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《数学》（八年级上册）知识点总结

第一章数

一、数的概念及分

1、数的分

正有理数

有理数零有限小数和无限循小数

数有理数

正无理数

无理数无限不循小数

无理数

2、无理数：无限不循小数叫做无理数。

在理解无理数，要抓住“无限不循” 一之，起来有四：

（ 1）开方开不尽的数，如7, 3 2 等；

π（ 2）有特定意的数，如周率π，或化后含有π 的数，如+8 等；

3（3）有特定构的数，如 0.1010010001 ⋯等；

（4）某些三角函数，如 sin60 o等二、平

方根、算数平方根和立方根

1、算平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即 x2=a，那么个正数x 就叫做 a 的算平方根。特地，0 的算平方根是0。

表示方法：作“ a ”，作根号a。

性：正数和零的算平方根都只有一个，零的算平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a，即 x2 =a，那么个数x 就叫做 a 的

平方根（或二次方根）。

表示方法：正数 a 的平方根做“ a ”，作“正、根号a”。

性：一个正数有两个平方根，它互相反数；零的平方根是零；数没有平方根。

开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。

a 0

注意 : a 的双重非性：

a0

3、立方根

一般地，如果一个数x 的立方等于a，即 x3=a 那么个数x 就叫做 a 的立方根（或三

次方根）。

表示方法：作3 a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意： 3

a

3

a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

三、二次根式计算

1、含有二次根号“

”；被开方数 a 必须是非负数。

2、性质：

（ ） (

a )2 ( a 0) 1

a

a(a

0)

（ 2）

a 2

a

a( a 0)

（ 3） ab a ? b(a 0,b 0) （ a ? b ab (a 0, b 0) ）

（ 4）

a a

(a 0,b

0)

（

a a

(a 0, b

0) ）

b

b

b

b

3 、 化 简 二 次 根 式 ： 把 二 次 根 式 被 开 方 数 的 完 全 平 方 因 式 移 到 根 号 外 。 例 ：

18

2 32

3 2 。( 字母因式由根号内移到根号外时， 必须考虑字母因式隐含的符号）

4、最简二次根式：化简后的二次根式需同时符合以下两个条件：⑴被开方数中各因式

的指数都为 1；⑵被开方数不含分母。这样的二次根式叫做最简二次根式。

将一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况：

⑴如果被开方数是分式或分数（包括小数）

，先利用商的自述平方根的性质把它写成分

式的形式，然后再分母有理化；

⑵如果被开方数是整式或整数， 先将它分解因式或分解质因数，

然后把能开方的因式或

因数开出来，从而将式子化简。

化二次根式为最简二次根式的步骤：

⑴把被开方数分解质因数，化为积的形式；

⑵把根号内能开方的的因数移到根号外；

⑶化去根号内的分母，若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数。

5、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几

个二次根式是同类二次根式。

例： 18 、2 2 、 1

2 。（判断是不是同类二次根式： 首先，

2

要看它们是不是最简二次根式；其次，看这些最简二次根式的被开方数是否相同）

6、二次根式的加法、减法：⑴化简，化成最简二次根式；⑵合并同类二次根（即将被

开方数相同的二次根式的系数进行合并）

7、二次根式的乘法、除法：⑴先完成根号内乘除，再化简二次根式；⑵小数化分数，

带分数化假分数；⑶字母需考虑取值范围（不要忽视隐含条件）

。

8、分母有理化：把分子和分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号，这种计算

叫做分母有理化。

第二章 一元二次方程

一、定义：只含有 一个未知数 ，且未知数 最高次数是二次 的整式方程 。 二、一般式： aX 2

bX c

0(a

0)

三、一元二次方程的解法：

1、开平方法：一般来说，形如

X 2 d 、 aX 2

c 0(a 0) 的一元二次方程可以用开平

方法。（三种情况：有两个不相等的实数根，等于

0, 没有实数根）

2、因式分解法： 提取公因式、 公式法（平方差、 完全平方公式） 、十字相乘法、 分组分解法。

3、配方法：⑴移常数项；⑵化二次项系数为 1；⑶配方，在方程的左右两边同时加上一次

项系数一半的平方；⑷用开平方法求解；⑸结论。

4、公式法：⑴先把方程化为一般形式；⑵写出方程各项的系数 a 、 b 、 c 的值（要注意它们

的符号）；⑶计算 b 2

4ac ；⑷当 b 2

4ac 0 时，将 a 、 b 、 c 的值代入求根公式，求出方

程的两个根；⑸当 b 2

4ac

<0 时，方程没有实数根，就不必解了。 （开平方法、因式分解法一般适用于特殊形式的方程，而配方法、公式法是使用最普遍

的方法，适用任意方程，其中：公式法计算较繁琐。

）

四、一元二次议程根的判别式

1、定义： b 2

4ac 叫做一元二次方程 aX 2

bX

c 0( a 0) 的根的判别式， 通常用符号

“△”来表示，即△ = b 2

4ac 。

2、一元二次方程 aX 2 bX c 0(a 0) 的根的情况与△的关系： ⑴△ = b 2 4 0 方程有两个不相等的实数根。

ac

⑵△ = b 2 4 0 方程有两个相等的实数根。

ac

⑶△ = b 2 4 0 方程没有实数根。

ac

3、由方程的情况求字母系数的值或取值范围 ⑴如果说方程有实数根，那么

b 2 4ac

0 ；

⑵注意：因为是一元二次方程，不要遗漏隐含条件 a 0 。

五、一元二次议程的应用

1、二次三项式的概念：形如（

a 、

b 、

c 都不为 0）的多项式称为二次三项式。

2、二次三项式的因式分解：

⑴首先考虑能否提取公因式；⑵能否运用十字相乘法；⑶最后考虑用公式法。

3、列一元二次方程解应用题的一般步骤：

⑴审题⑵设元⑶列方程⑷解方程⑸检验⑹写答案

4、根据题意列方程时，必须同时满足以下四个条件：

⑴方程两边意义相同； ⑵方程两边单位一致； ⑶方程两边数值相等； ⑷方程全面地反映了题

中所有数量之间的关系。

5、列一元二次方程解题的类型：

⑴几何类问题（利用几何定理、面积公式等作解题依据，列出一元两次方程，解题）

；

⑵增长（降低）率问题：如设基数为 a ，平均增长率为 x ，则第一次增长后为

a(1+x), 第二

次增长后为 a(1+x) 2；