2020届福建省宁德市高考理科数学5月模拟试题和答案详细解析及备考策略
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共 60 分
17．（12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AB＝3 ，CD＝3，cos∠BDC＝﹣ ， ∠C＝ ． （1）求 sin∠DBC； （2）求 AD 的长．
18．（12 分）如图，在棱柱 ABCD﹣A'B'C'D'中，底面 ABCD 为平行四边形，DD'＝CD＝4，AD
A．2
B．3
C．8
D．15
10．（5 分）方程：2（x﹣1）（x﹣3）＝y（ex﹣2+e2﹣x）的曲线有下列说法：
①该曲线关于 x＝2 对称；
②该曲线关于点（2，﹣1）对称；
③该曲线不经过第三象限；
④该曲线上有无数个点ห้องสมุดไป่ตู้横、纵坐标都是整数．
其中正确的是（ ）
A．②③
B．①④
C．②④
D．①③
11．（5 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，四边形 EFBD 为矩形，且平面 ABCD 与平面 EFBD 互
即输入 N＝1988，执行该程序框图，运行相应的程序，输出 x＝5，从干支表中查出对应
的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元 429 年，则该年所对应的干支为
（）
六十干支表（部分）
5
6
7
戊辰
己巳
庚午
58
59
60
辛酉
戌壬
癸亥
A．己巳 4．（5 分）
B．庚午
C．壬戌
的展开式中，x3 的系数是（ ）
2．（5 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3＝3，a7＝13，则 S9＝（ ）
A．36
B．70
C．72
D．144
3．（5 分）干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合称，“干支纪年法”
是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元 1988 年，
2020 届福建省宁德市高考理科数学 5 月模拟试题答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．B； 2．C； 3．A； 4．D； 5．A； 6．A； 7．B； 8．C； 9．C； 10．D； 11．B；
12．D；
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
过去我基本做到了每天回家跟孩子吃晚餐，一起饭桌聊天。我知道在中国有些父母应酬 太多，你得学会成功地处理事业和家庭的时间分配，否则你是一个失败者，哪怕做到亿万富 翁国家主席。别说你做不到，盖茨能做到，奥巴马能做到。孩子特别需要父亲的言传身教， 教育不只是母亲的责任。
如果跟孩子日常沟通有困难，你至少可以做到两点：让孩子感受到你爱她，你对她有期 待。今年女儿在奶奶家吃年饭，奶奶说，你得好努力，要一代超过一代。其实我也没有超过 父亲，我父亲 50 年代参加过全国劳动模范群英会，文革前在几万人的大企业做总工程师。 但是，我在自己的条件下走出了一条不同的道路。女儿超过我就更难了，因为我还在努力， 标杆还在上升，老爸我没有涨停板。终生奋斗的父母对成年孩子是很大的感召。我相信榜样 的力量。所以，父母们一定要朝气向上，孩子能够被激励。总不能给孩子说一套，父母做出 是另一套。父母的不好，孩子可能照单全收。
b 为常数），且 P0＝P1＝P2＝1． （ i）求 P3，P4 及 a，b； （ ii）判断并证明数列{Pn}从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意 义．（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9544， P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973）
13．x2＝2y．； 14．16； 15．﹣8； 16．{﹣1，3}；
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共 60 分
17．
； 18．
； 19．
； 20．
； 21．
和引导，培养孩子的理想，以及愿意为理想去努力。我们太多的父母不愿意或做不到坚持每 天跟孩子聊天，分享自己的成长和理想，从而树立孩子的价值观和理想。
许多父母对待孩子就象对待一个打工仔，父母提要求、孩子被迫干活、父母买单。这不 是做父母，是在做老板。我女儿曾经写道：“我的一些华裔朋友在父母的强迫下，变成了他 们不愿意成为的人。于是，她们心不甘情不愿地做着家庭作业，很少做义务工作，不愿意结 交新朋友。对他们的父母来说 ，这也是适得其反。因为这些孩子总是会有逆反心理，暗地 里磨洋工，失去理想，性格也变得很冷漠，根本不能实现父母替他们设计的远大理想。”
；
选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．
；
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23．
；
声明：试题解析著 作权属菁优网 所有，未经书 面同意，不得 复制发布
日期：2020/5/23 1 8:11:28；用 户：317853762 5；邮箱：317 8537625@qq.c om；学号：99 78245
选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线
．以坐标原点 O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 A 的极坐标为 方程为 ρcosθ+2ρsinθ﹣8＝0． （1）求点 A 的直角坐标和直线 l 的直角坐标方程；
2020 届福建省宁德市高考理科数学 5 月模拟试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．（5 分）设集合 A＝{x|lnx＜0}，B＝{x|x≤﹣1}，则 A∩∁ RB＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|x≥1}
D．癸亥
A．﹣50
B．﹣30
C．50
5．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
D．30 ）
A．3π 6．（5 分）已知
A．0
B．9π ，且
B．
C．12π
D．36π ，则 cosθ＝（ ）
C．
D．0 或
7．（5 分）在复平面内 O 为坐标原点，复数
，
对应的点分别为 Z1，
Z2，则∠Z1OZ2 的大小为（ ）
记住：什么时侯开始学习做父母都不算晚。
有一次跟女儿争吵，是批评她成绩有下降。后来我告诉她，有些话你也许当面不能讲得 很有条理，写封信给爸爸妈妈吧，谈谈你对我们的教育方法的期待。下面是我编译节选的她 的英文信，跟高三家长博客圈的父母们分享：
“众所周知，父母在孩子的成长与教育中起着关键性的作用。同样，父母的教育方法也 非常重要。在中美两个国家中，父母的教育方法非常不同。
中国一直被认为在产生聪明和能干的孩子。我的美国同学已经习惯把身边的每个中国孩 子标榜为“天才”，无论是否属实。部分原因是中国孩子学习动机强烈。在我看来，父母对 教育的重视起了关键性的作用。
你们把孩子送去学音乐、学中文等，刺激了孩子的智力发育。中国父母总是把教育放在 孩子生活的第一位，你们期待并指导孩子努力学习和积极对待学习。让孩子进最好的学校是
跟孩子一起成长 做父母还用学吗?当然。你的确看见你的父母怎么做的，但是时代不同了，而且你一定
看到他们做父母的缺点。我们看见别人做事，真轮到自己做还得从头学起。孩子长到一岁， 你做父母也才一年，孩子长到 18 岁，你做父母就 18 年。孩子在成长，父母也要成长。你不 能拿教三岁小儿的方法来教青少年吧。做父母是一个互动学习过程，主要是学会跟孩子沟通
做父母是要花时间的，你不能长期跟孩子共进晚餐，怎么做到家庭式教育?出问题了把 孩子叫到跟前教育一下?这是学校式教育。区分家庭教育和学校教育的不是教育者的身份， 而是方式。学校教育就是流水线。
大批量生产统一标准的有知识的孩子，也就是机器打造;而家庭教学是每个孩子与父母 的一对一、亲密地情感与价值观的分享，也就是手工打造。
相垂直．若多面体 ABCDEF 的体积为 ，则该多面体外接球表面积的最小值为（ ）
A．16π
B．12π
C．8π
D．6π
12．（5 分）双曲线
的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原
点．P 为曲线 C 右支上的点，点 M 在∠F1PF2 外角平分线上，且
＝0．若△OF2M 恰
为顶角为 120°的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
数字不慎被墨迹污染（分别用 m，n 标注）．目前得知这组数据的平均值为 58，则方差 S2
最大时 m﹣n 的值为
．
16．（5 分）已知函数 f（x）＝
，若关于 x 的不等式 f2（x）﹣2af（x）+2+a
≤0 的解集非空，且为有限集，则实数 a 的取值集合为
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第 17～21 题为必考
（2）直线 PF2 与椭圆 C 的另一个交点为 Q，点
，证明：直线 PA 与直线 QA 关
于 x 轴对称．
20．（12 分）已知函数
（a∈R）．
（1）讨论函数 f（x）的单调性；
（2）求证：
．
21．（12 分）某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡 通（年卡）．为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了 2019 年到本市 景区旅游的 1000 个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如图频率分布直方图： 由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分 布 N（μ，3.22），其中 μ 近似为样本平均数 （同一组数据用该组区间的中点值作代表）． （1）若 2019 年到本市景区旅游游客为 500 万人，试估计 2019 年有多少游客在本市的年 旅游消费支出不低于 1820 元； （2）现依次抽取 n 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件 A 表示“连 续 3 人的旅游消费支出超出 μ”．若 Pn 表示 的概率，Pn＝aPn﹣1+ Pn﹣2+bPn﹣3（n≥3，a，
高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)PDF.pdf
0)
的周期为
2π 3
，当
x
0，π3
时，函
数 g ( x) = f ( x) + m 恰有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
B． 1 5
C． 1 2
D． 3 4
8．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为 A ，从集合 A 中任取一个元素 a ，
则函数 y = xa ， x (0, +) 是增函数的概率为（ ）
A． 3 5
B． 4 5
C． 3 4
开始
D． 3 7
x = −3
x≤3
是
y = x2 + 2x
否 结束
输出y
体考生的平均成绩； （2）为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的 方法抽取 12 名考生进入第二轮面试. ①求第 3、4、5 组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试； ②从上述进入二轮面试的学生中任意抽取 2 名学生，记 X 表示来自第四组的学生人数，求 X 的分布列和数学期望； ③若该高校有三位面试官各自独立地从这 12 名考生中随机抽取 2 名考生进行面试，设其中 甲考生被抽到的次数为 Y，求 Y 的数学期望.
8
书山有路
【解析】如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分
a2 + b2 = 5
别为 a ， b ， c ，则 a2 + c2 = 4 ，三式相加得： a2 + b2 + c2 = 6 ，所以该四面体
2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|0}A x lnx =<，{|1}B x x =-„，则(R A B =I ð ) A ．{|11}x x -<<B ．{|01}x x <<C ．{|11}x x -<„D ．{|1}x x …2．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，713a =，则9(S = ) A ．36B ．70C ．72D ．1443．（5分）干支是天干（甲、乙、⋯、癸）和地支（子、丑、⋯、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入1988N =，执行该程序框图，运行相应的程序，输出5x =，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为()六十干支表（部分）5 6 7 戊辰 己巳 庚午 58 59 60 辛酉戌壬癸亥A ．己巳B ．庚午C ．壬戌D ．癸亥4．（5分）51(1)(2)x x+-的展开式中，3x 的系数是( )A ．50-B ．30-C ．50D ．305．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π6．（5分）已知[,0)2πθ∈-3sin 2cos21θθ=+，则cos (θ= )A ．0B ．12C 3D ．03 7．（5分）在复平面内O 为坐标原点，复数1(3)z i i =，123z i=-对应的点分别为1Z ，2Z ，则12Z OZ ∠的大小为( ) A ．512π B ．12πC ．712π D ．1112π 8．（5分）函数()0()f x ax lnx a R =-∈…恒成立的一个充分不必要条件是( ) A ．1[,)a e∈+∞B ．[0a ∈，)+∞C ．[1a ∈，)+∞D ．(a ∈-∞，]e9．（5分）已知O 为坐标原点，AB 是22:(3)(4)1C x y -+-=e 的直径．若点Q 满足||2OQ =u u u r ，则QA QB u u u r u u u rg的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．8 D ．1510．（5分）方程：222(1)(3)()x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称； ③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数． 其中正确的是( )A．②③B．①④C．②④D．①③11．（5分）如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为163，则该多面体外接球表面积的最小值为()A．16πB．12πC．8πD．6π12．（5分）双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点．P为曲线C右支上的点，点M在12F PF∠外角平分线上，且2F M PM=u u u u u r u u u u rg．若△2OF M恰为顶角为120︒的等腰三角形，则该双曲线的离心率为()A．23B．43C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若抛物线经过点1(1,)2-，(2,2)，则该抛物线的标准方程为．14．（5分）记nS为正项数列{}na的前n项和，212n n na a a++=g．若11a=，37S=，则5a=．15．（5分）宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染（分别用m，n标注）．目前得知这组数据的平均值为58，则方差2S最大时m n-的值为．16．（5分）已知函数12,0()2,01xx e xf x xxx+⎧⎪=⎨>⎪+⎩g„，若关于x的不等式2()2()20f x af x a-++„的解集非空，且为有限集，则实数a的取值集合为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。
2020届福建省宁德市普通高中高三毕业班5月质量检查数学(理)试题(解析版)
2020届福建省宁德市普通高中高三毕业班5月质量检查数学（理）试题一、单选题1．设集合{|ln 0}A x x =<，{|1}B x x =≤-，则R A B =I ð（ ） A ．{|11}x x -<< B ．{|01}x x << C ．{|11}x x -≤< D ．{|1}x x ≥【答案】B【解析】求解对数不等式，再求集合交集和补集即可容易求得. 【详解】因为集合{}|0{|01}A x lnx x x =<=<<，故{}1R C B x x =-， 则R A B =I ð{|01}x x <<. 故选：B. 【点睛】本题考查集合混合运算，涉及对数不等式的求解，属综合基础题.2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，713a =，则9S =（ ） A ．36 B ．70C ．72D ．144【答案】C【解析】利用等差数列下标和性质，求得5a ；再用等差数列前n 项和性质，即可容易求得. 【详解】根据等差数列的下标和性质，即可求得3752a a a +=，解得58a =； 又95972S a ==. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和的性质，属综合基础题.3．干支是天干(甲､乙､…､癸)和地支(子､丑､…､亥)的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元1988年，即输入1988N =，执行该程序框图，运行相应的程序，输出5x =，从干支表中查出对应的干支为戊辰.我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为（）A．己巳B．庚午C．壬戌D．癸亥【答案】A【解析】模拟执行程序框图，即可求得输出结果，再结合表格，即可容易求得. 【详解】模拟执行程序如下所示：====，不满足60429,1,366,2N i x ix≤，x i==，不满足60306,3x≤，==，不满足60246,4x ix≤，186,5==，不满足60x ix≤，==，不满足60126,6x ix≤，==，不满足60x i66,7x≤，x i==，满足606,8x≤，输出6.对照已知表格，故可得该年所对应的干支是己巳.故选：A.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.4．()5112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是（ ）A ．50-B ．30-C ．50D ．30【答案】D【解析】根据3x 的产生，结合二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果. 【详解】对二项式()52x -，其通项公式()5152rrr r T C x -+=⋅-⋅，令1r =，可得4x 的系数为10-；令2r =，可得3x 的系数为40.则()5112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为104030-+=. 故选：D. 【点睛】本题考查通过二项式的通项公式求指定项的系数，属基础题. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π【答案】A【解析】根据题意还原几何体，根据圆锥的体积计算公式，即可容易求得. 【详解】根据三视图可知，该几何体是底面半径为3，高为4的四分之一圆锥.故其体积211343V r h ππ=⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆锥体积的求解，属综合基础题.6．已知,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭2cos21θθ=+，则cos θ=（ ）A ．0B ．12C D ．0【答案】A【解析】利用倍角公式，化简求得 【详解】2cos21θθ=+2cos cos θθθ=，即)0cos cos θθθ-=，因为,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故可得0cos θ=，或3tan θ=（舍）.故0cos θ=. 故选：A. 【点睛】本题考查正余弦的二倍角公式，涉及三角函数在每个象限的正负，属综合基础题.7．在复平面内O 为坐标原点，复数12),z i i z ==对应的点分别为1Z ，2Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．512π B ．12πC ．712π D ．11π12【答案】B【解析】利用复数运算，化简复数12,z z ，再求得对应点的坐标，利用勾股定理即可判断. 【详解】因为)11z ii ==-+，故(1Z =-，12z =；因为2122z i ===+，故2122Z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.容易知12122,1,OZ OZ Z Z === 满足勾股定理，故可得122Z OZ π∠=.故选：B. 【点睛】本题考查向量运算法则，复数模长的求解，复数对应点的坐标，属综合基础题. 8．函数()ln 0()f x ax x a R =-≥∈恒成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．1,a e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,a ∈+∞C ．[)1,a ∈+∞D ．(,]a e ∈-∞【答案】C【解析】利用导数研究恒成立问题对应参数的范围，再根据充分性的要求，选取结果. 【详解】若()ln 0()f x ax x a R =-≥∈恒成立，等价于lnxa x≥恒成立. 令()lnx h x x =，故可得()21lnx h x x-'=， 故()h x 在区间()0,e 单调递增，在区间(),e +∞单调递减； 故()()1max h x h e e==. 故要满足()0f x ≥恒成立，只需1a e≥即可. 则()0f x ≥恒成立的一个充分不必要条件是集合1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的非真子集. 故选：C . 【点睛】本题考查命题的充分不必要条件的判断，涉及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题. 9．已知O 为坐标原点，AB 是:C e 22(3)(4)1x y -+-=的直径.若点Q 满足2OQ =u u u r ，则QA QB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．15【答案】C【解析】求得点Q 的轨迹方程，利用向量运算，将问题转化为求圆外一定点到圆上一动点之间距离的最小值，则问题得解. 【详解】因为点Q 满足2OQ =u u u r，故Q 点是圆224x y +=上的一个动点； 故QA QB ⋅u u u r u u u r()()()2QC CA QC CB QC QC CA CB CA CB =+⋅+=+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21QC =-u u u r .又因为C 点坐标为()3,4是圆224x y +=外一点，而Q 为该圆上任意一点.故23minQC==u u u r .故21QC -u u u r 得最小值为8，即QA QB ⋅u u u r u u u r的最小值为8.故选：C . 【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求解，圆外一点到圆上任意一点距离的最值，向量的数量积运算，属综合中档题.10．方程()222(1)(3)x xx x y e e ----=+的曲线有下列说法：①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称； ③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数. 其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③【答案】D【解析】根据曲线的表达式，结合选项，研究其对称性，函数图像，则容易进行判断. 【详解】因为曲线方程为()222(1)(3)x x x x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122xxx x f x f x e e-+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立， 故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点.事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质.故选：D.【点睛】本题考查函数的对称性、函数图像的研究，属综合中档题11．如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直.若多面体ABCDEF的体积为163，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．16πB．12πC．8πD．6π【答案】B【解析】根据题意，设出正方形边长和矩形的高，根据体积公式，求得,a b等量关系；再找到球心，求得半径，利用导数求函数的最小值，则问题得解.【详解】根据题意，连接,AC BD交于M点，过M作MN//DE交EF于N点，交BE于O，连接OC.因为四边形ABCD 是正方形，故可得AC BD ⊥，又因为平面ABCD ⊥平面EFBD ，且交线为BD ，又AC ⊂平面ABCD ，故AC ⊥平面EFBD ，不妨设,CD a DE b ==， 故可得多面体ABCDEF 的体积211222333EFBD V S AC ab a a b =⨯==； 则221633a b =，解得28b a=； 又容易知多面体外接球的球心在四边形ABCD 外心的垂线上，且为MN 的中点O ，设外接球半径为R ，则222222221211224R OC OM MC b a b ⎫⎛⎫==+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 将28b a =代入可得2241162R a a=+，不妨令2,(0)a t t =>，则221162y R t t ==+，则31322y t=-'，容易知y '是关于t 的单调增函数，且当4t =时，0y '=，故可得221162y R t t==+在()0,4上单调递减，在()4,+∞单调递减.故211643216min min y R ==⨯+=. 则外接球表面积的最小值2412min min S R ππ==.故选：B. 【点睛】本题考查棱锥体积的计算、面面垂直的性质、外接球表面积的计算、利用导数求函数的最值，属压轴题.12．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点.P 为曲线C 右支上的点，点M 在12F PF ∠外角平分线上，且20F M PM ⋅=uuuu r uuu r.若2OF M △恰为顶角为120o 的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．3【答案】D【解析】延长2F M 交1F P 的延长线于点Q ，根据几何关系，求得P 点坐标，代入双曲线方程可得,a c 齐次式，则问题得解. 【详解】延长2F M 交1F P 的延长线于点Q ，连接OM ，过P 作12PH F F ⊥，如下所示：不妨设12,PF m PF n ==，因为2PM MF ⊥，且PM 为2F PQ ∠的角平分线，故可得2F PM QPM ≅n n ， 故可得2PQ PF n ==，且M 为2F Q 的中点；因为2OF M n 为顶角120︒的等腰三角形，故可得22OF F M c ==， 由余弦定理可得22222221203OM OF F M OF F M cos c =+-⨯⨯⨯︒=， 在12F F Q n 中，因为,O M 分别为122,F F F Q 的中点，故1223FQ OM c ==； 根据双曲线定义可知：122PF PF a -=，即2m n a -=； 又121223PF PF PF PQ OM m n c +=+==+=； 联立可得3;3m a c n c a ==-； 因为2OF M n 为顶角120︒的等腰三角形故在直角三角形1PF H 中，1230PF H MOF ∠=∠=︒则11122PH PF m ==，由勾股定理可得1F H = 故可得P点坐标为1,2c m ⎫-⎪⎪⎝⎭，即⎝⎭，代入双曲线方程可得：())()()2222222244c a c aaa c a +-⨯-⨯=-，整理得：323250c a c +--=， 同除3a可得3250e e +--=，分解因式可得()240e e++=，解得e =e =（舍去负根），则e =故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义，属综合困难题.二、填空题13．若抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，则该抛物线的标准方程为___________. 【答案】22x y =【解析】由所过两点坐标即可设出抛物线方程，待定系数即可求得结果. 【详解】因为抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，即抛物线经过第一、二象限， 故设抛物线方程为22,(0)x py p =>，代入点()2,2，可得44p =，即1p =， 则抛物线方程为：22x y =. 故答案为：22x y =. 【点睛】本题考查由抛物线上一点求抛物线方程，属基础题.14．记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，212n n n a a a ++=⋅.若11a =，37S =，则5a =___________.【答案】16【解析】由等比数列的基本量，列出方程，求得首项和公比，则问题得解.【详解】因为212n n n a a a ++=⋅，故可得数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则由11a =，37S =可得：21117a a q a q ++=，解得3q =-（舍）或2q =；故可得45116a a q ==.故答案为：16.【点睛】本题考查等比中项的应用，等比数列基本量的计算，属基础题.15．宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染(分别用,m n 标注).目前得 知这组数据的平均值为58，则方差2S 最大时m n -的值为_________.【答案】8-【解析】根据平均数求得,m n 之间的关系，利用线性规划，即可容易求得最值.【详解】 由题可知()15853535556506064658m n =+++++++++， 解得8m n +=. 故其方程()()2222222221553282678S m n ⎡⎤=++++-++++⎣⎦， 故要使得其最大，只需()()2282z m n =-++最大即可.又因为8,,,08,08m n m n Z m n +=∈≤≤≤≤，故用线性规划的思路，求目标函数()()2282z m n =-++的最大值.而目标函数表示点(),m n 到点()8,2-距离的平方，数形结合可知，当且仅当目标函数过点()0,8时取得最大值.即当0,8m n ==时，2S 取得最大值.此时8m n -=-.故答案为：8-.【点睛】本题平均数和方差的计算，涉及非线性目标函数最值的求解，属综合中档题.16．已知函数12,0,()2,0.1x x e x f x x x x +⎧⋅⎪=⎨>⎪+⎩… 若关于x 的不等式2()2()20f x af x a -++≤的解集非空，且为有限集，则实数a 的取值集合为___________.【答案】{1,3}-【解析】利用导数，研究()f x 的性质和图像；利用换元法，结合二次不等式的解集，结合()f x 的函数图像，即可分类讨论求得.【详解】当0x ≤时，1x y xe+=，则()11x y e x +'=+，令0y '=，解得1x =-， 容易得1x y xe +=在区间(),1-∞-单调递减，在区间()1,0-单调递增，且在1x =-时，取得极小值，即1y =-；且0x ≤时，0y ≤；当0x >时，221x y x =+，则()()()22111x x y x -+-'=+，令0y '=，解得1x =， 容易得221x y x =+在区间()0,1单调递增，在区间()1,+∞单调递减，且在1x =时，取得极大值，即1y =；且0x >时，0y >；故()f x 的模拟图像如下所示：综上所述：()f x 的值域为[]1,1-.令()f x t =，则2220t at a -++≤，其2448a a =--n ，对称轴为t a =： 当0<n 时，显然关于t 的二次不等式解集为空集，不满足题意；当0=n ，即2a =或1a =-时，若2a =，显然关于t 的二次不等式的解集为2t =，又()2f x t ==，数形结合可知，此时关于x 的原不等式解集为空集，不满足题意；若1a =-，关于t 的二次不等式的解集为1t =-，又()1f x t ==-，数形结合可知，此时关于x 的原不等式解集为{}1-，满足题意；当0>n ，即1a <-或2a >时，令2220t at a -++=，解得22122,2x a a a x a a a =--=--显然12x x <，故此时关于t 的不等式的解集为[]12,x x ，数形结合可知，要满足题意，只需11x =或21x =-. 即221a a a --=，解得3a =，满足1a <-或2a >； 或221a a a --=-，解得1a =-，不满足1a <-或2a >，舍去；综上所述，要满足题意，则1a =-或3a =.故答案为：{}1,3-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质和图像，涉及二次不等式的求解，属压轴题.三、解答题 17．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，33AB =3CD =，1cos 7BDC ∠=-，3C π∠=.（1）求sin DBC ∠；（2）求AD 的长.【答案】（1）3314.（2）7 【解析】（1）利用sin sin()DBC BDC C ∠=∠+∠，结合已知，即可容易求得； （2）在BDC ∆中，由正弦定理求得BD ；再在ABD ∆，由余弦定理求解AD .【详解】（1）因为1cos 7BDC ∠=-，22sin cos 1BDC BDC ∠∠+=， 所以43sin BDC =∠在BDC ∆中，,3=C DBC C BDC ππ∠∠+∠+∠=，所以sin sin()DBC BDC C ∠=∠+∠sin cos cos sin BDC C BDC C =∠⋅+∠⋅431133327-= （2）在BDC ∆中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC C=∠， 333=，解得7BD = 因为2ABD DBC π∠+∠=，33sin DBC ∠=， 所以cos ABD ∠33=， 在ABD ∆中，33AB =2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠2233(33)7233749=+-⋅= 解得7AD =【点睛】本小题主要考查正弦定理､余弦定理､三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想､函数与方程思想等.18．如图，在棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为平行四边形，4,DD CD '== 2AD =，3BAD π∠=，且D ¢在底面上的投影H 恰为CD 的中点.（1）过D H '作与BC 垂直的平面α，交棱BC 于点N ，试确定点N 的位置，并说明理由；（2）若点P 满足D P D C λ'''=u u u u r u u u u u r ，试求λ的值，使二面角P BH A --为34π. 【答案】（1）点N 为棱BC 的中点，理由见解析（2）1【解析】（1）根据题意，取BC 中点为N ，只需HN BC ⊥即可，结合已知，即可容易说明；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，用向量法求解二面角大小，从而求得λ的方程，解方程即可求得结果.【详解】（1）当点N 为棱BC 的中点时，符合题目要求，下面给出证明.分别连结NH ，ND '.在HNC ∆中，222cos 33NH NC CH NC CH π=+-⋅⋅=所以222HC NC HN =+，因此2HNC π∠=，即NH BC ⊥，因为'D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点，所以D H '⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以D H BC '⊥，又NH BC ⊥，D H NH H '=I ，,D H NH '⊂平面D HN '，所以BC ⊥平面D HN '，因此，点N 即为所求，平面D HN '即为α（2）证明：由题（1）知可得HN BC ⊥，//HN DB ，//AD BC ，所以AD BD ⊥分别以,DA DB u u u r u u u r 为,x y 轴的正方向，以过D 点垂直于平面ABCD 的方向为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -， 23HD '=，(0,0,0)D ，(1,3,0)H -， (0,23,0)B ，(1,3,23)D '-，(2,23,0)C -，(3,33,23)C '-，所以 (2,23,0)(2,23,0)D P D C λλλλ'''==-=-u u u u r u u u u r易得平面AHB 的一个法向量为()0,0,1m =r3,0),3)HB HD u u u r u u u u r '==，(2,23,23)HP HD D P λλ''=+=-u u u r u u u u r u u u u r设n =r(,,)x y z 为平面PBH 的一个法向量，则： 00n HB n HP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，即得30223230x x y z λλ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩， 令3x =3,1,2)n λ=-，因为二面角P BH A --为34π， 所以3|cos ,||cos |4m n π<>=u r r ，即||2||||||m n m n ⋅=⋅u r r u r r ，2=，又因为二面角P BH A--的大小为钝角，故1λ=【点睛】本题主要考查空间直线与直线､直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力､推理论证能力､运算求解能力，考查化归与转化思想等. 19．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，12,F F分别为椭圆的左､右焦点，点P为椭圆C上的一动点，12PF F△面积的最大值为2.（1）求椭圆C的方程；（2）直线2PF与椭圆C的另一个交点为Q，点()A，证明：直线PA与直线QA 关于x轴对称.【答案】（1）22142x y+=.（2）证明见解析【解析】（1）根据离心率和12PF F△面积的最大值为2，即可列出,,a b c方程，即可求得结果；（2）设出直线2PF的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，只需求证PA QAk k=-，则问题得证.【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，所以2cea==，即222c a=，又222a b c=+，所以b c=，因为12MF F∆面积的最大值为2，所以1222c b⋅⋅=，即2c b⋅=，又因为b c=，所以b c==24a=，故椭圆C的方程为22142x y+=（2）由（1）得2F，当直线l的斜率为0时，符合题意，当直线l 的斜率不为0时，设直线l的方程为x ty =+22142x y +=消去x 整理得：22(2)20t y ++-=，易得222)8(2)16160t t ∆=++=+>设1122(,),(,)P x y Q x y，则1212222y y y y t ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩，记直线,PA QA 的斜率分别为,PA QA k k ，则2244()0PA QA k k t t +=---==所以PA QA k k =-，因此直线PA 与直线QA 关于x 轴对称.【点睛】本题主要考查直线椭圆､直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力､推理论证能力，考查函数与方程思想､化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力， 20．已知函数2()ln (1)2a f x x x a x =-+-(a R ∈). （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证： 3226(1ln )23501x x x x x-+--<-. 【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析【解析】（1）求导，对参数进行分类讨论，根据导数正负，即可判断函数单调性；（2）构造函数32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，利用导数判断其单调性和最值，即可容易证明.【详解】（1）定义域为(0,)+∞，21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x f x ax a x x x---+-'=-+-=-=- 当0a ≥时，10ax +>，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞；当0a <时，令()0f x '=，得1x =或1x a=-， 当1a =-时，2(1)()0x f x x-=≥'恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间；所以函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当10a -<<时，11a->， 所以函数()f x 的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞； 当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间；当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当10a -<<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）设32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，22()666ln 666(ln )h x x x x x x x '=--+-=--+，由（1）可知，当2a =时，2()ln f x x x x =-+， 且()f x 的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞，所以()h x '的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1)，故()(1)0h x h ''≥=，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增又(1)6(1ln1)2350h =-+--=，所以当01x <<时，()0h x <，1x >时，()0h x >；又当01x <<时，210x ->，1x >时，210x -<所以3226(1ln )23501x x x x x -+--<- 【点睛】本小题主要考查导数及其应用､不等式等基础知识，考查推理论证能力､运算求解能力､创新意识等，考查函数与方程思想､化归与转化思想､分类与整合思想､数形结合思想等. 21．某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通(年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出(单位：百元)，并制成如下频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布2(,3.2)N μ，其中μ近似为样本平均数x (同一组数据用该组区间的中点值作代表). （1） 若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；（2） 现依次抽取n 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A 表示“连续3人的旅游消费支出超出μ”.若n P 表示A 的概率，1231(3,,4n n n n P aP P bP n a b ---=++≥为常数)，且0121P P P ===. （ⅰ）求3P ，4P 及a ，b ；（ⅱ）判断并证明数列{}n P 从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义. (参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈，(33)0.9973)P X μσμσ-<<+≈【答案】（1）11.4万.（2）（ⅰ）378P =，41316P =，12a =，18=b .（ⅱ）数列{}n P 从第三项起单调递减，证明见解析，用概率统计知识解释其实际意义见解析【解析】（1）由直方图求得x 的平均数，结合正态分布的概率计算，即可容易求得旅游费用支出不低于1820元的概率，再乘以500即可；（2）（ⅰ）根据题意，即可容易求得34,P P ，再列出,a b 方程，即可求得；（ⅱ）根据递推公式计算1n n P P +-，即可判断数列的单调性；再结合实际问题，进行解释.【详解】（1）直方图可得()0.012540.0580.1375120.375160.12520411.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ∵11.8x μ==， 3.2σ=，218.2μσ+=∴旅游费用支出不低于1820元的概率为1(22)10.9544(2)0.022822P x P x μσμσμσ--<<+-≥+===， ∴5000.022811.4⨯=，估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元.（2）（ⅰ）317188P =-=， 4211311616P +=-=， 所以321043211,41,4P aP P bP P aP P bP ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩即71,841371,1684a b a b ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 解得1,21.8a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ⅱ）数列{}n P 从第三项起单调递减123111(3)248n n n n P P P P n ---=++≥， 故1n n P P +-12123111111248248n n n n n n P P P P P P -----⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12311112488n n n n P P P P ---=---12312311111112248488n n n n n n P P P P P P ------⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭3116n P -=- 又0n P >，所以31016n P --<， 即从第三项起数列{}n P 单调递减.由此，可知随着抽查人数n 的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出μ” 的可能性会越来越小. （即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出μ这一事件)【点睛】本小题主要考查频率分布直方图､平均数､正态分布､随机事件的概率､数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力､数据处理能力､应用意识，考查分类与整合思想､统计思想､化归与转化思想.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩.(α为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=.（1）求A 的直角坐标和 l 的直角坐标方程；（2）把曲线1C 上各点的横坐标伸长为原来的2曲线2C ，B 为2C 上动点，求AB 中点P 到直线l 距离的最小值.【答案】（1）A 的直角坐标：()0,1，l 的直角坐标方程：280x y +-=.（2【解析】（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式，即可容易求得结果；（2）设出B 点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题，即可求得.【详解】（1）因为点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 得点A 的直角坐标为()0,1，直线l 的直角坐标方程为280x y +-=.（2）设(,)B x y ，则由条件知点(2x 在曲线1C 上，所以cos2sinxθθ⎧=⎪⎪⎨=，即2cosxyθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，又因为P为AB中点，所以cosθ⎛⎝⎭P，则点P到直线l72sinπθ⎛⎫-+⎪=当sin16πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭时，72sin6πθ⎛⎫-+⎪⎝⎭取得最小值5，故AB中点P到直线l【点睛】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化､参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力.23．已知函数()1,f x x m x m N*=-++∈. 若存在实数x使得()3f x<成立.（1）求m的值；（2）若,0αβ>，()()411mαβ--=，求αβ+的最小值.【答案】（1）1.（2）94【解析】（1）利用绝对值三角不等式求得()f x的最小值，再解绝对值不等式即可求得；（2）利用,αβ的等量关系，结合均值不等式即可求得最小值.【详解】（1）存在实数x使得()3f x<成立等价于存在实数x使得12-++<x m x成立，而111x m x x m x m-++≥---=+，当且仅当()()10x m x-+≤时取得.故存在实数x使得()3f x<成立等价于13m+<，解得42m-<<，又因为*m N∈，则1m=（2）由（1）得1m=，故()()4111αβ--=，所以1141βα=+-，由,0αβ>， 故14104141αβαα=+=>--， 所以14α>，1β>111559141441444αβαααα+=++=-++≥=--， 当且仅当33,42αβ==时取最小值94【点睛】本小题考查含绝对值､参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力､推理论证能力，考查化归与转化思想等.。
2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(含答案解析)
2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B.C. D.2.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 36B. 70C. 72D. 1443.干支是天干甲、乙、、癸和地支子、丑、、亥的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入，执行该程序框图，运行相应的程序，输出，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为六十干支表部分567戊辰己巳庚午585960辛酉戌壬癸亥己巳B. 庚午C. 壬戌D. 癸亥4.的展开式中，的系数是A. B. C. 50 D. 305.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.6.已知，且，则A. 0B.C.D. 0或7.在复平面内O为坐标原点，复数，对应的点分别为，，则的大小为A. B. C. D.8.函数恒成立的一个充分不必要条件是A. B. C. D.9.已知O为坐标原点，AB是：的直径．若点Q满足，则的最小值为A. 2B. 3C. 8D. 1510.方程：的曲线有下列说法：该曲线关于对称；该曲线关于点对称；该曲线不经过第三象限；该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是A. B. C. D.11.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为A. B. C. D.12.双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点．P为曲线C右支上的点，点M在外角平分线上，且若恰为顶角为的等腰三角形，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若抛物线经过点，，则该抛物线的标准方程为______．14.记为正项数列的前n项和，若，，则______．15.宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染分别用m，n标注目前得知这组数据的平均值为58，则方差最大时的值为______．16.已知函数，若关于x的不等式的解集非空，且为有限集，则实数a的取值集合为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，，，，，．求；求AD的长．18.如图，在棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，且在底面上的投影H恰为CD的中点．过作与BC垂直的平面，交棱BC于点N，试确定点N的位置，并说明理由；若点P满足，试求的值，使二面角为．19.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆C上的一动点，面积的最大值为2．求椭圆C的方程；直线与椭圆C的另一个交点为Q，点，证明：直线PA与直线QA关于x轴对称．20.已知函数．讨论函数的单调性；求证：．21.某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通年卡为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出单位：百元，并制成如图频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布，其中近似为样本平均数同一组数据用该组区间的中点值作代表．若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；现依次抽取n个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A表示“连续3人的旅游消费支出超出”若表示的概率，a，b为常数，且．求，及a，b；判断并证明数列从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．参考数据：，，22.在直角坐标系xOy中，曲线以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为．求点A的直角坐标和直线l的直角坐标方程；把曲线上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线，B 为上动点，求AB中点P到直线l距离的最小值．23.已知函数，，若存在实数x使得成立．求m的值；若，，，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：由得，得，即，，则，故选：B．求出集合A，B的等价条件，结合补集和交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．2.答案：C解析：解：等差数列的前n项和为，，，．故选：C．可得：，由此能求出结果．本题考查等差数列的求和，等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：，；，；，；，；，；，；，；，；对应表格可知为己巳，故选：A．根据程序框图一步一步进行运算，直到跳出循环．本题考查程序框图，注意一步一步运算，属于基础题．4.答案：D解析：解：原式．故展开式含的项为：．故所求系数为30．故选：D．将第一个括号打开，分别与后面的二项式相乘，将问题转化为求后一个括号二项式展开式的4次项、3次项的问题求解．本题考查二项式的通项及其应用．要注意转化思想在解题中的应用，强调计算的准确性．属于基础题．5.答案：A解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4．该几何体的体积为．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4，再由圆锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6.答案：A解析：解：已知，且，，即，或不合题意，故选：A．由题意利用二倍角的余弦公式，求得的值．本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．7.答案：B解析：解：，．，，则．的大小为．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，分别求出，的坐标，再由得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．8.答案：C解析：解：函数的定义域为，依题意，在上恒成立，设，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，，，故使得函数恒成立的一个充分不必要条件是．故选：C．依题意，在上恒成立，设，利用导数可知，再根据选项及充分不必要的条件即可得出正确选项．本题考查利用导数研究函数的最值，考查充分不必要条件的判断，考查分离变量思想及转化思想，属于基础题．9.答案：C解析：解：因为O为坐标原点，AB是：的直径．若点Q满足，如图：Q在以为圆心，半径为2的圆上运动；故；当最小时，取最小值；而；的最小值为：．故选：C．先根据向量的三角形法则把所求问题转化，结合图象即可求解结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10.答案：D解析：解：将方程整理可得，令将x换成时，即，所以，所以曲线关于对称，所以正确，不正确；当时，，所以该曲线不经过第三象限，故正确，曲线过的整数点，三个整数点，故不正确，故选：D．将方程整理可得，令，可得所以可得曲线关于对称，不关于点对称，且时，故不过第三象限，只有3个整数点，可得答案．本题考查曲线与方程的关系，及函数的对称性，属于中档题．11.答案：B解析：解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以，设，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，面ABCD，平面平面，所以面EFBD，所以，由题意可得，所以；所以，矩形EFBD的对角线的交点O，连接，可得，而面EFBD，而平面平面EFBD，平面平面，所以面EFBD，可得都为外接球的半径R，所以，所以外接球的表面积为，所以外接球的表面积最小值为．故选：B．由题意可得面EFBD，可得，再由多面体ABCDEF的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．本题考查几何体的棱长与外接球的半径之间的关系，和均值不等式的应用，及球的表面积公式，属于中档题．12.答案：D解析：解：如图，延长与的延长线交于N，设，，由双曲线的定义可得，点M在外角平分线上，且，可得，M为的中点，则，若恰为顶角为的等腰三角形，可得，，即有，解得，，在三角形中，，可得，可化为，则，故选：D．延长与的延长线交于N，设，，运用双曲线的定义和等腰三角形的三线合一，以及中位线定理，求得m，n，再在三角形中，，运用余弦定理，化简整理，结合离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，考查等腰三角形的性质和中位线定理、三角形的余弦定理，考查数形结合思想和化简运算求解能力，属于中档题．13.答案：．解析：解：由抛物线过的点的坐标可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程为：，将点代入可得，可得，及抛物线的方程为：，显然也在该抛物线上，故答案为：．由抛物线过的定点可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程，由点的坐标可得参数的值，进而求出抛物线的方程．本题考查抛物线的性质，属于基础题．14.答案：16解析：解：因为为正项数列的前n项和，且，，且；；负值舍；；法；；法且；故数列为等比数列，；；故答案为：16．先根据已知条件求出，再根据递推关系式一步步求出结论．法利用等比数列的定义求解．本题主要考查递推关系式的应用以及等比数列的定义，属于基础题目．15.答案：解析：解：由题可得：；；取最大值，即：取最大值；；；为小于等于9的自然数；故时，A最大，此时不成立；故时，A最大．此时；故；故答案为：．先根据平均数求得；再把方差最大转化为取最大值，结合二次函数的性质即可求解结论．本题主要考查茎叶图的应用以及二次函数的有关性质，属于中档题目．16.答案：解析：解：函数，当时，则，当时发，，当时，，可得，当时，，即，可得，，令是方程的解集，且为有限集，可知或，当时，则，解得，当时，则，解得．则实数a的取值集合为．故答案为：．根据函数的图象性质可知，，令是方程的解集，且为有限集，可知或，从而可得实数a的取值集合．本题考查的知识点是分段函数的应用，导函数研究其最值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．17.答案：解：因为，，所以，在中，，所以．在中，由正弦定理得，即，解得．因为，，所以，在中，，根据余弦定理，解得．解析：在中，根据，，结合内角和定理、诱导公式可求得；结合的结果和，可求出在三角形BCD中求出BD，再有，在中利用余弦定理可得AD的长．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．18.答案：解：解法一当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，下面给出证明，分别连结NH，，在中，，所以，因此，即，因为在底面上的投影H恰为CD的中点，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，又，，，平面，所以平面，因此，点N即为所求，平面即为；证明：由题知可得，，，所以，分别以为x，y轴的正方向，以过D点垂直于平面ABCD的方向为z轴，建立空间直角坐标系，，0，，，，，，，所以，易得平面AHB的一个法向量为，，，设为平面PBH的一个法向量，则：，令，得，因为二面角为，所以，所以，又因为二面角的大小为钝角，故．解法二：当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，下面给出证明．分别连结NH，，BH．因为在底面上的投影H恰为CD的中点，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，在中，，故为等边三角形，又点N为棱BC的中点，所以，又，，，平面，所以平面，因此，点N即为所求，平面即为；证明：连结HA，在平行四边形ABCD中，因为，所以，故，即，分别以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，，0，，，2，，，，，易得平面AHB的一个法向量为，设为平面PBH的一个法向量，则：，即，令，得，因为二面角为，所以，所以，又因为二面角的大小为钝角，故．解析：先证，，进而得到平面，由此BC的中点点N即为所求，平面即为；解法一：以为x，y轴的正方向，以过D点垂直于平面ABCD的方向为z轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用已知条件建立关于的方程，解出即可；解法二：以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用已知条件建立关于的方程，解出即可．本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．19.答案：解：因为椭圆的离心率为，所以，即，又，所以，因为面积的最大值为2，所以，即，又因为，所以，，故椭圆C的方程为．由得，当直线l的斜率为0时，符合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，代入消去x整理得：，易得，设，，则，记直线PA，QA的斜率分别为，，则所以，因此直线PA与直线QA关于x轴对称．解析：根据，结合，所以，再根据面积最大值为，即可求出a，b；根据条件可得当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，设，，则，则，得证．本题主要考查直线椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于难题．20.答案：解：定义域为，，当时，，所以函数的单调递增区间为，递减区间为；当时，令，得或，当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为，无减区间；当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；综上所述，当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无减区间；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；证明：设，，由可知，当时，，且的单调递增区间为，递减区间为，所以的单调递增区间为，递减区间为，故，所以在上单调递增，又，所以当时，，时，；又当时，，时，，所以．解析：求导，分，，，及五种情形得出单调性情况；设，求导可知当时，，时，，由此容易得证．本题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，属于中档题．21.答案：解：直方图可得，，，元，旅游费用支出不低于1820元的概率为，，估计2019年有万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元．，，由，即，解得；数列从第三项起单调递减．，故，又，，即从第三项起数列单调递减．由此，可知随着抽查人数n的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小．即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件．解析：由直方图可得，即可得到，结合已知的，可知旅游费用支出不低于1820元的概率为，求得概率后乘以500得答案．先由题意求得与的值，再列关于a，b的方程组求解a，b的值；由，利用作差法可得从第三项起数列单调递减．其实际意义为随着抽查人数n的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小．即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件．本小题主要考查频率分布直方图、平均数、正态分布、随机事件的概率、数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想．22.答案：解法一：点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，由，得点A的直角坐标为，直线l的直角坐标方程为．设，则由条件知点在曲线上，所以，即，因为P为AB中点，所以，则点P到直线l距离为，当时，取得最小值5，故AB中点P到直线l距离的最小值为．解法二：同解法一设，则由条件知点在曲线上，，即，则点A到直线l的距离为，点B到直线l距离为，当时，取得最小值4，故点B到直线l距离的最小值为，又因为点P为AB中点，则点P到直线l距离的最小值为．解析：利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．利用伸缩变换的应用和点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：存在实数x使得成立即存在实数x使得成立，等价为，而，当且仅当即时等号成立，故存在实数x使得成立等价于，解得，又因为，所以．解法一、由得，故，所以，当且仅当时取最小值．解法二：由，即，即，由，可得，当且仅当时取最小值．解析：由题意可得，由绝对值不等式的性质可得最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求值；方法一、用的式子表示，再由基本不等式可得所求最小值；方法二、由条件可得，由乘1法和基本不等式，计算可得所求最小值，注意等号成立的条件．本题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．。
2020年5月福建省宁德市普通高中2020届高三毕业班质量检查数学(理)试题及答案
1绝密★启用前福建省宁德市普通高中2020届高三毕业班下学期5月质量检查数学(理)试题2020年5月4日本试卷共23题，共150分，共6页． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|ln 0}A x x =<,{|1}B x x =≤-,则A B R I ð=A ．{|11}x x -<< B. {|01}x x << C. {|11}x x -≤< D. {|1}x x ≥ 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若33a =,713a =,则9S =A ．36B ．70C ．72D ．1443．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合 称,“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所 对应干支的程序框图．例如公元1988年,即输入1988N =,执行 该程序框图,运行相应的程序,输出5x =,从干支表中查出对应 的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年,2则该年所对应的干支为 A. 己巳 B. 庚午 C. 壬戌 D. 癸亥4． ()5112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中,3x 的系数是A ．50-B ．30-C ．50D ．305．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π 6．已知,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,2cos21θθ=+,则cos θ=A ．0B ．12CD ．07．在复平面内O 为坐标原点,复数1i)z =,2z =对应的点分别为1Z ,2Z ,则12Z OZ ∠的大小为 A ．512π B ．12π C ．712π D ．1112π 8．函数()ln 0f x ax x =-≥ ()a ÎR 恒成立的一个充分不必要条件是A ．1,e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,a ∈+∞C ．[)1,a ∈+∞D ．(,e]a ∈-∞9．已知O 为坐标原点,AB 是:C e 22(3)(4)1x y -+-=的直径．若点Q 满足2OQ u u u v=,则QA QB ⋅u u u v u u u v的最小值为A ．2B ．3C ．8D ．15 10．方程()22:2(1)(3)e e x x x x y ----=+的曲线有下列说法：六十干支表（部分）正视图侧视图俯视图。
福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2021年福建省宁德市高考数学模拟试卷〔理科〕〔5月份〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．复数z=1+i，则的值等于〔〕A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．设全集U={0，1，2}，A={x|x2+ax+b=0}，假设∁U A={0，1}，则实数a的值为〔〕A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣43．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序．假设输入的n=3，则输出的结果为〔〕A．6 B．7 C．8 D．94．S n是等比数列{a n}的前n项和，假设S2，S4，S3成等差数列，则数列{a n}的公比q等于〔〕A．B．2 C．﹣2 D．5．双曲线的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则该双曲线的方程可以是〔〕A．x2﹣=1 B．x2﹣=1 C．=1 D．=16．设x，y满足条件且z=x+y+a〔a为常数〕的最小值为4，则实数a的值为〔〕A．B．2 C．4 D．57．现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6，B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个．现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球．假设取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜．为了保证公平性，A箱中的红球个数应为〔〕A．2 B．3 C．4 D．58．命题p：y=sin〔x﹣〕在〔0，π〕上是减函数；命题q：“a=〞是“直线x=为曲线f〔x〕=sinx+acosx的一条对称轴〞的充要条件．则以下命题为真命题的是〔〕A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是〔0，0，2〕，〔2，0，0〕，〔2，1，1〕，〔0，1，1〕．假设画该四面体三视图时，正视图以zOy平面为投影面，则得到的侧视图是〔〕A．B．C．D．10．过抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，假设以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，则p的值为〔〕A．8 B．8C．12 D．1611．四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且全部顶点都在外表积为20π的球面上，则a的值等于〔〕A．3B．2C．3D．312．点A〔1，1〕，点P在曲线f〔x〕=x3﹣3x2+3x〔0≤x≤2〕上，点Q在直线y=3x﹣14上，M为线段PQ的中点，则|AM|的最小值为〔〕A．B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2，=3，则=______．14．〔1+2x〕〔x+〕5展开式中x的系数为______．15．函数f〔x〕=假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣x恰有两个零点，则实数a的取值范围是______．16．假设数列{a n}满足++…+=﹣，且对任意的n∈N*，存在m∈N*，使得不等式a n≤a m恒成立，则m的值是______．三、解答题：本大题共5小题，总分值60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b〔sinC+cosC〕．〔Ⅰ〕求∠ABC；〔Ⅱ〕假设∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18．某职业学校有2021名学生，校效劳部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：〔Ⅰ〕试估量该校学生在校月消费的平均数；〔Ⅱ〕根据校效劳部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x〔元〕和效劳部可获得利润y〔元〕，满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，答复以下问题：〔ⅰ〕对于任意一个学生，校效劳部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．〔ⅱ〕假设校效劳部方案每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=3，AD=4，AC=2，∠ADC=60°，E为线段PC上一点，且=λ．〔Ⅰ〕求证：CD⊥AE；〔Ⅱ〕假设平面PAB⊥平面PAD，直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为，求λ的值．20．点F〔1，0〕，点P在圆E：〔x+1〕2+y2=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．过x轴上的定点Q〔m，0〕〔m＞2〕的直线l交曲线Γ于A，B两点．〔Ⅰ〕求曲线Γ的方程；〔Ⅱ〕设点A关于x轴的对称点为A′，证明：直线A′B恒过一个定点S，且|OS|•|OQ|=4．21．函数f〔x〕=﹣+〔a﹣1〕x+lnx．〔Ⅰ〕假设a＞﹣1，求函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕假设a＞1，求证：〔2a﹣1〕f〔x〕＜3e a﹣3．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与⊙A相切，⊙B半径为2，AE=3．〔Ⅰ〕求弦CD的长；〔Ⅱ〕⊙B与线段AB相交于点F，延长CF与⊙A相交于点G，求CG的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：〔α为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．〔Ⅰ〕求曲线C的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设点A，B为曲线C上的两点，且OA⊥OB，求|OA|•|OB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f〔x〕=|2x+1|﹣|x﹣a|〔a＞0〕．〔Ⅰ〕当a=1时，求不等式f〔x〕≤x的解集；〔Ⅱ〕当x≤﹣时，不等式f〔x〕+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，求实数a的取值范围．2021年福建省宁德市高考数学模拟试卷〔理科〕〔5月份〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．复数z=1+i，则的值等于〔〕A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=1+i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵数z=1+i，∴=，应选：A．2．设全集U={0，1，2}，A={x|x2+ax+b=0}，假设∁U A={0，1}，则实数a的值为〔〕A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】补集及其运算．【分析】根据补集关系确定方程有两个相等的实根2，进行求解即可．【解答】解：∵∁U A={0，1}，∴A={2}，即方程x2+ax+b=0有两个相等的实根2，则﹣=2，即a=﹣4，应选：D．3．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序．假设输入的n=3，则输出的结果为〔〕A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量n的值，满足条件时退出循环，输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，可得答案；【解答】解：模拟执行程序，可得n=3，i=0不满足条件n是偶数，n=10，i=1不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=5，i=2不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是偶数，n=16，i=3不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=8，i=4不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=4，i=5不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=2，i=6不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=1，i=7满足条件n=1，退出循环，输出i的值为7．应选：B，4．S n是等比数列{a n}的前n项和，假设S2，S4，S3成等差数列，则数列{a n}的公比q等于〔〕A．B．2 C．﹣2 D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式即可得出．【解答】解：∵S2，S4，S3成等差数列，∴2S4=S3+S2，∴2a1〔1+q+q2+q3〕=a1〔2+2q+q2〕，化为：1+2q=0，解得q=﹣．应选：D．5．双曲线的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则该双曲线的方程可以是〔〕A．x2﹣=1 B．x2﹣=1 C．=1 D．=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据一个焦点到一条渐近线的距离为2，离心率的值，建立方程关系求出a，b的值即可得到结论．【解答】解：设双曲线的一个焦点为F〔c，0〕，双曲线的一条渐近线为y=，取bx﹣ay=0，所以焦点到渐近线的距离d==2，∵离心率e==，∴c=，则c2=a2+b2，即3a2=a2+4，即2a2=4，则a2=2，则该双曲线的方程可以是=1，应选：C．6．设x，y满足条件且z=x+y+a〔a为常数〕的最小值为4，则实数a的值为〔〕A．B．2 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y+a为y=﹣x+z﹣a，由图可知，当直线y=﹣x+z﹣a过点A〔2，0〕时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2+0+a=4，即a=2．应选：B．7．现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6，B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个．现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球．假设取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜．为了保证公平性，A箱中的红球个数应为〔〕A．2 B．3 C．4 D．5【考点】概率的意义．【分析】取出的3个球中有两个颜色相同包含：从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球；从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球；从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球，这个事件的概率是．【解答】解：设A箱中有x个红球，则有〔6﹣x〕个白球，从6个球任取2个共有C62=15种，取出的3个球中有两个颜色相同包含：从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球，其概率为××2，从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球，其概率为×〔+〕，从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球，期概率为×〔+〕，故××2+×〔+〕+×〔+〕=，解得x=5，故答案为：5．8．命题p：y=sin〔x﹣〕在〔0，π〕上是减函数；命题q：“a=〞是“直线x=为曲线f〔x〕=sinx+acosx的一条对称轴〞的充要条件．则以下命题为真命题的是〔〕A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【考点】复合命题的真假．【分析】分别推断出p，q的真假，从而推断出复合命题的真假．【解答】解：∵0＜x＜π，∴﹣＜x﹣＜，∴y=sin〔x﹣〕在〔0，π〕上是增函数，命题p是假命题；假设a=，则f〔x〕=sinx+cosx=2〔sinx+cosx〕=2sin〔x+〕，对称轴x+=kπ+，∴x=kπ+，是充分条件，假设直线x=为曲线f〔x〕=sinx+acosx的一条对称轴，则f〔﹣x〕=f〔+x〕当x=即f〔0〕=f〔〕∴f〔0〕=a=f〔〕=+，解得a=，故命题q是真命题；则命题￢p∧q是真命题，应选：C．9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是〔0，0，2〕，〔2，0，0〕，〔2，1，1〕，〔0，1，1〕．假设画该四面体三视图时，正视图以zOy平面为投影面，则得到的侧视图是〔〕A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意，利用空间直角坐标系，借助于正方体在坐标系中画出几何体，再画出它的侧视图．【解答】解：由题意，画出直角坐标系，在坐标系中各点对应位置如图①所示；以平面zOy为投影面，得到的侧视图如图②所示：应选：C．10．过抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，假设以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，则p的值为〔〕A．8 B．8C．12 D．16【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，根据以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=2px的焦点F为〔，0〕，设直线AB的方程为y﹣0=x﹣，即为y=x﹣，代入抛物线的方程，可得x2﹣3px+=0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，则x1+x2=3p，x1x2=，∴y1+y2=2p由抛物线的定义可得，|AB|=x1+x2+p=4p．∵以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，∴4p2=〔8〕2+p2，∴p=8应选：A．11．四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且全部顶点都在外表积为20π的球面上，则a的值等于〔〕A．3B．2C．3D．3【考点】球内接多面体．【分析】由题意画出几何体的图形，推出四面体的外接球的球心的位置，利用球的半径建立方程，即可求出a的值．【解答】解：外表积为20π的球的半径为．画出几何体的图形，BC=a，BC的中点为O，连接AO，DO，则AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥平面AOD，取AD的中点E，则OE⊥AD，球的球心在AD的中点E与O的连线上，设球心为G，∵OA=OD=，AD=2，∴OE=设球的半径为R，GE=x，则R2=5=3+x2=+〔﹣x〕2，∴x=，a=3应选：C．．12．点A〔1，1〕，点P在曲线f〔x〕=x3﹣3x2+3x〔0≤x≤2〕上，点Q在直线y=3x﹣14上，M为线段PQ的中点，则|AM|的最小值为〔〕A．B． C． D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f〔x〕的导数，令导数为3，求得切线的方程，以及中点M所在直线的方程，运用点到直线的距离公式求出A到它们的距离，即可得到最小值．【解答】解：f〔x〕=x3﹣3x2+3x的导数为f′〔x〕=3x2﹣6x+3，令f′〔x〕=3，解得x=0或2，可得与直线y=3x﹣14平行，且与y=f〔x〕图象相切的直线为y=3x或y=3x﹣4，可得中点M所在直线的方程为y=3x﹣7或y=3x﹣9，由图象可得A到直线y=3x﹣7的距离为=，A到直线y=3x﹣9的距离为=．即有|AM|的最小值为，应选：B．二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2，=3，则=4．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先由，在方向上的投影为2，求出三角形的边长为4，再根据=〔〕即可求出答案．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2，∴||=2，∴AB=AC=BC=4，∴=〔〕=〔﹣〕•=||2﹣•=×42﹣4×4×=4，故答案为：414．〔1+2x〕〔x+〕5展开式中x的系数为40．【考点】二项式系数的性质．【分析】展开式的x项来源于第一个括号的1和m=〔x+〕5展开式的x项的乘积或第一个括号的2x和m=〔x+〕5展开式的常数项的乘积，分别由m的展开式可得．【解答】解：展开式的x项来源于第一个括号的1和m=〔x+〕5展开式的x项的乘积或第一个括号的2x和m=〔x+〕5展开式的常数项的乘积，又m=〔x+〕5的通项为T k+1=x5﹣k〔〕k=2k•x5﹣2k，令5﹣2k=1可得k=2，故m展开式中含x的项为40x，令5﹣2k=0可得k=∉Z，故m展开式中无常数项，∴原式展开式中x的系数为40，故答案为：40．15．函数f〔x〕=假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣x恰有两个零点，则实数a的取值范围是．【考点】函数的图象；函数零点的判定定理．【分析】画出函数f〔x〕=的图象，假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣x恰有两个零点，则函数f〔x〕的图象与函数y=x的图象有且只有两个交点，数形结合可得答案．【解答】解：函数f〔x〕=的图象如以下图所示：当x＞0时，函数f〔x〕的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，即函数g〔x〕=f〔x〕﹣x恰有一个零点，故x≤0时，函数g〔x〕=f〔x〕﹣x也恰有一个零点，即x≤0时，函数f〔x〕的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，故a＞0，y=x与y=﹣x2+a相切，解得：a=﹣，故实数a的取值范围是：，故答案为：16．假设数列{a n}满足++…+=﹣，且对任意的n∈N*，存在m∈N*，使得不等式a n≤a m恒成立，则m的值是5．【考点】数列与不等式的综合．【分析】通过作差可知数列{a n}的通项公式，计算出数列的前几项即可推断出数列的变化规律，进而即得结论．【解答】解：∵++…+=﹣，∴当n≥2时， ++…+=﹣，两式相减得：=﹣=，∴a n=〔2n﹣1〕•〔n≥2〕，又∵=﹣=﹣不满足上式，∴a n=，∵a2=，a3=，a4=，a5=，a6=，且易知从第六项开始数列递减，∴m=5，故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，总分值60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b〔sinC+cosC〕．〔Ⅰ〕求∠ABC；〔Ⅱ〕假设∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】〔Ⅰ〕利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈〔0，π〕，即可求得B的值．〔Ⅱ〕由利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由及〔Ⅰ〕可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．【解答】〔此题总分值为12分〕解：〔Ⅰ〕在△ABC中，∵a=b〔sinC+cosC〕，∴sinA=sinB〔sinC+cosC〕，…∴sin〔π﹣B﹣C〕=sinB〔sinC+cosC〕，∴sin〔B+C〕=sinB〔sinC+cosC〕，…∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…∴cosBsinC=sinBsinC，又∵C∈〔0，π〕，故sinC≠0，…∴cosB=sinB，即tanB=1．…又∵B∈〔0，π〕，∴．…〔Ⅱ〕在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD．…又，由〔Ⅰ〕可知，∴△ABC为等腰直角三角形，…∴，…又∵，…∴．…∴当时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为．…18．某职业学校有2021名学生，校效劳部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：〔Ⅰ〕试估量该校学生在校月消费的平均数；〔Ⅱ〕根据校效劳部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x〔元〕和效劳部可获得利润y〔元〕，满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，答复以下问题：〔ⅰ〕对于任意一个学生，校效劳部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．〔ⅱ〕假设校效劳部方案每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】〔Ⅰ〕由频率分布直方图能求出学生月消费的平均数．〔Ⅱ〕〔ⅰ〕月消费值落入区间[200，400〕、[400，800〕、[800，1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．〔ii〕先求出效劳部的月利润，再求出受助学生人数，由此能求出每个受助学生每月可获得多少元．【解答】解：〔Ⅰ〕由频率分布直方图得学生月消费的平均数：…=680…〔Ⅱ〕〔ⅰ〕月消费值落入区间[200，400〕、[400，800〕、[800，1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15，∴P〔ξ=20〕=0.05，P〔ξ=40〕=0.80，P〔ξ=80〕=0.15，∴ξ的分布列为：ξ20 40 80P 0.05 0.80 0.15Eξ=20×0.05+40×0.80+80×0.15=45．〔ii〕效劳部的月利润为45×2021=90000〔元〕，受助学生人数为2021×0.05=100，每个受助学生每月可获得90000×÷100=200〔元〕．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=3，AD=4，AC=2，∠ADC=60°，E为线段PC上一点，且=λ．〔Ⅰ〕求证：CD⊥AE；〔Ⅱ〕假设平面PAB⊥平面PAD，直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为，求λ的值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】〔I〕由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，在△ACD中使用正弦定理可得∠ACD=90°，故而CD⊥平面PAC，于是CD⊥AE；〔II〕由面面垂直可得AB⊥AD，以A为原点建立空间直角坐标系，求出和平面PBC的法向量，则|cos＜＞|=，列方程解出λ即可．【解答】证明：〔Ⅰ〕在△ADC中，AD=4，，∠ADC=60°，由正弦定理得：，即，解得sin∠ACD=1，∴∠ACD=90°，即DC⊥AC．∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴DC⊥PA．又AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC．∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．〔Ⅱ〕∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD．∴∠BAD即为二面角B﹣PA﹣D的平面角．∵平面PAB⊥平面PAD，∴∠BAD=90°．以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如下图，则，．=〔，3，﹣3〕.=〔0，0，3〕．∴=〔，3λ，﹣3λ〕，∴==〔，3λ，3﹣3λ〕．设平面PBC的法向量为=〔x，y，z〕，则，∴，令，得=〔，0，1〕．设直线AE与平面PBC所成的角为θ，则，∴或．20．点F〔1，0〕，点P在圆E：〔x+1〕2+y2=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．过x轴上的定点Q〔m，0〕〔m＞2〕的直线l交曲线Γ于A，B两点．〔Ⅰ〕求曲线Γ的方程；〔Ⅱ〕设点A关于x轴的对称点为A′，证明：直线A′B恒过一个定点S，且|OS|•|OQ|=4．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】〔I〕利用垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．〔Ⅱ〕由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k〔x﹣m〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，直线A'B与x轴的交点为S〔s，0〕则A'〔x1，﹣y1〕，直线方程与椭圆方程联立可得：〔3+4k2〕x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，利用根与系数的关系，及其A'，B，S三点共线，进而得出．【解答】解：〔Ⅰ〕由题意可知，|MP|=|MF|，∴|ME|+|MF|=4，∵|ME|+|MF|＞|EF|，∴点M的轨迹是以点F〔1，0〕和E〔﹣1，0〕为焦点，2a=4的椭圆，∴，∴曲线Γ的方程为．〔Ⅱ〕由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k〔x﹣m〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，直线A'B与x轴的交点为S〔s，0〕则A'〔x1，﹣y1〕，∴=〔x1﹣s，﹣y1〕，=〔x2﹣s，y2〕，由得，〔3+4k2〕x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，△＞0，即〔4﹣m2〕k2+3＞0，∴，当k≠0时，由A'，B，S三点共线，可得〔x1﹣s〕y2+〔x2﹣s〕y1=0，即k〔x1﹣s〕〔x2﹣m〕+k〔x2﹣s〕〔x1﹣m〕=0，2x1x2﹣〔s+m〕〔x1+x2〕+2sm=0，∴，∴，∴，即，k=0时，直线A'B与x轴重合，过点．综上述，直线A'B恒过一个定点，且=4．21．函数f〔x〕=﹣+〔a﹣1〕x+lnx．〔Ⅰ〕假设a＞﹣1，求函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕假设a＞1，求证：〔2a﹣1〕f〔x〕＜3e a﹣3．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】〔Ⅰ〕求导，令f′〔x〕=0，解得x1、x2，再进行分类商量，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间；〔Ⅱ〕a＞1，由函数单调性可知，f〔x〕在x=1取极大值，也为最大值，f〔x〕max=a﹣1，因此〔2a﹣1〕f〔x〕≤〔2a﹣1〕〔a﹣1〕，构造辅助函数g〔a〕=，求导，求出g〔a〕的单调区间及最大值，＜=3，可知g〔a〕＜3，e a﹣3＞0，即可证明〔2a﹣1〕f〔x〕＜3e a﹣3．【解答】解：〔Ⅰ〕f〔x〕=﹣+〔a﹣1〕x+lnx，x＞0则f′〔x〕=﹣ax+〔a﹣1〕+=，令f′〔x〕=0，解得x1=1，x2=﹣，当﹣＞1，解得﹣1＜a＜0，∴﹣1＜a＜0，f′〔x〕＞0的解集为〔0，1〕，〔﹣，+∞〕，f′〔x〕＜0的解集为〔1，﹣〕，∴函数f〔x〕的单调递增区间为：〔0，1〕，〔﹣，+∞〕，函数f〔x〕的单调递减区间为〔1，﹣〕；当﹣＜1，解得a＞0，∴a＞0，f′〔x〕＞0的解集为〔0，1〕，f′〔x〕＜0的解集为〔1，+∞〕；∴当a＞0，函数f〔x〕的单调递增区间为〔0，1〕，函数f〔x〕的单调递减区间为〔1，+∞〕；综上可知：﹣1＜a＜0，函数f〔x〕的单调递增区间为：〔0，1〕，〔﹣，+∞〕，函数f〔x〕的单调递减区间为〔1，﹣〕；a＞0，函数f〔x〕的单调递增区间为〔0，1〕，函数f〔x〕的单调递减区间为〔1，+∞〕；〔Ⅱ〕证明：∵a＞1，故由〔Ⅰ〕可知函数f〔x〕的单调递增区间为〔0，1〕单调递减区间为〔1，+∞〕，∴f〔x〕在x=1时取最大值，并且也是最大值，即f〔x〕max=a﹣1，又∵2a﹣1＞0，∴〔2a﹣1〕f〔x〕≤〔2a﹣1〕〔a﹣1〕，设g〔a〕=，g′〔a〕=﹣=﹣，∴g〔a〕的单调增区间为〔2，〕，单调减区间为〔，+∞〕，∴g〔a〕≤g〔〕==，∵2＞3，∴＜=3，∴g〔a〕＜3，e a﹣3＞0，∴〔2a﹣1〕f〔x〕＜3e a﹣3．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与⊙A相切，⊙B半径为2，AE=3．〔Ⅰ〕求弦CD的长；〔Ⅱ〕⊙B与线段AB相交于点F，延长CF与⊙A相交于点G，求CG的长．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】〔Ⅰ〕连结CA，由圆的切线的性质、对称性，根据射影定理求出BE，再根据勾股定理，接着得出弦CD的长；〔Ⅱ〕在△CEF中，求出EF，CF的长，根据勾股定理求出AC，设⊙A与直线AB相交于M，N两点，分别求出AF，MF，NF，根据相交弦定理求得CF•FG，得出FG，接着求得CG的值．【解答】解：〔Ⅰ〕证明：连结CA，则CA⊥CB，∵由圆的对称性知CD⊥AB，∴由射影定理得：BC2=BE•BA=BE•〔BE+EA〕，∴22=BE•〔BE+3〕，∴BE=1；∴在Rt△BEC中，，∴．〔Ⅱ〕在△CEF中，，EF=BF﹣BE=1，∴CF=2，在△ACE中，．设⊙A与直线AB相交于M，N两点，AF=AE﹣EF=3﹣1=2，，∵由相交弦定理得CF•FG=FM•NF=〔2+2〕•〔2﹣2〕=8，∴FG=4，∴CG=4+2=6．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：〔α为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．〔Ⅰ〕求曲线C的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设点A，B为曲线C上的两点，且OA⊥OB，求|OA|•|OB|的最小值．【考点】参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】〔1〕曲线C：〔α为参数〕，利用平方关系可得曲线C的一般方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C的极坐标方程．〔2〕由对称性，设点A、B的极坐标分别为〔ρ1，θ〕，，其中，代入极坐标方程化简利用三角函数的值域即可得出．【解答】解：〔1〕曲线C：〔α为参数〕，可得曲线C的一般方程为．∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为．〔2〕由对称性，设点A、B的极坐标分别为〔ρ1，θ〕，，其中，则=．当且仅当sin22θ=1即，|OA|•|OB|取到最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f〔x〕=|2x+1|﹣|x﹣a|〔a＞0〕．〔Ⅰ〕当a=1时，求不等式f〔x〕≤x的解集；〔Ⅱ〕当x≤﹣时，不等式f〔x〕+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】〔1〕将a=1代入f〔x〕，通过商量x的范围，求出不等式的解集即可；〔2〕求出f 〔x〕的最小值，根据函数恒成立求出a的范围即可．【解答】解：〔1〕当a=1时，f〔x〕≤x化为|2x+1|﹣|x﹣1|≤x，…当，不等式化为2x+2≥0，解得；…当，不等式化为2x≤0，解得；…当x≥1，不等式化为2≤0，无解；…所以f〔x〕≤x解集为{x|﹣1≤x≤0}．…〔2〕∵当时f〔x〕=﹣2x﹣1﹣〔a﹣x〕=﹣x﹣a﹣1，∴．…∵t2+2t+3=〔t+1〕2+2≥2，…要使当时f〔x〕+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，则当时f〔x〕+2≥0恒成立，…∴，又由a＞0∴．…2021年9月20日。
2019-2020学年福建省宁德市福鼎第五中学高三数学理月考试题含解析
2019-2020学年福建省宁德市福鼎第五中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量a,b,其中a=（3,1），b=（1,3），若，且，则点C所有可能的位置区域用阴影表示正确的是参考答案：【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案解析】D 当λ=μ=1时，=λ+μ= + =（4，4），故可以排除C答案当λ=μ=0时，=λ+μ= + =（0，0），故可以排除B答案当μ=，λ=时，=λ+μ==（），故可以排除答案D故选A【思路点拨】在解答动点表示的平面区域时，我们可以使用特殊点代入排除法，即取值，然后计算满足条件点的位置，然后排除到一定错误的答案．2. 已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（）A．－1 B． 1－log20132012 C．-log20132012 D．1参考答案：A略3. 已知点P是椭圆上的动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且，则的取值范围是( )．[0,3) B．(0,2) C．[2，3) D．(0,4]参考答案：B4.已知奇函数的定义域为，且对任意正实数恒有，则一定有（）A． B．C． D．参考答案：答案：D5. 复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．B．C．3 D．1参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】直接利用复数的除法运算法则进行化简成最简形式，再根据复数的虚部的概念得出答案即可．【解答】解：，其虚部为：．故选B．【点评】本题主要考查了复数的基本概念、利用复数的除法的运算法则化简复数．解题的关键是要牢记对于分式类型的复数的化简要分子分母同时乘以分母的共轭复数！6. 定义运算x y=，若则m的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：A略7. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为(A) 20 (B) 30 (C) 40 (D) 50参考答案：B8. 设集合，集合 , 则（）A． B． C．D．参考答案：A9.函数的值域是( )A. B. C. D.参考答案：答案:C10. 设函数在R上存在导数，对任意的R，有，且(0，+)时，．若，则实数a的取值范围为( ) (A)[1，+∞) (B) (-∞，1](C) (-∞，2] (D) [2，+∞)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小正周期为 .参考答案：12. 已知复数，则____________.参考答案：2略13. 如图，三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB=6，BC=12，AC=6．SB=6，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为．参考答案：216π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由SA⊥平面ABC，可得SA⊥AB，SA的长度．由于AB2+BC2=AC2，可得∠ABC=90°．可把此三棱锥补成长方体，其外接球的直径为SC的长．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AB．∴SA==6．∵AB2+BC2=62+122=180==AC2，∴∠ABC=90°．可把此三棱锥补成长方体，其外接球的直径为SC的长．SC2=SA2+AC2==216，解得SC=，∴2R=6，解得R=3．故所求的外接球的表面积S=4πR2=4π×=216π．故答案为：216π．14. 在区间上的最大值是________________参考答案：略15. 已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m?β．给出下列命题：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③m∥α?l⊥β；④l⊥β?m∥α．其中正确的命题是．（填写所有正确命题的序号）．参考答案：①④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由线面垂直的性质定理得l⊥m；在②中，l与m相交、平行或异面；在③中，l与β相交或平行；在④中，由已知得α∥β，从而m∥α．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m?β，知：在①中，α∥β?l⊥m，由线面垂直的性质定理得l⊥m，故①正确；在②中，α⊥β?l与m相交、平行或异面，故②错误；在③中，m∥α?l与β相交或平行，故③错误；在④中，l⊥β?α∥β?m∥α，故④正确．故答案为：①④．16. 若角的终边过点，则____.参考答案：【考点】三角函数的定义。
2020届高考数学5月预测考试试题文(含解析)
其中和为奇数的情况包含 6 种：（1.2），（1，4），（2.3），（2.5），（3.4），（4.5）.
3 故满足题意的概率为 5 ，
故选：C.
【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属简单题；注意列举的不重不漏.
7.
函数
f
x tan x
0, 0
2 与直线
y
1的两个相邻交点之间的距离为
T
2
，求出
2
，再由函数奇偶性，得到
π 6
，求得
f
x
tan
2x
6
，再由正切函数的性质，逐项判断，即可得出结果.
T 【详解】由题意，易得最小正周期为
2
，所以
2，
将
f
x 的图象向左平移
6
之后得到
y
tan
2x
3
，因为其图象关于原点对称，
所以
y
tan
2x
3
为奇函数，因此
3
k 2
运算，考查了运算能力，属于中档题.
12. 定义在 R 上的连续函数 f x，导函数为 f x，若对任意不等于 1的实数 x 均有
x 1 f
x
f x
0
成立.且
f
1 x
f
1 xe2x ，则下列命题中一定成立的
是（ ）
A. f 1 f 0
ef 2 f 0
C.
ef 2 f 1
B.
ef 2 f 0
D.
【答案】B
8 B. 9
【答案】A
【解析】
【分析】
根据算法和循环结构依次计算即可
3 C. 7
6 D. 7
S 0 1 1
2020年福建省福州市高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)
2020年福建省福州市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数z1+i所对应的点为(2,−1)，i是虚数单位，则z=()A. −3−iB. −3+iC. 3−iD. 3+i2.已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2−3x+2<0}，则A∩∁R B=()A. {x|0≤x≤1}B. {x|0≤x≤1或x≥2}C. {x|1<x<2}D. {x|0≤x<1或x>2}3.已知a=(12019)2019，b=201912019，c=log120192019，则()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<c<a4.样本中共有五个个体，其值分别为1，m，n，2.5(m,n∈N∗).若该样本的中位数与平均数都为3，则mn=()A. 6B. 8C. 10D. 125.如图是计算12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是()A. i<10B. i>10C. i<20D. i>206.一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2π3B. 43π C. 2π D. 8π37. 函数f(x)=2+ln|x|x 2的图象大致为( )A.B.C.D.8. 已知抛物线y 2=2px(p >o)的焦点为F ，过点M(p,0)的直线交抛物线于A ，B 两点，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF||BF|=( ) A. 2B. 52C. √2D. 与p 有关9. 若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 310. 已知f(x)是R 上的可导函数，其导函数为f′(x)，若对任意实数x ，都有f(x)>f′(x)，且f(x)−1为奇函数，则不等式f(x)<e x 的解集为( )A. (−∞,0)B. (−∞,e 4)C. (e 4,+∞)D. (0,+∞)11. 在锐角△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且bcosA =a +acosB ，则1tanA −1tanB 的取值范围为( )A. (1,23√3)B. (√2,23√6)C. (1,√3)D. (1,+∞)12. 方程x +|y −1|=0表示的曲线是( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两人总分和为X ，则X =3的概率是______ ．14. 已知△ABC 中，BC =4，AC =8，∠C =60°，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =________． 15. 函数y =2cos(−14x −π6)周期为______ ．16. 设ΔABC 的三边长分别为a ，b ，c ，ΔABC 的面积为S ，内切圆的半径为r ，则r =2Sa+b+c ，类比这个结论可知，四面体S −ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为R ，四面体S −ABC 的体积为V ，则R =________ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列{a n }满足：a 1=1，且2a n =a n+1+a n−1(n ≥2)，a 3+a 4=12．(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{1an a n+2}的前n 项和．18. 如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB =BC =BD =2，∠ABC =∠DBC =120°， E 、F 分别为AC 、DC 的中点． (Ⅰ)求证：AD ⊥BC ；(Ⅱ)求四棱锥B −ADFE 的体积．19. 如图是某企业2013年至2019年污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2013～2019．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程，预测2020年该企业污水净化量；附注：参考数据：y =54,∑(t i −t − )7i=1(y i −y − )=21，√14≈3.74，∑(y i −y − )7i=12=18参考公式：相关系数r =i −t)n i=1i −y )√∑(t i −t)ni=1∑(y i −y )2n i=1回归方程y ̂=a ̂+b ̂t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(t i −t −)2n i=1,â=y −b ̂t20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆C 上的一个动点，且△PF 1F 2面积的最大值为√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率存在的直线PF 2与椭圆C 的另一个交点为Q ，是否存在点T(0,t)，使得|TP|=|TQ|？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．21. 设函数f(x)=1−e −x ，证明：当x >−1时，f(x)≥xx+1．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 证明下列不等式；(1)a(a −b)≥b(a −b).(2)已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：(ab +cd)(ac +bd)≥4abcd ．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的四则运算，属于基础题．根据复数z1+i 在复平面内对应的点为(2,−1)可得z1+i=2−i，化简即可求出z．【解答】解：因为复数z1+i在复平面内对应的点为(2,−1)，所以z1+i=2−i，所以z=(1+i)(2−i)=3+i．故选D．2.答案：B解析：解：A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2−3x+2<0}={x|(x−1)(x−2)<0}={x|1< x<2}，则∁R B={x|x≥2或x≤1}，则A∩∁R B={x|0≤x≤1或x≥2}，故选：B．求出集合A，B的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．3.答案：C解析：【分析】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题．由指数函数、对数函数的性质易知，0<a<1，b>1，c=−1，比较大小即可．【解答】解：∵0<a=(12019)2019<(12019)0=1，b=201912019>20190=1，c=log120192019=−log20192019=−1，∴c<a<b．故选C．4.答案：D解析：【分析】本题考查了中位数he和平均数，根据题意kede可得m或n有一个为3，再根据平均数算出另一个值，即可得出结果．【解答】因为中位数为3，可知m或n中有一个为3，假设m为3，又因为平均数也是3，则有1+2+3+n+55=3，可知n=4，故mn=12，故选D．5.答案：B解析：解：根据算法的功能是计算12+14+16+⋯+120的值，∴终止程序运行的i=11，∴判断框中应填入的条件是：i>10或i≥11．故选：B．根据算法的功能是计算12+14+16+⋯+120的值，确定终止程序运行的i=11，由此可得判断框中应填入的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程确定终止程序运行的i值是关键．6.答案：B解析：解：综合正视图，侧视图和俯视图可以判断出这个几何体是半个圆锥体，且底面半圆的半径2，高为2，则该几何体的体积是：12V 圆锥=12×(13×π×22×2)=43π， 故选B ．根据三视图可判断这个几何体为半个圆锥体，根据题意可知底面半径以及高，易求体积． 本题要先根据三视图确定出是什么几何体然后再根据其体积公式进行求解．7.答案：B解析： 【分析】分析函数的奇偶性和零点，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性和函数的零点，难度中档． 【解答】解：函数f(x)=2+ln|x|x 2满足f(−x)=f(x)，即函数为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除D ； 又f(1)=2≠0，故排除A 、C ， 故选：B ．8.答案：B解析： 【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识，考查抛物线的定义，属于中档题．设直线方程为x =my +p ，代入y 2=2px ，可得y 2−2pmy −2p 2=0，利用向量条件，求出A 、B 的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论． 【解答】解：设直线方程为x =my +p ，代入y 2=2px ，可得y 2−2pmy −2p 2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=−2p 2， ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(p −x 1,−y 1)=2(x 2−p,y 2)，∴x 1=−2x 2+p ，y 1=−2y 2， 可得y 2=p ，y 1=−2p ， ∴x 2=12p ，x 1=2p ，∴|AF||BF|=2p+12p12p+12p =52．故选B ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题，解题时要注意双曲线定义及简单性质的合理运用．设|PF 2|=x ，由双曲线的定义及性质得|x −3|=6，由此能求出|PF 2|. 【解答】解：设|PF 2|=x ， ∵双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，∴a =3，b =4.c =5，∴|x −3|=6，解得x =9或x =−3(舍)． ∴|PF 2|=9． 故选B ．10.答案：D解析：解：设g(x)=f(x)e x，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x<0，∴g(x)是减函数，∵f(x)−1为奇函数，∴f(0)−1=0，即f(0)=1， ∴g(0)=1， ∴当x >0时，g(x)=f(x)e x <1，即f(x)<e x ，故选D ．构造函数g(x)=f(x)e x，利用导数判断g(x)的单调性，根据单调性得出g(x)<1的解．本题考查了导数与函数单调性的关系，属于中档题．11.答案：A解析：解：因为：bcosA=a+acosB，可得：sinBcosA−sinAcosB=sinA，所以：sin(B−A)=sinA，可得：B=2A．结合在锐角△ABC中，有π3<B<π2，由1tanA −1tanB=cosAsinA−cosBsinB=sin(B−A)sinAsinB=sinAsinAsinB=1sinB∈(1,2√33)．故选：A．由正弦定理，两角差的正弦函数公式化简已知等式可得sin(B−A)=sinA，可得B=2A.结合在锐角△ABC中，有π3<B<π2，化简所求即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查了方程所表示的曲线，属于基础题．方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，可得x≤0，即可得结果．【解答】解：方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，则x≤0．所以曲线方程为x+y−1=0(x≤0,y≥1)或x−y+1=0(x≤0,y<1)故选B．13.答案：35解析：【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，是基础题．利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解．【解答】解：当X =3时，甲取到黄球，乙取到白球或甲取到白球，乙取到黄球，故P(X =3)=25×34+35×24=35．故答案为35．14.答案：−16解析：【分析】本题考查向量的数量积的运算，考查计算能力．直接利用向量的数量积的运算法则求解即可．【解答】解：因为△ABC 中，BC =4，AC =8，∠C =60°，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°=−16． 故答案为−16．15.答案：8π解析：解：函数y =2cos(−14x −π6)=2cos(14x +π6)的周期为T =2π14=8π，故答案为：8π．由条件根据函数y =Acos(ωx +φ)的周期为2πω，可得结论．本题主要考查诱导公式、函数y =Acos(ωx +φ)的周期性，利用了函数y =Acos(ωx +φ)的周期为2πω，属于基础题．16.答案：3VS1+S2+S3+S4解析：【分析】本题主要考查了类比推理，属于中档题型．根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V=13(S1+S2+S3+S4)R，∴R=3VS1+S2+S3+S4．故答案为3VS1+S2+S3+S4．17.答案：解：(1)由2a n=a n+1+a n−1(n≥2)，则a n−a n−1=a n+1+a n(n≥2)，可知数列{a n}是等差数列，设公差为d，∵a1=1，且a3+a4=12，∴2a1+5d=12，解得d=2，∴{a n}的通项公式为a n=1+2(n−1)=2n−1(n∈N∗).(2)由(1)知a n=2n−1，则1a n a n+2=1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，设数列{1a n a n+2}的前n项和为S n，则S n=14[(1−15)+(13−17)+(15−19)+⋯+(12n−1−12n+3)]=14(1+13−12n+1−12n+3)=13−n+1(2n+1)(2n+3)解析：本题主要考查了数列的通项公式，利用列项相消法进行数列的求和，考查学生的计算能力和推理能力，难度适中．(1)根据题意可知a n−a n−1=a n+1+a n(n≥2)，从而可得数列{a n}为等差数列，从而即可得{a n}的通项公式．(2)根据(1)中a n=2n−1，利用列项相消法即可求得数列{1a n a n+2}的前n项和．18.答案：证明：(Ⅰ)取AD的中点M，连结BM，CM，∵AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC=DC，AM=MD，∴AD⊥CM，∵AB=BD，AM=MD，∴AD⊥BM，∵CM∩BM=M，∴AD⊥平面BCM，∵BC⊂平面BCM，∴AD⊥BC．解：(Ⅱ)过A作AN⊥BC，交CB延长线于N，由题意AN⊥平面BCM，且AN=√3，∴V A−BCD=13×12×2×2×sin120°×√3=1，∴V E−BCF=13×(12×S△BCD)×12AN=14，∴棱锥B−ADFE的体积：V=V A−BCD−V E−BCF=1−14=34．解析：本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)取AD的中点M，连结BM，CM，推导出AD⊥CM，AD⊥BM，由此能证明AD⊥平面BCM，从而AD⊥BC．(Ⅱ)过A作AN⊥BC，交CB延长线于N，棱锥B−ADFE的体积V=V A−BCD−V E−BCF，由此能求出结果．19.答案：解：(1)由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，∵t =4 ，∑(t i −t)2n i=1=28, ∑(t i −t)n i=1(y i −y )=21，∑(y i −y )2n i=1=18， ∴r =i −t)n i=1i −y )√∑(t i −t)n i=1∑(y i −y )2n i=1=√28×18≈0.935，∵0.935>0.75，故y 与t 之间存在较强的正相关关系； (2)由y =54及(1)得b ∧=i −t)n i=1i −y )∑(t −t)2n i=1=2128=34， a ∧=y −b ̂t =54−34×4=51． 所以，y 关于t 的回归方程为：y ∧=34t +51． 将2020年对应的t =8代入回归方程得：y ∧=57，所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约57亿吨．解析：本题考查的知识点是线性回归方程，考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要细心．(1)由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；(2)根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2020年对应的t 值为8，代入可预测2019年我国生活垃圾无害化处理量．20.答案：解：(Ⅰ)∵椭圆离心率为12，当P 为C 的上顶点时，△PF 1F 2的面积有最大值√3．∴{ca =1212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，∴a =2，b =√3，c =1．故椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．(Ⅱ)设直线PQ 的方程为y =k(x −1)，当k ≠0时，y =k(x −1)代入x 24+y 23=1，得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0； 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，线段PQ 的中点为N(x 0,y 0)，x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2，y 0=y 1+y 22=k(x 0−1)=−3k 3+4k 2， 即N(4k 23+4k 2,−3k 3+4k 2)，∵|TP|=|TQ|，∴直线TN为线段PQ的垂直平分线；∴TN⊥PQ，则k TN⋅k PQ=−1．所以−3k4k2+3−t4k24k2+3⋅k=−1，⇒t=k4k2+3=14k+3k，当k>0时，因为4k+3k ≥4√3，∴t∈(0,√312];当k<0时，因为4k+3k ≤−4√3，∴t∈[−√312,0);当k=0时，t=0符合题意．综上，t的取值范围为[−√312,√312]．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的方程的求法，圆锥曲线的范围的求法，考查转化思想以及计算能力．(Ⅰ)根据椭圆离心率为12，△F1PF2的面积为√3.列式计算a，b，c即可．(Ⅱ)设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，得出关于x的一元二次方程；再设出P、Q的坐标，表示出线段PQ的中点R，根据k TN⋅k PQ=−1.，求出T点的横坐标t的取值范围，即可得出结论．21.答案：证明：由1−e−x≥xx+1⇔e x≥1+x．当x>−1时，f(x)≥xx+1当且仅当e x≥1+x．令g(x)=e x−x−1，则g′(x)=e x−1．当x≥0时，g′(x)≥0，g(x)在[0,+∞)上为增函数，当x≤0时，g′(x)≤0，g(x)在(−∞,0]上为减函数，于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当x∈R时g(x)≥g(0)，即e x≥1+x．所以当x>−1时，f(x)≥xx+1．解析：把给出的不等式f(x)≥xx+1等价变形，然后构造函数，求出函数的导函数，利用导函数的符号判断原函数的单调性，从而求出最小值，原不等式得到证明．本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法，考查了函数构造法，是中档题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=x y′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1．(Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0，由于点P(1,0)在直线l 上，故{x =1+12t y =√32t (t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x 24+y 2=1，得到13t 2+4t −12=0，(t 1和t 2为M 、N 对应的参数) 所以t 1+t 2=−1413，t 1⋅t 2=−1213，所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：证明：(1)a (a −b )−b (a −b )=(a −b )2⩾0，所以a(a −b)≥b(a −b)；(2)由a ，b ，c ，d 都是正数，得ab+cd 2≥√ab ·cd ，ac+bd 2≥√ac ·bd ，所以(ab+cd)(ac+bd)4≥abcd ，即(ab +cd)(ac +bd)≥4abcd ．解析：(1)本题主要考查作差法证明不等式．(2)本题主要考查均值不等式证明不等式．。
福建省宁德市2020届高三普通高中毕业班5月质量检查 数学(理)试题
所以 …………………………………………………………
. …………………………………………………………5分
（2）在 中，由正弦定理得 ，…………………………………6分
即 ，解得 .…………………………………………………………8分
因为 ， ，
所以 ，……………9分
由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 （同一组数据用该组区间的中点值作代表）.
(1)若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；
(2)现依次抽取 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件 表示“连续3人的旅游消费支出超出 ”．若 表示 的概率， 为常数），且 .
(1)求 的直角坐标和l的直角坐标方程；
(2)把曲线 上各点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标伸长为原来的 倍，得到曲线 ， 为 上动点，求 中点 到直线 距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数 .若存在实数 使得 成立.
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的最小值.
2020年宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4）
因此，点 即为所求，平面 即为 ..…………………5分
（2）证明：连结 ，
在平行四边形 中，
因为 ,
所以 ，故 ，即 ,…………………6分
分别以 为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，
， ， ， ， ， ，
……7分
易得平面 的一个法向量为 ……8分
设 为平面 的一个法向量，则：
，即 ，
令 ，得 ，…………………9分
数学（理科）参考答案及评分标准