21)2
(
x x +． 即).2
(
)]()([21
2121x x f x f x f +≥+ 17. (1)10,
4⎛⎤ ⎥⎝⎦ (2)17
4
18．【 解析】 证明 由于不等式2
1
22)1()1(+=++<
+<
k k k k k k 对所有的正整数k 成立,把它对k 从1到n(n ≥1)求和,得到
2
1
2252321++++<
<+++n a n n
又因
2
)1(21n
n n +=
+++ 以及
2
)1()]12(531[2121225232
+=+++++<++++n n n
因此不等式()
212)1(2
+<<+n a n n n 对所有的正整数n 都成立.
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式 1．函数y＝x＋1 x(x＞0)的值域为()． A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋b ab ≤2；③x2＋ 1 x2＋1 ≥1，其中正确的个数是 ()． A．0 B．1 C．2 D．3 3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()． A.1 2B．1 C．2 D．4 4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋ 1 x－2 (x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()． A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4 5．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1 t的最小值为________．利用基本不等式求最值 【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1 x＋ 1 y的最小值为________； (2)当x＞0时，则f(x)＝ 2x x2＋1 的最大值为________． 【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋ 1 x－1 的最小值为________． (2)已知0＜x＜2 5，则y＝2x－5x 2的最大值为________． (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________． 利用基本不等式证明不等式 【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc a＋ ca b＋ ab c≥a＋b＋c.
【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋ 1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 双基自测
基本不等式试题(含答案)
1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 1 11 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若 0a b <<且 1 a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ． 22 a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设 x >0,则 133y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ． 3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,, 5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且141x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值1 16 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大 值 1 16 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111 a b c ++≥．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A ． 11 4x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则2 , 2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．2 2 a b ab a b +≤ ≤ + 22a b ab a b +≤ + Ｃ． 2 2 ab a b a b +≤≤ + Ｄ． 22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2 p q x += Ｂ．2 p q x +< Ｃ．2 p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4 sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 . 12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和 池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元. 13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 . 14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x y y x y x +-++的值恒为正，对吗？答 . 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值. 16. 已知)R ,10(log )(+∈≠>=x a a x x f a 且．若1x 、+∈R 2x , 试比较
(完整版)基本不等式练习题(带答案)
基本不等式 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111a b c + + ≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 .
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<
基本不等式训练题(含答案)
基本不等式训练题(含答案) 1．若xy＞0，则对xy＋yx说法正确的是() A．有最大值－2B．有最小值2 C．无最大值和最小值D．无法确定 答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400B．100 C．40D．20 答案：A 3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____． 答案：24 4．已知f(x)＝12x＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0时，求f(x)的最大值． 解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0. ∴12x＋4x≥212x•4x＝83. 当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83， ∴当x＞0时，f(x)的最小值为83. (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x• －4x ＝83， 当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．
∴当x＜0时，f(x)的最大值为－83. 一、选择题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A．x＋12xB．x2－1＋1x2－1 C．2x＋2－xD．x(1－x) 答案：C 2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是() A．32－3B．－3 C．62D．62－3 解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200B．100 C．50D．20 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立． 4．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2ba•ab＝2； ②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgx•lgy； ③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a•a＝4； ④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－(－xy)＋(－yx)]≤－2 －xy －yx ＝－2. 其中正确的推导过程为()
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式1 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2()3a b c ++≥ C ． 11123a b c ++≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ． 3log 4log 3x y x =+ 11. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值. 12. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111 (1)(1)(1)8.a b c ---≥ 13. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1 ab ab + 的最小值.
基本不等式练习(含答案)
§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2 基本不等式的常用推论 1. ①，、)(222 22 2R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222 +∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(333 33333+∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤≤2 22b a +。 2.(1)当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x ≤－2. (2)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b ≤－2 例1 已知 ，求函数y=x （1-3x ）的最大值 例3 求22515(1)1x x y x x ++=>-在最小值 例4 已知正数x 、y 满足611x y +=，求32x y +的最小值 130x 13,,3 x y x x x 例2 若函数当为何值时，函数有最大值，并求其最大值。>=+-
一、选择题 1．已知正数01)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 答案 B 3．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在 答案 B 解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42(x ＝32，y ＝3 4时取等号)． 4．已知x ≥5 2，则f (x )＝x 2－4x ＋5 2x －4有( ) A ．最大值5 2 B ．最小值5 4 C ．最大值1 D ．最小值1 答案 D 解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2 ＋1 2(x －2) ＝12??? ??? (x －2)＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1 x －2，即x ＝3时等号成立． 5.若14<<-x ，则222 2)(2-+-=x x x x f 有（ ） A.最小值1 B. 最大值1 C. 最小值-1 D.最大值-1 6.函数1)(+=x x x f 的最大值为（ ） A.52 B. 21 C. 22 D. 1 7．若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( ) (A)18 (B)6 (C)32 (D)432 8.若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 9.设a>0,b>0,2 21 2b a ,则_______________
基本不等式练习题及答案
基本不等式练习题及答案 1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？ 正确答案：B．(0，＋∞) 解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。 2.下列不等式中正确的个数是多少？ 正确答案：C．1 解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。 3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？ 正确答案：B．1
解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2. 4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？ 正确答案：C．3 解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以 f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4. 5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？ 正确答案：1 解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.
某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12 平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地 面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的 费用。求侧面的长度为多少时，总造价最低。 去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为 100元，固定成本为80元。今年起，工厂投入100万元科技 成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系 是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年 利润f(n)。 设a>b>0，则a^2+ab+b^2/a-b的最小值是多少？ 解析：去掉格式错误和明显有问题的段落后，文章内容如上。 例2】证明：由题意可得，a＞0，b＞0，c＞0，因此有： a+b≥2√ab b+c≥2√bc
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式 1 1 .函数y=x+ -(x>0)的值域为(). X A. 2] U [2,+x) B. (0,+x) C. [2 ,+x) D . (2,+x) a + b i 2. 下列不等式：①a2+ 1>2a；②- -<2；③/ +三 > 1,其中正确的个数是 p ab x 十3 (). A. 0 B . 1 C. 2 D . 3 3. 若a>0, b>0,且a + 2b — 2 = 0,则ab的最大值为(). 1 B. 1 C. 2 D. 4 1 4. (2011重庆)若函数f(x) = x+ (x>2)在x= a处取最小值，则a=( ). X —2 A. 1+ 2 B. 1+ 3 C. 3 D. 4 t2—4t+ 1 5. 已知t>0,则函数y= t 的最小值为 利用基本不等式求最值 1 1 【例1】?(1)已知x>0, y>0,且2x+y= 1,则x + y的最小值为 X y 2x 2 (2)已知0v x v 5,贝U y= 2x—5x2的最大值为________ . ⑶若x, y€ (0,+x)且2x+ 8y—xy= 0,贝U x+ y的最小值为_________ . 利用基本不等式证明不等式 【例2] ?已知a>0, b>0, c>0,求证：bC+ 学+ ab>a+ b+ c. a b c 3 1 （2010四川）设a>b>0,贝U a2+ + 的最小值是（）. ab a a—b C. 3
⑵当x>0时，贝U f(x)= x2+ 1的最大值为 1 【训练1】(1)已知x> 1,则f(x) = x+一的最小值为_____________ x—I
基本不等式习题及答案
基本不等式习题及答案 基本不等式习题及答案 不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的大小关系。在初等数学中，我们学习了许多基本的不等式，它们在解决实际问题和推导其他数学知识 时起着重要的作用。在本文中，我们将探讨一些基本的不等式习题，并给出相 应的答案。 1. 习题一：证明对于任意的正实数a和b，有(a+b)² ≥ 4ab。 解答：我们可以使用平方差公式来证明这个不等式。根据平方差公式，我们有(a+b)² = a² + 2ab + b²。由于a和b都是正实数，所以a²和b²都大于等于0。 因此，我们只需要证明2ab大于等于0即可。 由于a和b都是正实数，所以它们的乘积ab也是正实数。根据乘法的性质， 正实数的乘积仍然是正实数，因此2ab大于等于0。所以，我们证明了(a+b)² ≥ 4ab。 2. 习题二：证明对于任意的正实数a，b和c，有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。 解答：我们可以使用AM-GM不等式来证明这个不等式。根据AM-GM不等式，对于任意的正实数x和y，有(x+y)/2 ≥ √(xy)。 将x替换为a+b，y替换为b+c，我们有(a+b+b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。进一 步简化得到(a+2b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。 同样地，将x替换为b+c，y替换为c+a，我们有(b+c+c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。进一步简化得到(2b+2c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。 将x替换为c+a，y替换为a+b，我们有(c+a+a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。进一 步简化得到(2c+2a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。
专题07 基本不等式学霸必刷100题(解析版)
基本不等式学霸笔刷100题 1．在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若 AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ） A ． 212 + B ． 312 + C ． 32 D ． 52 【答案】B 【解析】 如下图所示： 3BP PC =，即() 3AP AB AC AP -=-，13 44 AP AB AC ∴= +， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1 AB AM λ ∴= ，1 AC AN μ = ， 1344AP AM AN λμ∴= +，M 、P 、N 三点共线，则13 144λμ +=. ()13333 1211444444λμλμλμλμλμμλ μλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅=+ ⎪ ⎝⎭， 当且仅当3μλ= 时，等号成立，因此，λμ+3 1+，故选B.
2．已知,,2a b R a b ∈+=，则 22 11 11 a b +++的最大值为（ ） A ．1 B ． 65 C ． 1 2 D ．2 【答案】C 【解析】 因为,,2a b R a b ∈+=，则()2222 222112 111 +++=+++++a b a b ab a b ()()()()()()()2 22222 22421626221251414 +-+----====++-+-+-+-+a b ab ab ab ab ab a b ab ab ab ab ab ， 令1=-t ab ，则 () () 2 242142414 ---= +-+ab t t ab ，再令42-=t m ，则42 -=m t ， 所以()22 24244 3248324844 -===+-+-+-+t m m t m m m m m ， 由基本不等式可得32+ ≥m m ，当且仅当m = ，2=-t 4328≤= +-m m ，所以221111a b +++ 的最大值为12 . 故选：C 3．正数a ,b 满足9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A ．[)3,+∞ B ．(]3,-∞ C ．(],6-∞ D ．[)6,+∞ 【答案】A 【解析】 9a b ab +=,19 1a b ∴+=，且a ,b 为正数， 199()()1010216b a b a b a b a b a b a ∴+=++=+++=， 当且仅当 9b a a b =，即4,12a b ==时，()16min a b +=，
最新基本不等式试题(含答案)
1.若a R ，下列不等式恒成立的是 D.— 1 4. 设x,y • R ,且x • y =5,则3x 3y 的最小值是（ ) A. 10 B. 63 C. 4.6 D. 18 3 5. 若x , y 是正数，且 1 - =1,则 xy 有 x y ( ) A .最大值16 B.最小值丄 16 C.最小值16 D . 最大 值丄 16 6. 若 a , b , C €R , 且 ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 ( ) A. a 2 b 2 C 2 _2 B 2 .(a ■ b ■ C ) - 3 C. 1 丄丄_2“3 D . a b c_、. 3 a b c ( A ) c . 2ab 1 2 B . a 2 b 2 D. a 3. 设 x >0, 则 y =3 —3x —丄 的 x 最 大 值 为 ( ) A .3 B . 3 一 3 -2 c . 3- 2. 3 2. 若 0 ::: a ::: b 且 a • b = 1 , 则下列四个数 中最大的是 A. a 2 1 a C. a 2 ■ 9 6a D . lg(a 2 1) . lg | 2a | 7. 若 x >0, y >0,且 x +y 空4,则下列不等式中恒成立的是
A .1 1 B . x y 4 丄丄1 x y C .,刃一2 D 1 1 xy 8. a,b是正数，则a b, ,0b, 2ab三个数的大小顺序是() 2 a b a b 2ab A. ab 基本不等式练习题(含答案)
基本不等式 1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋3C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 利用基本不等式求最值 【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 利用基本不等式证明不等式 【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .
【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】(2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
基本不等式(含答案)
3.4 基本不等式 一、选择题（共10小题；共50分） 1. 设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=( ) A. 3 B. 3 2C. 2 3 D. 1 3 2. 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( ) A. v1+v2+v3 3B. 1 v1 +1 v2 +1 v3 3 C. √v1v2v3 3 D. 3 1 v1 +1 v2 +1 v3 3. 若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是( ) A. 18 B. 6 C. 2√3 D. 2√3 4 4. 若a,b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值是( ) A. 18 B. 6 C. 2√3 D. 2√3 4 5. 设00，a+b=5，则√a+1+√b+3的最大值为． 12. 将一根长10米的铁丝围成一个矩形，当矩形的宽为米时，所围成矩形的面积最大．
基本不等式全题型
题型1 根本不等式正用a ＋b ≥2ab 例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1 x (x ∈R )值域为________； (2)函数f (x )＝x 2 ＋ 1 x 2＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2 ＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2x 2＋1· 1 x 2＋1 －1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 4．(2021·XX 期中)假设x >1，那么x ＋4 x －1 的最小值为________． 解析：x ＋ 4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1 ，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)x ＜0，那么f (x )＝2＋4 x ＋x 的最大值为________． (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ 4 －x ＋ －x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－ 2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢ ⎡⎦ ⎥⎤ 4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2. 例：当x ＞0时，那么f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝ 2x x 2＋1＝2x ＋ 1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时取等号． 3．函数y ＝x 2＋2 x －1 (x >1)的最小值是________． 解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2 －2x ＋1＋2x －1＋3 x －1 ＝ x －12 ＋2x －1＋3 x －1 ＝x －1 ＋ 3 x －1 ＋2≥2 x －1 3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1 ，即x ＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝ 1 a －2x －x 的最小值．
