3.1.3 空间向量基本定理
高中数学选修一第3章3.1~3.3空间向量运算-知识点
小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学选修一第3章3.1~3.3空间向量运算-知识点1、空间向量的加法、减法、数乘及运算律都是平面向量的对应推广，规则没有变，既可以用平行四边形法则，也可以用包含目标向量的封闭图形各边依次构成的向量之和为零向量得到相关式子。
2、因为向量可以平移 ，所以，任意两个向量都是共面 向量。
3、向量的数量积：a ·bba4、5、a 与b 平行(共线)的充要条件：存在实数λ，使得b =λa ；a ⊥b 的充要条件：a ·b =0。
6、三角形ABC 中，D 是BC 中点，则AD =21AB +21AC 。
7、给定四点O,P,A,B ，其中，O,A,B 为不共线的三点，且OP =x OA +y OB ，则A,P,B 三点共线 的充要条件是 x+y=1 .8、空间向量基本定理：如果1e 、2e 与3e 是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量a ，存在唯一的实数λ,μ,ν，使得a =λ1e +μ2e +ν3e 。
9、对于空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C ，都有OP =x OA +y OB +z OC 。
则点P 与A,B,C 四点共面 的充要条件是 x+y+z=1 .10、空间向量的坐标表示：a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），则①a ±b =（x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2）；②λa =（λx 1，λy 1，λz 1）；③a ·b = x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ；④ 11、空间直角坐标系中，x 轴，y 轴，z 轴两两互相垂直 。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 ，分别为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面，三个坐标平面把空间划分成八 个部分。
高中数学--空间向量基本定理--课件
[答案] .
问题2：.在图中任意找一个向量 ，是否都能用 ， ， 来表示？表示唯一吗？
[答案] 是，表示唯一.
问题3：.若 ， ， ，且 ， ， 两两成 的角，如何求 ？
[答案] ， = .
新知生成
1.空间向量基本定理:如果向量 ， ， 是空间三个不共面的向量， 是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组 ，使得 ______________.
（3）下结论：利用空间向量的一组基 可以表示出空间所有向量.结果中只能含有 ， ， ，不能含有其他形式的向量.
1.设 ， ， ，且 是空间的一组基.给出下列向量组:① ；② ；③ ；④ .其中可以作为空间的基的向量组有____个.
3
[解析] 如图所示，设 ， ， ，则 ， ， ， .由 ， ， ， 四点不共面可知向量 ， ， 也不共面,同理可知 ， ， 不共面， ， ， 也不共面，可以作为空间的基.因为 ，所以 ， ， 共面，不能作为空间的基.
4.类比平面向量基本定理，猜想三个不共面的向量如何表示空间中的任意一个向量.
[答案] 如果三个向量 ， ， 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的三元有序实数组 ，使得 .
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 只有两两垂直的三个向量才能构成空间的一组基.( )
[解析] 假设 ， ， 共面，则存在实数 ， 使得 ， . ， ， 不共面，∴ 此方程组无解， ， ， 不共面， 可以作为空间的一组基.
方法总结 空间向量有无数组基.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为一组基，关键是要判断它们是否共面，若从正面难以入手，则常用反证法或一些常见的几何图形来帮助我们进行判断.
空间向量的基本定理空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理一、引言空间向量是三维空间中的一个有向线段，是研究几何、物理等学科中经常使用的基本概念。
在研究空间向量的性质和应用时，需要掌握空间向量的基本定理。
二、定义1. 空间向量的表示在三维空间中，一个向量可以用它的起点和终点表示。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，则以A为起点，B为终点的有向线段AB就是一个向量，记作AB。
2. 空间向量的加法设有两个非零向量a和b，在它们各自平移后所在直线上任取一点P 和Q，并以它们为对角线作平行四边形，则以P为起点，Q为终点所得到的有向线段就是a+b。
3. 空间向量的数乘设k为实数，k与非零向量a相乘所得到的新向量记作ka。
当k>0时，ka与a同方向；当k<0时，ka与a反方向；当k=0时，ka=0。
4. 两个非零向量共线如果两个非零向量a和b共线，则存在实数k使得b=ka。
5. 两个非零向量垂直如果两个非零向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。
三、基本定理1. 平面向量的基本定理对于任意两个非零向量a和b，有以下三个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论称为平面向量的基本定理。
2. 空间向量的基本定理对于任意三个非零向量a、b和c，有以下六个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论与平面向量的基本定理相同。
（4）a+(–a)=0对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
（5）(–1)a=–a对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
而且当k=-1时，ka=-a。
这些结论称为空间向量的基本定理。
四、证明1. 平面向量的基本定理的证明（1）a+b=b+a由向量加法的定义可知，a+b和b+a的起点和终点相同，因此它们相等。
空间向量的坐标运算
3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的正交分解及其坐标表示【基础知识在线】知识点一 空间向量基本定理★★★考点： 寻找合适的基底来表示题目中的向量 知识点二 单位正交基底★★★ 考点： 用坐标表示向量知识点三 空间直角坐标系★★★★ 考点： 选择合适的位置建系知识点四 空间向量的坐标表示★★★★★ 考点： 能在坐标系下用坐标表示空间向量 能够进行坐标运算【解密重点·难点·疑点】 问题一：空间向量基本定理若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．推论：设C B A O ,,,是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的一个有序实数组(z y x ,,}，使OC z OB y OA x OP ++=．注意：（1） 由定理可知，作为基底的三个向量不共面，因此，基底中不存在零向量. (2)一个基底是一组向量，一个基向量是说基底中的某一向量.(3)空间中三个向量只要不共面，即可作为基底，即空间中的基底是不唯一的；当选定一组基底后，空间中任一向量的表示却是唯一的.问题二:空间直角坐标系的建立和坐标表示空间直角坐标系的建立：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，如图，以点O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴．O —x y z 为空间直角坐标系，O 为坐标原点，向量i ，j ，k 为单位坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．在空间直角坐标系中，坐标平面xOy 上的点的竖坐标为0；坐标平面xOz 上的点的纵坐标为0；坐标平面yOz 上点的横坐标为0．x 轴上的点纵坐标、竖坐标为0，y 轴上的点横坐标、竖坐标为0，z 轴上的点横坐标、竖坐标为0．注意：（1）空间直角坐标系的建立，必须寻求两两垂直且交于一点的直线.（2）表示坐标的三个数据的位置是不能改变的.如若顺序变了，则对应的向量也随之改变.【点拨思维·方法技巧】 一.基底的概念例1已知向量{}c b a ,,是空间的一个基底，那么向量,,-+能构成空间的一个基底吗？为什么？【思维分析】解答该题适用反证法.假设不能构成基底，则共面，利用共面基本定理推出矛盾，从而假设不成立.【解析】 能构成空间一个基底．图3-1-28假设,,-+共面，则存在y x ,,使()()y x -++=,()()y x y x -++=∴.从而由共面向量定理知，c 与b a ,共面． 这与向量{},,是空间的一个基底矛盾． ∴c b a b a ,,-+不共面．【评析】 判断三个向量能否作为基底，关键是正确理解概念，只有空间中三个向量不共面才能构成空间向量的一个基底，常用反证法.变式训练１.有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底.其中正确的命题是（ ）.A.①②B.①③C.②③D.①②③ 答案：C.【解析】对于①“如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,的关系一定共线”；所以①错误.②③正确二.用基底表示向量例2如图，在三棱柱111C B A ABC -中，设===,,1，M 是B A 1的中点，点N 在CM 上，且4:1:=CM CN ，试用基底},,{表示N C 1.【思维分析】结合图形，利用空间向量的加减和数乘运算，把相关的向量均用基底表示. [解析]M 是B A 1的中点，点N 在CM 上，且4:1:=CM CN ，图3-1-29∴)(21)(21)(11AA BA b c BA AB CA BM CB CM +++-=++=+= .2121)(21c b a a b b c -+=+-++-=418187)2121(4141111-+-=+-+-=+=+=∴A C C .c【评析】(1)空间中的一组基底可以表示任意的向量，在选定的基底下，某一向量的表达形式是唯一的.(2)注意结合图形，灵活应用向量的基本运算和三角形、平行四边形法则. (3)用基底表示向量要彻底，不可在有其他向量，只含基底中的向量. 变式训练2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，=a ，=b ，1=c ，P 是1CA 的中点，M 是1CD 的中点，N 是11D C 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1=QA CQ用基底{、、}表示以下向量：（1），（2），（3）．[解析]（１）()()c b a AD AB AA AC AA AP ++=++=+=21)(212111； （２）C D AA D D A AA ++=++=++=21211111111； （３）)(51511111AA A A AA -+=+=+= AA 545151515151)(511++=-++=-++=三.求点和向量的坐标例3如下图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标．图3-1-30【思维分析】分别以 AB 、AD 、AA 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，找出各顶点到x,y,z 轴的距离．[解析]分别以 A B 、AD 、AA 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，找出各顶点到x,y,z 轴的距离,这个距离恰是正方体的棱长，所以各顶点的坐标是：A （0,0,0），B （2,0,0），C （2,2,0），D （0,2,0），A 1（0,0,2），B 1（2,02，）C 1（2,2,2），D 1（0,2,2）．【评析】（1）建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量寻找三条互相垂直且交于一点的直线，如果找不到，要想办法构造．（2）找出各点在坐标轴上的射影，便于得到该点的坐标，但要注意符号． 变式训练3．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB ，PC 的三等分点且PN ＝2NC ，AM ＝2MB ，PA ＝AB ＝1，求 MN 的坐标．[解析] ∵PA=AB=AD=1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ， ∴可设 ,,,=== 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵MN ＝MA →＋AP →＋PN ＝－23 AB ＋AP →＋23PC →图3-1-31图3-1-32＝－23AB ＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB )=13AP ＋23AD → 3132+= .31,0,32⎪⎭⎫⎝⎛=∴【课后习题答案】 练习（第94页）1.答案：向量c 一定可以与q p ,一起构成空间的另一个基底. 解析：-=+=, 与,共面，只有c 不与,共面.2. 答案：点,,,O A B C 四点共面.解析：,, 不构成空间的一个基底，,,∴共面，C B A O ,,,∴四点共面.3.(1)答案：C B B O +-='-='++=',,; 解析： （2）答案：1122OG a b c =++ 解析：()B B 212121++='++=+=.【自主探究提升】夯实基础1.若向量{},,是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ） A.3,2, B.+++,, C.93,32,2-++ D.,,++ 答案：C.提示：在C 选项中()(),3232393c b b a c a +-+=-由共面定理知，此三个向量共面. 2.以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若{}c b a ,,为空间向量的一组基底，则c b a ,,全不是零向量 C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是0=⋅AC ABD ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 答案 B提示： 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是0=⋅AC AB ，可能是0=⋅BA BC ，也可能是0=⋅CB CA ，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G在线段MN 上，且2=，现用基组{},,表示向量，有=x z y ++，则= ．答案 :313161++.提示：313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 4. 设O-ABC 是四面体，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13GG OG =，若OG ＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则()z y x ,,为( ) A ．(14，14，14) B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)答案 A 提示：()114343AG OG +==()()()[]-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+=414321324343OC OB OA 414141++=.＝14OA →＋14OB →＋14OC →.故选A. 5．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，设===1,,，F E ,分别是BD AD ,1的中点．（1）用向量 c b a ,,，表示1,D B EF；（2）若c z b y a x F D ++=1，求实数.,,z y x解 （1）1D B =1D D +DB = - 1AA +EF =EA +AF =121D A +12AC ()()()AA +=+++-=2121211.(2) 1D F = 111()2AA AB AD -+-111()2AA AB D D =-+-c b a --=2121,.1,21,21-=-==∴z y x拓展延伸6．在以下3个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量,,不能构成空间的一个基底，则,,共面；②若两个非零向量b a ,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则b a ,共线； ③若,是两个不共线向量，而()0,≠∈+=λμμλμλ且R ，则{},,构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C 提示：命题①，②是真命题，命题③是假命题．7．若{}c b a ,,是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( ) A ．3,2,a,2b,3c B ．+++,, C ．93,32,2-++ D ．,,++AC1A1C图3-1-33答案 C提示：()()()09332323=-++++-c a c b b a 即三向量c a c b b a 93,32,2-++共面. ∴选C.8. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，点O 为1AC 与1BD 的交点，1CC z y x ++=，则x ＋y ＋z ＝________.答案 32,提示：()12121CC ++==． 9. 从空间一点P 引出三条射线PC PB PA ,,，在PC PB PA ,,上分别取,,,===，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝__________________. 答案: ().2132c b a ++-10.（2009.四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 .解析：不妨设棱长为2，选择基向量{},,1，则11121,BB BC BM BA BB AB -=-=()5222111-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=BB BB05220220=--+-=，故填写o 90.11.已知三棱锥A —BCD.1BAB 1AC1CM图3-1-34(1)化简()AD AC AB -+21并标出化简结果的向量； (2)设G 为△BCD 的重心，试用AD AC AB ,,表示向量.解析：设AB ，AC ，AD 中点为E ，F ，H ，BC 中点为P. (1)1(2AB ＋AC →－AD →)＝AE → ＋AF = AP －AH →＝HP →. （2）AG ＝AP →＋PG → = AP →＋13PD →= AP →＋13(AD →－AP →)＝23AP →＋13AD →＝()312132++⨯ ＝13( AB ＋AC →＋AD →)．12.在直三棱柱111O B A ABO -中，∠AOB=2π424===|，D 为11B A 的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求1,DO A B的坐标.解析：∵11(),DO OD OO O D =-=-+11111[()]222OO OA OB OO OA OB =-++=--- 又1||OO = 4，|OA →|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2， ∴DO →＝(－2，－1，－4)， ∴1A B ＝ (－4,2，－4)．13. 在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线BA 1与AC 所成的角. 解析：因为BC AB AC BB BA BA +=+=,11, 所以)()(11+∙+=∙ =BC BB AB BB BC BA AB BA ∙+∙+∙+∙11ABO1A1OD图3-1-35 图3-1-36因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， 所以BB ∙=∙1,0=0, AB BA BC BB ∙=∙,01=-a 2. 所以AC BA ∙1=-a 2.又,,cos 11><=∙BA .2122,cos 21-=⨯->=<a a a AC BA 所以〈AC BA ,1〉=120°. 所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°．图3-1-37。
3.1.3空间向量的基本定理
推论： 设点O、A、B、C是不共面的 四点，则对空间任一点P，都存在 唯一的有序实数组( x，y，z)，使 OP xOA yOB zOC 注：空间任意三个不
共面向量都可以构成 空间的一个基底
A P B P O P
C
如： a, b, c} {
例 : 在正方体OADB CA' D' B'中，点E是AB与 OD的交点，M是OD' 与CE的交点，试分别用 向量OA, OB, OC表示向量OD'和OM .
y y z z a b c x x x x
从而 a, b, c 共面,这与已知 a, b, c 不共面矛盾 因此,有序实数组
( x, y, z )
是唯一的.
基底: 如果三个向量 e1 , e2 , e3 不共面,那么空 间的每一个向量都可由向量 e1 , e2 , e3 线性 表示.把 {e1 , e2 , e3} 称为空间的一个基底 基向量: e1 , e2 , e3 正交基底: 如果空间一个基底的三个向量是两 两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底. 单位正交基底: 当一个正交基底的三个基向量都是 单位向量时,称这个基底为单位正交基底. 通常用 {i, j , k}表示
A B' Q A' D' N C'
D
B
C
已知PA 平面ABCD,四边形ABCD是正方 形，G为PDC重心， i , AD j , AP k , AB 试用基底 i , j , k 表示向量PG、 、 . BG AG
P
G A N D
B B
C
1 1 1 OA OB OC 如图，在平行六面体 ABCD－A B C D 中， ＝a， AB
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
空间向量基本定理课件(共23张PPT)
基底 空间任意三个不共面的向量
单位正交基底 正交分解
两两垂直，且长度都为1的基地
本课结束 课后要记得巩固哦!
P k
O
i
j
α
Q
目
录
3 题型
03 题型1－空间向量基底的理解
解： ×， × ，√，×.
03 题型1－空间向量基底的理解
对于任意一组向量，如 何判断是否不共面呢？
03 题型1－空间向量基底的理解
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03 题型2－用基底表示空间向量
03 题型2－用基底表示空间向量
A
∵M 为 A1C1 的中点，A→B＝a，B→C＝b，A→A1＝c， ∴N→M＝A→A1＝c，B→N＝12(B→A＋B→C) ＝12(－A→B＋B→C)＝－12a＋12b，∴B→M＝B→N＋N→M＝－21a＋12b＋c＝－12a＋12b＋c.
P ka iO j
Q
01 新知探究
探究2 如何用三个两两垂直的向量表示空间中任意一个向量？
P k
O
i
j
α
Q
01 新知探究
OA a,O B b,OC c
O
A A′
C′ C
P p B B′
P′
01 新知1——空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
目
2 单位正交基底和正交分解
录
01 新知1——单位正交基底与正交 2.单分位解正交基底与正交分解
03 题型3－证明平行和垂直
例6 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E， F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰 当的基底向量证明：EG∥AC；
3.1.3 空间向量基本定理
3.1.3 空间向量根本定理一、根底过关1． p ：a 、b 、c q ：{a ，b ，c pq 的____________条件． 2．①空间中的任何一个向量都可用a ，b ，c 表示； ②空间中的任何一个向量都可用基向量a ，b ，c 表示； ③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示； ④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．3． a 、b 、c 是不共面的三个向量，那么以下选项中能构成一个基底的一组向量是__________．①2a ，a －b ，a ＋2b ②2b ，b －a ，b ＋2a ③a,2b ，b －c ④c ，a ＋c ，a －c4． 以下说法正确的选项是________(填序号)．①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底； ②不共面的三个向量就可构成空间的正交基底； ③正交基底中的基向量模为1且互相垂直；④不共面且模为1的三个向量可构成空间的正交基底． 5．①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，那么a 、b 、c 共面；②假设两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，那么a 、b 共线； ③假设a 、b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R 且λμ≠0)，且{a ，b ，c }构成空间的一个基底．6． 空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，假设m 与n 共线，那么x ＝________，y ＝________.7． 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，假设EF →＋λA 1D →＝0 (λ∈R )，那么λ＝______.8． 从空间一点P 引出三条射线PA ，PB ，PC ，在PA ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，那么GH →＝__________________.(用a ，b ，c 表示)二、能力提升9． 假设向量MA →、MB →、MC →的起点M 与终点A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足以下关系(O 是空间任一点)，那么能使向量MA →、MB →、MC →成为空间一个基底的关系是________(填序号)．①OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →②MA →≠MB →＋MC → ③OM →＝OA →＋OB →＋OC → ④MA →＝2MB →－MC →10．在空间平移△ABC 到△A 1B 1C 1(使△A 1B 1C 1与△ABC 不共面)，连结对应顶点．设AA 1→＝a ，AB→＝b ，AC →＝c ，M 是BC 1的中点，N 是B 1C 1的中点，用基底{a ，b ，c }表示向量AM →＋AN →的结果是____________． 11.如下列图，在正方体AC 1中，取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 作为基底．(1)求BD 1→；(2)假设M ，N 分别为边AD ，CC 1的中点，求MN →. 12.如图，平行六面体OABC —O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 三、探究与拓展13．{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，且OP →＝2e 1－e 2＋3e 3，OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3.(1)判断P 、A 、B 、C 四点是否共面；(2)能否以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一个基底？假设不能，说明理由；假设能，试以这一基底表示向量OP →.答案1．必要不充分 2．②③ 3．③ 4．③ 5．2 6．1 －1 7．－12 8．－23a ＋12b ＋12c9．③ 10．32a ＋b ＋c11．解 (1)BD 1→＝BD →＋DD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→＝－a ＋b ＋c . (2)MN →＝MC →＋CN → ＝MD →＋DC →＋12CC 1→＝12AD →＋AB →＋12AA 1→ ＝a ＋12b ＋12c .12．解 (1)AC ′→＝AC →＋CC ′→＝OC →－OA →＋OO ′→＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH →＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )． 13．解 (1)假设四点共面，那么存在实数x 、y 、z 使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1，即2e 1－e 2＋3e 3＝x (e 1＋2e 2－e 3)＋y (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)，比较对应项的系数，得到关于x 、y 、z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋z ＝2，2x ＋y ＋z ＝－1，－x ＋2y －z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝17，y ＝－5，z ＝－30，与x ＋y ＋z ＝1矛盾，故四点不共面；(2)假设向量OA →、OB →、OC →共面，那么存在实数m 、n 使OA →＝mOB →＋nOC →，同(1)可证，这不可能，因此{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底．令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由e 1＋2e 2－e 3＝a ，－3e 1＋e 2＋2e 3＝b ，e 1＋e 2－e 3＝c ，联立得到方程组，从中解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝3a －b －5c ，e 2＝a －c ，e 3＝4a －b －7c .所以OP →＝17OA →－5OB →－30OC →.。
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3.1.3 空间向量基本定理
一、基础过关
1． 设命题p ：a 、b 、c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p
是命题q 的____________条件． 2． 下列命题中真命题有________(填序号)．
①空间中的任何一个向量都可用a ，b ，c 表示； ②空间中的任何一个向量都可用基向量a ，b ，c 表示； ③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示； ④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．
3． 已知a 、b 、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一个基底的一组向量是
__________．
①2a ，a －b ，a ＋2b ②2b ，b －a ，b ＋2a ③a,2b ，b －c ④c ，a ＋c ，a －c 4． 下列说法正确的是________(填序号)．
①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底； ②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底； ③单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直；
④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底． 5． 在以下三个命题中，真命题的个数是________．
①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面；
②若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线； ③若a 、b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R 且λμ≠0)，且{a ，b ，c }构成空间的一个基底．
6． 已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝
________，y ＝________.
7． 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D
→
＝0 (λ∈R )，则λ＝______.
8． 从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →
＝b ，
PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝__________________.(用
a ，
b ，
c 表示)
二、能力提升
9． 若向量MA →、MB →、MC →
的起点M 与终点A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足下列
关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →、MB →、MC →
成为空间一个基底的关系是
________(填序号)．
①OM →＝13OA →＋13OB →＋13
OC →
②MA →≠MB →＋MC → ③OM →＝OA →＋OB →＋OC → ④MA →＝2MB →－MC →
10．在空间平移△ABC 到△A 1B 1C 1(使△A 1B 1C 1与△ABC 不共面)，连结对应顶点．设AA 1→
＝a ，
AB →＝b ，AC →＝c ，M 是BC 1的中点，N 是B 1C 1的中点，用基底{a ，b ，c }表示向量AM →＋AN →
的结果是____________． 11.
如图所示，在正方体AC 1中，取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c 作为基底．
(1)求BD 1→；
(2)若M ，N 分别为边AD ，CC 1的中点，求MN →
. 12.
如图，平行六面体OABC —O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→
＝c .
(1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→
；
(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →
. 三、探究与拓展
13．已知{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，且OP →＝2e 1－e 2＋3e 3，OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →
＝－
3e 1＋e 2＋2e 3，OC →
＝e 1＋e 2－e 3.
(1)判断P 、A 、B 、C 四点是否共面；
(2)能否以{OA →，OB →，OC →
}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一
基底表示向量OP →
.
答案
1．必要不充分 2．②③ 3．③ 4．③ 5．2 6．1 －1 7．－12 8．－23a ＋12b ＋1
2
c
9．③ 10．3
2
a ＋
b ＋c
11．解 (1)BD 1→＝BD →＋DD 1→
＝BA →＋AD →＋DD 1→
＝－a ＋b ＋c . (2)MN →＝MC →＋CN → ＝MD →＋DC →＋12
CC 1→
＝12AD →＋AB →＋12AA 1→ ＝a ＋12b ＋12c .
12．解 (1)AC ′→＝AC →＋CC ′→
＝OC →－OA →＋OO ′→
＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH →
＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→)
＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋1
2(a ＋b ＋c ＋c )
＝1
2
(c －b )． 13．解 (1)假设四点共面，则存在实数x 、y 、z 使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
，且x ＋y ＋z ＝1，
即2e 1－e 2＋3e 3＝x (e 1＋2e 2－e 3)＋y (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)，比较对应项的系数，得到关于x 、y 、z 的方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －3y ＋z ＝2，2x ＋y ＋z ＝－1，
－x ＋2y －z ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝17，y ＝－5，
z ＝－30，
与x ＋y ＋z ＝1矛盾，故四点不共面；
(2)若向量OA →、OB →、OC →共面，则存在实数m 、n 使OA →＝mOB →＋nOC →
，同(1)可证，这不
可能，因此{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底．令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，由e 1＋2e 2－e 3＝a ，－3e 1＋e 2＋2e 3＝b ，e 1＋e 2－e 3＝c ，联立得到方程组，从中解得⎩⎪⎨⎪
⎧
e 1＝3a －b －5c ，e 2＝a －c ，e 3＝4a －b －7c .
所以OP →＝17OA →－5OB →－30OC →.。