【解析】宁夏银川市西夏区北方民族大学附中2014-2015学年高二下学期期末考试数学试卷(文科) Word版含解析

2014-2015学年宁夏银川市西夏区北方民族大学附中高二（下）期末数学试卷（文科）一．选择题（本大题共有12个小题，每题5分共60分）1．已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N等于( )A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＞3}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．已知全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，则A∩（∁∪B）等于( ) A．{2}B．{5}C．{3，4}D．{2，3，4，5}3．复数的的共轭复数是( )A．B．﹣C．iD．﹣i4．已知a＞b，ab≠0，则下列不等式中：①a2＞b2 ②③恒成立的个数是( )A．0B．1C．2D．35．已知i是虚数单位，复数z=，则|z﹣2|=( )A．2B．2C．D．16．已知集合M={x|y2=x+1}，P={x|y2=﹣2（x﹣3）}，那么M∩P等于( ) A．{（x，y）|x=，y=±}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|x≤3}7．复数z=a2+b2+（a+|a|）i（a、b∈R）为实数的充要条件是( )A．|a|=|b|B．a＜0且a=﹣bC．a＞0且a≠bD．a≤08．在约束条件下，目标函数z=2x+y的值( )A．有最大值2，无最小值B．有最小值2，无最大值C．有最小值，最大值2D．既无最小值，也无最大值9．对任意a∈，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的范围是( )A．x＜1或x＞2B．1＜x＜2C．x＜1或x＞3D．1＜x＜310．已知f（x）=cosx，则f（π）+f′（）=( )A．B．C．﹣D．﹣11．如图，其中有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（﹣1）为( )A．2B．﹣C．3D．﹣12．若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x﹣9都相切，则a等于( ) A．﹣1或﹣B．﹣1或C．﹣或﹣D．﹣或7二．填空题（本大题共有4个小题，每题5分共20分）13．函数f（x）=+lg（1﹣x）的定义域是__________．14．已知复数z满足（3+2z）i2003=1（i为虚数单位），则z=__________．15．已知f（x）=ax3+4x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于__________．16．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=__________．三、解答题（共4小题，满分50分）17．（1）已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，求的值．（2）已知函数y=（x+1）（x+2）（x+3）．求该函数的导函数．（3）求不等式﹣1＜x2+2x﹣1≤2的解集．18．已知集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x≥2}．（1）求A∩B；（2）若C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．19．已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|﹣≤x≤2}，试求不等式cx2+bx+a＜0的解集．20．（14分）设函数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的x∈（3a，a），都有f（x）＜a+1，求a的取值范围．【4-1几何证明】（共1小题，满分0分）23．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【4-4坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）24．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．2014-2015学年宁夏银川市西夏区北方民族大学附中高二（下）期末数学试卷（文科）一．选择题（本大题共有12个小题，每题5分共60分）1．已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N等于( )A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＞3}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先化简两个集合，再由交集的定义求交集，然后比对四个选项，选出正确选项来解答：解：由题意集合M={x|x2＜4}═{x|﹣2＜x＜2}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}故选C点评：本题考查交集及其运算，求解的关键是化简两个集合及正确理解交集的定义．2．已知全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，则A∩（∁∪B）等于( ) A．{2}B．{5}C．{3，4}D．{2，3，4，5}考点：交、并、补集的混合运算．分析：由题意全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，根据补集的定义可得C∪B={3，4，5}，再根据交集的定义计算A∩（C∪B）．解答：解：∵全集U=|1，2，3，4，5|，B={1，2}，∴C∪B={3，4，5}，∵A={2，3，4}，∴A∩（C∪B）={3，4}，故选C．点评：此题考查集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．3．复数的的共轭复数是( )A．B．﹣C．iD．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数的分母实数化，化简为a+bi的形式，然后求出它的共轭复数即可．解答：解：复数===i．所以复数的的共轭复数是：﹣i．故选D点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力．4．已知a＞b，ab≠0，则下列不等式中：①a2＞b2 ②③恒成立的个数是( )A．0B．1C．2D．3考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：当 a=1，b=﹣2 时，经检验，这三个命题都不正确，由此得出结论．解答：解：当 a=1，b=﹣2 时，显然①a2＞b2 不成立，②不成立，③不成立，故选A．点评：本题主要考查不等式与不等关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．5．已知i是虚数单位，复数z=，则|z﹣2|=( )A．2B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式求模．解答：解：∵z﹣2=﹣2=，∴|z﹣2|=．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．已知集合M={x|y2=x+1}，P={x|y2=﹣2（x﹣3）}，那么M∩P等于( )A．{（x，y）|x=，y=±}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|x≤3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中x的范围确定出两集合，找出两集合的交集即可．解答：解：由M中y2=x+1≥0，得到x≥﹣1，即M=，则M∩P=={x|﹣1≤x≤3}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7．复数z=a2+b2+（a+|a|）i（a、b∈R）为实数的充要条件是( )A．|a|=|b|B．a＜0且a=﹣bC．a＞0且a≠bD．a≤0考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由分式z的虚部等于0求得复数z=a2+b2+（a+|a|）i（a、b∈R）为实数的充要条件．解答：解：复数z=a2+b2+（a+|a|）i为实数的充要条件是a+|a|=0，即a≤0．故选：D．点评：本题考查复数的基本概念，考查了复数为实数的充要条件，是基础题．8．在约束条件下，目标函数z=2x+y的值( )A．有最大值2，无最小值B．有最小值2，无最大值C．有最小值，最大值2D．既无最小值，也无最大值考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最值情况．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=﹣2x+z，显然当平行直线过点B（）时，z取得最大值为2；当平行直线过点B（0，）时，z取得最小，但B点不在可行域内；故选A点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．9．对任意a∈，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的范围是( ) A．x＜1或x＞2B．1＜x＜2C．x＜1或x＞3D．1＜x＜3考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：把二次函数的恒成立问题转化为y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．解答：解：原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈上恒成立，只需，∴，∴x＜1或x＞3．故选C．点评：此题是一道常见的题型，把关于x的函数转化为关于a的函数，构造一次函数，因为一次函数是单调函数易于求解，对此类恒成立题要注意．10．已知f（x）=cosx，则f（π）+f′（）=( )A．B．C．﹣D．﹣考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的运算法则，求导，然后导入值计算即可解答：解：f（x）=cosx，则f′（x）=﹣，∴f（π）+f′（）=cosπ﹣﹣=﹣﹣=﹣，故选：D点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题11．如图，其中有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（﹣1）为( )A．2B．﹣C．3D．﹣考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出f（x）的导函数发现为开口向上的抛物线，由a≠0得到其图象必为第（3）个图，由图象知f′（0）=0解得a的值，即可求出f（﹣1）．解答：解：∵f′（x）=x2+2ax+（a2﹣1），∴导函数f′（x）的图象开口向上．又∵a≠0，∴其图象必为（3）．由图象特征知f′（0）=a2﹣1=0，且对称轴x=﹣a＞0，∴a=﹣1，f（x）=x3﹣x2+1，故f（﹣1）=﹣．故选B．点评：本题考查导数的运算能力．熟悉函数图象的能力，以及会求函数值的能力，属于中档题．12．若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x﹣9都相切，则a等于( ) A．﹣1或﹣B．﹣1或C．﹣或﹣D．﹣或7考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出过点（1，0）和y=x3相切的切线方程，即可得到结论．解答：解：设直线与曲线y=x3的切点坐标为（x0，y0），则函数的导数为f′（x0）=3x02，则切线斜率k=3x02，则切线方程为y﹣x03=3x02（x﹣x0），∵切线过点（1，0），∴﹣x03=3x02（1﹣x0）=3x02﹣3x03，即2x03=3x02，解得x0=0或x0=，①若x0=0，此时切线的方程为y=0，此时直线与y=ax2+x﹣9相切，即ax2+x﹣9=0，则△=（）2+36a=0，解得a=﹣．②若x0=，其切线方程为y=x﹣，代入y=ax2+x﹣9得y=ax2+x﹣9=x﹣，消去y可得ax2﹣3x﹣=0，又由△=0，即9+4××a=0，解可得a=﹣1．故a=﹣1或a=﹣．故选：A．点评：本题主要考查函数切线方程的求解，根据导数的几何意义是解决本题的关键．二．填空题（本大题共有4个小题，每题5分共20分）13．函数f（x）=+lg（1﹣x）的定义域是（﹣1，1）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由分母大于0，真数大于0，从而求出x的范围．解答：解：∵＞0，且1﹣x＞0，∴﹣1＜x＜1，故答案为：（﹣1，1）．点评：本题考查了函数的定义域问题，考查二次根式，对数的定义，是一道基础题．14．已知复数z满足（3+2z）i2003=1（i为虚数单位），则z=．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由于i4=1，可得i2003=（i4）500•i3，于是（3+2z）i2003=1，化为（3+2z）•（﹣i）=1，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵i4=1，∴i2003=（i4）500•i3=﹣i，∴（3+2z）i2003=1，化为（3+2z）•（﹣i）=1，∴2z=i﹣3，∴z=．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了计算能力，属于基础题．15．已知f（x）=ax3+4x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于4．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：求函数的导数，解导数方程即可．解答：解：∵f（x）=ax3+4x2+2，∴f′（x）=3ax2+8x，若f′（﹣1）=4，则f′（﹣1）=3a﹣8=4，即3a=12，则a=4，故答案为：4．点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础．16．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=6．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：将f′（2）看出常数利用导数的运算法则求出f′（x），令x=2求出f′（2）代入f′（x），令x=5求出f′（5）．解答：解：f′（x）=6x+2f′（2）令x=2得f′（2）=﹣12∴f′（x）=6x﹣24∴f′（5）=30﹣24=6故答案为：6点评：本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．三、解答题（共4小题，满分50分）17．（1）已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，求的值．（2）已知函数y=（x+1）（x+2）（x+3）．求该函数的导函数．（3）求不等式﹣1＜x2+2x﹣1≤2的解集．考点：一元二次不等式的解法；导数的运算；复数代数形式的混合运算．专题：函数的性质及应用；坐标系和参数方程．分析：（1）利用复数的运算法则、模的计算公式、复数相等即可得出；（2）展开利用导数的运算法则即可得出；（3）利用一元二次不等式的解法、交集的运算性质即可得出．解答：解：（1）设z=a+bi，（a，b∈R），而|z|=1+3i﹣z，即，则，．（2）y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11．（3）∵，∴﹣3≤x＜﹣2或0＜x≤1．∴不等式的解集{x|﹣3≤x＜﹣2或0＜x≤1}．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等、导数的运算法则、一元二次不等式的解法、交集的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x≥2}．（1）求A∩B；（2）若C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：计算题；集合．分析：（1）A∩B═{x|﹣1≤x＜3}∩{x|x≥2}={x|2≤x＜3}；（2）化简集合C，由B∪C=C知B⊆C，从而得到﹣＜2．解答：解：（1）A∩B═{x|﹣1≤x＜3}∩{x|x≥2}={x|2≤x＜3}．（2）C={x|2x+a＞0}={x|x＞﹣}，由B∪C=C知，B⊆C，∴﹣＜2，解得，a＞﹣4．点评：本题考查了集合的化简与运算及集合包含关系的应用，属于基础题．19．已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|﹣≤x≤2}，试求不等式cx2+bx+a＜0的解集．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据不等式的解集，找出对应此解集的一元二次不等式，可以确定待定系数，再根据待定系数的值，确定出要解的不等式，解出结果即可解答：解：∵ax2+bx+c≥0的解集为{x|﹣≤x≤2}，∴a＜0，﹣+2=﹣，×2=，即=﹣，=，c＞0，b＞0∴=﹣，=，∴不等式cx2+bx+a＜0转化为x2+x+＜0，即为x2+x﹣＜0，即为（2x﹣1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜点评：本题考查一元二次不等式的解法，要联系对应的二次函数的图象特点，属于基础题20．（14分）设函数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的x∈（3a，a），都有f（x）＜a+1，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为在该点处的导数，所以只要求导，再求x=3时的导数，再用点斜式求出直线方程．（Ⅱ）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，函数f（x）的极大值和极小值是导数等于0时的x的值，所以再令导数等于0，解出x的值，为极值点，再列表判断极值点两侧导数的正负，若左正右负，为极大值，若左负右正，为极小值．（Ⅲ）根据（Ⅱ）问的结论，x∈（3a，a）时，，从而根据不等式f（x）＜a+1在区间（3a，a）上恒成立列出关于a的不等关系，即可求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵当a=1时，，…f'（x）=﹣x2+4x﹣3…当x=3时，f（3）=1，f'（3）=0 …∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y﹣1=0…（Ⅱ）f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣a）（x﹣3a）…a=0时，f'（x）≤0，（﹣∞，+∞）是函数的单调减区间；无极值；…a＞0时，在区间（﹣∞，a），（3a，+∞）上，f'（x）＜0；在区间（a，3a）上，f'（x）＞0，因此（﹣∞，a），（3a，+∞）是函数的单调减区间，（a，3a）是函数的单调增区间，函数的极大值是f（3a）=a；函数的极小值是；…a＜0时，在区间（﹣∞，3a），（a，+∞）上，f'（x）＜0；在区间（3a，a）上，f'（x）＞0，因此（﹣∞，3a），（a，+∞）是函数的单调减区间，（3a，a）是函数的单调增区间函数的极大值是，函数的极小值是f（3a）=a…（Ⅲ）根据（Ⅱ）问的结论，x∈（3a，a）时，…因此，不等式f（x）＜a+1在区间（3a，a）上恒成立必须且只需：，解之，得…（13分）点评：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．【4-1几何证明】（共1小题，满分0分）23．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．考点：综合法与分析法(选修）．专题：证明题．分析：（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．解答：证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．点评：本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．【4-4坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）24．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．专业文档珍贵文档 考点：圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l 与圆C 的位置关系．解答： 解：（Ⅰ）M ，N 的极坐标分别为（2，0），（）， 所以M 、N 的直角坐标分别为：M （2，0），N （0，），P 为线段MN 的中点（1，），直线OP 的平面直角坐标方程y=； （Ⅱ）圆C 的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x ﹣2）2+（y+）2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣），半径为2，直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，0），（）， 方程为y=﹣（x ﹣2）=﹣（x ﹣2），即x+3y ﹣2=0． 圆心到直线的距离为：==＜2，所以，直线l 与圆C 相交．点评：本题考查圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．。