python 牛顿插值法
基于python仿真的插值方法分析与实验
• 31•本文主要针对基于python 仿真中拉格朗日（Lagrange ）插值法以及牛顿（Newton ）插值法进行内插的分析与实验，对这两种常见的插值方法进行比较，分析其适用性。
随着科学技术的不断发展，在各种复杂工作的研究中仿真是一种不可或缺的手段。
然而在仿真过程中，可能会出现数据丢失以及仿真结果不精确的问题。
这一问题可通过使用插值方法对仿真结果行优化处理来解决。
本文对两种插值算法进行分析实验，得出结论。
1 插值法插值法是通过所有已知的点来构建一个插值函数f(x)，对于未知的点x i 可以利用插值函数f(x)来算出函数的值f(x i )，用(x i ，f(x i ))来近似的替代。
对于在平面上相异的n+1个点，我们必定可以构建一个n 次多项式。
不同的插值法所要做的就是构造这个多项式函数，只是求得多项式的方式有些不同。
1.1 拉格朗日插值法已知函数有n+1个互不相同的已知点，其中自变量用x j 表示，x j对应的函数值用y j 表示。
拉格朗日插值多项式为：(1)其中插值基函数表达式为：(2)1.2 牛顿插值法牛顿插值法引入了差商的概念。
已知函数f(x)在n+1个互不相同点处的函数取值为f(x i )。
差商计算表如表1所示，高阶差商与低阶差商存在迭代关系，三角形指向为迭代运算方向。
为f (x )在点x 0，x 1处的一阶差商；为f (x )在点x 0，x 1，x 2处的二阶差商；为f (x )在点x 0，x 1，x 2，x 3处的三阶差商；为f (x )在点x 0，x 1...x n 处的n 阶差商。
牛顿插值法的基本形式为：(3)2 基于python的仿真方法设计拉格朗日插值法与牛顿插值法的设计流程分别如图1、图2所示。
3 仿真结果与分析分别对拉格朗日插值法和牛顿插值法进行实验，得到如图3、基于python仿真的插值方法分析与实验沈阳理工大学 徐佳文表1 差商表表2 插值表插值点0.184.328.0313.6818.70拉格朗日插值 1.58037276419199829.4435058074535786.574969814320623019.5625410236768415.852004446355743拉格朗日插值总时间（s）0.5000066757202148牛顿插值 1.58037276419199809.443505807453576 6.574969814320624619.56254102367683615.852004446355721牛顿插值总时间（s）0.21875405311584473图4所示的结果。
python插值法
python插值法给定一些数据，生成函数的方式有两种：插值，回归。
插值而得到的函数通过数据点，回归得到的函数不一定通过数据点。
下面给出拉格朗日插值，牛顿插值和Hermite插值的程序，具体原理可参考课本，不再赘述。
拉格朗日插值法线性插值一次精度需要2个节点二次插值二次精度需要3个节点n次插值 n次精度需要n+1个节点拉格朗日插值代码段（根据传入数据自动判断次数）：# 返回多项式defp(x,a):"""p(x,a)是x的函数，a是各幂次的系数"""s=0foriinrange(len(a)):s+=a[i]*x**ireturns# n 次拉格朗日插值deflagrange_interpolate(x_list,y_list,x):"""x_list 待插值的x元素列表y_list 待插值的y元素列表插值以后整个lagrange_interpolate是x的函数"""iflen(x_list)!=len(y_list):raiseValueError("list x and list y is not of equal length!")# 系数矩阵A=[]foriinrange(len(x_list)):A.append([])forjinrange(l en(x_list)):A[i].append(pow(x_list[i],j))b=[]foriinrange(len(x_list)):b.append([y_list[i]])# 求得各阶次的系数a=lu_solve(A,b)# 用LU分解法解线性方程组，可以使用numpy的类似函数a=transpose(a)[0]# change col vec a into 1 dimensionval=p(x,a)print(x,val)returnval其中lu_solve(A,b)是自己写的轮子，可以用numpy的numpy.linalg.sovle(A,b)来代替到后面会有一期讲矩阵方程直接法，会有讲到如何写lu_solve()看一看插值的效果如何importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplt# 待插值的元素值x_points=[0,1,2,3,4,5]y_points=[1,5,4,8,7,12]# 拉格朗日插值x=np.linspace(0,5)y=list(map(lambdat:lagrange_interpol ate(x_points,y_points,t),x))# 画图plt.scatter(x_points,y_points,color="orange")plt.plot( x,y)plt.legend(["lagrange interpolation","scattered points"])plt.show()拉格朗日插值可以看到，插值之后的函数可以较好地反映原数据点的情况。
用Python实现插值算法
⽤Python实现插值算法数模⽐赛中，常常需要对数据进⾏处理和分析，但有时候数据不多，就需要⼀些⽅法“模拟产⽣”⼀些靠谱的值来满⾜需求，这就是插值的作⽤。
本⽂不再具体介绍每个插值算法的内在原理，将直接通过调包实现。
下⾯，先上三件套，看⼀下原始数据的⼤致情况：import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltdata = pd.read_excel('data.xlsx')拉格朗⽇插值算法原始数据我们采⽤sin(x)的形式，看⼀下原始数据点：import scipyfrom scipy.interpolate import lagrangex = np.linspace(0,10,6) #0~10等差插⼊11个数，需要预测的值y = np.sin(x)x_new = np.linspace(0,10,200) #⽤于绘制图形y_new = np.sin(x_new)plt.plot(x,y,'ro')plt.plot(x_new,y_new,'b')f1 = lagrange(x,y)plt.plot(x,y,'ro')plt.plot(x_new,y_new,'b')plt.plot(x_new,f1(x_new),'g')看⼀下拟合效果：分段线性插值f4 = scipy.interpolate.interp1d(x,y,kind='linear') plt.plot(x,y,'ro')plt.plot(x_new,y_new,'b')plt.plot(x_new,f4(x_new),'g')分段⼆次（三次）插值f5 = scipy.interpolate.interp1d(x,y,kind='quadratic') #三次就是cubic plt.plot(x,y,'ro')plt.plot(x_new,y_new,'b')plt.plot(x_new,f5(x_new),'g')⽜顿插值法：暂未找到相应的库分段三次埃尔⽶特插值f5 = scipy.interpolate.interp1d(x,y,kind='quadratic') #三次就是cubic plt.plot(x,y,'ro')plt.plot(x_new,y_new,'b')plt.plot(x_new,f5(x_new),'g')三次样条插值f3 = scipy.interpolate.CubicSpline(x,y)plt.plot(x,y,'ro')plt.plot(x_new,y_new,'b')plt.plot(x_new,f3(x_new),'g')接下来，让我们看看⼀个具体实例的⽐较：y = np.array(data)[:,1]x = np.linspace(2009,2018,10)x_new = np.array([2019,2020,2021])f2 = scipy.interpolate.PchipInterpolator(x,y)f3 = scipy.interpolate.CubicSpline(x,y)#coding:utf-8plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #⽤来正常显⽰中⽂标签plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #⽤来正常显⽰负号plt.plot(x,y,color='black',marker='o',label='样本点')plt.plot(x_new,f2(x_new),'b-',marker='x',label='分段三次埃⽶尔特')plt.plot(x_new,f3(x_new),'r-',marker='x',label='三次样条插值')plt.xticks(range(2009,2022,1)) #调整x轴间距plt.legend()plt.show()Tips：①最常⽤的就是埃尔⽶特三次插值、三次样条插值②拉格朗⽇插值虽然在训练集上表现良好，但是在测试集上着实难堪，尤其拟合⾼阶函数时，千万不要轻易⽤此预测到此这篇关于⽤Python实现插值算法的⽂章就介绍到这了,更多相关Python插值算法内容请搜索以前的⽂章或继续浏览下⾯的相关⽂章希望⼤家以后多多⽀持！。
牛顿插值法python代码
牛顿插值法python代码牛顿插值法是一种用于构造插值多项式的数值方法。
它的基本思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数，从而实现对数据的近似和预测。
牛顿插值法的原理相对简单，但应用广泛，尤其是在数值计算和数据分析领域。
牛顿插值法的核心思想是利用已知的数据点和对应的函数值，通过差商的概念构造一个多项式函数。
这个多项式函数称为牛顿插值多项式。
牛顿插值多项式的形式为：P(x) = f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0,x1,...,xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)其中，f(x0)、f[x0,x1]、f[x0,x1,x2]等表示差商，表示对应的数据点的函数值。
差商的计算可以通过递归的方式进行，具体的计算公式如下：f[xi] = f(xi)f[xi,xi+1,...,xi+m] = (f[xi+1,xi+2,...,xi+m] - f[xi,xi+1,...,xi+m-1]) / (xi+m - xi)牛顿插值法的优点是计算简单，效率高。
它适用于任意的数据点，而不仅仅是等间隔的数据点。
另外，牛顿插值法还可以通过增加数据点来改进插值结果，具有很好的灵活性。
在实际应用中，牛顿插值法常用于数据的拟合和插值。
例如，可以利用已知的数据点构造出一个牛顿插值多项式，然后利用该多项式对未知的数据进行预测。
牛顿插值法还可以用于信号处理和图像处理等领域，例如通过已知的离散数据点构造出一个插值函数，从而实现对连续信号或图像的处理和分析。
下面通过一个具体的例子来说明牛顿插值法的应用。
假设我们有一组离散的数据点，表示某个函数在不同位置的取值。
我们希望通过这些数据点构造一个多项式函数，从而对未知位置的函数值进行预测。
我们需要确定要构造的多项式的次数。
次数越高，多项式的拟合效果越好，但也会增加计算的复杂度。
在确定了次数之后，我们可以利用差商的计算公式来计算各个差商的值。
牛顿插值法介绍
牛顿插值法介绍本文将介绍牛顿插值法的基本原理、计算过程、优缺点以及在实际问题中的应用。
首先，我们将简要介绍插值法的基本概念和牛顿插值法的由来，然后详细讨论牛顿插值法的计算步骤和算法，接着分析其优缺点以及适用范围，最后通过几个实际问题的例子展示牛顿插值法的应用场景。
一、插值法基本概念在数学和计算机领域，插值是指根据已知的离散数据点构造满足这些数据点的曲线或函数的过程。
假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们想要通过这些数据点构建一个函数f(x)，使得f(xi) = yi，其中i = 1, 2, ..., n。
这样的函数就是经过插值的函数，它代表了这些数据点的趋势和变化规律。
插值法通常用于寻找这样的函数，它能够通过已知的数据点来估计函数在其他位置的值。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
在这些方法中，牛顿插值法是最为广泛使用的一种，因为它的计算效率高、精度较高，并且易于编程实现。
二、牛顿插值法的由来牛顿插值法由艾萨克·牛顿在17世纪提出，他是一位英国著名的数学家、物理学家和天文学家，在微积分、物理学和光学等领域都做出了重大贡献。
牛顿发展了牛顿插值法的理论基础和计算方法，并将其应用于数据分析和天体运动等问题中。
牛顿插值法基于牛顿插值多项式的概念，该多项式利用差商（divided differences）来表示，并具有易于计算和分析的优势。
牛顿插值多项式能够在已知的数据点上进行插值，并且还可以通过添加新的数据点来动态地更新插值结果。
因此，牛顿插值法成为了一种非常有用的数值计算工具，被广泛应用于工程、科学和金融等领域。
三、牛顿插值法的计算步骤1. 确定数据点首先，我们需要确定一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，这些数据点是我们已知的数据，我们要通过它们来构建插值函数。
拉格朗日插值与牛顿插值
拉格朗⽇插值与⽜顿插值拉格朗⽇插值与⽜顿插值这⾥使⽤python实现了拉格朗⽇插值和⽜顿插值import numpy as np# 拉格朗⽇插值class Lagrange:def __init__(self, x, y):"""这⾥x,y是长度相同的⼀维numpy数组"""# 插值基函数的系数self.coefficient = []# 基函数self.base = []for i in range(x.size):self.base.append(np.delete(x, i))self.coefficient.append(y[i] / np.prod(x[i] - self.base[i]))self.base = np.array(self.base)self.coefficient = np.array(self.coefficient)def calculate(self, x):"""这⾥的x是⼀个标量"""return np.sum(np.prod(x - self.base, axis=1) * self.coefficient)# ⽜顿插值class Newton:def __init__(self, x, y):"""这⾥x,y是长度相同的⼀维numpy数组"""# 插值节点的个数self.n = x.size# 差商表self.table = np.zeros((self.n, self.n + 1))self.table[:, 0] = xself.table[:, 1] = y# 按⾏构造差商表for i in range(1, self.n):for j in range(2, i + 2):self.table[i, j] = (self.table[i, j - 1] - self.table[i - 1, j - 1]) / (self.table[i, 0] - self.table[i - j + 1, 0])def calculate(self, x):"""这⾥x是⼀个标量"""value = 0for i in range(1, self.n):value += self.table[i, i + 1] * np.prod(x - self.table[:i, 0])# 加上f(x0)value += self.table[0, 1]return valuedef append(self, x, y):"""⽜顿插值可以插⼊更多的点以提⾼精度这⾥x,y是长度相同的⼀维numpy数组"""n = self.n + x.sizetable = np.zeros((n, n + 1))# 对原有的差商表进⾏扩⼤table[:self.n, :self.n + 1] = self.tabletable[self.n:, 0] = xtable[self.n:, 1] = y# 按⾏构造差商表for i in range(self.n, n):for j in range(2, i + 2):table[i, j] = (table[i, j - 1] - table[i - 1, j - 1]) / (table[i, 0] - table[i - j + 1, 0])self.n = nself.table = tableif __name__ == '__main__':# example# 拉格朗⽇插值lx = Lagrange(x=np.array([1, 3, 4, 7, 9], dtype=np.float64), y=np.array([0, 2, 15, 12, 2], dtype=np.float64) )print("L(2.5)=", lx.calculate(2.5))# 3个点进⾏⽜顿插值nx = Newton(x=np.array([1, 3, 4], dtype=np.float64),y=np.array([0, 2, 15], dtype=np.float64))print("N(2.5)=", nx.calculate(2.5))# ⽜顿插值新增2个点nx.append(x=np.array([7, 9], dtype=np.float64),y=np.array([12, 2], dtype=np.float64))print("N(2.5)=", nx.calculate(2.5))测试结果L(2.5)= -3.98203125N(2.5)= -1.5# 新增点后的⽜顿插值结果和拉格朗⽇插值结果相同N(2.5)= -3.98203125。
牛顿插值法——用Python进行数值计算
⽜顿插值法——⽤Python进⾏数值计算 拉格朗⽇插值法的最⼤⽑病就是每次引⼊⼀个新的插值节点，基函数都要发⽣变化，这在⼀些实际⽣产环境中是不合适的，有时候会不断的有新的测量数据加⼊插值节点集，因此，通过寻找n个插值节点构造的的插值函数与n+1个插值节点构造的插值函数之间的关系，形成了⽜顿插值法。
推演⽜顿插值法的⽅式是归纳法，也就是计算Ln（x）- Ln+1（x），并且从n=1开始不断的迭代来计算n+1时的插值函数。
⽜顿插值法的公式是： 注意：在程序中我⽤W 代替 计算⽜顿插值函数关键是要计算差商，n阶差商的表⽰⽅式如下： 关于差商我在这⾥并不讨论 计算n阶差商的公式是这样： 很明显计算n阶差商需要利⽤到两个n-1阶差商，这样在编程的时候很容易想到利⽤递归来实现计算n阶差商，不过需要注意的是递归有栈溢出的潜在危险，在计算差商的时候更是如此，每⼀层递归都会包含两个递归，递归的总次数呈满⼆叉树分布： 这意味着递归次数会急剧增加:(。
所以在具体的应⽤中还需要根据应⽤来改变思路或者优化代码。
废话少说，放码过来。
⾸先写最关键的⼀步，也就是计算n阶差商："""@brief: 计算n阶差商 f[x0, x1, x2 ... xn]@param: xi 所有插值节点的横坐标集合 o@param: fi 所有插值节点的纵坐标集合 / \@return: 返回xi的i阶差商(i为xi长度减1) o o@notice: a. 必须确保xi与fi长度相等 / \ / \b. 由于⽤到了递归，所以留意不要爆栈了. o o o oc. 递归减递归(每层递归包含两个递归函数), 每层递归次数呈⼆次幂增长，总次数是⼀个满⼆叉树的所有节点数量(所以极易栈溢出) """def get_order_diff_quot(xi = [], fi = []):if len(xi) > 2 and len(fi) > 2:return (get_order_diff_quot(xi[:len(xi) - 1], fi[:len(fi) - 1]) - get_order_diff_quot(xi[1:len(xi)], fi[1:len(fi)])) / float(xi[0] - xi[-1])return (fi[0] - fi[1]) / float(xi[0] - xi[1]) 看上⾯的⽜顿插值函数公式，有了差商，还差 这个就⽐较好实现了："""@brief: 获得Wi(x)函数;Wi的含义举例 W1 = (x - x0); W2 = (x - x0)(x - x1); W3 = (x - x0)(x - x1)(x - x2)@param: i i阶(i次多项式)@param: xi 所有插值节点的横坐标集合@return: 返回Wi(x)函数"""def get_Wi(i = 0, xi = []):def Wi(x):result = 1.0for each in range(i):result *= (x - xi[each])return resultreturn Wi OK，⽜顿插值法最重要的两部分都有了，下⾯就是将这两部分组合成⽜顿插值函数，如果是c之类的语⾔就需要保存⼀些中间数据了，我利⽤了Python的闭包直接返回⼀个⽜顿插值函数，闭包可以利⽤到它所处的函数之中的上下⽂数据。
Python数据分析与挖掘实战-数据预处理
4
重复值处理
➢ pandas提供了一个名为drop_duplicates的去重方法。该方法只对DataFrame或Series类型有效。 ➢ drop_duplicates()方法的基本使用格式和参数说明如下：
24
多表合并
➢ 除了concat函数之外，pandas库的append()方法也可以用于纵向合并两张表，append()方法的基本使用 格式和常用参数说明如下：
• pandas.DataFrame.append(other, ignore_index=False, verify_integrity= False)
•
if i not in list2:
•
list2.append(i)
•
return list2
• names = list(data['品牌名称']) # 提取品牌名称
• name = delRep(names) # 使用自定义的去重函数去重
3
重复值处理
➢ 除了利用列表去重之外，还可以利用集合（set）元素为唯一的特性去重：
使用固定值
将缺失的属性值用一个常量替换
最近临插补 回归方法 插值法
在记录中找到与缺失样本最接近的样本的该属性值插补
对带有缺失值的变量，根据已有数据和与其有关的其他变量（因变量）的数
据建立拟合模型来预测缺失的属性值
插值法是利用已知点建立合适的插值函数
数值 f (xi )近似代替
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python 牛顿插值法
摘要：
1.牛顿插值法概述
2.牛顿插值法的基本原理
3.牛顿插值法的应用实例
4.Python 中实现牛顿插值法的方法
5.总结
正文：
一、牛顿插值法概述
牛顿插值法是一种常用的代数插值方法，它引入了差商的概念，使其在插值节点增加时便于计算。
牛顿插值法广泛应用于数值分析、工程计算等领域，是求解函数值和导数值的一种有效手段。
二、牛顿插值法的基本原理
牛顿插值法的基本原理是利用差商的性质来逼近函数值。
差商是指函数在某一点的导数值，可以用以下公式表示：
f[x] = f[x0] + f[x1] * (x - x0) / (x1 - x0)
其中，f[x0] 和f[x1] 分别是函数在x0 和x1 两点的值，x 是待求的点。
通过不断增加插值节点，可以逐渐提高插值精度。
三、牛顿插值法的应用实例
牛顿插值法在实际应用中有很多实例，例如在计算机图形学中，可以用牛顿插值法求解光线与物体的交点，从而实现光线追踪；在数值计算中，可以用
牛顿插值法求解微分方程的数值解等。
四、Python 中实现牛顿插值法的方法
Python 中可以使用SciPy 库实现牛顿插值法。
以下是一个简单的示例：```python
import numpy as np
from scipy.interpolate import newton
# 设置插值点
x = np.array([1, 3, 2])
y = np.array([1, 2, -1])
# 使用牛顿插值法求解y 值的导数
y_derivative = newton(x, y)
print(y_derivative)
```
五、总结
牛顿插值法是一种常用的插值方法，它具有较高的插值精度和较好的稳定性。
在Python 中，可以使用SciPy 库方便地实现牛顿插值法。