安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二下学期春季联赛理科数学试题
其中正确结论的个数是（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
7. 在△ABC中，AB＝2，AC＝4，M是△ABC所在平面内一点，且
A．3
B．6
C．9
，则
（） D．12
8. 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象（ ）
A．关于x＝1对称
B．关于x＝3对称
C．关于y＝3对称
（1）证明：
数列中任意相邻三项不可能成等比数列；
（2）用数学归纳法证明：
数列的通项公式为
.
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二下学期春季联赛理科数学试题
21. 已知曲线E上任一点P到直线l：x＝4的距离是点P到点M(1，0)的距离的2倍. （1）求曲线E的方程； （2）过点A(2，0)作两条互相垂直的直线分别交曲线E于B、D两点(均异于点A)，又C(－2，0)，求四边形ABCD的面积的最大值.
，
，其中 ， 均为 内的随机数，再由计算机统计发现其中满足条件
的数对有 个，由此可估计 的近似值
为______________．
15. 已知△ABC中，AB＝9，∠BAC＝60°，D为边BC上一点，且CD＝2BD，AD＝2 ，则△ABC的面积为______________.
16. 已知双曲线C：
的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二下学期春季联赛理科数学试题
一、单选题
1. 已知集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2. 设复数 A．第一象限
(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ）
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3. 在[0，1]内任取两个实数x，y，则事件0<x－y≤ 的概率等于（ ）
D．关于(3，0)对称
9. 函数
(x>0)的最小值为（ ）
A．6
B．
C．
D．
10. 已知过点 A．2
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二下学期春季联赛理科数学试题
的直线与抛物线
交于
B．－2
两点， 为抛物线的焦点，若 C．2或－2
为常数，则 的值为（ ） D．不存在
11. 已知正多面体共有5种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.任一个正多面体都有内切球和外接球，若一个半径为1
的球既是一个正四面体的内切球，又是一个正六面体的外接球，则这两个多面体的顶点之间的最短距离为（ ）
A． －1
B．1
C．2 －1
D．2
12. 已知不等式 A．
对一切x>0成立，则实数a的最大值为（ ）
B．2
C．e
二、填空题
13. 过点
与曲线
相切的直线方程为______________.
D．2e
14. 已知长轴长为 ，短轴长为 的椭圆的面积为 ．现用随机模拟的方法来估计 的近似值，先用计算机产生 个数对
，
，
，
.
（1）求满足
，
的 的最小值；
（2）求数列 的前 项和 .
19. 如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
，
.
（1）求证：平面 （2）若
平面
；
，求直线 与平面
所成角的正弦值.
20.
数列又称黄金分割数列，因为当 趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数
.
已知
数列的递推关系式为
.
22. 已知函数
有两个不同的零点 ，
（1）求实数a的取值范围； （2）证明：
A．
B．
C．
D．
4. 命题“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为（ ） A． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立 B． a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立 C． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
D． a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二下学期春季联赛理科数学试题
5. 过圆C1：x2＋y2＝1上的点P作圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4切线，切点为Q，则切线段PQ长的最大值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
6. 关于函数
有下述三个结论：
①
在区间
上是减函数；
②
的图象关于直线
对称；
③
在区间
上的值域为
形，且∠F1AF2＝45°，则双曲线C的离心率为________________.
为直角三角
三、解答题
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二下学期春季联赛理科数学试题
17. 已知
中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，
.
（1）求角 ；
（2）若
，求
的取值范围.
18. 已知公差不等于 的正项等差数列 的前 项和为 ，递增等比数列 的前 项和为 ，
安徽省示范高中培优联盟2019年春季联赛高二理科数学答案
2019年春季联赛高二理科数学答案一、选择题：1. A2.C3.B4.A5.C6.D7.D8.B9.D 10.B 11.A 12.C1．A ．由题：{1,2,3,4}U =，{1,2,4}B =，{2,4}AB =，(){1,3}U A B =ð．2．C ．由一元二次方程求根公式可得方程2220z z ++=的两根为1i -±，故1i z =-+． 3．B ．命题p 为真命题，命题q 为假命题，故p q ∨是真命题．4．A ．由题，1tan 12α⋅=-，tan 2α=-，于是2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15ααααααα===-++． 5．C ．因为所有的样本点都在直线2100y x =-+上，故负相关，这组样本数据的样本相关系数为1-．6．D ．设底面半径为r ，则两个圆锥的体积之和为23r Rπ，由23234383r RR ππ⋅=⋅得2r =，球心到圆锥底面的距离2R d ==，故这两个圆锥高之差的绝对值为2d R =． 7．D ．设a OA =，b OB =，p OP =，1λμ+=，点P 在直线:250AB x y +-=上，故选项D 符合题设要求．8．B ．如图，该几何体由边长为2的正方体削去两个三棱锥而成，不难求得其表面积为134342(2222++⨯+⨯=． 9．D ．注意到()f x 为偶函数，且0x →时，sin 1xx→，()1f x →；又(1)sin110f =-<，sin 2(2)02f =>，故选D ．10．B ．22x y p =，xy'p=，点P 处的切线为()P P P P x x y x x y x p p =-+=-(0,)P Q y -，于是||()||522P P p pQF y y PF =--=+==．11．A ．不等式组表示的区域如图所示，|3412|55x y d +-==，其中d 为区域内的点到直线:34120l x y +-=的距离，结合图象可知，d 的最小值为(1,1)到l 的距离，min 55d =，2d -的最大值为原点O 到l 的距离，max 1255(2)225d =+=，故|3412|x y +-的取值范围为[5,22]．12．C ．点(4,1)P ，设直线:(4)1l y k x =-+，与32681y x x x =-++联立得：326(8)40x x k x k -+-+=，由题，,,P A B x x x 为此方程的三个不等实根，故326(8)4(4)()()A B x x k x k x x x x x -+-+=---，对比方程两边2x 项的系数可知2A B x x +=，故选C ．【解析】双曲线22221x y a b-=上点00(,)P x y 到两渐近线0bx ay ±=的距离之积12d d =22222200222||34b x a y a b a b c -===+，又2ce a ==，23b =， 故双曲线的虚轴长为2b =15．23【解析】基本事件的总体为：〇（〇）、〇（〇）、〇（△），故这枚硬币的另一面是〇的概率为23． 16．2【解析】如图，过B 作AC 的平行线与AD 的延长线交于点E ，3BC BD =，2AC BE =，2AD DE =，3AE =在ABE △中，由余弦定理：2222cos120AE AB BE AB BE =+-⋅⋅，即2293AB BE AB BE AB BE =++⋅≥⋅， 3AB BE ⋅≤，6AB AC ⋅≤，于是133sin 602ABC S AB AC =⋅⋅≤△AB BE =时等号成立．A BCDE()f x 的周期1212T π=-=，2T ω==，再由7()sin()10126f πϕ=++=，得7sin()16πϕ+=-，732()62k k ππϕπ+=+∈Z ，2()3k k πϕπ=+∈Z ，又||2πϕ<，3πϕ=，()sin(2)13f x x π=++．（5分）（2）()()sin[2()]1sin(2)13333g x f x x x ππππ=-=-++=-+，由222()232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，得5()1212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以()g x 的单调增区间为5[,]()1212k k k ππππ-++∈Z ．（10分）18．（12分）【解析】（1）由题，120192n n a a ++=，120192(2019)n n a a +-=-，{2019}n a -是首项120191a -=-，公比为2的等比数列， 120192n n a --=-，数列{}n a 的通项公式为120192n n a -=-．（6分）（2）由（1）知：1211120a a a a >>>>>>，设{}n a 的前n 项和为n S ，则0112019(222n n S n -=-+++）201921n n =-+，于是12||||||n n T a a a =+++1211112,11()(),12n n a a a n a a a a n +++≤⎧=⎨++-++≥⎩1111,11(),12n n S n S S S n ≤⎧=⎨--≥⎩201921,114032320192,12n nn n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩． （12分）19．（12分） 【解析】（1）由题意可知，当天需求量30n <时，当天的利润85(30)630330y n n n =+--⨯=-；当天需求量30n ≥时，当天的利润83063060y =⨯-⨯=． 故330,30,60,30n n y n n -<⎧=∈⎨≥⎩N ； （4分）（2所以这30天的日利润的平均数为5930=（元），方差为222(5459)3(5759)4(6059)233.830-⨯+-⨯+-⨯=；（8分）（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产．理由如下：由222222212101210()()()(6)(6)(6)21010x x x x x x x x x s -+-++--+-++-===，可得2221210(6)(6)(6)20x x x -+-++-=，所以2(6)20(110,,)k k x k k x -≤≤≤∈∈N N ，故10k x ≤，由此意味着连续10天的日需求量都不超过10个，所以一定要停止这种面包的生产． （12分） 20．（12分）【解析】（1）方法一：如图1，在AB 取点E 使得BE AC B'D ==，则CE AB ∥且DE BB'∥，又CE ⊄面ABB'A'，DE ⊄面ABB'A'，CE ∥面ABB'A'，DE ∥面ABB'A'，CE DE E =，面CDE ∥面ABB'A'，而CD ⊂面CDE ，所以CD ∥平面ABB'A'． （6分） 方法二：如图2，取AB 的中点M ，OO'⊥面ABC ， ,,OA OM OO'两两垂直，以O 为坐标原点，,,OA OM OO' 分别为,,x y z 正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，设1OA =， (0)AOC θθπ∠=<<，则(1,0,0),(1,0,0),(cos ,sin ,0),(cos ,sin ,)A B C D t θθθθ--，于是(2cos ,0,)CD t θ=-，而平面ABB'A'的法向量(0,1,0)OM =，由于0CD OM ⋅=及CD ⊄平面ABB'A'， 所以CD ∥平面ABB'A'． （6分） （2）设1OA =，2AC AB AA'==， 则1(,22C ，1(,,2)22D -，(1,0,2)CD =-，1(,2AC =- 设面CAD 的法向量1(,,)n x y z =，则112102CD n x AC n x y ⎧⋅=-+⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =1(23,2,n =设面BAD 的法向量2(,,)n x y z =，则221202220BD n x y z BA n x ⎧⎪⋅=++=⎨⎪⋅==⎩，令4y =，得2(0,4,n =所以121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=⋅519==，故二面角C AD B --的余弦值为519．（12分）21．（12分）【解析】（1）由题，48a =，12c a =， 2a =，1c =，2223b a c =-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=； （4分） O'图2（2）方法一：由题，3(1,)2M ，2(1,0)F ，设00(,)A x y ，(4,)N N y ，由,,A M N 三点共线，得003322141N y y x --=--，0003(24)2(1)Ny x y x +-=-， 直线2AF 的方程为：00(1)1y y x x =--，即：000(1)0y x x y y ---=， 点N 到直线2AF的距离000003(24)|4(1)|y x y x y d +----=0033|6||6|3x x --===为定值． （12分） （2）方法二：由题，3(1,)2M ，2(1,0)F ，设00(,)A x y ，则201||22AF x ====-，2222020113|||1|||3(4)224NAF MAF NMF S S S MF x MF x =+=⋅⋅-+⋅⋅=-△△△，于是点N 到直线2AF 的距离20203(4)2231||22NAF x S d AF x -===-△为定值． （12分）22．（12分）【解析】（1）21()2(ln 1)212ln 21f 'x x x x a x x x a x=-+⋅++=-++， 由题，()2ln 12f 'a a a a =++=，即12ln 1a a-=-，又函数1()2ln x x xϕ=-在(0,)+∞上是增函数，且(1)1ϕ=-，故1a =． （4分）（2）()0f x =等价于221ln 10a a x x x+-+-=，记221()ln 1a a g x x x x+=-+-，则函数()g x 在区间(0,)e 上有且只有一个零点， 232331221(21)2(1)(2)()a a x a x a x x a g'x x x x x x+-++--=+-==， ① 2a e ≥，即2ea ≥时，当(0,1)x ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增；当(1,)x e ∈时，()0g'x <，()g x 单调递减，又1()(1)(2)0g ae e e =--<，(1)0g a =>，2(21)()0e a e g e e -+=>，此时()g x 在(0,1)上有唯一零点，在(1,)e 上无零点，符合题意；② 12a e <<，即122ea <<时， 当(0,1)x ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增；当(1,2)x a ∈时，()0g'x <，()g x 单调递减；当(2,)x a e ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增，又1()(1)(2)0g ae e e =--<，(1)0g a =>，1(2)ln 204g a a a =+>，此时()g x 在(0,1)上有唯一零点，在(1,)e 上无零点，符合题意；③ 21a =，即12a =时，23(1)()0x g'x x -=≥，()g x 在(0,)e 上单调递增，又11()(1)(2)02g e e e =--<，1(1)02g =>， 此时()g x 在(0,)e 上有唯一零点，符合题意；④ 021a <<，即102a <<时，当(0,2)x a ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增；当(2,1)x a ∈时，()0g'x <，()g x 单调递减；当(1,)x e ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增，又2(21)()ln 20a a e e g a e a+-=+-<，(1)0g a =>， 此时()g x 在(0,1)上有唯一零点，在(1,)e 上无零点，符合题意；⑤ 0a =时，1()ln 1g x x x =+-，21()x g'x x-=，当(0,1)x ∈时，()0g'x <，()g x 单调递减；当(1,)x e ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增， 故min ()(1)0g x g ==，此时()g x 在(0,)e 上有唯一零点1，符合题意； ⑥ 0a <时，20x a ->，当(0,1)x ∈时，()0g'x <，()g x 单调递减；当(1,)x e ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增，又1()(1)(2)0g ae e e=-->，(1)0g a =<，故()g x 在(0,1)上有唯一零点，由题可知()g x 在(1,)e 上无零点，需2(21)()0e a e g e e -+=≤，解得12ea e≤-． 综上，(,][0,)12ea e∈-∞+∞-．（12分）。
安徽省示范高中培优联盟2020年高二数学春季联赛试题理
安徽省示范高中培优联盟2020年高二数学春季联赛试题 理本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)(1)已知集合M ＝{x|y ＝ln(x －1)}，N ＝{x|x 2－2x ≥0}，则M ∩U ðN ＝(A)(0，2) (B)(1，2) (C)(－2，0) (D)(0，1)(2)设复数z ＝(12-+)2020(其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)在[0，1]内任取两个实数x ，y ，则事件0<x －y ≤12的概率等于 (A)18 (B)14 (C)38 (D)12(4)命题“∀a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为(A)∀a ，b>0，a ＋1b <2和b ＋1a <2至少有一个成立(B)∀a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立(C)∃a ，b>0，a ＋1b <2和b ＋1a <2至少有一个成立 (D)∃a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立(5)过圆C 1：x 2＋y 2＝1上的点P 作圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝4切线，切点为Q ，则切线段PQ 长的最大值为(6)关于函数f(x)＝cos 2x sinxcosx －12有下述三个结论： ①f(x)在区间[4π，2π]上是减函数； ②f(x)的图象关于直线x ＝－3π对称；③f(x)在区间[4π，π]上的值域为[－1，2]其中正确结论的个数是(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(7)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，M 是△ABC 所在平面内一点，且()0MB MC BC +⋅=u u u r u u u u r u u u r，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r(A)3 (B)6 (C)9 (D)12(8)已知函数y ＝f(x)是定义域为R 的函数，则函数y ＝f(x ＋2)与y ＝f(4－x)的图象 (A)关于x ＝1对称 (B)关于x ＝3对称 (C)关于y ＝3对称 (D)关于(3，0)对称 (9)函数()2191xf x x x x =+++(x>0)的最小值为(A)6 (B)18130(C)12 (D)132(10)已知过点A(t ，0)的直线与抛物线y 2＝8x 交于B ，C 两点，F 为抛物线的焦点，若11BF CF+为常数，则t 的值为(A)2 (B)－2 (C)2或－2 (D)不存在(11)已知正多面体共有5种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学(理)试题(解析版)
【答案】 .
【解析】设 ， ，则 .在 和 中分别由余弦定理，进而可得 ，在 中由余弦定理，即可求得 值，根据三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】
设 ， ，则 .
【答案】A
【解析】设 为 图象上任意一点，说明点 在函数 的图象上，根据点 关于直线 对称得解.
【详解】
设 为 图象上任意一点，
则 ，
所以点 在函数 的图象上，
而 与 关于直线 对称，
所以函数 与 的图象关于直线 对称.
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数图象的对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
等号成立条件为 ，
∴ 对一切x>0成立，
只需 ，即 ，
∴ 的最大值为2.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，主要利用 ，对 进行放缩，熟记并掌握导数中常用的不等式放缩技巧是解题的关键.
二、填空题
13．过点 与曲线 相切的直线方程为______________.
【答案】 .
【解析】设切点坐标，写出切线方程，根据切线过点 ，再求出切点坐标，从而得切线方程.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用面积比求几何概型的概率，属于基础题.
4．命题“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为（）
A． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
B． a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
C． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
安徽省示范高中培优联盟2024年春季联赛高二数学试题与答案
培优联盟2024春季联赛高二数学参考答案1234567891011BBDCACDACDBCDAD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B【解析】取0a =，0b <，则可知由“0ab =”无法推出a b =+”．2．B【解析】(3,4)BC DA BA AC DA BA DC AB CD+=++=+=--=--．3．D【解析】两式作差得，cos sin 2024cos cos 2024sin sin 2024cos()2024cos A A B C B C B C A -=-=+=-，所以sin 2025cos A A =，即tan 2025A =．4．C【解析】若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是3”，或是“一个为3，另一个不是3”，或是“两个不等的且不是8,11,28”。
①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是3；②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为3，另一个不是3”，则一个为3，另一个数不小于8，又因为极差加倍，则另一个数为53，此时56m n +=；③若插入的两个数是不等的且不是3，8，11，28，且极差为50，则两个数可以为753m n ì=ïïíï=ïî，653m n ì=ïïíï=ïî，553m n ì=ïïíï=ïî，453m n ì=ïïíï=ïî，252m n ì=ïïíï=ïî，151m n ì=ïïíï=ïî，050m n ì=ïïíï=ïî，…所以，m n +的最大值为60．5．A【解析】()3sin 3cos 44cos3sin 4f x x x x x '=--，''()24sin 4sin 325cos3cos 4f x x x x x =-．6．C【解析】3334tan 4882a =>⋅=，422113log 7log 7log 8222b ==<=，2222274ln12ln 4(ln 7)(ln12ln 4)4(ln 7)(ln 49)4(ln 7)log 12log 70ln 7ln 44ln 7ln 44ln 7ln 4c b -+---=-=<<=，7．D【解析】记AB 与圆222:O x y b +=相切于点00(,)P x y ，则0c AP x a =，0cAF a x a=-，进一步有AP AF a +=，同理BP BF a +=，故ABF △的周长为2a ．8．A【解析】令0x y ==，则22(0)2[(0)]f f =，解得(0)0f =或(0)1f =令2t x y ==，则2()(0)2[()]2tf t f f +=，故()1f t ≥-．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．CD【解析】选项A 取1p q ==，r =．选项B ，取1p =，i q =．选项C ，由“两个复数相除为实数”可知，实部与虚部比值相等，进而得到两点间的斜率相等，故P ，Q ，R 三点共线．选项D ，||||||||||||q r q r p q p q =⇒=，则||p ，||q ，||r 成等比数列．10．BCD【解析】选项A ：若PC BD ^，则BD ⊥平面PAC ，进一步有BD AC ⊥，而底面ABCD 是矩形，不能保证BD AC ⊥．选项B ：取PD 中点M ，则12EA CD FM ==，进一步有EF AM = ．选项C ：1()2EF AP BC =+．11．AD【解析】选项B ：取3a =，4b =，5c =，则222a b c +<；选项C ：取4a b ==，1c =，则sin sin 0sin a b c+<<选项D ：由2a a b c a b c <+++，2b b c a a b c <+++，2c c a b a b c <+++可得2a b cb c c a a b++<+++．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．3【解析】根据余弦定理计算得BC =6，所以632BC e AC AB ===-.13．2e 【解析】ln 1a c -=，ln 1b d -=．由2ln ln 1ln 1a c d a b =+=-+-，即ln ln 2b a -=，即2e ba=。
2020年安徽省示范高中培优联盟高中二年级春季联赛数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2020年高中二年级春季联赛数学(理)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第II 卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)(1)已知集合M ＝{x|y ＝ln(x －1)},N ＝{x|x 2－2x ≥0},则M ∩U N ＝(A)(0,2) (B)(1,2) (C)(－2,0) (D)(0,1)(2)设复数z ＝(12-+)2020 (其中i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(3)在[0,1]内任取两个实数x,y,则事件0<x －y ≤12的概率等于(A)18 (B)14 (C)38 (D)12(4)命题“∀a,b>0,a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2至少有一个成立”的否定为 (A)∀a,b>0,a ＋1b <2和b ＋1a<2至少有一个成立 (B)∀a,b>0,a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立 (C)∃a,b>0,a ＋1b <2和b ＋1a<2至少有一个成立 (D)∃a,b>0,a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立 (5)过圆C 1：x 2＋y 2＝1上的点P 作圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝4切线,切点为Q,则切线段PQ 长的最大值为(D)(6)关于函数f(x)＝cos 2x sinxcosx －12有下述三个结论： ①f(x)在区间[4π,2π]上是减函数； ②f(x)的图象关于直线x ＝－3π对称；③f(x)在区间[4π,π]上的值域为[－1,2] 其中正确结论的个数是(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(7)在△ABC 中,AB ＝2,AC ＝4,M 是△ABC 所在平面内一点,且()0MB MC BC +⋅=,则AM BC ⋅=(A)3 (B)6 (C)9 (D)12(8)已知函数y ＝f(x)是定义域为R 的函数,则函数y ＝f(x ＋2)与y ＝f(4－x)的图象(A)关于x ＝1对称 (B)关于x ＝3对称 (C)关于y ＝3对称 (D)关于(3,0)对称(9)函数()2191x f x x x x =+++(x>0)的最小值为(A)6 (B)18130(C)12 (D)132。
安徽省示范高中培优联盟2020年高二数学春季联赛试题理
安徽省示范高中培优联盟2020年高二数学春季联赛试题 理本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)(1)已知集合M ＝{x|y ＝ln(x －1)}，N ＝{x|x 2－2x ≥0}，则M ∩U ðN ＝(A)(0，2) (B)(1，2) (C)(－2，0) (D)(0，1)(2)设复数z ＝(12-+)2020(其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)在[0，1]内任取两个实数x ，y ，则事件0<x －y ≤12的概率等于 (A)18 (B)14 (C)38 (D)12(4)命题“∀a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为(A)∀a ，b>0，a ＋1b <2和b ＋1a <2至少有一个成立(B)∀a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立(C)∃a ，b>0，a ＋1b <2和b ＋1a <2至少有一个成立 (D)∃a ，b>0，a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立(5)过圆C 1：x 2＋y 2＝1上的点P 作圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝4切线，切点为Q ，则切线段PQ 长的最大值为(6)关于函数f(x)＝cos 2x sinxcosx －12有下述三个结论： ①f(x)在区间[4π，2π]上是减函数； ②f(x)的图象关于直线x ＝－3π对称；③f(x)在区间[4π，π]上的值域为[－1，2]其中正确结论的个数是(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(7)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，M 是△ABC 所在平面内一点，且()0MB MC BC +⋅=u u u r u u u u r u u u r，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r(A)3 (B)6 (C)9 (D)12(8)已知函数y ＝f(x)是定义域为R 的函数，则函数y ＝f(x ＋2)与y ＝f(4－x)的图象 (A)关于x ＝1对称 (B)关于x ＝3对称 (C)关于y ＝3对称 (D)关于(3，0)对称 (9)函数()2191xf x x x x =+++(x>0)的最小值为(A)6 (B)18130(C)12 (D)132(10)已知过点A(t ，0)的直线与抛物线y 2＝8x 交于B ，C 两点，F 为抛物线的焦点，若11BF CF+为常数，则t 的值为(A)2 (B)－2 (C)2或－2 (D)不存在(11)已知正多面体共有5种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
2022-2023学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学试题一、单选题1．已知集合(){}(){}2,,,P x y y x Q x y y x ====∣∣，则P Q = （）A ．{}0B ．{}0,1C ．(){}0,0D ．()(){}0,0,1,1【答案】D【分析】根据集合的含义，结合解方程组，即可求得两集合的交集.【详解】由题意集合(){}(){}2,,,P x y y x Q x y y x ====∣∣表示点集，解方程组2y xy x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，故()(){}0,0,1,1P Q = ，故选：D2．若13i +是关于x 的实系数方程210ax bx ++=的一个复数根，则（）A ．14a =，12b =B ．14a =，12b =-C ．14a =-，12b =D ．14a =-，12b =-【答案】B【分析】根据一元二次方程复数根的特点及韦达定理即可求出答案.【详解】根据一元二次方程复数根成共轭复数形式出现，则另一个复数根为13i -，根据两根之积得()()113i 13i 4a+-==，则14a =，根据两根之和有214b ba=-=-，解得12b =-，故选：B.3．已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥B ．若,m m n α∥∥，则n α∥C ．若,m n αβ⊥∥，且m n ⊥，则αβ⊥D ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ∥，则m n ∥【答案】D【分析】根据线面之间的位置关系判定即可.【详解】对于A 项，,m n 可能相交，如图所示正方体中，若,m n 分别为直线AB BC 、，α为平面1111D C B A ，此时符合条件，但结论不成立，故A 错误；对于B 项，有n ⊂α的可能，如图所示正方体中，若,m n 分别为直线11AB A B 、，α为平面1111D C B A ，此时符合条件，但结论不成立，故B 错误；对于C 项，如图所示正方体中，若,m n 分别为直线111AA B C 、，α为平面1111D C B A ，β为平面ABCD ，此时符合条件，但结论不成立，故C 错误；对于D 项，因为αβ∥，,m m αβ⊥⇒⊥又n β⊥，所以m n ∥，故D 正确；故选：D4．某公司将包括2名女员工在内的5名员工派往3个不同的地方学习，要求每人去一个地方，每个地方至少去一人，则2名女员工必须在一起学习的不同的分配方案有（）A ．24B ．32C ．36D ．48【答案】C【分析】分1,1,3三组，1,2,2三组讨论，并利用排列组合公式即可得到答案.【详解】如果5人分成1,1,3三组，则分配方法有：213233C C A 种，如果5人分成1,2,2三组，则分配方法有：223233C C A 种，由加法原理可得：不同分配方法数为213223233233C C A C C A 36+=种.故选：C5．著名的天文学家拉普拉斯曾经说过“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”，对数可以将乘除运算转化为加减运算，从而简化运算过程.在一次趣味表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.还未等主持人报出第一个数字，速算专家已经写出了答案：这个数的31次方根是13，他的秘诀就是：他心中记住了下面的表（表中常用对数为近似值），请你也试一试，一个20位整数的32次方根仍是一个整数，这个32次方根是多少？（）真数常用对数真数常用对数20.3090.9530.4810 1.0040.6011 1.0450.7012 1.0860.7813 1.1170.8514 1.1580.90151.18A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】设这个数为x ，则可得32x N =，利用对数运算并结合已知图表可求得lg 0.60x =，即可求得x 的值，即得答案.【详解】设所求这个数为x ，则32x N =，N 为20位整数，则321lg lg ,lg lg 32x N x N =∴=，因为20191010N <<，故19lg 20N <<，所以10.5938lg 0.62532N <<，由表可知lg 0.60x =，即4x =，故这个32次方根是4，故选：B6．已知函数()32f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且()12f x x =，()21f x x =，那么关于x 的方程()()2320f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦的不同实根的个数是（）A ．6个B ．4个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】首先利用导数得到函数单调性，再作出图象，而由方程可知()()12,f x x f x x ==，再利用图象即可得到根的个数.【详解】()232f x x ax b '=++，令()0f x '=得12,x x x x ==，不妨令12x x <，故()f x 在()()12,,x x -∞+∞,上单调递增，在()12,x x 上单调递减，方程()()23[]20f x af x b ++=可得()()12,f x x f x x ==，而()12f x x =，()21f x x =，由()f x 的单调性并作出图象可知直线12,y x y x ==分别过点2112(,()),(,())x f x x f x ，与函数()f x 图象均有两个交点，故方程()()23[]20f x af x b ++=的根的个数是4个.故选：B.二、解答题7．已知()()()ln 1R f x x ax a =-+∈(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，()e ln 1xb b x f x +++≥恒成立，求b 的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2))2e ,∞-⎡+⎣【分析】（1）求得()()11ax a f x x --'=-，分0a =、0a >和a<0，三种情况讨论，结合()f x '的符号，即可求解.（2）解法1：转化为()e ln 1ln 10xb b x ++--≥恒成立，设()()e ln 1ln 1x g x b b x =++--，求得()1e 1x g x b x ='--，得到()g x '存在唯一的实数()1,t ∈+∞，使得1e 01tb t -=-，得出函数()g x 的单调性与最小值()()12ln 111g t t t t =---+-，进而转化为()1e 1t b t =-在(]1,2t ∈时的取值范围，设()()1e 1t h t t =-，利用导数求得其最小值，即可求解；解法2：由题意转化为()()ln e ln ln 11x bx b x x +++≥-+-，构造函数()e t h t t =+，转化为证明()ln ln 1b x x ≥--，设()()ln 1g x x x =--，利用导数求得单调性与最值，即可求解.【详解】（1）解：由题意，函数()()ln 1f x x ax =-+的定义域为{1}x x >∣，可得()()1111ax a f x a x x --=+=--'.当0a =时，()101f x x -'=>，()f x 在()1,+∞单调递增；当0a >时，()()11011a a x ax a a f x x x -⎛⎫- ⎪--⎭-'⎝==>-，()f x 在()1,+∞单调递增；当a<0时，令()0f x '=，得11x a=-，故()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当0a ≥时，()f x 在()1,+∞单调递增；当a<0时，()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）解法1：只要证明()e ln 1ln 1xb b x ++≥-恒成立即可，即证明()e ln 1ln 10xb b x ++--≥恒成立即可，设()()e ln 1ln 1xg x b b x =++--，其中0b >，函数()g x 的定义域为{1}x x >∣且()1e 1xg x b x ='--，令()1e 1xx b x ϕ=--，可得()21e 0(1)x x b x ϕ'=+>-，所以()g x 为单调递增函数，可得存在唯一的实数()1,t ∈+∞，使得1e 01tb t -=-，即()ln e ln 1b t t +=--当()1,x t ∈时，()0g x '<，当(),x t ∈+∞时，()0g x '>.故()g x 的最小值为()()()1ln ln 112ln 111tg t be b t t t t =+--+=---+-，又由()()2111011g t t t '=---<--，所以()g t 在()1,+∞是减函数，且()20g =.要使()0g t ≥恒成立，只需(]1,2t ∈即可，即求()1e 1t b t =-在(]1,2t ∈时的取值范围.，设()()(]1,1,2e 1t h t t t =∈-，可得()2e [e (1)0]t t t h t t '=--⋅<，所以()h t 在定义域内为减函数，故()()22e h t h -≥=.所以b 的取值范围为)2e ,∞-⎡+⎣.解法2：只要证明()e ln 1ln 1xb b x x x +++≥-+恒成立即可，即证明()()ln eln ln 11x bx b x x +++≥-+-构造函数()e th t t =+，易知()h t 为增函数，原式等价于证明()()()ln ln 1h x b h x +≥-即证明()ln ln 1x b x +≥-，得()ln ln 1b x x ≥--.设()()ln 1g x x x =--，则()12111-'=-=--x g x x x ，所以()g x 在()1,2单调递增，在()2,+∞上单调递减.()max ln ()22b g x g ≥==-，所以b 的取值范围为)2e ,∞-⎡+⎣.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．8．已知双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，其中点F 为右焦点，过点F 作垂直于x 轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点A ，过点F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为M ，若6AF =，23MF =.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点M 作AF 的平行线l ，在直线l 上任取一点P ，连接PA 与双曲线相交于点B ，求证点P 到直线BF 的距离是定值.【答案】(1)221412x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据焦点(),0F c 到渐近线的距离为23，列出方程求得b ，再由26bAF a==，求得2a =，即可求得双曲线的方程；（2）设点()00,B x y ，得到直线BF 的方程()000440y x x y y ---=，设直线l 的方程为x m =，点(),3M m m ，根据FM l ⊥，取得1m =，得到直线l 的方程为1x =，设()1,P t ，根据,,P B A 共线，求得()00361,64y P x ⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】（1）解：由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，可得焦点(),0F c ，其中一条渐近线方程为b y x a=，则点(),0F c 到渐近线的距离为2223()bc d b a ==+-，解得23b =，又由2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得26b AF a ==，解得2a =，故双曲线的标准方程为221412x y -=.（2）解：由双曲线221412x y -=，可得()()4,0,4,6F A ，设点()00,B x y ，则直线BF 的方程为()0044=--y y x x ，即()000440y x x y y ---=，由题意，设直线l 的方程为x m =，由点M 在直线l 上，可设点(),3M m m ，又由FM l ⊥，可得3343m m =--，解得1m =，即直线l 的方程为1x =，设()1,P t ，由点,,P B A 共线，可得AP AB k k =，即006634y t x --=--，得()003664y t x -=-+-，即点()00361,64y P x ⎛⎫--+⎪-⎝⎭，则点P 到直线BF 的距离为()()()()00000022220000036644666132143412y y x y x x d x y x x x +-----+-====-+-+--.即点P 到直线BF 的距离为定值.9．如图所示，在四棱锥S ABCD -中，侧面SAB 为边长为2的等边三角形，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，1CD =，底面梯形的两条对角线AC 和BD 互相垂直，垂足为O ，2SO =，点M 为棱SB上的任意一点.(1)求证：AC DM ⊥；(2)是否存在点M 使得二面角M AD C --的余弦值为7618，若存在求出点M 的位置；若不存在请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点M 为靠近B 的三等分点【分析】（1）由222SA SO OA =+，证得SO AO ⊥，得到SO AC ⊥，又由AC BD ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AC ⊥平面SBD ，进而证得AC DM ⊥.（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，设棱SB 上存在一点M ，设[],0,1SM SB λλ=∈，得到20,2,222DM λλ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，分别求得平面ADM 和平面ACD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，列出方程，求得λ的值，即可求解.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为等腰梯形，且AC BD ⊥，所以OAB 为等腰直角三角形，因为2AB =，所以2OA OB ==，因为2,2SA SO ==，所以222SA SO OA =+，所以SO AO ⊥，即SO AC ⊥，又因为BD ⊂平面SBD ，SO ⊂平面SBD ，且BD SO O ⋂=，所以AC ⊥平面SBD ，因为DM ⊂平面SBD ，所以AC DM ⊥.（2）解：如图所示，以O 为原点，,,OA OB OS 分别为,,x y z ，轴建立空间直角坐标系，由（1）知22OA OB OS OD ====，故()()()()20,0,0,2,0,0,0,2,0,0,,0,0,0,22O AB D S ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故()()220,,2,2,0,2,0,2,2,2,,022DS AS SB AD ⎛⎫⎛⎫==-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭假设在棱SB 上存在一点M 满足题意，设,[0,1)SM SB λλ=∈.所以20,2,222DM DS SM DS SB λλλ⎛⎫=+=+=+-⎪ ⎪⎝⎭设平面ADM 的法向量为(),,m x y z = ，则()2202222202m AD x y m DM y z λλ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪⋅=++-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ ，易令2y =，可得121,1x z λλ+=-=-，所以121,2,1m λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭又由平面ACD 的一个法向量为()0,0,1n =设二面角M AD C --为θ，可知二面角为锐二面角则212761cos cos ,181251m n m n m nλλθλλ+⋅-====+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，整理得2127618966λλλ+=-+，即21534160λλ-+=，解得23λ=或85λ=（舍去），所以，存在点M 为靠近B 的三等分点.10．“十三五”时期，在党中央､国务院坚强领导下，全民健身国家战略深入实施，全民健身公共服务水平显著提升，全民健身场地设施逐步增多，人民群众通过健身促进健康的热情日益高涨，经常参加体育锻炼人数和参加锻炼的时间都在明显增加.某城市为了调查该市市民积极参加体育锻炼的情况，从市民中随机抽取了50人，结果是他们参加锻炼的时间都在区间[50,100]内，锻炼时间的频率分布直方图如下：(1)如果锻炼时间的中位数的估计值大于或者等于平均数的估计值，则说明该城市市民积极参加锻炼的意识很强，否则说明该城市市民积极参加锻炼的意识不强，请你根据直方图对他们积极参加锻炼的意识强与不强做出判断；(2)假如根据调查统计结果规定：锻炼时间在[80,100]的市民为优秀层次，时间在[50,80)的为非优秀层次，（ⅰ）从被调查的50人中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取5人，求这5人中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的概率；（ⅱ）用频率作为概率，现从该城市所有市民中随机抽取3人，这3人中锻炼时间为优秀层次的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】(1)该市市民积极参加体育钗炼的意识很强(2)（ⅰ）3142；（ⅱ）分布列见解析，()95E X =【分析】（1）分别利用频率分布直方图估计中位数和平均数，即可得答案；（2）（ⅰ）由题可得10人中，优秀6人，非优秀4人，则5人中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的情况有优秀5人，优秀4人非优秀1人，优秀3人非优秀2人三种情况，即可得概率；（ⅱ）由题可知33,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得随机变量X 的分布列和数学期望.【详解】（1）锻炼时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对应的值，设为x ，0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯< .0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，则x 在[)80,90之间.()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟.又锻炼时长平均数估计值为:0.0110550.0110650.0210750.0310850.03109581⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟，所以，根据这次调查，该市市民积极参加体育钗炼的意识很强.（2）（ⅰ）由题可得10人中，优秀6人，非优秀4人，则5人中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的情况有优秀5人，优秀4人非优秀1人，优秀3人非优秀2人三种情况，则5人中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的概率5413266464510C C C C C 31C 42P +⋅+⋅==；（ⅱ）根据频率，不难得到从该城市市民中随机抽取一人，锻炼时间为优秀层次的概率为35，人数X服从二项分布33,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，故X 的分布列为X0123P8125361255412527125数学期望()39355E X =⨯=.11．如下图，已知有()24n n ≥个正数排成n 行n 列：其中每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，且所有的公比相等，已知121a =，142a =，428a =.(1)求34a 和44a 的值；(2)求1122nn S a a a =+++ （用含n 的式子表达）.【答案】(1)348a =，4416a =；(2)()11212n S n -=-+.【分析】（1）设第n 行的公差为n d ，公比为q ，根据12a ，14a 及等差数列的通项公式求解1d ，根据12a ，42a 及等比数列的通项公式求出q ，再由等差数列的通项公式求出14a ，最后由等比数列的通项公式求34a 和44a 的值；（2）先根据等差数列的通项公式求出1k a ，再根据等比数列的通项公式求出kk a ，最后由错位相减法求和.【详解】（1）设第n 行的公差为n d ，公比为q ，因为121a =，142a =，428a =，所以141212114222a a d --===-，342128a q a ==,解得2q =.所以223414228a a q ==⨯=，44348216a a q ==⨯=.（2）()()11211121222k a a k d k k =+-=+-=，11211222k k k kk k a a q k k ---==⋅=⋅()1,2,,k n =L ，所以210121122121222322nk n nn k S a a a k n ---==+++=⋅=⋅+⋅+⋅++⋅∑ ，012121222322n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅ ，作差可得()111012111221222222221122n n n n n S S S n n n ---------=-=++++-⋅=-⋅=--- ，所以()11212n S n -=-+.12．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π3A =，22cos cos 3222C B b c b c ++=+，设B x =，ABC 的周长为y .(1)当π4x =时，求y 的值；(2)求函数()y f x =的解析式及最大值.【答案】(1)32236++(2)()π43sin 236f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2π03x <<；最大值为63【分析】（1）根据题意，由正弦定理得()2sin sin sin sin 2sin 23R B C C B R A +==，求得2R =，进而求得,,a b c 的长，得到三角形的周长；（2）由B x =，根据正弦定理得到243sin 23,06ππ3y x x ⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：由22cos cos 3222C B b cb c ++=+，可得1cos 1cos 3222C B b cb c +++⋅+⋅=+，即cos cos 23b C c B ⋅+⋅=，设三角形ABC 的外接圆半径是R ，由正弦定理得()2sin cos sin cos 2sin()2sin 23R B C C B R B C R A +=+==，因为3sin 2A =，所以2R =，又62sin sin 344C ππ+⎛⎫=+=⎪⎝⎭又由43262224a b c ===+，解得23,22,62a b c ===+，所以三角形ABC 的周长为22232632236y =+++=++.（2）解：由B x =，且π3A =，可得π2ππ33C x x =--=-，可得2π4sin ,4sin()3b xc x ==-，所以()2314sin 4sin 234sin 4(cos sin )233π22y f x x x x x x ⎛⎫==+-+=+++ ⎪⎝⎭ππ26sin 23cos 43sin 23,063x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由ππ25(0,)(,)366ππ6x x ∈+∈，所以当ππ62x +=，即π3x =时，()y f x =取到最大值63.三、填空题13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，在双曲线左支上取一点M ，若直线MF 与以双曲线实轴为直径的圆相切于N ，若向量2MN NF =，则双曲线C 的离心率为__________.【答案】132【分析】连接ON ，取双曲线的左焦点为1F ，连接1MF ，过1F 作MF 的垂线，垂足为G ，可得FNO △相似于1FGF ，且相似比为1:2，结合双曲线的定义可得1MF ，在直角1F MG △中，由勾股定理得出,a b 的等量关系，再由双曲线的离心率公式即可求解.【详解】连接ON ，取双曲线的左焦点为1F ，连接1MF ，过1F 作MF 的垂线，垂足为G ，直线MF 与圆222x y a +=相切,,ON MF ON a ∴⊥=，,OF c NF b =∴= ，O 为1F F 的中点，1//F G ON ，FNO ∴ 相似于1FGF ，且相似比为1:2，故12,F G a NG b ==.22,,,3MN NF MN b MG b MF b =∴=∴==.在双曲线()222210,0x y a b a b -=>>中，由双曲线定义知12MF MF a -=，132MF b a ∴=-.11,//,ON MF F G ON F MG ⊥∴ △为直角三角形，22211||F G MG MF ∴+=，即222(2)(32)a b b a +=-，解得23b a =，故双曲线的离心率为21312b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故答案为:132.14．已知函数()y f x =定义域为R 且满足①()2y f x =+为偶函数；②任意2,2x y ≥≥都有()()()1f x y f x f y +-=+成立；③[)1212,2,,x x x x ∀∈+∞≠，都有()()12120f x f x x x ->-，请给出满足上述三个性质的一个函数为__________.【答案】()122f x x =-（答案不唯一）【分析】由三个条件依次分析出函数具有对称性、单调性等性质，可从熟悉的函数中找到符合条件的函数.【详解】由性质①()2y f x =+为偶函数知，函数()y f x =关于直线2x =对称；由性质②任意2,2x y ≥≥都有()()()1f x y f x f y +-=+成立，可设()f x kx b =+，待定系数可得当2x ≥时，()1f x kx =-；由性质成立③[)1212,2,,x x x x ∀∈+∞≠，都有()()1212f x f x x x ->-可知函数()y f x =在[)2,+∞上单调递增，因此可写出满足上述三个性质的一个函数为()122f x x =-.故答案为：()122f x x =-（答案不唯一）15．若33223(106)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-+=__________.【答案】8【分析】令1,2x y =-=，可得答案.【详解】注意到()()()()3232248112122a b c d a b c d -+-+=⋅-+⋅-⨯+⋅-⨯+⋅.又33223(106)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-+=()3101628⎡⎤⨯-+⨯=⎣⎦.故答案为：816．已知2286160x y x y +--+=，则yx的最小值为__________.【答案】0【分析】设yk x=，根据圆心到直线的距离小于等于半径列式可求出结果.【详解】由2286160x y x y +--+=可得圆心为(4,3)，半径为3，设yk x=，即0kx y -=，依题意得2|43|31k k -≤+，解得2407k ≤≤，所以yx的最小值为0.故答案为：0.四、多选题17．已知正方形ABCD 的边长为2，点,M N 分别是线段,CD BC 上的动点，若满足AC x AM y AN =+，则下列说法正确的是（）A ．当1x =时，则1y =B ．当23x y ==时，点,M N 分别是线段,CD BC 的中点C ．当23x y ==时，0AC MN ⋅= D ．当22111CM CN +=时，x y +的最小值为8227+【答案】BCD【分析】建立平面直角坐标系，设出,M N 的坐标，利用向量的坐标运算逐一判断各个选项作答.【详解】以点A 为坐标原点，,AB AD 分别为x 轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，设(,2),(2,)M a N b ，02,02a b ≤≤≤≤，(,2),(2,)AM a AN b == ，由AC x AM y AN =+ ，得(2,2)(2,2)ax y x by ++=，则2222ax y x by +=⎧⎨+=⎩，对于A ，当1x =时，得220a y by +=⎧⎨=⎩，不能得1y =，如取0b =，11,2a y ==，满足条件，A 错误；对于B ，当23x y ==时，得1a b ==，此时点,M N 分别是线段,CD BC 的中点，B 正确；选项C ，由选项B 知，(1,2),(2,1)M N ，(1,1)MN =-，而(2,2)AC = ，212(1)0AC MN ⋅=⨯+⨯-= ，C 正确；选项D ，当22111CM CN+=时，显然2a ≠且2b ≠，此时0xy ≠，否则2a =或2b =，矛盾，即有22111(2)(2)a b +=--，而2222y a x x b y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，因此22224(1)(1)x y x y x y +=+-+-，整理得2224(1),0,0x y x y x y +=+->>，而22222()()()22x y x y x y x y ++-++=≥，于是22()24(1)x y x y ++≥-，当且仅当x y =时取等号，整理得27()16()80x y x y +-++≥，令AC 交MN 于E ，显然E 与C 不重合，AE AC xAM y AN λλλ==+，01λ<<，由,,M E N 共线，得1x y λλ+=，即11x y λ+=>，解得8227x y ++≥，即，x y +的最小值为8227+，D 正确.故选：BCD18．如图所示，已知()0,0O ，()2,0A ，()11,1B ，作以1B 为直角顶点的等腰直角1OAB ，作点A 和点1B 的中点1C ，继续作以1C 为直角顶点的等腰直角121,B B C ，如此继续作中点，作等腰直角三角形.这样会得到一组分别以1122,,,,B C B C 为直角顶点的等腰直角三角形.下列说法正确的是（）A ．所作的等腰直角三角形的边长构成公比为12的等比数列B ．第4个等腰直角三角形的不在第3个等腰直角三角形边上的顶点坐标为39,14B ⎛⎫⎪⎝⎭C ．点4C 的纵坐标为511512D ．若记第n 个等腰直角三角形的面积为n S ，则14lim 3ni n i S →∞==∑【答案】ABD【分析】由题意分析逐项判断即可.【详解】由图易知，所作的等腰直角三角形的边长构成公比为12的等比数列，故选项A 正确；选项B ，()()12311,1,11,1,11,14B B B ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，故选项B 正确；选项C ，点1C 的纵坐标为112-，点2C 的纵坐标为3112-，点3C 的纵坐标为5112-，点4C 的纵坐标为7112-，点5C 的纵坐标为9112-，故选项C 错误；选项D ，121111111141441,,lim lim 1lim lim 114416434314nni n n n n n ni S S S -→∞→∞→∞→∞=⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫===++++==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭∑ ，故选项D 正确.故选：ABD.五、单选题19．已知函数()ππ3cos cos (0)44f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数恰有3个零点，则正整数ω的取值可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB【分析】化简()72sin 12f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意，结合正弦函数的图象，得到，734212ωππππ≤+<，求得ω的范围，结合选项，即可求解.【详解】由函数()3cos cos 3cos sin 4444f x x x x x ππππωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭72sin 2sin 4312x x πππωω⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可得777,1212212x ππωππω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有3个零点，结合正弦函数的图象可知，734212ωππππ≤+<，解出293966ω≤<，所以正整数ω的取值可以是5或6.故选：AB.六、多选题20．我们可以用统计图表表示数据，对获得数据进行统计分析.据《中国统计年鉴（2022）》可知，2016~2021年我国人口年龄分布情况（百分比）如表所示.（已知少儿抚养比()014%100%1564~=⨯~岁人数岁人数，老年抚养比()65%100%1564=⨯~岁及以上人数岁人数，总抚养比（%）=少儿抚养比（%）+老年抚养比（%））根据图表，下列说法正确的有（）A ．从2016年到2021年期间，0~14岁人口比重在逐年上升B ．从2016年到2021年期间，15~64岁人口比重在逐年下降C ．2021赡养老人的压力比2020年更重D ．2021年总抚养比大于2020年总抚养比【答案】BCD【分析】根据图表，逐项分析每个选项中的数据，可得答案.【详解】对于A ，由图表可知2018年到2019年间以及2020年到2021年间0~14岁人口比重在降低，A 错误；对于B ，从2016年到2021年期间，15~64岁人口比重在逐年下降，正确；对于C ，2021年65岁以及以上老年人抚养比为14.220.8%68.3≈，2020年65岁以及以上老年人抚养比为13.520.7%68.6≈，故2021赡养老人的压力比2020年更重，C 正确；对于D ，2021年总抚养比为14.217.546.4%68.3+≈，2020年总抚养比为13.517.945.8%68.6+≈，故2021年总抚养比大于2020年总抚养比，D 正确，故选：BCD七、单选题21．已知矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，沿着对角线AC 将ACD 折起，使得点D 不在平面ABC 内，当AD BC ⊥时，求该四面体ABCD 的内切球和外接球的表面积比值为（）A ．18935-B ．19935-C ．211235-D ．241235-【答案】C【分析】根据题意分析可得四面体的外接球的球心为AC 的中点O ，再利用等体积法求内切球的半径，进而可得结果.【详解】取AC 中点O ，由矩形的性质可知OA OB OC OD ===，即O 为该四面体的外接球的球心，故外接球的半径1522R AC ==；因为,AD BC AD DC ⊥⊥，BC DC C = ，,BC DC ⊂平面BCD ，可得AD ⊥平面BCD ，DC ⊂平面BCD ，则AD DC ⊥，且,AD BC BC AB ⊥⊥，AD AB A ⋂=，,AD AB ⊂平面ABD ，可得BC ⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，则BC BD ⊥，故该四面体ABCD 的四个面都是直角三角形，设四面体的内切球的半径为r ，因为内切球与四面体的四个面都相切，故r 满足13V rS =四面体表，则1112122133211113223r ⨯⨯⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得32332423r -==+；因此该四面体的内切球和外接球的表面积的比值为22222223324π211234π552S r r S R R ⎛⎫-⎪-⎝⎭====⎛⎫ ⎪⎝⎭内外.故选：C.22．我们知道立体图形上的最短路径问题通常是把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.请根据此方法求函数()2222,31313(0,0)f x y x x y y x xy y x y =-++-++-+>>的最小值（）A ．2B ．3C ．6D ．23【答案】A【分析】构造合适的三棱锥模型-P ABC ，其中1,,PA PB x PC y ===，，利用余弦定理证明(),f x y 即为底面周长，最后将其展开即可得到最小值.【详解】根据函数(),f x y 的表达式可知，构造三棱锥-P ABC ，其中1,,PA PB x PC y ===，且30,30,30APB BPC APC ∠∠∠=== ，由余弦定理可得，2231,31AB x x AC y y =-+=-+，223BC x xy y =-+，(),f x y 的最小值即为AB AC BC ++的最小值，将三棱锥-P ABC 按照PA 展开可得展开图，且90,2APA AA ∠'='= ，故(),f x y 的最小值为2.故选：A.。
2020年安徽省示范高中培优联盟高二春季联赛 数学(文)试卷参考答案
2020年安徽省示范高中培优联盟高二春季联赛数学（文）参考答案选择题：1-12 CABBA CCDDA CB1. C 【解析】∵{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}2,4,6U M =ð,∴()U M N I ð {}4,6=．2. A 【解析】()()()()1i 2i 1i 13i 2i 2i 2i 5----==++-,所以13i 55z =+对应的点位于第一象限．3. B 【解析】不妨令x y <,则(),x y 的不同取值有()1,2,()1,3,()1,4,()1,5,()2,3,()2,4,()2,5,()3,4,()3,5,()4,5共10种,其中满足5x y +≤的有()1,2,()1,3,()1,4,()2,3共4种,,所以事件5x y +≤的概率为40.410=． 4. B 【解析】方程2210ax x ++=有两个不同实根⇔1a <且0a ≠,所以“1a <”是“方程2210ax x ++=有两个不同实根”的必要不充分条件．5.A 【解析】对于选项A,甲的逻辑推理能力指标值为4,乙的逻辑推理能力指标值为3,所以甲的逻辑推理能力优于乙的逻辑推理能力,故A 正确；对于选项B,甲的数学建模能力指标值为3,乙的直观想象能力指标值为5,所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值,故B 错误；对于选项C,甲的六维能力指标值的平均值为123(434534)66+++++=,乙的六维能力指标值的平均值为1(543543)46+++++=,2346<,故C 错误；对于选项D,甲的数学运算能力指标值为4,甲的直观想象能力指标值为5,所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值,故D 错误．故选A.6.C 【解析】设AB a =u u u r r ,AC b =u u u r r ,则3a =r ,4b =r ,6a b ⋅=r r ,111222AD BE a b b a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r r r r r 22221111113462244244a b a b =-+-⋅=-⨯+⨯-⨯=-r r r r ． 7.C 【解析】两圆方程相减得公共弦方程为34160x y +-=,圆心()10,0C ,到公共弦的距离为165d ==,所以所求弦长为245=．。
安徽省示范高中2019-2020学年高二4月月考数学(理)答案
$#%解,由$!%可知$)#:"#:1 两两垂直#故以: 为坐标原点#以射线:$#:"#:1 分别为
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安徽省示范高中培优联盟2019春季联赛高二理科数学
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