∴实数x 的取值范围是[4-，5]．故答案为：[4-，5]．14．（4分）已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos 4g x x x =++，若对任意[3t ∈-，3]，总存在[0,]2s π∈，使得()()(0)f t a g s a +>成立，则实数a 的取值范围为 (0，2] ．【解答】解：对于函数()f x ，当0x 时，7()33f x x =+，由30x -，可得()[4f t ∈-，3]， 当0x >时，22()23(1)4f x x x x =-++=--+，由03x <，可得()[0f x ∈，4]， ∴对任意[3t ∈-，3]，()[4f t ∈-，4]，对于函数()cos 42sin()46g x x x x π++=++，[0x ∈，]2π，[66x ππ∴+∈，2]3π，()[5g x ∴∈，6]， ∴对于[0s ∈，]2π，使得()[5g s ∈，6]，对任意[3t ∈-，3]，总存在[0s ∈，]2π，使得()()(0)f t a g s a +>成立，46a ∴+，解得02a <， 故答案为：(0，2]三、解答题（本大题共5小题，共64分）15．（12分）设函数y =A ，集合2{|20}B x x x =-．（Ⅰ）求集合A ，B ，并求R A B ；（Ⅱ）若集合{|21}C x a x a =+，且BC C =，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）2{|log (1)0}{|2}A x x x x =-=，{|02}B x x =，{|0R B x x ∴=<或2}x >，{|2}R A B x x =>；（Ⅱ）B C C =，C B ∴⊆，当C =∅时，21a a >+，解得1a >，当C ≠∅时，12012a a a ⎧⎪⎨⎪+⎩，解得01a ，综上：a 的取值范围是[0，)+∞．16．（12分）已知sin(2)cos()2()cos()tan()2f ππαααπαπα-+=-++． （Ⅰ）化简()f α，并求()3f π； （Ⅱ）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值； （Ⅲ）求函数2()2()()12g x f x f x π=-++的值域． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得sin(2)cos()sin (sin )2()cos sin tan cos()tan()2f ππααααααπαααπα-+-⋅-===⋅-++， 故1()cos 332f ππ==． （Ⅱ）tan 2α=， 故222222224sin 3sin cos 5cos 4tan 3tan 54sin 3sin cos 5cos 1sin cos tan 1ααααααααααααα------===++． （Ⅲ）因为()cos f αα=， 所以222125()2cos sin 12sin sin 32(sin )48g x x x x x x =++=-++=--+， 因为sin [1x ∈-，1]，所以1sin 4x =时，25()8max g x =，()0min g x =， 所以()g x 的值域为25[0,]8． 17．（12分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本()f x 万元，2550500,040,100()25003013000,40,100x x x x N f x x x x N x ⎧++<<∈⎪=⎨+-∈⎪⎩．假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元．（1）求出利润()g x （万元）关于产量x （百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润．【解答】解：（1）由题意知，当040x <<，100x N ∈时，22()300550500100052501500g x x x x x x =----=-+-， 当40x ，100x N ∈时，25002500()300301300010002000()g x x x x x x=--+-=-+， 综上，252501500,040,100()25002000(),40,100x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+∈⎪⎩． （2）当040x <<，100x N ∈时，22()525015005(25)1625g x x x x =-+-=--+， 所以当25x =时，()g x 取得最大值1625，当40x ，100x N ∈时，2500()2000()1900g x x x=-+， 当且仅当50x =时，()g x 取得最大值1900，综上，当50x =，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元．18．（14分）已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是2π． （Ⅰ）求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）将()f x 图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移6π个单位，最后将整个函数图象向上平移32个单位后得到函数()g x 的图象，若263x ππ时，|()|2g x m -<恒成立，求m 得取值范围．【解答】解：（Ⅰ）21()cos cos 2(cos21)2f x x x x x x ωωωωω-=-+1sin(2)62x πω=--， 由222T ππω==，解得2ω=， 所以，1()sin(4)62f x x π=--． 242262x πππππ--+， ∴224233x ππππ-+， ∴21226x ππππ-+， ()f x ∴的单调递增区间为[,]21226ππππ-+，Z ∈． （Ⅱ）将()f x 图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，可得1sin(2)62y x π=--的图象； 再向左平移6π个单位，可得1sin(2)62y x π=+-的图象 最后将整个函数图象向上平移32个单位后得到函数()g x 的图象， ∴()sin(2)16g x x π=++． 因为|()|2g x m -<恒成立，所以，()2()2g x m g x -<<+．因为当2[,]63x ππ∈时，()2()2g x m g x -<<+恒成立， 所以，只需[()2][()2]max min g x m g x -<<+．当2[,]63x ππ∈时，()y g x =为单调减函数， 所以，()()1126max g x g π==+=，2()()1103min g x g π==-=， 从而[()2]0max g x -=，[()2]2min g x +=，即02m <<，所以，m 的取值范围是(0,2)．19．（14分）已知函数()()()f x ln x a a R =+∈的图象过点(1,0)，2()()2f x g x x e =-． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()(2)y f x ln x =+-在区间(1,2)上有零点，求整数的值；（Ⅲ）设0m >，若对于任意1[,]x m m∈，都有()(1)g x ln m <--，求m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数()()()f x ln x a a R =+∈的图象过点(1,0)，(1)0ln a ∴+=，解得0a =，∴函数()f x 的解析式为()f x lnx =；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2(2)(2)y lnx ln x ln x x =+-=-，(1,2)x ∈，令2(2)0ln x x -=，得2210x x --=，①对称轴24x =即8时，()h x 在(1,2)递减，故只需(1)10(2)720h h =->⎧⎨=-<⎩，无解， ②若124<<即48<<时，函数在(1,2)先递减再递增，故只需()()104min h x h ==-<恒成立， ③若14即4时，()h x 在(1,2)递增，∴(1)10(2)720h h =-<⎧⎨=->⎩，解得：712<<， 综上：18<<，Z ∈，∴的取值为2或3，4，5，6，7．（Ⅲ）0m >且1m m >，1m ∴>且101m<<， 2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，()g x ∴的最大值可能是()g m 或1()g m， 2222211212111(1)()()2()(2)()(2)()0m g m g m m m m m m m m m m m m m m m m--=---=---=-+-=-⋅>∴2()()2max g x g m m m ==-，只需()(1)max g x ln m <--，即22(1)m m ln m -<--，设2()2(1)(1)h m m m ln m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又h （2）0=，22(1)0m m ln m ∴-+-<，即()h m h <（2），12m ∴<<，所以m 的取值范围是(1,2)．。
2020-2021学年天津市六校高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年天津市六校高一（上）期末数学试卷一、选择题（共9小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x∈N|x≤2}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{1，2}C．{0，1}D．{0，1，2}2．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）≤1B．∃x0＞0，使得（x0+1）≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤13．设α∈R，则“，k∈Z”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数f（x）＝（x﹣）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．5．设a＝log0.50.6，b＝log0.61.2，c＝1.20.6，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a6．已知f（x）＝（x2﹣ax+3a）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，4）C．（﹣4，4]D．[﹣4，4]7．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）＝，cos（﹣）＝，则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣8．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）①函数y＝f（x）的图象关于点对称；②函数y＝f（x）的图象关于直线对称；③函数y＝f（x）在单调递减；④该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象．A．①②B．①③C．①②③D．①②④9．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（8，9）B．（65，129）C．（64，128）D．（66，130）二、填空题（共5小题）.10．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为．11．已知函数y＝log a（x﹣1）+6（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，且点A在角α的终边上，则tanα的值为．12．设函数，若f（4）＝f（0），f（2）＝2，则函数g（x）＝f （x）﹣x的零点的个数是．13．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是．14．已知函数，g（x）＝sin x+cos x+4，若对任意t∈[﹣3，3]，总存在，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共64分）15．（12分）设函数的定义域为A，集合B＝{x|x2﹣2x≤0}．（Ⅰ）求集合A，B，并求A∩∁R B；（Ⅱ）若集合C＝{x|2a≤x≤a+1}，且B∩C＝C，求实数a的取值范围．16．（12分）已知．（Ⅰ）化简f（α），并求；（Ⅱ）若tanα＝2，求4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α的值；（Ⅲ）求函数的值域．17．（12分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f（x）万元，f（x）＝．假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元．（1）求出利润g（x）（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣cos2ωx（ω＞0）周期是．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数g（x）的图象，若时，g（x）﹣|m|＜2恒成立，求m得取值范围．19．（14分）已知函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x2﹣2e f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y＝f（x）+ln（2x﹣k）在区间（1，2）上有零点，求整数k的值；（Ⅲ）设m＞0，若对于任意，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），求m的取值范围．参考答案一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）1．设集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x∈N|x≤2}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{1，2}C．{0，1}D．{0，1，2}解：∵集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}＝{x|1≤x≤4}，B＝{x∈N|x≤2}＝{0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故选：B．2．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）≤1B．∃x0＞0，使得（x0+1）≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）≤1，故选：B．3．设α∈R，则“，k∈Z”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当“，k∈Z”时，“”，当“”时，“，k∈Z”，则“，k∈Z”是“”的充分不必要条件；故选：A．4．函数f（x）＝（x﹣）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．解：对于函数f（x）＝（﹣x）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝（﹣+x）cos x＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当x＝π，f（x）＜0，故排除C，但是当x趋向于0时，f（x）＜0，故选：D．5．设a＝log0.50.6，b＝log0.61.2，c＝1.20.6，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a解：0＜a＝log0.50.6＜log0.50.5＝1，b＝log0.61.2＜0，c＝1.20.6＞1，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c．故选：B．6．已知f（x）＝（x2﹣ax+3a）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，4）C．（﹣4，4]D．[﹣4，4]解：令t＝x2﹣ax+3a，则由题意可得函数t在区间（2，+∞）上是增函数，且t＞0，∴，求得﹣4≤a≤4，故选：D．7．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）＝，cos（﹣）＝，则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）＝＝，sin（﹣）＝＝∴cos（α+）＝cos[（+α）﹣（﹣）]＝cos（+α）cos（﹣）+sin （+α）sin（﹣）＝故选：C．8．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）①函数y＝f（x）的图象关于点对称；②函数y＝f（x）的图象关于直线对称；③函数y＝f（x）在单调递减；④该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象．A．①②B．①③C．①②③D．①②④解：根据函数的部分图象，可得A＝2，•＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2•+φ＝π，∴φ＝，f（x）＝2sin（2x+）．当x＝﹣时，f（x）＝0，故y＝f（x）的图象关于点对称，故①正确；当时，f（x）＝﹣2，是最值，故函数f（x）的图象关于直线对称，故②正确；x∈时，2x+∈[﹣π，0]，故函数y＝f（x）在不单调，故③错误；函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位得到y＝2sin（2x﹣﹣）＝2sin（2x﹣），故④错误．故选：A．9．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（8，9）B．（65，129）C．（64，128）D．（66，130）解：作出函数f（x）＝的图象如图，不妨设a＜b＜c，由f（a）＝f（b），得1﹣2a＝2b﹣1，则2a+2b＝2．由f（﹣c）﹣c+6∈（0，1），得c∈（6，7），则64＜2c＜128．∴66＜2a+2b+2c＜130，即2a+2b+2c的取值范围是（66，130）．故选：D．二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）10．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为2π．解：由扇形的面积S＝＝××r2＝3π⇒r＝3．此扇形所含的弧长l＝αr＝×3＝2π，故答案为：2π．11．已知函数y＝log a（x﹣1）+6（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，且点A在角α的终边上，则tanα的值为3．解：函数y＝log a（x﹣1）+6（a＞0，a≠1），令x﹣1＝1得：x＝2，此时y＝6，所以点A（2，6），所以tanα＝＝3，故答案为：3．12．设函数，若f（4）＝f（0），f（2）＝2，则函数g（x）＝f （x）﹣x的零点的个数是2．解：由f（4）＝f（0）可得二次函数的对称轴为x＝2，即：，∴b＝﹣4，且f（2）＝22+（﹣4）×2+c＝2，∴c＝6，据此可得，函数g（x）零点的个数即函数f（x）与函数y＝x交点的个数，绘制函数图象如图所示，观察可得，交点个数为2，故函数g（x）零点的个数为2．故答案为：2．13．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是[﹣4，5]．解：∵θ∈（0，）∴+＝（sin2θ+cos2θ）（+）＝5+（4tan2θ+）≥5+2＝9，当且仅当tanθ＝时取等号．∵对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴|2x﹣1|≤（+）min＝9．∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5．∴实数x的取值范围是[﹣4，5]．故答案为：[﹣4，5]．14．已知函数，g（x）＝sin x+cos x+4，若对任意t∈[﹣3，3]，总存在，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，则实数a的取值范围为（0，2]．解：对于函数f（x），当x≤0时，f（x）＝，由﹣3≤x≤0，可得f（t）∈[﹣4，3]，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，由0＜x≤3，可得f（x）∈[0，4]，∴对任意t∈[﹣3，3]，f（t）∈[﹣4，4]，对于函数g（x）＝sin x+cos x+4＝2sin（x+）+4，∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴g（x）∈[5，6]，∴对于s∈[0，]，使得g（s）∈[5，6]，∵对任意t∈[﹣3，3]，总存在s∈[0，]，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，∴a+4≤6，解得0＜a≤2，故答案为：（0，2]三、解答题（本大题共5小题，共64分）15．（12分）设函数的定义域为A，集合B＝{x|x2﹣2x≤0}．（Ⅰ）求集合A，B，并求A∩∁R B；（Ⅱ）若集合C＝{x|2a≤x≤a+1}，且B∩C＝C，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）A＝{x|log2（x﹣1）≥0}＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x≤2}，∴∁R B＝{x|x＜0或x＞2}，A∩∁R B＝{x|x＞2}；（Ⅱ）∵B∩C＝C，∴C⊆B，当C＝∅时，2a＞a+1，解得a＞1，当C≠∅时，，解得0≤a≤1，综上：a的取值范围是[0，+∞）．16．（12分）已知．（Ⅰ）化简f（α），并求；（Ⅱ）若tanα＝2，求4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α的值；（Ⅲ）求函数的值域．解：（Ⅰ）由题意可得＝，故．（Ⅱ）∵tanα＝2，故4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α＝＝．（Ⅲ）因为f（α）＝cosα，所以g（x）＝2cos2x+sin x+1＝﹣2sin2x+sin x+3＝，因为sin x∈[﹣1，1]，所以时，，g（x）min＝0，所以g（x）的值域为．17．（12分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f（x）万元，f（x）＝．假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元．（1）求出利润g（x）（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润．解：（1）由题意知，当0＜x＜40，100x∈N时，g（x）＝300x﹣5x2﹣50x﹣500﹣1000＝﹣5x2+250x﹣1500，当x≥40，100x∈N时，，综上，．（2）当0＜x＜40，100x∈N时，g（x）＝﹣5x2+250x﹣1500＝﹣5（x﹣25）2+1625，所以当x＝25时，g（x）取得最大值1625，当x≥40，100x∈N时，，当且仅当x＝50时，g（x）取得最大值1900，综上，当x＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣cos2ωx（ω＞0）周期是．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数g（x）的图象，若时，g（x）﹣|m|＜2恒成立，求m得取值范围．解：（Ⅰ）∵＝＝，由，解得ω＝2，所以，．∵，∴，∴，∴f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，可得y＝sin（2x﹣）﹣的图象；再向左平移个单位，可得y＝sin（2x+）﹣的图象最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数g（x）的图象，∴．因为|g（x）﹣m|＜2恒成立，所以，g（x）﹣2＜m＜g（x）+2．因为当时，g（x）﹣2＜m＜g（x）+2恒成立，所以，只需[g（x）﹣2]max＜m＜[g（x）+2]min．当时，y＝g（x）为单调减函数，所以，，，从而[g（x）﹣2]max＝0，[g（x）+2]min＝2，即0＜m＜2，所以，m的取值范围是（0，2）．19．（14分）已知函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x2﹣2e f （x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y＝f（x）+ln（2x﹣k）在区间（1，2）上有零点，求整数k的值；（Ⅲ）设m＞0，若对于任意，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），求m的取值范围．解：（Ⅰ）函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），∴ln（1+a）＝0，解得a＝0，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝lnx；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y＝lnx+ln（2x﹣k）＝ln（2x2﹣kx），x∈（1，2），令ln（2x2﹣kx）＝0，得2x2﹣kx﹣1＝0，设h（x）＝2x2﹣kx﹣1，则函数y＝f（x）+ln（2x﹣k）在区间（1，2）上有零点，等价于函数y＝h（x）在（1，2）上有零点∴，∴，∵k∈Z，∴k的取值为2或3．（Ⅲ）∵m＞0且，∴m＞1且，∵g（x）＝x2﹣2e f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴g（x）的最大值可能是g（m）或，∵＝＝＝，∴，只需g（x）max＜﹣ln（m﹣1），即m2﹣2m＜﹣ln（m﹣1），设h（m）＝m2﹣2m+ln（m﹣1）（m＞1），h（m）在（1，+∞）上单调递增，又h（2）＝0，∴m2﹣2m+ln（m﹣1）＜0，即h（m）＜h（2），∴1＜m＜2，所以m的取值范围是（1，2）．。
天津南开区第五十六中学2021年高一数学理上学期期末试卷含解析
天津南开区第五十六中学2021年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则或C．若不平行的两个非零向量满足，则D．若与平行，则参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用向量的数量积以及向量的模判断选项即可．【解答】解：对于A，，如果=，则，也可能，所以A不正确；对于B，若，则或，或，所以B不正确；对于C，若不平行的两个非零向量满足， ==0，则，正确；对于D，若与平行，则或=﹣，所以D不正确．故选：C，2. 已知是函数的一个零点.若，则 ( )A． B．C. D．参考答案：B3. 方程的两根的等比中项是（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A． B． C． D．参考答案：D略4. 等比数列{a n}的各项均为正数，且，则（）A. 7B. 8C. 9D. 10参考答案：B【分析】根据题意，由对数的运算性质可得，又由对数的运算性质可得，计算可得答案．【详解】根据题意，等比数列的各项均为正数，且，则有，则；故选：．【点睛】本题考查等比数列的性质以及对数的运算，属于基础题．5. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A. 1B.C.D.参考答案：C试题分析：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为；当正视图为对角面时，其面积最大为，因此满足棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围是，因此皆有可能，而，故不可能的为C.考点：1.三视图；2.正方体的几何特征.6. 下列函数中，与函数相同的函数是 ()A. B. C. D.参考答案：C7. 在下列区间中，函数f（x）=3x﹣2的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）参考答案：B【考点】二分法的定义．【分析】运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（1）=3﹣2=1＞0，∴f（0）?f（1）＜0，∴函数f（x）的零点所在的区间为（0，1）故选：B．8. sin15°cos15°的值是( )A. B. C. D.参考答案：A【分析】直接利用二倍角的正弦公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】,故选A.9. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面A. 一定平行B.一定相交C.平行或相交D.一定重合参考答案：C略10. 一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知球的体积为，那么该三棱柱的体积为A. 16B. 24C. 48D. 96参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知满足约束条件则的最大值是；参考答案：612. 已知扇形AOB的面积为，圆心角AOB为120°，则该扇形半径为__________．参考答案：213. 若函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠0）的图象恒过（﹣1，1）点，则反函数的图象恒过点．参考答案：（1，﹣1）【考点】指数函数的图象与性质．【分析】由于函数y=a x+1的图象一定经过点（﹣1，1），故它的反函数的图象一定经过点（1，﹣1）．【解答】解：函数y=a x+1的图象一定经过点（﹣1，1），函数与它的反函数的图象关于直线 y=x对称，故它的反函数的图象一定经过点（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．【点评】本题考查函数与反函数的图象间的关系，利用函数与它的反函数的图象关于直线 y=x对称．14. （5分）sin960°的值为．参考答案：考点： 诱导公式的作用． 专题： 计算题．分析： 利用诱导公式，先化为0°～360°的正弦，再转化为锐角的正弦，即可求得解答： 由题意，sin960°=sin（720°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=﹣故答案为：点评： 本题的考点是诱导公式的应用，解题的关键是正确选用诱导公式转化．15. 若函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω= ．参考答案：考点： 由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．分析：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，求出ω的值即可． 解答：解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，k ∈Z ，所以ω=6k+；只有k=0时，ω=满足选项．故答案为：．16. 设f （x ）和g （x ）是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f （x ）﹣g （x ）在[a ，b]上有2个不同的零点，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f （x ）=﹣x 2+（m+2）x ﹣1和g （x ）=2x+3是[1，5]上的“关联函数”，则实数m 的取值范围为 ．参考答案：（4，5]【考点】函数的零点．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得y=h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=﹣x 2+mx ﹣4在[1，5]上有两个不同的零点，有，由此求得m 的取值范围【解答】解：∵f（x ）=﹣x 2+（m+2）x ﹣1和g （x ）=2x+3在[1，5]上是“关联函数”， 故函数y=h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=﹣x 2+mx ﹣4在[1，5]上有两个不同的零点，有，即，解得m∈（4，5]，故答案为：（4，5]【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．17. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
天津市南开区2021届高一数学上学期期末考试试题
天津市南开区2021届高一数学上学期期末考试试题一、选择题1．函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）A.12B.22C.23D.322．已知函数()y f x =在区间(－∞,0)内单调递增，且()()f x f x -=，若()1.2121log 3,2,2a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>3．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别为3，5，9，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．[61,64]k k ++，k Z ∈B ．[61,64]k k ππ++，k Z ∈C ．[62,61]k k -+，k Z ∈D ．[62,61]k k ππ-+，k Z ∈4．已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且1471692a a a ，，成等差数列，则3S =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．95．在平面直角坐标系中，已知角α始边与x 轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且α终边上有一点P 坐标为()2,3-，则2sin cos (αα+= )AB．CD ．1 6．已知函数，若方程有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A． B． C ．D ． 7．已知直线：，：，：，若且，则的值为A． B ．10C ．D ．2 8．一个扇形的面积是，它的半径是，则该扇形圆心角的弧度数是（ ） A． B ．1C ．2D ． 9．函数()a f x x b =+，不论a 为何值()f x 的图象均过点()0m ,，则实数b 的值为（ ） A.-1B.1C.2D.3 10．在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，PA=AD ，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9011．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(,1),(,2)A a B b ，且2cos23α=，则a b -=（ ） A.5D.112．已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则 ( )A ．ab≤B ．ab≥C ．a 2+b 2≥2D ．a 2+b 2≤3 二、填空题13．如图,货轮在海上以20 mile/h n 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为150°的方向航行.为了确定船位,在点B 观察灯塔A 的方位角是120°,航行半小时后到达C 点,观察灯塔A 的方位角是75°,则货轮到达C 点时与灯塔A 的距离为______ n mile14．已知点O 为△ABC 内一点，+2+3=，则=_________。
天津第二南开中学 2020-2021学年高一数学理上学期期末试题含解析
天津第二南开中学 2020-2021学年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α∥β，l∥β，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④参考答案：D考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：①利用面面垂直的性质定理去证明．②利用线面平行和面面平行的性质定理去判断．③利用线面垂直和线面平行的性质去判断．④利用面面平行和面面垂直的性质取判断．解答：①两平面都垂直于同一个平面，两平面可能平行可能相交，不一定垂直，故①错误．②当直线l?α时，满足条件，但结论不成立．当直线l?α时，满足条件，此时有l∥α，所以②错误．③平行于同一直线的两个平面平行，所以③正确．④一个平面垂直于两平行平面中的一个必垂直于另一个．所以④正确．所以正确的命题为③④．故选D．点评：本题为命题真假的判断，正确认识空间里直线与平面的位置关系是解决问题的关键．2. 已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f （x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】创新题型；函数的性质及应用．【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h （x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．3. 设，且，则( )A B 10 C 20 D 100参考答案：A4. 函数的图象是( )参考答案：C试题分析：，故选D．5. 若函数y=﹣x2+4x﹣3的定义域为[0，t]，值域为[﹣3，1]，则t的取值范围是( ) A．（0，4] B．C．[2，4] D．[2，+∞）参考答案：C【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意，化简y=f（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，又由函数y=﹣x2+4x﹣3的定义域为[0，t]，值域为[﹣3，1]知，t在对称轴上或其右侧，结合图象解得．【解答】解：∵y=f（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，又∵f（0）=f（4）=﹣3，f（2）=1；∴t∈[2，4]，故选C．【点评】本题考查了函数的定义域与值域的关系，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．6. 已知tanα=2，则=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】二倍角的正弦；三角函数的化简求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得所给式子的值．【解答】解：∵tanα=2，则=sinα?cosα===，故选：A．7. 如下图所示，阴影部分表示的集合是（）A. B. C. D.参考答案：A略8. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】由α⊥β，m?α，n?β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m?α，n?β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m?α，n?β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m?α，n?β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m?α，n?β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m?α，n?β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．9. 已知函数 ,则 = （）A．B．3 C．D．参考答案：D10. 角的终边经过点，则的可能取值为（）A. B. C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，||=2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n = ．参考答案：（﹣1）n【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，||=2n（n∈N*），可得=2，a2=2，a3=﹣8，a4=64．…，由于数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，可得，利用“累乘求积”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，||=2n（n∈N*），∴=2，解得a2=2．同理可得：a3=﹣8，a4=64．∵数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，∴，∴a n=?…=（﹣1）n×2n﹣1×2n﹣2×…×22×2×1=（﹣1）n×．∴a n=（﹣1）n．故答案为：（﹣1）n．12. 奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则2f（﹣6）+f（﹣3）= ．参考答案：﹣15【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；函数的值． 【专题】计算题．【分析】先利用条件找到f （3）=﹣1，f （6）=8，再利用f （x ）是奇函数求出f （﹣6），f （﹣3）代入即可．【解答】解：f （x ）在区间[3，6]上也为递增函数，即f （6）=8，f （3）=﹣1 ∴2f（﹣6）+f （﹣3）=﹣2f （6）﹣f （3）=﹣15 故答案为：﹣15【点评】本题考查了函数奇偶性和单调性的应用．若已知一个函数为奇函数，则应有其定义域关于原点对称，且对定义域内的一切x 都有f （﹣x ）=﹣f （x ）成立． 13. 已知直线l ：2x ﹣y+1=0与圆（x ﹣2）2+y 2=r 2相切，则r 等于 ．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据圆心到直线的距离等于半径，可得=r ，由此求得r 的值．【解答】解：根据圆心（2，0）到直线l ：2x ﹣y+1=0的距离等于半径，可得=r ，求得r=，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14. 已知函数，且，则.参考答案：-2615. 设函数y=sinx （0≤x≤π）的图象为曲线C ，动点A（x ，y ）在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线C 于点B （A 、B 可以重合），设线段AB 的长为f （x ），则函数f （x ）单调递增区间 ．参考答案：[]【考点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质． 【分析】依题意，对x∈[0，]与x∈[，π]讨论即可．【解答】解：依题意得f （x ）=|AB|，（0≤|AB|≤π）． 当x∈[0，]时，|AB|由π变到0，∴[0，]为f （x ）单调递减区间； 当当x∈[，π]时，|AB|由0变到π，∴[，π]为f （x ）单调递增区间．故答案为：[，π]．【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与分析问题的能力，属于中档题．16. 从含有三件正品和一件次品的4件产品中不放回地任取两人件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是_____________ 参考答案：略17. 设定义域为R 的函数, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数c 的取值范围是__________.参考答案：（0，4）三、解答题：本大题共5小题，共72分。