基本不等式几何证明
一个代数不等式的几何证法
一个代数不等式的几何证法不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。
步骤/方法比较法比较法是证明不等式的最基本方法，具体有作差比较和作商比较两种。
基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。
当求证的不等式两端是分项式(或分式)时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)基准1未知a+b0，澄清：a3+b3a2b+ab2分析：由题目观察知用作差比较，然后提取公因式，结合a+b0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。
∵(a3+b3)?(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)证明： =(a-b)2(a+b)又∵(a-b)20(a-b)2(a+b)0即a3+b3a2b+ab2例2 设a、br+，且ab，求证：aabbabba分析：由澄清的不等式所述，a、b具备轮休对称性，因此可以在设a0的前提下用做商比较法，作商后同1比较大小，从而达至证明目的，步骤就是：10作商20商形整理30推论为与1的大小证明：由a、b的对称性，不妨解a0则aabbabba=aa-b?bb-a=(ab)a-b∵a?b?0，ab?1，a-b?0(ab)a-b?(ab)0=1即aabbabba1，又abba0aabbabba练习1 已知a、br+，nn，求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)基本不等式法利用基本不等式及其变式证明不等式就是常用的方法，常用的基本不等式及变形存有：(1)若a、br，则a2+b22ab(当且仅当a=b时，取等号)(2)若a、br+，则a+b 2ab (当且仅当a=b时，挑等号)(3)若a、b同号，则 ba+ab2(当且仅当a=b时，取等号)基准3 若a、br， |a|1，|b|1则a1-b2+b1-a21分析：通过观察可直接套用： xyx2+y22证明：∵a1-b2b1-a2a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1b1-a2+a1-b21，当且仅当a1+b2=1时，等号成立练2：若 a?b?0，证明a+1(a-b)b3综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。
基本不等式几何证明方法
基本不等式几何证明方法宝子，今天咱来唠唠基本不等式的几何证明方法，可有趣啦。
咱先说说基本不等式是啥哈，就是对于正实数a、b，有(a + b)/(2) ≥ √(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
那它的几何证明可形象了呢。
想象一个直角三角形，设直角边为a和b。
我们以a + b为边长构造一个正方形。
这个正方形的面积就是(a + b)^2。
然后呢，我们把这个正方形进行分割。
在这个正方形里，有四个直角三角形，每个直角三角形的直角边就是a和b。
那这四个直角三角形的面积总和就是4×(1)/(2)ab = 2ab。
中间还剩下一个小正方形，这个小正方形的边长就是a - b（假设a>b哈），它的面积就是(a - b)^2。
所以整个大正方形的面积(a + b)^2就等于四个直角三角形面积加上中间小正方形面积，也就是(a + b)^2=4×(1)/(2)ab+(a - b)^2。
化简一下就得到(a + b)^2≥4ab，两边同时除以4，就有((a + b)^2)/(4)≥ ab，再开个方，就得到(a + b)/(2) ≥ √(ab)啦。
你看，当中间小正方形面积为0的时候，也就是a = b的时候，这个等号就成立了呢。
就好像这个正方形被分割得特别规整的时候。
还有一种几何证明也很有意思哦。
我们画一个半圆，直径是a + b。
然后在直径上取一点，把直径分成a和b两段。
从这点作一条垂直于直径的弦。
根据圆的性质，这条弦长的一半就是√(ab)。
而半圆的半径就是(a + b)/(2)。
因为弦长的一半肯定小于等于半径呀，所以又一次证明了(a + b)/(2) ≥ √(ab)。
当这条弦刚好是直径的时候，也就是a = b的时候，等号就成立啦。
宝子，这么看基本不等式的几何证明是不是超级好理解，就像看一幅画一样，一下子就明白这个不等式为啥是成立的啦。
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式
基本不等式一、基础知识☐基本不等式：在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式．☐平均值不等式：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a 、b ，有2a b ab ，且等号当且仅当a b 时成立.证明：对于正数a 、b ，要证明定理所述之平均值不等式，只要证明2a bab ，即20a b ab.由22a b aba b.上式显然成立，且只有当ab 时，原不等式两边才相等.☐常用不等式：对于任意的正数a 、b ，有22a bab ，且等号当且仅当a b 时成立.☐三角不等式：对于任意的实数a 、b ，有a b a b ，且等号当且仅当0ab 时成立.证明：为证明a ba b ，只需证明22a ba b，即222222aab b a ab b ，也即22ab ab ，这是显然的，且等号当且仅当a 、b 同号，即0ab时成立.二、拓展知识☐基本不等式：如果a ，b ，c R ，那么3333a b c abc （当且仅当a b c 时取“”）证明：33333223333a b c abca bc a b ab abc223a b ca ba b c c ab a b c22223a b c a ab b ac bc c ab 222a b c a b c ab bc ac 22212a bc a ba cbca ，b ，cR ，222102a b c a b a cb c从而3333ab c abc☐推论：如果a ，b ，c R ，那么33a b c abc （当且仅当a b c 时取“”）☐基本不等式：1212nn a a a a a a n，*n N ，ia R ，1in .证明可用数学归纳法，二项式定理证明，这里证明省略； ☐柯西不等式：222222211221212n nn n a b a b a b a a a b b b,1,2,,i i a b R i n ，等号当且仅当120na a a 或i ib ka 时成立（k 为常数，1,2,,i n ）证明：构造二次函数2221122n nf xa xb a x b a x b2222222121122122n n n n a a a xa b a b a b xb b b222120n aa a又0f x 恒成立222222211221212440n nn n a b a b a b a a a b b b即222222211221212n nn n a b a b a b a a a b b b当且仅当0i i a x b x（1,2,,i n ）即1212nna a ab bb 时等号成立. ☑一个重要的不等式链：2112a b a b+≤≤≤+． ☑函数()()0,0bf x ax a b x =+>>图象及性质 （1）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象大致如下图（xx x f 1)(+=）所示：（2）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：()2,ab,⎡-∞-+∞⎣；②单调递增区间：,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调递减区间：0,,0⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎪⎝⎣⎭．三、最值常见类型注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”； （2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 类型一：积定和最小；重点：利用好“一正，二定，三相等”，凑积为定值； 例1、已知1->x ，求221xx 的最小值【解析】求和的最小值，去找积的定值，这里面发现2x 与21x 的积没有关系，但是能够注意到题目中有1->x ，从而01>+x ，且可以将2x 出来1x 让分母抵消，故有222221222122111xx x x x x ，当且仅当2211x x 即0x 时取等号；注意：在使用积定和最小时，第一要注意两个式子是正还是负（一正）；第二要注意两个式子乘起来是不是定值，如果是定值，结束，如果不是定值要注意进行变形，凑成乘起来是定值的式子（二定）；第三是要注意进行验证，是否可以取等（三取等）；注意：三取等一定要关注，一个是为了验证等号，第二个是因为有的不等式是会进行多次应用基本不等式（多次放缩），如果多次应用中等号不一致，是不可以进行取等的； 例2、已知0xy ，1xy ，求yx y x -+22的最小值及相应的y x ,的值。
基本不等式
基本不等式基本不等式是数学中一个重要的概念。
其中，重要不等式指的是a²＋b²≥2ab，当且仅当a=b时等号成立。
而基本不等式则是指a＋b≥2√(ab)，当且仅当a=b时等号成立。
此外，还有一条基本不等式是任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
在利用基本不等式求函数的最大值、最小值时，需要注意函数式中各项必须都是正数，含变数的各项的积或者必须是常数，等号成立条件必须存在。
举例来说，如果0<a<b且a＋b＝1，则a²＋b²＞2ab，a＋b≥2√(ab)，2ab＜2(1/2-a)²，a²＋b²＞(1/2-a)²＋(1/2-b)²，因此b 最大。
又如，如果a、b、c都是正数，则(a＋b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9，即a/b+b/a+b/c+c/b+c/a+a/c≥6，证明过程中利用了基本不等式。
例3、已知$a,b,c$为不等正实数，且$abc=1$。
求证：$a+b+c<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$。
证明：根据柯西不等式，$(1+1+1)(a+b+c)\geq(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$，即$3(a+b+c)\geq(a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca})$。
因为$abc=1$，所以$2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}=2\sqrt{abc}(1/\sqrt{a}+1/\sqrt {b}+1/\sqrt{c})\leq3\sqrt[3]{abc}\cdot3=9$。
所以$3(a+b+c)\geq(a+b+c+9)$，即$2(a+b+c)\geq9$，即$a+b+c\geq\frac{9}{2}$。
又因为$a,b,c$不全相等，所以$a+b+c>\frac{9}{2}$。
不等式的证明
不等式的证明最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．知 识 梳 理1.基本不等式定理1：如果a ，b ∈R，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b 2≥a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥a ＝b ＝c 时，等号成立.2.不等式的证明方法(1)比较法①作差法(a ，b ∈R)：a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a <b ；a －b ＝0⇔a ＝b . ②作商法(a >0，b >0)：a b >1⇔a >b ；a b <1⇔a <b ；a b＝1⇔a ＝b .(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.[微点提醒]1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立.3.利用基本不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( )解析(1)作商比较法是商与1的大小比较．(3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件．(4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用．答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________.解析2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.答案M≥N3.(选修4－5P25T3改编)已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则1a ＋1b＋1c的最小值为________.解析把a＋b＋c＝1代入1a ＋1b＋1c得a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋ab＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． 答案 94.(2019·聊城模拟)下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x >1)；②|a －b |<|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2(x >1)，①正确； ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；因为ab ≠0，b a 与a b同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知，|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上①③④正确．答案 C5.(2017·全国Ⅱ卷)已知a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)24(a＋b)＝2＋3(a＋b)34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.考点一比较法证明不等式【例1】设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥ab(a＋b). 证明因为a2＋b2－ab(a＋b)＝(a2－a ab)＋(b2－b ab)＝a a(a－b)＋b b(b－a)＝(a－b)(a a－b b)＝(a 12－b12)(a32－b32).因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a 12－b12与a32－b32同号，所以(a 12－b12)(a32－b32)≥0，所以a2＋b2≥ab(a＋b).规律方法比较法证明不等式的方法与步骤1．作差比较法：作差、变形、判号、下结论．2．作商比较法：作商、变形、判断、下结论．提醒(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．【训练1】(1)(2019·锦州模拟)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.①求集合M；②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.(2)若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1b. (1)解 ①由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x |0＜x ＜1}.②由①和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b .(2)证明 a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0，所以(a －b )(ab －1)ab>0. 即a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b >0， 所以a ＋1a >b ＋1b. 考点二 综合法证明不等式【例2】 (1)已知a ，b ，c ∈R，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2；(2)已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 证明 (1)∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.又∵a ，b ，c 互不相等，∴a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.(2)因为x ，y ，z 都为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z①，同理可得yxz＋zyx≥2x②，z xy ＋xyz≥2y③，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz ＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.规律方法 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．【训练2】已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；(2)证明：a＋b＋c≤1a＋1b＋1c.证明(1)1＋a≥2a，1＋b≥2b，1＋c≥2c，相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8abc＝8.(2)1a ＋1b＋1c＝ab＋bc＋ac，ab＋bc≥2ab2c＝2b，ab＋ac≥2a2bc＝2a，bc＋ac≥2abc2＝2c，相加得a＋b＋c≤1a ＋1b＋1c.考点三分析法证明不等式【例3】已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2)若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . (1)解 由题意，知原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6，令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，则g (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－2，4，－2<x <2，2x ，x ≥2.当x ≤－2时，由－2x ≥6，得x ≤－3；当－2<x <2时，4≥6不成立，此时无解；当x ≥2时，由2x ≥6，得x ≥3.综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞).(2)证明 要证f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ， 只需证|ab －1|>|b －a |，只需证(ab －1)2>(b －a )2.而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)>0，从而原不等式成立. 规律方法 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件【训练3】 已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .证明 由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0，∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立.[思维升华]证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的根本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[易错防范]在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.基础巩固题组(建议用时：60分钟)1.设a ，b >0且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. 证明 因为(12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.2.设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ， 即ab ≤12，∴1ab≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab ＋1ab ≥4＋4＝8. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 3.(2019·大理一模)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|.(1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x .(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小.解 (1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎨⎧3－2x ，x <0，3，0≤x ≤3，2x －3，x >3.f (x )－5≥x ，即⎩⎨⎧x <0，3－2x ≥x ＋5或⎩⎨⎧0≤x ≤3，3≥x ＋5或⎩⎨⎧x >3，2x －3≥x ＋5，解得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8. 所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[8，＋∞). (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3.由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n ).且m ≥3，n ≥3，所以m －2>0，2－n <0，即(m －2)(2－n )<0，所以2(m ＋n )<mn ＋4.4.(2019·郴州质量检测)已知a ，b ，c 为正数，函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|.(1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)若f (x )的最小值为m ，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥12.(1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≤10等价于⎩⎨⎧x ≤－1，－(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧－1<x <5，(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧x ≥5，(x ＋1)＋(x －5)≤10，解得－3≤x ≤－1或－1<x <5或5≤x ≤7，∴不等式f (x )≤10的解集为{x |－3≤x ≤7}.(2)证明 ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≥|(x ＋1)－(x －5)|＝6，∴m ＝6，即a ＋b ＋c ＝6.∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，c 2＋b 2≥2cb ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋ac ＋bc )，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 2≥12.当且仅当a ＝b ＝c ＝2时等号成立.5.(2019·沈阳模拟)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋c ab ≥3(a ＋b ＋c ). 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3.而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )，即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c时等号成立)证得.所以原不等式成立. (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc ≥a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2， b ac ≤ab ＋bc2，c ab ≤bc ＋ac2，所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立. 所以原不等式成立.6.(2019·百校联盟联考)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|的最小值为M .(1)若m ，n ∈[－M ，M ]，求证：2|m ＋n |≤|4＋mn |；(2)若a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋2b ＝M ，求2a ＋1b的最小值. (1)证明 ∵f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|≥|2x －3－(2x －1)|＝2，∴M ＝2. 要证明2|m ＋n |≤|4＋mn |，只需证明4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，∵4(m ＋n )2－(4＋mn )2＝4(m 2＋2mn ＋n 2)－(16＋8mn ＋m 2n 2)＝(m 2－4)(4－n 2)， ∵m ，n ∈[－2，2]，∴m 2，n 2∈[0，4]，∴(m 2－4)(4－n 2)≤0，∴4(m ＋n )2－(4＋mn )2≤0，∴4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，可得2|m ＋n |≤|4＋mn |.(2)解 由(1)得，a ＋2b ＝2，因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以2a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2＋a b ＋4b a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2a b ·4b a ＝4， 当且仅当a ＝1，b ＝12时，等号成立. 所以2a ＋1b的最小值为4. 能力提升题组(建议用时：20分钟)7.已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求证：2a ＋b ≥98. (1)解 根据题意，若f (x )≤6，则有⎩⎨⎧x ＋1＋3－x ≤6，－1≤x <3或⎩⎨⎧x ＋1＋(x －3)≤6，x ≥3， 解得－1≤x ≤4，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}.(2)证明 函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |＝⎩⎨⎧4，－1≤x <3，2x －2，x ≥3，分析可得f (x )的最小值为4，即n ＝4， 则正数a ，b 满足8ab ＝a ＋2b ，即1b ＋2a＝8， 又a >0，b >0，∴2a ＋b ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋2b a ＋5≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝98，当且仅当a ＝b ＝38时取等号. 原不等式得证.8.(2015·全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.证明 (1)∵a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，欲证a ＋b >c ＋d ，只需证明(a ＋b )2>(c ＋d )2， 也就是证明a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd ，只需证明ab >cd ，即证ab >cd .由于ab >cd ，因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， ∴a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.。
几何法证明不等式(精选多篇)
几何法证明不等式(精选多篇)^2(a,b∈r，且a≠b)设一个正方形的边为c,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为a,另一条直角边为b,(b>a)a=b,刚好构成,若a不等于b时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(b-a)^2,经化简有(b+a)^2=4ab,所以有((a+b)/2)^2=ab,又因为(a^2+b^2)/2>=ab,所以有((a+b)/2)^2<=(a^2+b^2)/2,又因为a不等与b,所以不取等号可以在直角三角形内解决该问题=^2-(a^2+b^2)/2=/4=-(a-b)^2/4<0能不能用几何方法证明不等式，举例一下。
比如证明sinx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)做出一个单位圆，以o为顶点，x轴为角的一条边任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x那个角另一条边与圆有一个交点交点到x轴的距离就是sinx因为点到直线，垂线段长度最小，所以sinx小于等于x，当且尽当x=0时，取等已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;能给出其他方法的就给分(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)一个是算术，一个是几何。
人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n看做固定的。
我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出a1=a2=……=an再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。
证明基本不等式的两种方法
证明基本不等式的两种方法我折腾了好久证明基本不等式的方法，总算找到点门道。
咱先说一种方法，就是代数推导法。
我一开始真的是瞎摸索，就知道基本不等式是\(a + b \geq 2\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）这个式子。
我一开始就从最常规的思路去想，那肯定是要构建等式然后变形。
我就先假设\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\)，我当时为啥想到这个呢，就好像你看到两条边的和与积的关系，就想能不能通过完全平方的形式来联系起来。
这个式子展开就是\(a - 2\sqrt{ab}+b\)，这一看就和基本不等式有点联系了。
因为\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq0\)呀，这个很容易理解，一个数的平方肯定是大于等于零的嘛。
所以\(a - 2\sqrt{ab}+b\geq0\)，移项就得到\(a + b\geq 2\sqrt{ab}\)了。
当时我推导出这个的时候，那真是恍然大悟啊。
不过我也在这儿犯过错，我一开始没太注意\(a\)和\(b\)的取值范围，后来仔细一想，要是\(a\)或者\(b\)是负数的话，\(\sqrt{ab}\)就没意义了，所以这个方法的前提是\(a\gt0\)，\(b\gt0\)。
还有一种方法，我试过好多次才稳定运用的，就是几何证明法。
我想啊基本不等式肯定和几何图形有啥联系。
突然就想到利用直角三角形。
我构建了一个直角三角形，设两条直角边分别为\(a\)和\(b\)。
然后以\((a + b)\)为直径作半圆。
我把半圆的半径设为\(r\)，那直径就是\(2r = a + b\)。
然后在斜边上作一个高\(h\)。
根据三角形的面积，有两种表示方法。
一方面\(S=\frac{1}{2}ab\)。
另一方面\(S=\frac{1}{2}(a + b)h\)，而\(h=\sqrt{ab}\)（这一步是通过三角形相似得出来的，这里就有点复杂，就好比你要从一群就知道表面关系的人里挖出谁和谁更紧密的联系一样）。
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基本不等式几何证明
1. 引言
基本不等式是初中数学中的重要概念之一，它是解决不等式问题的基础。
在几何中，我们可以通过基本不等式来证明一些关于线段、角度和面积的性质。
本文将介绍基本不等式在几何证明中的应用。
2. 基本不等式回顾
在初中数学中，我们学习了以下两个基本不等式：
•对于任意实数a和b，有a + b ≥ 2√(ab)。
•对于任意实数a和b，有a² + b² ≥ 2ab。
这两个不等式在解决一元二次方程、证明三角形性质以及推导其他数学公式时起到了重要作用。
3. 线段长度的比较
基本不等式可以用来比较线段的长度。
考虑以下问题：已知直线上有三个点A、B
和C，且B位于AC之间。
如何判断AB与BC的长度关系？
我们可以使用基本不等式来解决这个问题。
设AB = a，BC = b，则根据基本不等
式a + b ≥ 2√(ab)可得：
AB + BC ≥ 2√(AB * BC)
即a + b ≥ 2√(ab)。
若a + b > 2√(ab)，则AB + BC > 2√(AB * BC)，即AB + BC > AC；
若a + b = 2√(ab)，则AB + BC = 2√(AB * BC)，即AB + BC = AC；
若a + b < 2√(ab)，则AB + BC < 2√(AB * BC)，即AB + BC < AC。
因此，通过基本不等式的比较，我们可以得出线段长度的大小关系。
4. 角度的比较
基本不等式还可以用来比较角度的大小。
考虑以下问题：已知有两条射线OA和OB，如何判断∠AOB与直角（90°）的大小关系？
我们可以使用基本不等式来解决这个问题。
设∠AOB = θ，则根据余弦定理可得：
cosθ = (OA² + OB² - AB²) / (2OA * OB)
由于直角的余弦值为0，所以有：
cos90° = (OA² + OB² - AB²) / (2OA * OB) ≤ 0
化简可得：
OA² + OB² - AB² ≤ 0
即OA² + OB² ≤ AB²。
因此，通过基本不等式的比较，我们可以得出角度与直角大小关系的结论。
5. 面积的比较
基本不等式还可以用来比较图形的面积大小。
考虑以下问题：已知有两个平行四边形，如何判断它们的面积大小关系？
我们可以使用基本不等式来解决这个问题。
设平行四边形1的底边长度为a，高为
h1；平行四边形2的底边长度为b，高为h2。
则根据面积公式可得：
面积1 = a * h1 面积2 = b * h2
要比较两个平行四边形的面积大小，我们需要比较a * h1与b * h2的大小关系。
根据基本不等式可得：
a * h1 +
b * h2 ≥ 2√(ab) * √(h1 * h2)
即a * h1 + b * h2 ≥ 2√(ab)√(h1 * h2)。
因此，通过基本不等式的比较，我们可以得出两个平行四边形面积大小关系的结论。
6. 总结
基本不等式在几何证明中具有广泛的应用。
通过比较线段长度、角度大小和图形面积，我们可以利用基本不等式来推导出一些重要的几何性质。
希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地理解基本不等式在几何证明中的作用，并能够灵活运用它们解决实际问题。
同时，也希望读者能够对几何学有更深入的认识，提升数学思维和解决问题的能力。
参考文献： - 《初中数学教材》 - 《高中数学教材》。