差分形式的牛顿插值公式
差分形式的牛顿插值公式
一、牛顿插值公式的引入
在数值计算和插值问题中，牛顿插值公式是一种常用的插值方法。
它通过已知的数据点，构造一个函数，使得这个函数通过这些数据点，并且在其他位置也有较好的逼近效果。
牛顿插值公式有两种形式，一种是差商形式，另一种是拉格朗日形式。
本文主要介绍差商形式的牛顿插值公式。
差分形式的牛顿插值公式是通过对已知数据点进行差分运算，得到一组差商系数，然后利用这些差商系数构造插值多项式。
具体来说，设有n+1个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，...(xn, yn)，其中xi和yi分别表示第i个数据点的横坐标和纵坐标。
差商形式的牛顿插值多项式可以表示为：
P(x) = y0 + (x-x0)Δy0 + (x-x0)(x-x1)Δ^2y0 + ... + (x-x0)(x-x1)...(x-xn)Δ^n y0
其中Δy0表示一阶差商，Δ^2y0表示二阶差商，以此类推。
差商的计算可以通过递推公式得到，具体计算方法如下：
Δy0 = y1 - y0
Δ^2y0 = Δy1 - Δy0 = y2 - 2y1 + y0
Δ^3y0 = Δ^2y1 - Δ^2y0 = y3 - 3y2 + 3y1 - y0
...
通过递推计算可以得到所有的差商系数，进而构造出插值多项式。
三、差分形式的牛顿插值公式的应用
差分形式的牛顿插值公式在实际问题中有广泛的应用。
下面以两个具体的例子来说明其应用：
1. 数据的插值逼近
假设我们有一组离散的数据点，现在需要根据这些数据点来估计其他位置的数据。
差分形式的牛顿插值公式可以通过构造插值多项式来实现这个目标。
我们可以利用已知的数据点，计算出差分系数，并将其代入插值多项式中，从而得到我们所需位置的数据估计值。
2. 数据的平滑处理
在一些实际问题中，我们可能会遇到数据中存在噪声或异常值的情况。
差分形式的牛顿插值公式可以通过对数据进行插值逼近，从而平滑处理这些噪声或异常值。
我们可以利用已知的数据点，构造插值多项式，并利用该多项式来估计数据中存在噪声或异常值的位置，从而得到平滑后的数据。
四、总结
差分形式的牛顿插值公式是一种常用的插值方法，在数值计算和插值问题中有广泛的应用。
通过对已知数据点进行差分运算，我们可以得到一组差商系数，并利用这些系数构造插值多项式。
差分形式的牛顿插值公式可以用于数据的插值逼近和数据的平滑处理等实际问题。
通过本文的介绍，我们希望读者对差分形式的牛顿插值公式有更深入的了解，并能在实际问题中灵活运用。
差分与等距节点newton插值
计算x0点附近的值
f
[x0 , x1 ,, xk ]
k f0 k!hk
14
k 1
k 1
k 1
k (x) (x xj ) (x0 th x0 jh) (t j)h
j 0
j0
j0
则插值公式
n
Nn(x) f0 f [x0 , x1 ,, xk ]k (x) k 1
化为
Nn( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 )
f [x0, x1, xn ]( x x0 )( x x1)( x xn1)
f0
1 h f0(x
x0)
2 f0 2!h2
(x
x0 )( x
x1)
n f0 n!hn
(0.00083) 0.54711
2019/12/14
23
例3 给出 f (x) cos x 在 xk kh, k 0,1,,6, h 0.1 处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算 f (0.048) 及 f (0.566) 的近似值并估计误差.
解 根据题意，插值条件为
4!
0.00044
0.00876
0.0502.2949885. 26
由余项公式（4.11）得误差估计
R4 (0.048)
M5 5!
t(t 1)(t 2)(t 3)(t 4) h5
1.5845107 ,
Rn其(x中) Mt(t5(1n)sin1()t!0.6n)h0n.51 f6(5n.1) ( ), (x0, xn ). （4.11）
2 fk fk 1 fk 为f (x)在 xk 处的二阶向前差分
牛顿(newton)插值法
牛顿(newton)插值法牛顿插值法是一种数值分析中的插值方法，它用于找到一个多项式函数，该函数会经过给定的一系列数据点。
该方法最初由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）发明并称为插值多项式，它也被称作差分插值法。
插值是数学和工程学中的一项重要任务，它是用于在给定数据点之间构建连续函数的一种数值方法。
插值方法通常涉及过渡从观察结果派生出抽象结果的过程，从而使得预测可能的结果取得更加准确。
下面介绍牛顿插值法的基本原理。
插值基础插值基础是插值方法中的一个重要概念。
在这里，我们将对牛顿插值法中用到的插值基础进行简要介绍。
一个插值基础是指一个已知数据点的集合，通常是一个 x 坐标和对应的 y 坐标。
每个插值基础一般定义为一个数据点的函数，该函数包含了给定点的所有信息并将这些信息用于构建连续函数。
在牛顿插值法中，我们使用差分来定义插值基础。
差分是指两个相邻数据点之间 y 坐标的差值。
具体来说，若给定以下节点：x0, y0x1, y1x2, y2...xn, yn我们则通过以下的 "+" 符号所示的不断进行差分的方式来构建一个插值基础：y0y1-y0…yn-yn-1 yn-yn-1 yn-yn-2 ... yn-y0上述图表所展示的差分的值即为定义插值基础的差商（divided difference）。
牛顿插值公式基于上述插值基础和差商，我们现在可以使用牛顿插值公式来实现插值。
具体来说，牛顿插值公式可以表示为：f(x) = y0 + d1*f[x0,x1] + d2*f[x0,x1,x2] + ... + dn*f[x0,x1,...,xn]其中 f(x) 是插值函数，x0, x1, ..., xn 是给定的节点，y0, y1, ..., yn 是对应的 y 值，f[x0,x1] 是差商 f(x0,...,x1) 的值，d1, d2, ..., dn 也是差商。
请注意，插值函数的次数最高为 n - 1，这意味着插值函数与插值基础的次数相同。
newton插值均差与差分
第五章 函数近似计算(插值问题)的插值方法5.3 Newton 插值/均值与差分lagrange 插值多项式作为一种计算方案，公式简洁，做理论分析也方便。
其缺点是，当节点改变时，公式需要重建，计算量大；如果还要根据精度要求，选取合适的节点和插值多项式的次数，则只好逐次计算出)(1x L , )(2x L等，并做误差试算，才可以做到，这当然是不理想的。
为次，人们从改进插值多项式的形式入手，给出另一种风格的插值公式，这就是Newton(牛顿)插值公式。
Newton 插值公式通过均差和差分的记号来表达。
1． 均差的概念及其性质 定义 5.3.1 设函数f在互异节点 ,,10x x 上的值为 )(0x f , )(1x f ,等，定义(1)f 在j i x x ,上的1阶均差为 ji j i j i x x x f x f x x f --=)()(],[(2) f在k j i x x x ,,上的2阶均差为 ki k j j i k j i x x x x f x x f x x x f --=],[],[],,[（3）递推地，f在k x x x ,,,10 上的k阶均差为kk k k x x x x x f x x x f x x x f --=-02111010],,,[],,,[],,,[同时规定f在i x 上的零阶均差为)(][]i x f x f =性质1k 阶均差可以表示成1+k个函数值的线性组合，即∑=+-----=kj k j j j j j j j k x x x x x x x x x f x x x f 011010)())(()()(],,,[ (5.3.5)或记为∑=+=kj j k j k x x f x x x f 0110)(')(],,,[ω （5.3.5b ）证明：用数学归纳法。
当1=k 时由均差定义有11100101010)()()()(],[x x x f x x x f x x x f x f x x f -+-=--=故(5.3.5)式成立。
4.2 牛顿插值公式
§2 差商、牛顿插值多项式在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出新的插值函数，则Lagrange 插值公式所有的基函数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。
而以下介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷，可在原有插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。
一、 差商及其性质： 1、相关定义设给出函数)(x f 在点0x ，1x ，… ，n x ，…上的函数值 ，则有：称],[10x x f 1010()()f x f x x x -=-为函数)(x f 在0x 、1x 点的一阶差商。
一阶差商的差商],,[210x x x f 121020],[],[x x x x f x x f --= 称为函数)(x f 在0x ,1x 和2x 点的二阶差商。
1-n 阶差商的差商],,,[10n x x x f 112020],,,[],,,[------=n n n n n n x x x x x f x x x f称为函数)(x f 在n x x x ,,,10 点的n 阶差商。
见插商表4-12、性质：性质1 ：差商],,,[10n x x x f 可表示为函数值的线性组合，即 ∑==ni i i n x f a x x x f 010)(],,,[ ，其中：∏≠=-=nij j j ii x xa ,0)(/1。
该性质表明：差商与节点的排列次序无关，即：],,,[10n x x x f ＝],,,[01n x x x f ＝…＝],,,[01x x x f n这就是差商的对称性。
性质 2101010[,,][,,][,,,]n n n n f x x f x x f x x x x x --=-01110[,,,][,,,]n n n f x x x f x x x x -=11100[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-10110[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-性质 3 设)(x f 在所含节点n x x x ,,,10 的区间],[b a 上有n 阶导数，则在该区间内至少有一点],[b a ∈ξ，使得：!/)(],,,[)(10n f x x x f n n ξ= 由该性质可知，若)(x f 为n 次多项式，则其n 阶差商为一常数。
牛顿均差差值
f ( n ) (ξ ) f [ x 0 , ... , x n ] = , ξ ∈ ( x min , x max ) n!
的函数表如下， 例 f(x)的函数表如下，用三次牛顿插值计算 的函数表如下 用三次牛顿插值计算f(0.596)的近似值 的近似值
←
y ← y+t*A(k,k) k ← k+1
N
k>N
Y
输出y 输出
§2 Newton’s Interpolation
等距节点公式 /* Formulae with Equal Spacing */ 牛顿基本插值公式对结点是否等距没有限制. 牛顿基本插值公式对结点是否等距没有限制.不过当 结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化.首先介绍 结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化. 差分概念. 差分概念. x −x 当节点等距分布时: 等距分布时 当节点等距分布时 x i = x 0 + i h ( i = 0 , ... , n ) h =
0.62)+0.21303(x-0.55)(x-0.65)(x-0.80) f(0.596) ≈N3(0.596)=0.63192
牛顿插值算法设计
N n ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x − x0 )( x − x1 ) + ...
f [ x 0 , x 1 , x 2 ,⋯ , x n] =
第2章 3.牛顿插值公式
r yi r 1 yi r 1 yi 1
中心差分
/ centered difference /
r y i r 1 y i r 1 y i
1 2
1 2
其中 yi 1 y( xi h ) 2
2
差分的重要性质： 线性：例如 (a f ( x ) b g( x )) a f b g 若 f (x)是 m 次多项式，则 k f ( x) (0 k m) 是 m k 次多项 k 式，而 f ( x) 0 (k m) 差分值可由函数值算出：
同理有：N 2 ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )
1 ( 3) f [ x0 , x1 , x2 , x ] f ( ) 3!
一般地f ( x)在x0 , x1 , xn为插值结点的n次插值多项式为
牛顿插值公式
邹昌文
问题的提出
以x0 , x1为插值结点的一阶插值公式为 x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0 y1 y0 y0 ( x x0 ) x1 x0
现考虑增加一个插值结x2，且使原有项不变 点
可令
L2 ( x) L1 a( x x0 )( x x1 )
设x x0 th 则N n ( x ) N n ( x0 th)
f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , xn ]( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
牛顿插值法
f [ x, x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1,, xk ] f [ x, x0 , x1 ,, xk ](x xk )
因此可得
f ( x) f0 f [ x, x0 ](x x0 )
f0 ( f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ](x x1 ))(x x0 ) f0 f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x, x0 , x1 ](x x0 )(x x1 )
为f ( x)关于xi , x j , xk的二阶差商
依此类推
5
f [ xi0 , xi1 ,, xik 1 , xik ]
f [ xi0 , xi1 ,, xik ] f [ xi0 , xi1 ,, xik 2 , xik 1 ] xik xik 1
为f ( x)关于节点 xi0 , xi1 ,, xik1 , xik 的k阶差商
2 f i 2 f i 1 3 2h3 3 f i 3!h 3
20
3 fi 3 2 fi 2 2 fxi 3 3 3!h 3 3 2h
k ( x) ( x x j )
j 0
k 1
f0 f [ x0 , x1 ,, xk ]( x x j )
k 1
n
n
k 1 j 0
为k次多项式
f 0 f [ x0 , x1 ,, xk ] k ( x)
k 1
为f ( x)关于节点 xi 的n次Newton插值多项式
f 0
f 1
f 1 f 2
f 3
2 f0
2 f2
2 f3
3 f0
差分与等距节点插值法
xn −1 ≤ x ≤ xn
对分段二次及分段三次插值都没有相应的插值公式 若 xn − 2 ≤ x ≤ xn − 1 对分段三次插值也没有相应的插值公式 此时应改用Newton基本后插公式,此处只列出公式 (4) Newton − k阶基本后插公式，起点为xn − m
N k (x) = f n − m + ∑ f [ xn − m , xn − m −1 , ⋯ , xn − m −i ]∏ ( x − xn − m − j )
处的函数值为在等距节点四阶差分三阶差分二阶差分一阶差分是等距节点如果节点newton插值公式为如果假设th则插值公式化为其余项化为10如果假设th可得newton向后插值公式2newton向后差分插值公式12五newton插值公式的使用由于高次插值多项式的runge现象newton插值公式一般也采用分段低次插值newton分段二次插值13余项为余项为阶基本后插公式起点从23两种情况可知若对分段三次插值也没有相应的插值公式此时应改用newton基本后插公式此处只列出公式分段二次newton向前差分插值16次插值多项式则使用在误差范围内很接近分段二次newton向后差分插值依此类推请同学们写出分段三次向前和向后newton公式及余项在实际应用中究竟使用几次插值多项式呢
−1<t <0
k = n, n − 1
依此类推,请同学们写出分段三次 向前和向后Newton公式及余项 在实际应用中,究竟使用几次插值多项式呢? 如果m + 1阶差
商(差分)很接近(在误差范围内), 则使用m次插值多项式
16
Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时, 计算只要增加一项,这是Lagrange插值无法比的.
(k ) 1
2.2 牛顿插值法
f ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x 1 ]( x - x 0 ) + f [ x , x 0 , x 1 ]( x - x 0 )( x - x 1 )
又
f [ x , x 0 , x1 , x 2 ] =
f [ x 0 , x1 , x 2 ] - f [ x , x 0 , x1 ] x2 - x
a2=
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式, 均差定义
2.3.2 均差及其性质
1、均差的定义 称 f [ x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x ) 关于点 x 0 , x k 的一阶差商。 称 f [ x 0 , x1 , x k ] =
注：均差与节点的排列次序无关——均差 的对称性
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x 0 , x 1 , , x k ] = f [ x 1 , x k - 1 , x 0 , x k ]
= f [ x 1 , x 2 , , x k -1 , x k ] - f [ x 1 , x 2 , , x k -1 , x 0 ] xk - x0 f [ x 1 , x 2 , , x k -1 , x k ] - f [ x 0 , x 1 , x 2 , , x k -1 ] xk - x0
f (xj)
k
j=0
j=0
( x j - xi )
i=0 j i
1ºn 阶均差可表示为函数值f(x0), f(x1),…, f(xn) 的线性组合
4.2 牛顿插值公式
§2 差商、牛顿插值多项式在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出新的插值函数，则Lagrange 插值公式所有的基函数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。
而以下介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷，可在原有插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。
一、 差商及其性质： 1、相关定义设给出函数)(x f 在点0x ，1x ，… ，n x ，…上的函数值 ，则有：称],[10x x f 1010()()f x f x x x -=-为函数)(x f 在0x 、1x 点的一阶差商。
一阶差商的差商],,[210x x x f 121020],[],[x x x x f x x f --= 称为函数)(x f 在0x ,1x 和2x 点的二阶差商。
1-n 阶差商的差商],,,[10n x x x f 112020],,,[],,,[------=n n n n n n x x x x x f x x x f称为函数)(x f 在n x x x ,,,10 点的n 阶差商。
见插商表4-12、性质：性质1 ：差商],,,[10n x x x f 可表示为函数值的线性组合，即 ∑==ni i i n x f a x x x f 010)(],,,[ ，其中：∏≠=-=nij j j ii x xa ,0)(/1。
该性质表明：差商与节点的排列次序无关，即：],,,[10n x x x f ＝],,,[01n x x x f ＝…＝],,,[01x x x f n这就是差商的对称性。
性质 2101010[,,][,,][,,,]n n n n f x x f x x f x x x x x --=-01110[,,,][,,,]n n n f x x x f x x x x -=11100[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-10110[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-性质 3 设)(x f 在所含节点n x x x ,,,10 的区间],[b a 上有n 阶导数，则在该区间内至少有一点],[b a ∈ξ，使得：!/)(],,,[)(10n f x x x f n n ξ= 由该性质可知，若)(x f 为n 次多项式，则其n 阶差商为一常数。