20-21学年新疆昌吉州昌吉市教育共同体高二上学期期末数学复习卷 (含答案解析)

20-21学年新疆昌吉州昌吉市教育共同体高二上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设x∈R，则“x>1”是“x2>1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.命题“∃x0∈R，2x0−3>1”的否定是()A. ∃x0∈R，2x0−3≤1B. ∀x∈R，2x−3>1C. ∀x∈R，2x−3≤1D. ∃x0∈R，2x0−3>13.抛物线x2=4y的准线方程是()A. x=1B. x=−1C. y=1D. y=−14.已知椭圆x216+y2b2=1与双曲线y24−x2b=−1有相同的焦点，则实数b=()A. 1B. 3C. 5D. 75.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的离心率等于√33b，则该双曲线的焦距为()A. 2√5B. 2√6C. 6D. 86.已知F1，F2是双曲线x2−y2=1的焦点，以F1F2为直径的圆与一条渐近线交于P，Q两点，则△F1PQ的面积为()A. √22B. 1C. √2D. 27.设f’(x)是函数f(x)的导函数，y=f’(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是()A. B. C. D.8. 已知曲线f(x)=x 2−ax +e x 在x =0处的切线l 过点(3,−a)，其中a ∈R ，则直线l 方程为( )A. y =−2x +1B. y =−x +1C. y =x +1D. y =2x +19. 函数f(x)=x 3−3x 2在区间[−2,4]上的最大值为( )A. −4B. 0C. 16D. 2010. 曲线y =xlnx +2x 3在点P(1,2)处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是A. 2514B. 12C. 2D. 72 11. 已知函数f(x)=sinx +2xf′(π3)，则f′(π3)=( )A. 12B. 0C. −12D. √32 12. 直线x +4y +m =0交椭圆x 216+y 2=1于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为l ，则，m = A. −2 B. −1 C. 1 D. 2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. “a =0”是“函数f(x)=x 3+ax 2(x ∈R)为奇函数”的______条件．14. F 1，F 2分别是椭圆x 24+y 23=1的左右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A 、B 两点，则△ABF 2的周长是______ ．15. 以y =±x 为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______．16. 函数f (x )=e x cosx 在点(0,f (0))处的切线方程为________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知抛物线E ：x 2=2py(p >0)，直线y =kx +2与E 交于A ，B 两点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，其中O 为原点．(1)求抛物线E 的方程；(2)当 k =1时，求弦长|AB|18.已知p：∀x∈R，x2+2>a；q：∃x∈R，x2−4x+a≤0．(1)若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围；(2)若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，点(√2,√33)在椭圆C 上，点B 是椭圆C 的下端点.直线l:y=kx+32与椭圆C 交于点M, N．(1)求椭圆方程；(2)若|BM|=|BN|，求k 的值．20. 设双曲线C 经过点(1,3√52)，且渐近线的方程为y =±32x ， 求(1)双曲线C 的方程；(2)双曲线C 的离心率及顶点坐标．21. 求下列函数的导函数．(1)f(x)=2lnx(2)f(x)=e x x ．22. 设函数f(x)=lnx −x 2+x ．(I)求f(x)的单调区间．(II)求f(x)在区间[12,e]上的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由x2>1得x>1或x<−1，则“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件，故选：A．求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．2.答案：C解析：解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题“∃x0∈R，2x0−3>1”的否定是：∀x∈R，2x−3≤1．故选：C．直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题，写出结果即可．本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定关系，是基础题．3.答案：D解析：本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置，属于基础题．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴正半轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，所以焦点在y轴正半轴上；且2p=4，即p=2，=1，所以：p2∴准线方程y=−1，故选：D．4.答案：B解析：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，考查了椭圆双曲线的标准方程，属于基础题.在求曲线方程的问题中，巧识方程，解题时要充分注意，先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得b，答案可得．解：椭圆x216+y2b=1得c1=√16−b2，∴焦点坐标为2,0)，双曲线：y24−x2b=−1半焦距c2=√b+4，∴c1=√16−b2=c2=√b+4，解得b=3，故选B．5.答案：D解析：解：设双曲线x24−y2b2=1(b>0)的焦距为2c，由已知得，a=2；又离心率e=c2=√33b，且c2=4+b2，解得c=4；所以该双曲线的焦距为2c=8．故选：D．设双曲线x24−y2b2=1(b>0)的焦距为2c，根据双曲线的几何性质求出c的值即可得焦距．本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题，是基础题目．6.答案：C解析：解：F1，F2是双曲线x2−y2=1的焦点，F1(−√2,0)，以F1F2为直径的圆与一条渐近线交于P，Q两点，|PQ|=2c=2√2，左焦点到渐近线x=y的距离为：d=√2√2=1，所以则△F1PQ的面积为：12×2√2×1=√2．故选：C．求出双曲线的渐近线方程，求出焦距，左焦点到渐近线的距离，然后求解三角形的面积．本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．7.答案：C解析：本题考查导数与单调性的关系及函数图象，由导函数大于零，则原函数为增函数，导函数小于零，则原函数为减函数，进行解答即可．解：∵由y=f′(x)的图象易得当x<0或x>2时，f′(x)>0，∴函数y=f(x)在区间(−∞,0)，(2,+∞)上分别单调递增，∵当0<x<2时，f′(x)<0，∴函数y=f(x)在区间(0,2)上单调递减，故选C．8.答案：B解析：本题考查导数切线过点问题，是基础题．对原函数求导，已知x=0处的切线l过点(3,−a)，可得在x=0时导函数是直线l的斜率，结合直线过点(3,−a)，即可列方程求解，可得直线方程．解：∵f′(x)=2x−a+e x，∴f′(0)=1−a，∵f(0)=1，曲线y=f(x)在x=0处的切线l过点(3,−a)，=1−a，∴−a−13−0得a=2，所以切线斜率为−1，过点(3,−2)可求得直线l方程为y+2=−(x−3)，即y=−x+1．故选B．9.答案：C解析：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，属于基础题．利用导数的正负，可得f(x)=x3−3x2在区间[−2,4]上的单调性，即可求出最大值．解：f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，令f′(x)=0，得x=0或2．x∈(−2,0)时，f′(x)>0，x∈(0,2)时，f′(x)<0，x∈(2,4)时，f′(x)>0．故函数在(−2,0)，(2,4)上单调递增，在(0,2)上单调递减，f(0)=0，f(4)=16，∴函数f(x)=x3−3x2在区间[−2,4]上的最大值为16．故选C．10.答案：A解析：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义，三角形面积公式，属于基础题，考查运算求解能力．先利用导数求出曲线y=xln x+2x3在点P(1,2)处的切线l的方程，再求l与两坐标轴的交点坐标，利用直角三角形的面积公式可得．解：∵曲线y=xln x+2x3，，则k=y′|x=1=7，∴l的方程为y=7x−5，令x=0，y=−5，令y=0，x=57，∴切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是SΔ=12×5×57=2514．故选A．11.答案：C解析：本题主要考查导数运算，属基础题．先对函数f(x)进行求导，再将x=π3代入即可．解：∵f(x)=sinx+2xf′(π3)∴f′(x)=cosx+2f′(π3)，∴f′(π3)=12+2f′(π3)⇒f′(π3)=−12．故选C．12.答案：A解析：本题考查直线的一般方程以及直线与圆锥曲线的关系求法．通过运用设而不求韦达定理方法，以及向量垂直关系的利用求解．考查对知识的综合运用，属于中档题．解：将x+4y+m=0，代入x216+y2=1，消去y整理得2x2+2mx+m2−16=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−2m2=−m，x1+x22=−m2=1,∴m=−2.故选A．13.答案：充要解析：本题考查了函数的奇偶性的判断，充分必要条件的判断，属于容易题．解：当a=0时，f(x)=x3，有f(−x)=−f(x)，即f(x)是奇函数，反之，若f(x)是奇函数，则f(−x)+f(x)=0，即(−x)3+a(−x)2+x3+ax2=0，所以，ax2=0恒成立，得a=0．综上所述，“a=0”是“函数f(x)=x3+ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．故答案为：充要．14.答案：8解析：解：椭圆x24+y23=1的a=2，由椭圆的定义可得，△AF2B的周长为c=|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF2|+|AF1|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=8．故答案为：8．求得椭圆的a=2，再由椭圆的定义可得△AF2B的周长为c=4a=8．本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．15.答案：x24−y24=1解析：根据题意设双曲线方程为x2−y2=λ(λ≠0)，代入题中的点的坐标，即可得到λ=4，将方程化成标准形式，即可得到该双曲线的方程．本题给出双曲线以y=±x为渐近线且经过点(2,0)，求双曲线的标准方程．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．解：∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2−y2=λ(λ≠0)，∵点(2,0)是双曲线上的点，∴22−02=λ，可得λ=4，由此可得双曲线方程为x2−y2=4，化成标准形式得x24−y24=1．故答案为x24−y24=1．16.答案：y=x+1解析：本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键．求出f(x)的导数，切线的斜率和切点，由斜截式方程，即可得到切线的方程．解：函数f(x)=e x cosx 的导数为f′(x)=e x (cosx −sinx)，函数f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为f′(0)=e 0(cos0−sin0)=1，f(0)=1，则函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =x +1．故答案为y =x +1．17.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 2=2py y =kx +2，整理得x 2−2pkx −4p =0， 其中△=4p 2k 2+16p >0，则x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=−4p ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+x 122p ⋅x 222p =−4p +4，由已知，−4p +4=2，解得p =12，∴抛物线E 的方程为x 2=y ；(2)由(1)可知：x 1+x 2=1，x 1x 2=−2，则丨AB 丨=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=3√2，弦长|AB|=3√2．解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的标准方程，韦达定理，弦长公式及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．(1)将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得p ，求得抛物线方程；(2)由(1)可知，利用弦长公式即可求得弦长|AB|．18.答案：解：当命题p 为真时，x 2+2>a 恒成立，可得a <2.当命题q 为真时，△=42−4a ≥0，可得a ≤4，(1)若“p 且q ”为真命题，则a <2且a ≤4，则a <2.即若“p 且q ”为真命题，实数a 的取值范围是(−∞,2)；(2)若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，即则“p 真q 假”或“p 假q 真”，实数a 的取值范围是[2,4]．解析：本题主要考查复合命题的真假的应用．(1)p 且q 形式命题确定字母的取值范围．(2)p 或q ，p 且q 复合命题的综合应用．19.答案：解：(1)由题意，得{ c a =√63a 2=b 2+c 22a 2+13b 2=1，解得a 2=3, b 2=1, c 2=2， ∴椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，B(0,−1)，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，MN 中点为P (x 0,y 0)，由{x 23+y 2=1y =kx +32，消去y 得： (1+3k 2)x 2+9kx +154=0，由Δ=(9k )2−4(1+3k 2)·154>0，得k 2>512， 由韦达定理得x 1+x 2=−9k 1+3k 2，∴x 0=−9k 2(1+3k 2)，而y 0=kx 0+32=−9k 22(1+3k 2)+32=32(1+3k 2)，∵|BN |=|BM |，∴BP ⊥MN ，k BP=y 0+1x 0=32(1+3k 2)+1−9k 2(1+3k 2)=5+6k 2−9k =−1k ∴k 2=23>512，∴k =±√63．解析：本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系．(1)由题意得出{ca =√63a2=b2+c22 a2+3b2=1解方程组即可求出结果；(2)由|BN|=|BM|，得出BP⊥MN，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理即可求出结果．20.答案：解：(1)由双曲线的渐近线的方程为y=±32x，可设双曲线的方程为y2−94x2=m(m≠0)，双曲线C经过点(1,3√52)，代入可得454−94=m，解得m=9，则双曲线的方程为y29−x24=1；(2)由双曲线的方程y29−x24=1，可得a=3，b=2，c=√a2+b2=√13，则离心率e=ca =√133，顶点坐标为(0,±3)．解析：(1)由渐近线方程可设双曲线的方程为y2−94x2=m(m≠0)，代入点(1,3√52)，解得m，即可得到双曲线的方程；(2)求出双曲线的a，b，c，由离心率公式e=ca，可得离心率，以及顶点坐标．本题考查双曲线的方程与渐近线方程的关系，注意运用待定系数法，考查双曲线的性质，主要是离心率和顶点坐标，考查运算能力，属于基础题．21.答案：(1)解：f′(x)=2x．(2)解：f′(x)=(e x)′x−e x(x)′x2=e x x−e xx2．解析：本题考查了导数的运算法则，属于基础题．根据导数的基本公式和导数的运算法则计算即可．22.答案：解：(I)因为f(x)=lnx−x2+x其中x>0，所以f′(x)=1x −2x+1=(1−x)(2x+1)x，令f′(x)<0，解得：x>1，令f′(x)>0，解得：0<x<1，所以f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1,+∞)．(II)由(I)可知f(x)在[12,1]单调递增，在[1,e]上单调递减，∴f(x)max=f(1)=0．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，令导函数分别大于0和小于0，解出x的取值范围，即得函数的单调区间；(Ⅱ)求出函数的单调区间，得到函数的最大值和最小值即可．。