安徽省怀远三中2009届第五次月考数学理科试题

安徽省怀远三中2009届第五次月考数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（每小题5分，共8小题，共40分），把答案涂在答题卡上．1．已知b a s 2+=，12++=b a t ，则s 和t 的大小关系中正确的是A ．s <tB ．t s ≤C ．s >tD ．t s ≥2．已知平面向量),2(),2,1(m b a -==，且a ∥b ，则b a 32+= A ．（-2，-4）B ．（-3，-6）C ．（-4，-8）D ．（-5，-10）3．已知集合2{|log 1},{|1}M x x N x x =<=<，则M N =A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|1}x x <D ．∅4．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列命题①若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥．②若α⊂m ，α⊂n ，β//m ，β//n ，则βα//． ③如果m n m ,,αα⊄⊂．n 是异面直线，那么α与n 相交． ④若m αβ=，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β．其中正确命题的个数是A ．4 B ．3 C ．2 D ．15．将函数1)(+=x x x f 图象上每一点的横坐标变为原来的21倍，纵坐标不变，然后再将图象向左平移1个单位，所得图象的函数表达式为A ．3222)(++=x x x fB ．31)(++=x x x f C ．1222)(--=x x x fD ．11)(+-=x x x f6．设函数)(x f 定义如下表，数列}{n x 满足50=x ，且对任意自然数n 都有)(1n n x f x =+，则=2008xA ．1B ．2C ．4D ．57．已知函数xxx f ln )(=，b a e <<，无理数e 是自然对数的底，则 A ．1)()(>b f a fB ．)()(b f a f =C ．)()(b f a f >D ．)()(b f a f <8．如图所示，墙上挂有一块边长为2的正方形木板，上面画有振幅为1的正弦函数)0)(sin()(>+=w wx A x f ϕ半个周期的图象，这部分图象与正方形的一边围成图中的阴影区域．某人向此板投镖，假设每次都能击中木板并且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影区域的概率等于 A ．π1B ．π21C ．31 D ．41 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：（本大题共6小题；每小题5分，共30分） 9．数列{}n a 中，n n a a 31=+，271321=++a a a ，则=++654a a a ． 10．已知22=+y x ，则yx42+的最小值等于 ．11．已知nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3251展开式中所有项的二项式系数的和等于32，则其展开式中的常数项为 ． 12．已知26cos sin =+αα，)4,0(πα∈，则)45sin(πα-= ． 13．已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 ．14．下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm ），可求得该物体的体积为 cm 3．三．解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（共6小题，共80分） 15．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ．B ．C 的对边分别为a ．b ．c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设)1,1(),1,(sin -==A ，求⋅的最小值．16．（本小题满分12分） 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行4次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不再参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加4次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．（I ） 求该学生在前两次测试中至少有一次通过的概率；（II ）如果考上大学或参加完4次测试，那么测试就结束．记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．17． （本题满分14分）如图所示的几何体是由以正三角形ABC 为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF 所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a ，O 为AB 的中点． （I ）当5=a 时，求证：OC//平面DEF ；（II ）当4=a 时，求平面DEF 与平面ABC 相交所成且为锐角的二面角的余弦值；（III ）当a 为何值时，在DE 上存在点P ，使CP ⊥平面DEF ？18．（本小题满分14分）某工厂生产了一批产品共有100件，尺寸大小属于区间3[，)5.3或4[，)5.4的为合格品，属于区间5.3[，)4的为优等品．根据尺寸大小按如下区间进行分组：5.2[，)3．3[，)5.3．5.3[，)4．4[，)5.4．5.4[，]5，得到这批产品的频率分布直方图如图所示（单位：cm ）． （I ） 求这批产品中合格品与优等品共有多少件？（II ）只有合格品与优等品才可以在市场上销售，且优等品的售价每件不超过31元，优等品的售价不低于合格品的售价．当合格品的售价为每件x 元，优等品的售价每件y 元时，合格品的销售量为y x 5.05.1+件，优等品的销售量为x y 5.05.1-件，那么x ．y 分别为多少时，这批产品的销售总量最大，最大销售总量是多少件？OPFEDCBA2.53.54.5 5尺寸(cm )0.1 3 419．（本题满分14分）．等差数列{}n a 中，*)(1N n a a n n ∈>+，42,a a 为方程021102=+-x x 的两根，前n 项和为n S ．等比数列{}n b 的前n 项和c T n n +=3（c 为常数）． （I ）求c ；（II ）证明：对任意*N n ∈，1<-n n T S ；（III ）证明：对任意*N n ∈，)!(log 4)1(3n n n >+．20．（本小题满分14分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++-=． （I ）当0>a 时，求函数)(x f y =的极值；（II ） 若函数)(x f y =的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：66<<-a ；（III ）对任意],1,0[0∈x )(x f y =的图像在0x x =处的切线的斜率为k ，求证：31≤≤a 是1||≤k 成立的充要条件．参考答案一．选择题（5⨯8=40） BCAC ACDA 二．填空题（5⨯6=30）9．1 10．4 11．2 12．21 13．10,4⎛⎤⎥⎝⎦14．256+64π 三．解答题：（共6小题，共80分） 15．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ．B ．C 的对边分别为a ．b ．c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设)1,1(),1,(sin -==A ，求⋅的最小值．解：（I ）由正弦定理R BbC c A a 2sin sin sin ===，有 A R a sin 2=， B R b s i n 2=，C R c sin 2=代入(2a －c)cosB=bcosC ，得（2sinA －sinC ）cosB=sinBcosC ．…………………4分即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA ．…………………6分 ∵0<A<π,∴sinA≠0． ∴cosB=21．……………………………………7分 ∵0<B<π，∴B=3π．……………………………8分 （II ）n m ⋅=－sinA+1 …………………………10分由B=3π得A ∈（0，32π） ……………………11分所以，当2π=A 时，⋅取得最小值0．………12分16．（本小题满分12分） 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行4次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不再参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加4次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．OPFEDCB A（I ） 求该学生在前两次测试中至少有一次通过的概率；（II ）如果考上大学或参加完4次测试，那么测试就结束．记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．解：（I ）记“该生在前两次测试中至少有一次通过”的事件为事件A ，则P(A)=9531112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ---4分答：该生在前两次测试中至少有一次通过的概率为95 ---5分（II ）参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4， ---6分P(ξ=2)=91312=⎪⎭⎫ ⎝⎛， P(ξ=3)=C 27431.32.31.12= ，P(ξ=4)=27203232.313213=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛C ， -----9分 故ξ的分布列为：Eξ=2×91+3×274+4×2720=2798-----12分17． （本题满分14分）如图所示的几何体是由以正三角形ABC 为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF 所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a ，O 为AB 的中点． （I ）当5=a 时，求证：OC//平面DEF ；（II ）当4=a 时，求平面DEF 与平面ABC 相交所成且为锐角的二面角的余弦值； （III ）当a 为何值时，在DE 上存在点P ，使CP ⊥平面DEF ？（I ）证：取DF 的中点G ，连结GE ．由三棱柱得，AF//BD//CE ， 而BD=1，AF=5， ∴ 四边形ABDF 为梯形， ∵OG 为梯形ABDF 的中位线 ∴OG//AF ，且OG=3y而CE//AF ，且CE=3 ∴OG //CE∴四边形OCEG 为平行四边形∴GE//OC 3分 又OC ⊄平面DEF ，GE ⊂平面DEF∴ OC//平面DEF 4分（II ）以直线OB ．OC 分别为x 轴．y 轴建立如图所示的空间直角坐标系， AF=4=a ，则D ．E ．F的坐标分别为：D （1，0，1）．E （0，3，3）．F （-1，0，4）， ∴DE =（-1，3，2），DF =（-2，0，3） 5分 设平面DEF 的法向量),,(z y x n =， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=++-=⋅032023z x z y x 得 z y z x 63,23-==可取)1,63,23(-=n 6分 平面ABC 的法向量可以取)1,0,0(=7分∴10301121491=++==8分 ∴平面DEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为1030． 9分 （III ）在（II ）的坐标系中，AF=a ，DE =（-1，3，2），DF =（-2，0，a -1）．因P 在DE 上，设λ=，则)12,3,1()2,3,1()1,0,1(+-=-+=+=λλλλ∴)12),1(3,1()0,3,0()12,3,1(+--=-+-=-=λλλλλλ 11分 于是CP ⊥平面DEF 的充要条件就为⎪⎩⎪⎨⎧=+-+--=⋅=++-+-=⋅0)12)(1()1(20)12(2)1(31λλλλλa DF CP 12分 由此解得，2,41==a λ 13分 即当a =2时，在DE 上存在靠近D 的第一个四等分点P ，使CP ⊥平面DEF ． 14分18．（本小题满分14分）某工厂生产了一批产品共有100件，尺寸大小属于区间3[，)5.3或4[，)5.4的为合格品，属于区间5.3[，)4的为优等品．根据尺寸大小按如下区间进行分组：5.2[，)3．3[，)5.3．5.3[，)4．4[，)5.4．5.4[，]5，得到这批产品的频率分布直方图如图所示（单位：cm ）． （I ） 求这批产品中合格品与优等品共有多少件？（II ）只有合格品与优等品才可以在市场上销售，且优等品的售价每件不超过31元，优等品的售价不低于合格品的售价．当合格品的售价为每件x 元，优等品的售价每件y 元时，合格品的销售量为y x 5.05.1+件，优等品的销售量为x y 5.05.1-件，那么x ．y 分别为多少时，这批产品的销售总量最大，最大销售总量是多少件？解：（I ）组距等于0．5，得到合格品与优等品的频率之和为9.0)8.05.02(5.0=+⨯⨯ 909.0100=⨯所以，合格品与优等品共有90件． 4分（II ）由（I ）可得，这批产品中，合格品有50件，优等品40件，则x ．y 满足的约束条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤+≥≤>405.05.1505.05.1310x y y x xy y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥-≤+≥≤>8031003310y x y x x y y x 7分 据此作出可行域如图中的阴影所示2.53.54. 5 尺寸(cm )410分销售总量为y x x y y x z 2)5.05.1()5.05.1(+=-++= 11分 作出直线0l ：02=+y x ，平移直线0l 过点)31,23(A 时，z 取得最大值85， 12分 此时，合格品的销售件数为50315.0235.15.05.1=⨯+⨯=+y x 件优等品的销售件数为35235.0315.15.05.1=⨯-⨯=-x y 件 13分所以，当合格品的销价为每件23元且优等品的销售价为每件31元时，这批产品的销售总量最大，最大销售总量为85件． 14分 19．（本题满分14分）．等差数列{}n a 中，*)(1N n a a n n ∈>+，42,a a 为方程021102=+-x x 的两根，前n 项和为n S ．等比数列{}n b 的前n 项和c T n n +=3（c 为常数）． （I ）求c ；（II ）证明：对任意*N n ∈，1<-n n T S ；（III ）证明：对任意*N n ∈，)!(log 4)1(3n n n >+． （I ）解：由c T n n +=3得，c b T +==311 c b b T +=+=9212 c b b b T +=++=273213∴c b +=31，62=b 183=b ∵{}n b 为等比数列∴231=+=c b ，∴c =1- 3分 （II ）证明：方程021102=+-x x 的两根为3．7，由*)(1N n a a n n ∈>+知，42a a < ∴7,342==a a∴等差数列{}n a 的公差22372424=-=--=a a d∴12321=-=-=d a a ∴21)1(2)1(n n n n d n n na S n =-+=-+= 6分 要证1<-n n T S ， 只要证明1+<n n T S 即nn 32<下面用数学归纳法证明nn 32<成立 （i ）当1=n ，2，3时，不等式显然成立，（ii ）假设当k n =（3≥k ）时，不等式成立，即kk 32<当k n =+1时，22221)1(12)2(223333+=++>-++=>⋅=+k k k k k k k k k k即123)1(+<+k k ，此时不等式也成立．由（i ）（ii ）知，对任意*N n ∈，nn 32<成立．所以，对任意*N n ∈，1<-n n T S ． 10分 （III ）证明：由（II ）已证nn 32<成立，两边取以3为底的对数得，n n <3log 2 ∴n n +++<+++ 21log 22log 21log 2333 ∴2)1()321(log 23nn n +<⨯⨯⨯⨯ ∴)!(log 4)1(3n n n >+ 14分 20．（本小题满分14分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++-=． （I ）当0>a 时，求函数)(x f y =的极值；（II ） 若函数)(x f y =的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：66<<-a ；（III ）对任意],1,0[0∈x )(x f y =的图像在0x x =处的切线的斜率为k ，求证：31≤≤a 是1||≤k 成立的充要条件．20．解：（I ）)32(323)(2ax x ax x x f --=+-=' 1分 由0)(='x f 得，0=x 或32a x = 而0>a ，列出下表)所以，当0=x 时，)(x f 取得极小值，极小值等于b ；当32a x =时，)(x f 取得极大值，极大值等于b a +2743； 5分 （II ）设函数),()(111y x P x f y 点的图象上任意不同的两=．),(222y x P ， 不妨设,21x x >66060)8(12408230)2(4)(02)(:2))(())((,22222222222222221122212212121212221212121223221312121<<-∴<-<+--=∆∴∈>+--<+---=∆∴∈>+-+-+<-+-+++--∴<--++-<--a a a a R x a ax x ax x a x R x ax x x a x x x x x x x x a x x x x x x x x ax x ax x x x y y 即即整理得即则（注：若直接用2)('<x f 来证明至少扣1分） 9分 （III ）]1,0[,23)(00200∈+-='=x ax x x f k 则当时，12311||020≤+-≤-⇔≤ax x k.311||,31:10)0('123)1(0310)0('123)1(1313)3('10)0('123)1('1302≤≤≤≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤=-≥+-='<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥=≤+-='>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤=-≥=-≥+-=≤≤⇔a k a f a f a f a f a a a f f a f a 成立的充要条件是故解得或或 14分。