改进的主成分分析法在我国高校数学学科排名中的应用

武汉科技大学 硕士学位论文 改进的主成分分析法在我国高校数学学科排名中的应用 姓名：余登榜 申请学位级别：硕士 专业：概率论与数理统计 指导教师：陈清平 2010-10-10
武汉科技大学 硕士学位论文 摘 要
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本文对教育部学位与研究教育发展中心 2006 公布的 20 所高校数学学科培养研究生的 数据进行统计分析。 改进的主成分分析法结果表明， 各个学校在科学研究基础、 人才培养、 社会贡献等方面的发展不平衡， 且整体的评价结果与学位中心给出的结果有差异。 聚类分 析结果表明，各个学校的学科发展状况存在差异。因此，有关的管理和决策部门应从宏观 上把握我国高校学科的整体发展现状， 分类制定相关政策， 更好的指导和规划我国高教事 业的健康发展。 全文共分为四个章节： 第一章,绪论.本章介绍了研究背景、研究现状、研究方法及本文的创新之处。 第二章,本章主要介绍相关的理论，重点介绍传统主成分分析法的理论和方法。 第三章,本章主要针对传统主成分分析的弊端，提出改进的主成分分析法并介绍相关 理论与方法。 第四章,利用 SAS 软件， 通过改进的主成分分析法对我国 20 所高校数学学科培养研究 生整体水平进行评价。 第五章,总结本文研究的结论与不足，提出进一步研究的方向。 关键词：高校数学学科；排名；主成分分析；聚类分析
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武汉科技大学 硕士学位论文 第二章 预备知识
2.1 主成分分析
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我们在作数据处理时，涉及的样品往往包含多个(间隔)变量,较多的变量会带来分析 问题的复杂性。然而，这些变量彼此之间常常存在着一定程度的、有时甚至是相当高的相 关性， 这就使含在观测数据中的信息在一定程度上有所重迭。 正是这种变量间信息的重迭， 使得变量的降维成为可能，从而使问题的分析得以简化。 主成分分析是由英国生物统计学家 Kart Pearson 于 1901 年首次对非随机变量引入的 (求拟合直线或超平面),尔后,又由 Hotelling 将其将其推广至随机变量。 这一方法在处理解决多指标的统计分析中得到广泛应用， 是一种很常用的、 行之有效 的多元统计分析方法，它在社会经济领域、企业的管理方面及地质、医药、生化等各个领 域都有着广泛的应用。 主成分分析是一种通过降维技术把多个变量化为少数几个主成分(即综合变量)的统 计分析方法。 这些主成分能够反映原始变量的绝大部分信息， 它们通常表示原始变量的某 种线性组合。为了使这些主成分所含的信息互不重迭，应要求它们之间互不相关。主成分 分析的一般目的是:(1)变量的降维；(2)主成分的解释。当主成分用于回归或聚类时，可 不必对主成分作出解释。 对主成分(特别是前两个主成分)作散点图， 能从直觉上反映出样 品的大量信息，甚至是绝大部分信息。主成分散点图在探索性数据分析中尤其有用，它可 以有效的检测出异常值。 假设共有 n 个 为了便于对主成分分析的理解， 我们考虑(间隔)变量个数 p = 2 的情形， 样品， 每个样品都检测到了两个变量 ( x1 , x2 ) ， 它们大致分布在一个椭圆内， 如图 2.1 所示。 显然，在坐标系 x1Ox2 中， n 个坐标点的坐标 x1 和 x2 呈现某种线性相关性。我们将该坐标 系按逆时针方向旋转某个角度 θ 变成新坐标系 y1Oy2 ，这里 y1 是椭圆的长轴方向， y2 是短 轴方向。旋转公式为： y1 = x1 cos θ + x2 sin θ y2 = − x1 sin θ + x2 cos θ
武汉科技大学 硕士学位论文 Abstract
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In this paper, the Ministry of Education and Research Degree Education Development Center announced the 20 universities in 2006 mathematics graduate training data for statistical analysis. Improved principal component analysis results showed that all schools in research-based, personnel training, community contributions, etc. uneven development, and overall evaluation results with the results given degree centers are different. Cluster analysis showed that the various schools development are different disciplines. Therefore, the macro-management and decision-making should grasp the overall development of Chinese universities subject status, classification and formulate relevant policies and programs to better guide the healthy development of China's higher education. Paper is divided into four sections: Chapter I, Introduction. This chapter describes the research background, research, method and innovation of this paper. Chapter II, this chapter introduces the relevant theoretical, focusing on the traditional principal component analysis theory and method. Chapter III, this chapter aimed at the shortcomings of the traditional principal component analysis, an improved principal component analysis and introduces the theories and methods. Chapter IV, using SAS software, by improving the principal component analysis method to the 20 high school mathematics subjects to evaluate the overall level of training graduate students. Chapter V summarizes the conclusions of this paper and suggested some further research. Key words: College Mathematics; ranking; principal component analysis; cluster analysis
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《美国新闻与世界报道》最新公布的 2005 年版美国研究生院排名，是针对商科、教 育、工程 、法律及医药等领域而分别进行的。排名主要依据两类的数据；一类数据是专 家对学校质量印象进行打分，也就是学校的声誉分，另一类数据是学院老师、科研及学生 质量统计指标。所采用的统计指标分成了两大类：投入，即学生和教师的质量;产出，即 毕业的质量； 每一个指标都要跟每个领域的专家进行反复磋商后确定。 最后额总分也要经 过重新调整，分数最高的学院被定为 100 分，其他学院的分数按比例折合，然后取整数， 学校按所得分数降序排列。 每个学校与其他学校都是一个相对分数， 所以高分学校并不一 定表示他的每一项指标都是高分， 只能说明他的综合分高， 让每个学校都能认识到自己的 优势和发展空间。 各个国家高等教育学科专业目录的学科分类方法在设置理念、 总体结构、 学科内涵上 都有很大差异，对于学科数量众多的大学而言，分学科的国际比较只能在有限的、范畴较 为清晰的学科内进行， 大量新兴学科和跨学科活动往往很难体现。 大学科领域可以在一定 程度上解决领域内部的学科交叉问题， 同时人们的认识也比较统一， 因此本研究选择在学 科领域层面而不是在学科层面对世界大学进行比较排名， 希望能够更完整地反映大学的整 体学科水平。 1.3 研究方法 利用 SAS 软件，通过改进的主成分分析法对我国 20 所高校数学学科培养研究生整体 水平进行评价。 首先通过对高校数学学科数据进行主成分分析， 而后通过主成分得分得出 排名，以及综合排名；在主成分分析的基础上，通过对高校数学学科数据进行聚类分析， 而得出高校数学学科的分类情况。 1.4 本文的创新之处 本文的创新之处在于第三章的研究中对传统的主成分分析法进行了改进， 即 “主成分 —聚类分析法” ，以及该方法在具体实例中的应用。
武汉科技大学 硕士学位论文 第一章 绪论
1.1 研究背景
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一流的大学必然有一流的学科， 学科水平很大程度上决定了大学水平。 《面向 21 世纪 教育振兴行动计划》 明确指出， 重点建设若干所世界先进水平的一流大学和一批一流学科。 有学者曾经以国际可比的研究成果和学术表现作为主要指标，进行了全球性的大学排名， 分析了我国大学在世界大学体系中的地位， 找出了与世界一流大学的差距。 并且通过对比 不同年份的排名和指标，发现“985 工程”建设使我国部分名牌大学的整体实力与世界一 流的差距明显缩小， 然而， 关于我国名牌大学的各个学科与世界一流的差距很少有系统的 研究。 近年来， 我国普通高等教育得到了迅速发展， 但由于我国各地区经济发展水平不均衡， 加之高等院校原有布局使各地区高等教育发展的起点不一致， 因而各地区普通高等教育的 发展水平存在一定的差异。目前，我国高校的学科排名，它只能大致反映出学科的整体水 平，而从排名结果中，我们也只能看出排出的名次，看不出各高校学科间其具体方面的实 力和差距。本文运用多元统计分析的方法，对数学学科研究生培养的数据进行分析，以便 从宏观上把握我国高校学科的整体发展现状， 为更好地指导和规划高教事业的健康发展提 供一定的科学依据。 1.2 研究现状 近些年来， 受经济全球化和高等教育国际化的趋势影响， 出现了不少国际性的院/系、 学科排名 。 Thomson Scientific 公 司（ 原 美 国科学 信息 所 ） 出 版 的 《 重要 科学指 标》 《Essential Science Indicators》数据库给出了 22 个学科论文总被引次数排在世界前 1%的大学和其他研究机构名单， 结果得到了广泛认可并经常被大学引用作为自己学科实力 的证明。 世界大学学科领域排名的学科领域有五个，分别是：数学与自然科学（简称理科） ； 工程、技术与计算科学（简称工科） ；生命科学与农学（简称生命） ；临床医学与药学（简 称医学） ；社会科学（简称社科） 。我们对学科领域的划分是在 Thomson Scientific 提供 的期刊学科分类法的基础上整理得到的。与我国《研究生学科专业目录》相比，一个主要 的区别是将理科门类下的生物学、 基础医学下的免疫学与病理学等学科、 农学门类等组合 成生命科学与农学。 瑞士科学技术研究中心（CEST）在 2004 年的一项研究中，对全世界 683 所大学的论 文数量和质量进行了统计，给出了每所大学在自然科学、工程科学、农学与环境、生命科 学、医学、社会科学、人文与艺术 7 个领域 107 个学科的论文影响力排名。 英国 《泰晤士报高等教育增刊》 （THES） 自 2004 年开始对世界大学在人文艺术、 社科、 科学、技术、生命医学 5 个领域进行排名，采用的惟一指标是声誉调查得分。