河北省唐山一中2021-2022学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

唐山市第一中学2021—2022学年度其次学期期末考试高二班级 数学（理）试卷命题人：郝刚 罗茹芳 审核人：张晶晶说明：1.考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题纸上。

3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的考号。

卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．已知R 是实数集，},11|{},12|{+-==<=x y y N xx M =⋂M C N R ( )A.（1,2）B.[0,2]C. [1,2]D. ∅2．复数ii -+331的共轭复数等于 （ ）A.iB.i -C.i +3D. i -3 3．若命题1)1(log ),,0(:2≥++∞∈∀xx x p ，命题01,:0200≤+-∈∃x x R x q ，则下列命题为真命题的是 （ ）A.p q ∨B. p q ∧C. ()p q ⌝∨D. ()()p q ⌝∧⌝ 4．设16.0)440(),60,500(~2=≤X P N X ，则=≥)560(X P （ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.84 D ．0.645．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出 f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是 ( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)＜49成立，则当k ≥8时，均有f (k )＜k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立6.b a =是直线2+=x y 与圆2)()(22=-+-b y a x 相切的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7．由曲线yy ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 （ ） A.103 B ．4 C. 163D ．6 8．数10080除以9所得余数是 （ ）A ．0B ．8C ．﹣1D ．19.两位工人加工同一种零件共100个,甲加工了40个,其中35个是合格品,乙加工了60个,其中有50个合格,令A 大事为”从100个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B 大事为”从100个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则P(A|B)等于 ( ) A.25B.35100C.78D.5710．已知)(x f 为R 上的可导函数，且对)()(,'x f x f R x >∈∀均有，则有 （ ） A ．)0()2016(),0()2016(20162016f e f f f e <<- B ．)0()2016(),0()2016(20162016f e f f f e >>- C ．)0()2016(),0()2016(20162016f e f f f e><-D ．)0()2016(),0()2016(20162016f e f f f e<>- 11．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数 （ ） A ．135B ．172C ．189D ．16212．已知定义域为R 的函数)(x g ，当(]1,1-∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<--+=10,2301,111)(2x x x x x x g ，且)()2(x g x g =+对R x ∈∀恒成立，若函数)1()()(+-=x m x g x f 在区间[]5,1-内有6个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)32,52( B ．),32(]52,(+∞-∞U C ．)32,52[D ．]32,52[卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 某高校“统计初步”课程的老师随机调查了选该课的一些同学状况，具体数据如下表：为了推断主修统计专业是否与性别有关系，依据表中的数据，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种推断出错的可能性为 .（2χ22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++）P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82814. 若函数12()1sin 21x xf x x +=+++在区间[,](0)k k k ->上的值域为[,]m n ，则m n +的值是________ 15.已知函数 ()f x 的导数为 '()f x ，且满足关系式 2320()'(1)3f x x xdx x f x =⋅++⎰则 '(2)f 的值等于__________．16. 如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ．三．解答题（共6小题） 17. （本小题满分12分）已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围． 18.（本小题满分12分）有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥)上安装5只颜色各异的灯，假如每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用η表示更换的面数，用ξ表示更换费用.（1）求①号面需要更换的概率；（2）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率； （3）写出η的分布列，求ξ的数学期望. 19. (本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C - 中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1CC 、BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点. （1）证明：DF AE ⊥;（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414?若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由.20. (本小题满分12分)已知抛物线221:x y C =与直线1:-=kx y l 没有公共点,设点P 为直线l 上的动点,过P 作抛物线C 的两条切线,A,B 为切点.(1)证明:直线AB 恒过定点Q;(2)若点P 与(1)中的定点Q 的连线交抛物线C 于M,N 两点,证明:QNQM PNPM =.21. (本小题满分12分)已知函数()1(0,)x f x e ax a e =-->为自然对数的底数. ⑴求函数()f x 的最小值；⑵若()f x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；⑶在⑵的条件下，证明：121()()()()(*)1nnn n n n en nnn n e -++⋅⋅⋅++<∈-N 其中.数学选考题 请考生从给出的22、23、24三题中任选一题作答 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,过PM 的中点N ,作割线NAB ,交圆于A 、 B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O于点D ,若BC MC =. （1）求证:△APM ∽△ABP ;（2）求证:四边形PMCD 是平行四边形.23．（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）. （1）设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值．24．（本小题满分10分）选修4 – 5：不等式选讲 设函数()|21||2|f x x x =--+（第16题）1 1 2O -xy（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()3f x t t ≥-在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围．唐山市第一中学2021—2022学年度其次学期期末考试高二班级 数学（理）试卷答案一．选择题CBAAD ACDCD CC 二．填空题13..0.05 14. 4 15.-9 16. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-372,372 三．解答题17. 由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0， ∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为a >2或a <－2.18.解(1)由于①号面不需要更换的概率为：2125554535=++C C C 所以①号面需要更换的概率为：P=1-21=21(2)依据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为：P 6(2)=64152)21()21(6264226==C C (3)由于)21B(6，η，又P 6(0)=6412C 606=，P 6(1)= 3222C 616=，P 6(2)= 64152C 626=，P 6(3)=1652C 636=，P 6(4)= 64152C 646=，P 6(5)= 3232C 656=，P 6(6)= 6412C 666= η的分布列为：η0 1 2 3 4 5 6 P641 323 6415 165 6415 323 641 ξ=100η，E ξ=100E η=30020.解:(1)设,则.由得,所以. 于是抛物线C在A 点处的切线方程为,即.设,则有.设,同理有.所以AB 的方程为,即,所以直线AB 恒过定点.(2)PQ 的方程为,与抛物线方程联立,消去y,得设,,则,要证,只需证明,即由(1)知,(2)式左边.故(2)式成立,从而结论成立.21.解：（1）由题意0,()xa f x e a'>=-，由()0xf x e a'=-=得lnx a=.当(,ln)x a∈-∞时, ()0f x'<；当(ln,)x a∈+∞时，()0f x'>.∴()f x在(,ln)a-∞单调递减，在(ln,)a+∞单调递增.即()f x在lnx a=处取得微小值，且为最小值，其最小值为ln(ln)ln1ln 1.af a e a a a a a=--=--（2）()0f x≥对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，min()0f x≥.由（1），设()ln 1.g a a a a=--，所以()0g a≥.由()1ln1ln0g a a a'=--=-=得1a=.∴()g a在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，∴()g a 在1a =处取得极大值(1)0g =.因此()0g a ≥的解为1a =，∴1a =.（3）由（2）知，由于1a =，所以对任意实数x 均有1x e x --≥0，即1x x e +≤.令k x n =- (*,0,1,2,3,1)n k n ∈=-N …,，则01kn k e n- <-≤.∴(1)()k nn k n k e e n - --=≤.∴(1)(2)21121()()()()1n n n n n n n n e e e e nn n n -------+++++++++≤……1111111n e e e e e ----=<=---22. 证明:(1)∵PM 是圆O 的切线, NAB 是圆O 的割线, N 是PM 的中点,∴NB NA PN MN ⋅==22, ∴PNNABN PN =, 又∵BNP PNA ∠=∠, ∴△PNA ∽△BNP , ∴PBN APN ∠=∠, 即PBA APM ∠=∠.∵BC MC =, ∴BAC MAC ∠=∠, ∴PAB MAP ∠=∠,∴△APM ∽△ABP .(2)∵PBN ACD ∠=∠,∴APN PBN ACD ∠=∠=∠,即CPM PCD ∠=∠,∴CD PM //, ∵△APM ∽△ABP ,∴BPA PMA ∠=∠, ∵PM 是圆O 的切线,∴MCP PMA ∠=∠,∴BPA PMA ∠=∠MCP ∠=,即MCP DPC ∠=∠,∴PD MC //, ∴四边形PMCD 是平行四边形. 23.解：（Ⅰ） 的一般方程为1),1(3C x y -=的一般方程为.122=+y x联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),1(322y x x y 解得 与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B ,则1||=AB . （Ⅱ）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ, 从而点P 到直线 的距离是]2)4sin(2[432|3sin 23cos 23|+-=--=πθθθd , 由此当1)4sin(-=-πθ时,d 取得最小值,且最小值为)12(46-.24.解：（Ⅰ）13,21()31,223,2x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=---≤<⎨⎪-<-⎪⎪⎩，所以原不等式转化为1122223333313x x x x x x ⎧⎧<-≥-≤<⎧⎪⎪⎨⎨⎨-≥⎩⎪⎪-≥--≥⎩⎩或或所以原不等式的解集为[)4,6,3⎛⎤-∞-+∞⎥⎝⎦（Ⅱ）只要2max ()3f x t t <-，由（Ⅰ）知2max ()13f x t t =-<-解得t >或t <。