高等数学 一 微积分 考试必过归纳总结 要点重点
高等数学一-微积分总结-知识归纳整理
导数微分学微分微积分不定积分积分学定积分无穷级数第一章函数及其特性1.1 集合一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。
二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）元素a，b，c……（小写字母）A=｛a，b，c｝元素的罗列无重复，无顺序。
a属于A记作a∈A，1不属于A记作1∉A或1∈A三、分类有限集无限集空集Ф四、集合的运算1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A⊆B或B⊇A（空集是任何集合的子集）。
2、交集：存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。
A B，A B⊆A，A B⊆B，Ф B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。
3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。
A B，A B⊇A，A B⊇B，Ф B=B。
4、补集：存在A、B两个集合，且A⊆B，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。
记作AB或A CB， ABA=Ф，ABA=B五、数、数轴、区间、邻域1、数实数虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，ii3332==-2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
3、区间知识归纳整理(1)闭区间a ≤x ≤b,x ∈[a, b] (2)开区间a< x< b, x ∈(a, b) (3)半开区间a ≤x< b, x ∈[a, b)a< x ≤b, x ∈(a, b](4)无限区间 x ≤a, x ∈(-∞, a]x ≥b, x ∈[ b, +∞) x ∈R, x ∈(-∞, +∞)4、邻域：以x = x 0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A 、B 两点，x 0 -δ< x 0 < x 0 +δ叫x 0的δ邻域。
例1 已知A=｛x ∈ -2≤x< 3｝，B=｛x ∈ -1< x ≤5｝，求A B ， A B 解：A 、B 集合中x 的取值范围在数轴表示如下所以A B=｛x ∈ -1< x< 3｝， A B=｛x ∈ -2≤x ≤5｝ 例2 已知A 、B 为两非空集合，则A B=A 是A=B 的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件注：如果A 成立，这么B 成立，即“A ⇒B ”，这么条件A 是B 成立的充分条件；如要使B 成立，必须有条件A ，但惟独A 不一定能使B 成立，则称A 是B 成立的必要条件；如果“A ⇒B ”，又有“B ⇒A ”，则称条件A 是B 成立的充分必要条件。
大一微积分复习总结
微积分期中复习第一章 函数与极限一、函数1、数轴、区间、领域2、函数的概念：设有两个变量x 和y ，如果当某非空集合D 内任取一个数值时， 变量y 按照一定的法则(对应规律)f ，都有唯一确定的值y 与之对应，则称y 是x 的函数。
记作()y f x =，其中变量x 称为自变量，它的取值范围D 称为函数的定义域；变量y 称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作()Z f ，即(){|(),}Z f y y f x x D ==∈。
函数的表示：函数的表示有三种。
公式法、表格法和图示法。
3、函数的几种特性函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性。
4、初等函数(1) 基本初等函数① 幂函数：y x μ=(μ为任意实数)， y kx b =+， 2y ax bx c =++ ② 指数函数：x y a =(0a >且1a ≠) ③ 对数函数：log a y x =(0a >且1a ≠)。
恒等式： log (0,1)a N a N a a =>≠ 换底公式： log log log c a c bb a=运算的性质：log log log a a a xy x y =+，log log log aa a yy x x=-。
④ 三角函数：sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x ======。
⑤ 反三角函数：arcsin ,arccos ,arctan ,cot y x y x y x y arc x ====。
(2) 反函数： (3) 复合函数： 5、常见的经济函数(1) 成本函数、收益函数和利润函数01()()C x C C x =+， ()()R x p x x =⋅，()()()L x R x C x =-。
(2) 需求函数与供给函数 (),()d d s s Q f p Q f p ==二、极限的概念与性质1、数列的极限 (1) 数列(2) 数列极限的定义 (3) 数列极限的几何意义 2、函数的极限(1) 当自变量x →∞时函数()f x 的极限 (2) 当自变量0x x →时函数()f x 的极限 (3) 左右极限3、函数极限的主要性质极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。
微积分大一考试必背知识点
微积分大一考试必背知识点微积分是数学中重要的一个分支，是描述变化和运动的工具。
对于大一学习微积分的学生来说，掌握一些必备的知识点可以帮助他们更好地理解微积分的概念和应用。
下面是一些大一微积分考试中必背的知识点。
1. 无穷小与极限在微积分中，无穷小是一个基本概念。
对于函数f(x)，当x趋向于某一点a时，如果f(x)的值趋近于0，那么f(x)就是无穷小。
极限是无穷小的重要概念，表示函数f(x)在某一点的值的趋近情况。
大一考试中，对于极限的求解是一个重点，学生需要了解极限的定义、性质和求解方法。
2. 导数与微分导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
导数的求解是微积分的基本操作之一，对于大一学生来说，熟练掌握导数的计算方法是至关重要的。
此外，微分是导数的一个应用，表示函数在某一点上的线性近似。
在考试中，学生需要掌握导数和微分的定义、性质和计算方法。
3. 积分与不定积分积分是微积分的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的累积效应。
不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。
对于大一学生来说，了解积分和不定积分的定义、性质和计算方法是必须的。
在考试中，学生需要掌握积分和不定积分的基本性质和计算方法。
4. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，用于描述变化和运动的规律。
对于大一学生来说，掌握解微分方程的方法是考试的一个重点。
学生需要了解一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，并能够应用到实际问题中。
5. 泰勒展开与级数泰勒展开是微积分中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点附近用无穷级数的形式表示。
对于大一学生来说，理解泰勒展开的思想和应用是必要的。
在考试中，学生需要掌握泰勒展开的定义和计算方法，并能够应用到函数的近似计算和函数性质的研究中。
6. 曲线的切线与法线切线和法线是微积分中常用的概念，用于描述曲线在某一点的特性。
对于大一学生来说，熟练掌握曲线的切线和法线的求解方法是必要的。
在考试中，学生需要了解切线和法线的定义和计算方法，并能够应用到曲线性质的研究中。
大一微积分知识点总结
大一微积分知识点总结微积分是高等数学的重要组成部分，对于大一的同学来说，是一门具有挑战性但又十分重要的课程。
以下是对大一微积分主要知识点的总结。
一、函数与极限函数是微积分的基础概念之一。
我们需要理解函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质。
比如，单调递增函数指的是当自变量增大时，函数值也随之增大；偶函数满足 f(x) ＝ f(x) ，奇函数满足 f(x) ＝ f(x) 。
极限是微积分中一个极其重要的概念。
极限的计算方法有很多，例如直接代入法、化简法、等价无穷小替换法、洛必达法则等。
等价无穷小在求极限时经常用到，比如当 x 趋近于 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小。
洛必达法则则适用于“0/0”或“∞／∞”型的极限。
二、导数与微分导数反映了函数在某一点处的变化率。
对于常见的基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，要熟练掌握它们的求导公式。
导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
复合函数的求导法则是一个重点也是难点，需要通过链式法则来求解。
微分是函数增量的线性主部。
函数在某一点的微分等于函数在该点的导数乘以自变量的增量。
三、中值定理与导数的应用中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理在证明一些等式和不等式时非常有用。
利用导数可以研究函数的单调性、极值和最值。
当导数大于 0 时，函数单调递增；当导数小于 0 时，函数单调递减。
导数为 0 的点可能是极值点，但还需要通过二阶导数来判断是极大值还是极小值。
在实际问题中，经常需要通过求导数来找到最优解，比如求成本最小、利润最大等问题。
四、不定积分不定积分是求导的逆运算。
要熟练掌握基本积分公式，如幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
积分的方法有换元积分法和分部积分法。
换元积分法包括第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。
分部积分法通常适用于被积函数是两个函数乘积的形式，比如 xe^x 。
大一微积分知识点总结
大一微积分知识点总结
函数与极限：
函数的定义与性质（奇偶性、周期性、单调性等）函数的四则运算与复合运算极限的概念与性质极限的运算法则无穷小与无穷大的概念极限存在准则（如夹逼准则）导数：
导数的定义（增量比、差商、导数）导数的几何意义（切线斜率）导数的计算法则（常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数等）高阶导数隐函数与参数方程的导数函数的单调性与导数的关系微分：
微分的定义与性质微分的计算法则微分在近似计算中的应用中值定理与导数的应用：
*罗尔定理（Rolle's Theorem）
拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）泰勒公式（Taylor's Formula）函数图形的描绘（利用导数判断凹凸性、拐点等）最值问题（一阶、二阶导数判断最值）不定积分：
不定积分的定义与性质不定积分的计算法则（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的不定积分等）积分表的使用换元积分法分部积分法定积分：
定积分的定义与性质微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）定积分的计算（直接计算、换元积分法、分部积分法）定积分的应用（面积、体积、弧长、旋转体体积等）无穷级数：
数列的概念与性质无穷级数的概念与性质正项级数的审敛法（比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等）交错级数的审敛法（莱布尼茨审敛法）幂级数的概念与性质函数展开成幂级数（泰勒级数、麦克劳林级数）
以上是对大一微积分主要知识点的总结，每个知识点都有许多细节和深入的内容需要学习和掌握。
在学习过程中，要注重理解概念和原理，多做练习，加强实践应用。
大一微积分高数期末知识点
大一微积分高数期末知识点微积分是大一高数课程中的一门重要学科，涵盖了许多基础的数学知识和计算方法。
在期末考试前，了解和掌握微积分的关键知识点对于取得好成绩至关重要。
本文将为您总结大一微积分高数期末考试中的主要知识点。
一、极限与连续1. 极限的定义和性质极限是微积分的核心概念之一，了解极限的定义和性质是理解微积分的基础。
掌握函数极限和数列极限的定义，熟练运用极限的性质进行计算和证明是必不可少的。
2. 连续的概念与判定了解函数在某一点的连续性的定义和判定方法。
可利用极限的性质判定函数在某一点的连续性。
二、导数与微分1. 导数的定义和计算法则理解导数的定义和计算法则是解决微积分问题的关键。
熟悉基本的导数计算法则，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数等，并能够熟练运用。
2. 高阶导数了解高阶导数的概念和计算方法。
能够使用高阶导数解决相关的数学问题。
3. 微分的概念与应用理解微分的概念，能够根据问题应用微分进行计算，如求近似值、求最大值最小值等。
三、积分与不定积分1. 积分的定义和计算法则熟悉积分的定义和计算法则，包括基本积分法则、分部积分法、换元积分法等。
能够运用这些法则解决各种不定积分问题。
2. 定积分了解定积分的概念和几何意义。
能够计算定积分，求解曲线下的面积、弧长、旋转体的体积等。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念了解微分方程的定义和基本概念，包括阶数、常微分方程和偏微分方程等。
2. 一阶常微分方程掌握一阶常微分方程的求解方法，如可分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
3. 高阶常微分方程了解高阶常微分方程的求解方法，特别是二阶常微分方程的特征方程法和常系数法等。
五、级数与幂级数1. 级数的定义和性质掌握级数的概念及其基本性质，理解级数的敛散性和收敛域的判定方法。
2. 幂级数了解幂级数的定义和性质，掌握幂级数的收敛域和求和方法，熟练运用幂级数求解函数展开和逼近问题。
六、空间解析几何1. 空间直角坐标系与向量理解空间直角坐标系的基本概念和性质，熟悉向量的基本运算法则和坐标表示。
高等数学一微积分考试必过归纳总结要点重点
高等数学一微积分考试必过归纳总结要点重点微积分是高等数学一门重要的学科，对于大部分学习该学科的学生来说，微积分考试是一个必须要过的关卡。
为了帮助大家更好地应对微积分考试，下面将对微积分的重点内容进行归纳总结，希望对大家有所帮助。
1. 导数与微分- 定义：导数是描述函数在某一点的变化率，微分是导数的代数形式。
- 基本公式：常见函数的导函数，如幂函数、指数函数、对数函数等。
- 高阶导数：描述函数变化率变化的快慢程度。
2. 极限与连续性- 极限的概念：函数逐渐趋近于某一值的过程。
- 常见极限：基本极限，如常数极限、幂函数极限、指数函数极限等。
- 连续性：函数在某一点上没有间断的特性。
- 常见连续函数：多项式函数、三角函数、指数函数等。
3. 微分中值定理与导数应用- 中值定理：介于两个点之间存在某一点，该点的切线斜率等于这两个点的斜率之差。
- 增量与微分：增量是函数值的改变量，微分是函数值的无穷小部分。
- 泰勒展开：将函数表示为幂级数的形式，用来逼近函数在某一点附近的近似值。
4. 积分与定积分- 不定积分：求函数的原函数，即求导的逆运算。
- 定积分：表示曲线下面的面积。
- 牛顿-莱布尼兹公式：定积分与不定积分的关系。
5. 微分方程与应用- 常微分方程：描述变化的过程中，一些量的关系式。
- 一阶微分方程：只涉及到一阶导数的方程。
- 区分可分离方程、一阶线性方程、齐次方程、可化为齐次形式的方程等常见类型。
以上就是微积分考试的必过归纳总结要点重点，希望对大家的学习有所帮助。
无论是在理论还是实际应用中，微积分都是一门重要的学科，需要大家掌握扎实。
希望大家通过复习和练习，能够在微积分考试中取得好成绩。
祝愿大家学业进步！。
大一微积分下期期末知识点
大一微积分下期期末知识点微积分是数学的一个重要分支，对于大一学生而言，学习微积分是非常重要的一门课程。
下面我将为大家总结一下大一微积分下学期期末考试的知识点，希望能够帮助大家复习和备考。
一、函数与极限1. 函数的定义与性质- 函数的定义及表示法- 常见函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、有界性等2. 极限的定义与性质- 极限的定义与极限存在的条件- 极限的性质：唯一性、局部有界性等- 极限运算法则：四则运算、复合函数、有理函数等3. 极限的计算- 基本初等函数的极限计算- 无穷大与无穷小的概念与计算- 极限存在的判定方法：夹逼准则、单调有界准则等二、导数与微分1. 导数的概念与性质- 导数的定义与几何意义- 导数与函数的连续性、可导性的关系- 常见函数的导数公式与性质2. 导数的计算- 基本初等函数的导数计算- 导数的四则运算法则与复合函数求导法则- 高阶导数的定义与计算3. 微分的概念与性质- 微分的定义与几何意义- 微分的计算与近似计算三、微分中值定理与应用1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理- 罗尔中值定理的条件与结论- 拉格朗日中值定理的条件与结论2. 泰勒公式与应用- 泰勒公式的定义与表述- 泰勒公式的应用：函数近似、极值、曲线拟合等3. 函数的单调性与曲线的凹凸性- 函数单调性的判定方法- 函数曲线的凹凸性与拐点的判定方法四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义与几何意义- 基本积分表与常见公式2. 不定积分的计算方法- 基本积分法与换元积分法- 分部积分法与有理函数积分法3. 定积分的概念与性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性、区间可加性等4. 定积分的计算- 几何应用：面积、体积、弧长等- 基本积分表与常见公式的应用五、微分方程与其应用1. 微分方程的基本概念与分类- 微分方程的定义与基本概念- 一阶微分方程与高阶微分方程的分类2. 一阶微分方程的求解- 可分离变量方程的求解- 齐次方程的求解- 一阶线性微分方程的求解3. 高阶微分方程的求解- 常系数齐次线性微分方程的求解- 非齐次线性微分方程的求解：待定系数法、常数变易法等4. 微分方程的应用- 物理问题中的微分方程建模- 生物问题中的微分方程建模以上就是大一微积分下学期期末考试的知识点总结。
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高等数学(一)微积分一元函数微分学( 第三章、第四章)一元函数积分学（第五章）第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分（第六章）高数一串讲教材所讲主要内容如下：全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分 函数极限与连续（包括级数） 第二部分 导数及其应用（包括多元函数）第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
二、 极限与连续 常见考试题型：1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
每年必有的考点第三部分导数微分及其应用常见考试题型：1、导数的几何意义；2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导；4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；5、求闭区间上连续函数的最值；6、实际问题求最值。
每年必有的考点第四部分积分计算及应用考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。
第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型：1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
例1..函数___________. 2007.7知识点：定义域约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。
解 要使根式函数有意义必须满足23log log 0x ≥，要使23log log 0x ≥成立， 只有3log 1x ≥，即3x ≥.注：我们所求定义域的函数一般都是初等函数，而初等函数：由基本初等函数，经过有限次的＋－×÷运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。
这就需要我们把基本初等函数的定义域、值域等搞清楚。
基本初等函数的性质与图形如下表所示(T 表周期)：(,)(0,)R R +=-∞+∞=+∞例2 求函数()ln(1),0.f x x x =-≤的值域 2007.4解：由0.x ≤可知11x -≥，所以ln(1)0x -≥，故()ln(1),0.f x x x =-≤的值域为[0,)+∞例3 . 1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为（ ）A ．f (x )=11+x [0，1] B ．f (x )=11+x （-1，0） C ．f (x )=e x (-∞，+∞) D ．f (x )=ln x (0，+∞)知识点：函数的有界性注：函数的有界性是指值域的有界性。
解：A 1111+1212+1x x x ≤≤≤≤⇒≤≤当0时，，故f (x )=11+x 在[0，1]上为有界函数。
B ． -11lim=+1x x →∞故f (x )=11+x 在（-1，0）上为无界函数。
CD 结合函数图像判断。
例4、设函数()f x 是定义在(,)a a -上的任意函数，证明： （1）、()()(),(,)g x f x f x x a a =+-∈-是偶函数（2）、()()(),(,)g x f x f x x a a =--∈-是奇函数知识点：奇偶性若对于任何x ，恒有()()f x f x -=-成立，则称()f x 是奇函数。
若对于任何x ，恒有()()f x f x -=成立，则称()f x 是偶函数．奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称 分析：因为()g x 是定义在对称区间上，根据定义，只需证明：（1）()()g x g x -= （2）()()g x g x -=-只证（1）：()()(())()()()g f f f f x x x x x g x =+-=+=---- 偶函数。
例5、求函数44log 2log y =+. 07.10 知识点：反函数求反函数的步骤是：先从函数()y f x =中解出1()x f y -=，再置换x 与y ，就得反 函数1()y f x -=。
解：由44411log 2log log 22y x =+=+ ，可得412()log 2y x -=，所以214y x -=，上式中x 与y 的记号互换，即得反函数为214x y -=例6．1. 设f (x )=x 3-x ，x x 2sin )(=ϕ，则f [)4(π-ϕ]=( )A.-2B.22-C.0D.22. 已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.2009.10 知识点 ：复合函数 解：1. []3()fx x x ϕ=sin 2-sin23()()()0444f πππϕ⎡⎤-=--=⎢⎥⎣⎦sin 2-sin2答案：C2. 令1,x u += 则1x u =-，故由2(1)f x x +=可得2()(1)f u u =-，即2()(1)f x x =-.二、 极限与连续 常见考试题型：1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
典型例题求极限方法总结：利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等例7．求22235lim 31x x x x →-++．知识点： 若函数()y f x =在点0x 处连续，00lim ()()x x f x f x →=解 因为7161lim 3lim )13(lim 222≠=+=+=+→→→x x x x x ．故 22222lim(235)2357lim 131lim(31)7x x x x x x x x x →→→-+-+===++例8、221lim 32x x x →∞++解 ： ∞=++=++=++∞→∞→∞→2222222312lim 2312lim 2312limx x x xx x x x x x x x知识点：一般地，设000,0,,a b m n N ≠≠∈，则101101lim n n n m m x m a x a x a b x b x b --→∞⎧++⋅⋅⋅+⎪=⎨++⋅⋅⋅+⎪⎩00,0,,a b ∞,,.m n m n m n =><当当当 例9 =-++∞→23563lim2n n n n ___________. 2007.7 解：3n n n→∞→∞=-例10 （1）、121cos 0lim(1)xx x -→+ 2008.1 (2) lim 1nn n n →∞⎛⎫⎪+⎝⎭2009.1知识点：重要极限：1∞01(1)lim(1),1lim(1),()0,lim(1())xu x t x x t e u x u x e xt e →∞→+=+=→+=，10,lim(1)na n n na a e →+=解: (1) 2211221cos 1cos 0lim(1)lim[(1)]x xx xx x x x --→→+=+因为 2120lim[(1)]x x x e →+=，22200limlim 21cos 2x x x x xx →→==-。
(2) 求 lim 1nn n n →∞⎛⎫⎪+⎝⎭2009.1 解：(1)(1)1111lim lim lim 1lim 11111nnnnn n n n n n n n n n n n -+-+→∞→∞→∞→∞+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)(1)11lim 11n n n n e n -+-+-→∞⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦例11. 2000tan sin 1cos (1)lim(2)lim(3)lim(4)lim sin(2007.10)2x x x n x kxxn xxx nπ→→→→∞-知识点：重要极限 0()00sin sin sin ()lim1,lim1,lim1()n nx u x a n a xu x x u x a →→→===解：0000tan sin 1sin 1(1)limlim lim 111cos limcos x x x x x x x x x x x x→→→→===⨯=(2)00,u kx x u =→→令，等价于000sin sin limlim lim 1sin x x u kx kx k k k kx kx uu →→→=⋅=⋅=⨯=222200022sin sin 2(3)1c lim lim lim 2()2os 2x x x x x x x x x →→→==- 20sin 2211lim 22x x x →⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭(4) sin 2lim(sin)lim2222n n n n nnπππππ→∞→∞=⋅=例12．求极限（1）20ln(1)lim1cos x x x→+- （2）()2x 01sin 3lim(1cos 2)ln(1)x e xx x →--+知识点：利用等价无穷小代换求函数极限。
,',,'ααββ为无穷小， 且~',~'ααββ， 则'lim lim 'ααββ= 解：(1)因为221x x ~)ln(+, 2211x x ~cos - 所以 22002ln(1)lim=lim =211cos 2x x x x x x →→+- （2）因为221~x e x -， sin3~3x x ，22121cos 2~(2)2x x x -=，ln(1)~x x +所以 ()2x 01sin 3lim(1cos 2)ln(1)x e xx x →--+22x 0(3)3lim (2)2x x x x →⋅==⋅．注：在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加减法代换，即只对极限中的各个因式进行代换．记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小1、sin ~,x x 导出 ()0u x →时，sin ()~()u x u x2、tan ~,x x 导出 ()0u x →时，tan ()~()u x u x3、arcsin ~x x ， 导出 ()0u x →时，arcsin ()~()u x u x4、1~x e x -， 导出 ()0u x →时，()1~()u x e u x -5、ln(1)~x x +， 导出 ()0u x →时，()ln 1()~()u x u x +6、21cos ~2x x -， 导出 ()0u x →时，2()1cos ()~2u x u x -例13：(1) x x x x x sin e lim 20-→ 09.7 (2) 2sin lim1x x xx →∞++ 09.4 (3) x 1lim (1)tan2xx π→- 07.4 （4）11lim 1ln x xx x →⎛⎫-⎪-⎝⎭知识点： 洛必达法则：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式∞∞、0．其它类型的未定式 ∞-∞，0⋅∞ ，000,,1∞∞ 可转化为分式型的未定式，从而可以用洛必达法则解：(1) 20lim e sin x x x x x →- 0()01sin 22lim cos 2lim00=++=-+=→→xe xe x e xe x x x x x x x（2） 2sin lim1x x xx →∞++∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭1cos 1limlim (1cos )022x x x x xx →∞→∞+==+=(3) x 1lim (1)tan 2x x π→- 0(0)0⋅∞→x 1(1)limcot 2x x π→-= 2x 1x 12122lim lim sin 2csc22x x πππππ→→-===-(4) 11101ln 11ln 1lim lim lim 011ln (1)ln ln x x x xx x x x x x x x x xx→→→-++-∞-∞⎛⎫- ⎪---⎝⎭+ 211ln 1limlim 121ln 111x x x x xx xx →→==+=-+例14．求极限（1）x x x x cos 12e e lim 0--+-→. 2009.10 (2) 0ln cos 0,0,lim ln cos x ax a b bx →≠≠ 2007.1知识点; 等价无穷小和洛比达法则结合解：（1）0e e 2lim 1cos x x x x -→+-- 0()02000e e 2e e lim lim lim (e e )22x x x x x x x x x x x---→→→+--===+= (2) 001(sin )ln cos cos lim lim1ln cos (sin )cos x x a ax ax ax bx b bx bx→→-=- 0()0 0cos sin limcos sin x bx a axax b bx →=220cos lim cos x bx a ax a ax b bx b→== 例15 .设f (x )是连续函数，且f(0)=1，则=⎰→2x limx dt )t (tf x（ ）2007.4 A.0 B.12C.1D.2知识点： 变上限函数求导求极限解： 02x 0x 0()()limlim2xtf t dt xf x x x →→=⎰x 0()(0)1lim 222f x f →==== 例16．设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<02302sin 2 x k x x x x x在x =0点连续，则k =（ ）2009.4知识点：函数连续 若00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()y f x =在点0x 处连续。