概率论与数理统计各章节

第五章 大数定理和中心极限定理

1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。

解：设第i 只寿命为X i ，（1≤i ≤16），故E (X i )=100，D (X i )=1002

(l=1,2,…,16).依本章定理1知

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

⨯-≤⨯-=≤∑

∑

∑

===8.0400

1600

1001616001920100161600

)1920(

16

16

16

1

i i i i i i X P X P X P

.7881.0)8.0(=Φ=

从而.2119.07881.01)1920(

1)1920(

16

1

16

1

=-=≤-=>∑∑==i i

i i

X

P X

P

3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，

（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 解：

（1）设取整误差为X i （ ,2,1=i ，1500），它们都在（－0.5, 0.5）上服从均匀分布。

于是： 02

5

.05.0)(=+-=

=p X E i 12

1

12)]5.0(5.0[)(2=

--=i X D 18.1112512

1

1500)(,

0)(==⨯

==i i X nD X nE ⎭

⎬

⎫⎩⎨⎧≤≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩

⎪⎨⎧>∑

∑

∑===15151151151500

11500115000i i i i i i X P X P X P ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--=∑=18.111518.1118.111511500

1

i i X P

1802

.0]9099.01[2)]34.1(1[2)]

34.1()34.1([1=-⨯=Φ-=-Φ-Φ-=

8．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？

解：设X 为100人中治愈的人数，则X ～B (n, p )其中n=100

（1）)75(1751)75(1)75(npq np npq np npq np X P X P X P -Φ-=⎪⎭

⎪

⎬

⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤--=≤-=> 8944.0)4

5

()45(

1=+Φ=-Φ-= （2）p=0.7由中心极限定理知

)75(1751)75(1)75(npq np npq np npq np X P X P X P -Φ-=⎪⎭

⎪

⎬

⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤--=≤-=> .1379.08621.01)09.1(1)21

5

(

1=-=Φ-=Φ-= 7．[七] 一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。

（2）一个复杂的系统，由n 个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。

解：（1）设每个部件为X i (i=1,2,……100)

⎩⎨

⎧=部件损坏不工作

部件工作0

1

i X

设X 是100个相互独立，服从（0－1）分布的随机变量X i 之和

X=X 1+ X 2+……+ X 100

由题设知 n=100 P {X i =1}=p =0.9, P {X i =0}=0.1 E (X i ) =p =0.9

D (X i ) =p (1－p )=0.9×0.1=0.09

n ·E (X i ) =100×0.9=90, n D (X i ) =100×0.09=9

⎪⎭

⎪

⎬

⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑

=)()(85)()(851001i i i i i i X nD X nE X nD X nE X P X P

=⎭⎬

⎫⎩⎨⎧-≥-=⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-≥-3539099085990X P X P

=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<--35

3

901X P

由中心极限定理知

⎰

-

∞

--

-

≈3

5

2

221

1dt e π

t

)3

5(1-

Φ-= 查标准正态分布表

=φ(1.67)

=0.9525

解：（2）设每个部件为X i (i=1,2,……n )

⎩⎨

⎧=部件损坏不工作

部件工作0

1

i X

P {X i =1}=p =0.9, P {X i =0}=1－p =0.1 E (X i ) =p =0.9,

D (X i ) =0.9×0.1=0.09

由问题知

95.0100801=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧>∑

=n i i n X P 求n=?

而

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧>∑

=n X P n i i 100801

⎪⎪

⎭⎪⎪

⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

->-=∑

=)(10080

)(1

i i n

i i X nD np n X nD np

X P

=⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧->-∑

=n n n n n X P n

i i 3.09.0100803.09.01

=1－⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-∑=n n n n

n X P n i i 3.09.0100803.09.01由中心极限定理知

=95.03.01.03.01.01≥⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-Φ-n

n n

n