(完整版)第三讲描述离散趋势的指标
描述数据离散的指标
描述数据离散的指标
数据的离散指标是用来衡量数据分布的离散程度和变异程度的
统计量。
它们提供了关于数据集中值的分散程度的重要信息。
以下
是一些描述数据离散性的指标：
1. 范围（Range），范围是数据集中最大值和最小值之间的差值。
它提供了数据的全局分布范围，但并未考虑数据的分布情况。
2. 方差（Variance），方差是每个数据点与数据集均值之差的
平方的平均值。
它衡量了数据点与均值之间的离散程度，数值越大
表示数据的离散程度越高。
3. 标准差（Standard Deviation），标准差是方差的平方根，
它衡量了数据集合的离散程度，是最常用的衡量数据离散程度的指
标之一。
4. 四分位数（Quartiles），四分位数将数据集分为四个部分，分别是最小值、第一四分位数、中位数和第三四分位数。
通过四分
位数可以了解数据的分布情况，包括中间50%的数据分布情况。
5. 离散系数（Coefficient of Variation），离散系数是标准差与均值的比值，它用于比较不同数据集的离散程度，因为它将标准差标准化到了均值的相对比例上。
这些指标可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，从而对数据进行更准确的分析和解释。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的离散指标是非常重要的，以便更好地理解和解释数据的特征。
离散趋势的统计描述
离散趋势的统计描述
学习目标
Ø能说出离散趋势的常用描述指标
Ø能说出标准差、变异系数、四分位数间距的适用条件能选用恰当的指标描述数值变量
Ø极差与四分位数间距Ø方差与标准差
Ø变异系数
1.极差与四分位数间距
Ø极差——全距：R=最大值－最小值
Ø四分位数间距：Q=P75－P25P 75
P
25
最小值最大值
2.方差与标准差
12
--∑=n X X S ）
（样本标准差12
2--∑=n X X S ）（样本方差
标准差的意义
当几组资料均数相近、度量衡单位相同时，标准差大表示变量值的变异程度大。
X 对称分布的计量资料
S
3.变异系数
用于比较度量衡单位不同或均数相差悬殊的几组资料的变异程度。
%100⨯=X
S CV
指标共性区别
极差
①用于数值变量
②描述离散趋势
③数值越大，离散程度越大小样本
四分位数间距偏态分布
方差与标准差对称分布
变异系数单位不同或均数相差较大
小结。
如何描述离散程度的指标
如何描述离散程度的指标全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：离散程度是指数据分散或集中的程度，通常用来描述数据的分布情况。
在统计学和数据分析领域，我们常常需要对数据的离散程度进行分析，以便更好地理解数据的特征和规律。
为了描述数据的离散程度，我们可以借助一些指标，这些指标可以帮助我们衡量数据的分散程度，从而更好地分析数据的特性。
1. 极差极差是最简单的描述数据离散程度的指标之一，它是最大值和最小值之间的差值。
极差越大，数据的离散程度越高，反之亦然。
虽然极差可以帮助我们了解数据的大致范围，但它并不提供关于数据分布的详细信息。
2. 方差和标准差方差和标准差是描述数据离散程度的常用指标，它们可以告诉我们数据的分散程度有多大。
方差是各个数据与均值之差的平方和的平均值，标准差则是方差的平方根。
方差和标准差越大，数据的离散程度越高，反之亦然。
3. 四分位数和箱线图四分位数是将数据分为四个部分的统计量，它们分别是最小值、下四分位数、中位数和上四分位数。
通过四分位数和箱线图，我们可以更直观地看出数据的分布情况和离散程度。
箱线图通过展示四分位数以及异常值的情况，可以帮助我们更有效地描述数据的离散程度。
4. 离散系数离散系数是描述数据离散程度的相对指标，它是标准差除以均值的比值。
离散系数越大，数据的离散程度越高；离散系数越小，数据的离散程度越低。
离散系数可以帮助我们比较不同数据集的离散程度，以便更好地进行数据分析和决策。
5. 峰度和偏度峰度和偏度是描述数据分布形状和偏移程度的指标，它们可以帮助我们了解数据的对称性和偏斜程度。
峰度描述数据分布的尖锐程度，偏度描述数据分布的对称性。
通过峰度和偏度，我们可以更全面地了解数据的离散程度和分布情况。
6. 相关系数相关系数是描述数据之间关系密切程度的指标，它可以帮助我们分析数据的相关性和相互影响。
相关系数的绝对值越接近1，表示数据之间的关系越密切；相关系数越接近0，表示数据之间的关系越独立。
第三节离散程度的统计描述
1
f
n
(xi x)2 f
i 1
简单式标准差 加权式标准差
方差（标准差）数值越大，说明总体集中趋势越弱，平 均数的代表性越差；
方差（标准差）数值越小，说明总体集中趋势越强，平 均数的代表性越强。
例一：计算两组的平均日产量，并比较它们的代表性
甲组日产量 （件）xi
50 60
离差
xi x —20
（二）比较计量单位相同，而平均数差异悬殊的两 组变量的离散程度
（三）比较总体不同，计量单位也不相同的两组变 量的离散程度
因此，需计算离中趋势的相对数，即离散系数
V x 100%
n
x
xi fi
i 1 n
fi
3100 100
31(千克)
1
f
n
(xi x)2 f
i 1
4900 7(千克) 100
i 1
V
x
100%
7 100% 31
22.58%
作用：
（一）比较总体相同，而计量单位不同的两组变量 数列的离散程度
12
1
13
2
14
3
15
4
16
5
17
4
18
3
19
2
20
1
合计
25
n
x
xi fi
i 1 n
400 16(件) 25
fi
i 112Fra bibliotek-416
16
26
-3
9
18
42
-2
4
12
60
-1
1
4
80
0
0
0
统计描述(离散趋势的描述)
大家好
27
正态分布
大家好
28
正态分布:又称为Gauss分布（Gaussian distribution）。
设想当原始数据的频数分布图的观
察人数逐渐增加且组段不断分细时，图
2-4中的直条就不断变窄，其顶端则逐
渐接近于一条光滑的曲线。这条曲线形
态呈钟形，两头低、中间高，左右对称，
近似于数学上的正态分布。在处理资料
体 方 差 。
大家好
30
2．正态分布的特征
（ 1） 在 直 角 坐 标 上 方 呈 钟 型 曲 线 ， 两 X 端 与轴 永 不 相 交 ， 且 以
X为 对 称 轴 ， 左 右 完 全 对 称 。
（ 2） 在 X处 ， f(X)取 最 大 值 ， 其 值 为 f()1X2；越 远 离 ， f(X)值 越 小 。
❖ 由于∑（x-）=0，不能反映变异的大小，而用 离均差平方和 ∑（x-）2（sum of deviation
from mean）反映。同时还要考虑到观察值个数N
的影响，用其均数，即得到总体的方差，用2表
示。
❖ 公式为：
2 (X)2
N
大家好
16
1. 方差（variance）是离均差平方和的均数，反映一
大家好
24
应用一：观察指标单位不同
某地7岁男孩身高的均数为123.10cm，标准差为 4.71；体重均数为22.59kg，标准差为2.26kg，试比较
其变异度？
S 4.71
C1V 12.130 10% 03.8% 3
C2V S22..2 2 269 10% 01.0 1% 4
大家好
25
应用二：均数相差较大时
累积频数fc 3 7 19 32 49 71 89 102 113 118 120
离散趋势的指标及适用范围
离散趋势的指标及适用范围好嘞，今天咱们就聊聊离散趋势的指标和它们适用的地方。
首先啊，什么是离散趋势呢？这玩意儿说白了，就是用来分析数据的分散程度，看看数据在一堆数字里到底是有多乱。
就像你在看一个足球赛，球员们有的像疯了一样乱跑，有的却规规矩矩地待在原地。
这个时候，离散趋势就帮你看清楚，谁在疯狂，谁在稳重。
说到离散趋势，最常见的几个指标得提上来。
比如说方差，听起来高深莫测，其实就是衡量数据分散程度的一个数字。
你想啊，如果你考试的成绩都在60分左右，那方差就小，小伙伴们的表现也差不多；但如果有一个人考了100，其他人都在60以下，那这个方差就大了，说明这小子有点儿特立独行，嘿嘿。
不过，方差虽然好，但它的单位跟原数据不一样，有点让人摸不着头脑。
这时候，标准差就派上用场了，标准差是方差的平方根，单位跟原数据是一样的，听起来是不是简单多了？再说说极差，这个东西特别直观，简单粗暴。
极差就是数据里的最大值减去最小值，嗯，没错，数学也能这么简单。
就像你参加聚会，有的朋友喝了很多酒，醉得东倒西歪，有的却坐在角落安静地喝水，极差就是酒量的差距啊。
可是啊，极差只看极端的情况，偶尔会让你失去一些中间的细节，有点儿不够全面。
还有一个值得提提的指标叫四分位数，听着是不是有点儿高大上？其实这玩意儿也是简单明了，数据分成四部分，中间的那部分就是咱们的四分位数。
它能帮助我们更好地了解数据的分布情况，尤其是有些极端值影响很大的时候，四分位数就显得尤为重要。
就像去自助餐，大家都吃得津津有味，偏偏有个人拼命堆食物，四分位数让我们看到大部分人的吃法，不会被那个极端的朋友影响。
用离散趋势的指标来分析数据，可以让我们更清晰地认识到背后的故事。
不管是在学校里、工作中，还是生活里，数据分析已经变得越来越重要。
你想啊，做生意的时候，老板总希望能了解顾客的需求，看看是不是只有个别顾客喜欢某种产品，还是大家都有兴趣。
如果只看平均数，那可就大错特错了，数据的离散程度能让我们更深入地了解市场。
第3章离散趋势的描述
离散趋势的统计描述
学习目的和要求：
掌握:
描述数据分布离散趋势的指标；正态分布的概念和 特征、标准正态分布下面积分布规律。
熟悉:
医学参考值范围的意义和计算；
了解：
正态分布表、正态分布的应用。
描述数值变量资料的分布特征必须从集中趋势和离 散趋势两方面来进行，缺一不可。
例: 三组同年龄女大学生体重(kg)如下,试分析其分 布特征。
95 99
表3-3 参考值范围所对应的正态分布区间 百分范围(%) 单侧 双侧(对称) 下限 上限 下限 上限 x -1.645s x+1.645s x -1.96s x +1.96s 95 99 x -2.33s x+2.33s x -2.58s x +2.58s
（二）离均差平方和
(X (X
X)
2
X)
2
X
2
( X ) n
2
(三)方差与标准差
2
(X )
N
2
S
2
( X x)
n 1
2
(X )
N
2
S
( X x)
n 1
2
N-1 称自由度 Degree of freedom
S
x x
Q=135.7-63.2=72.5(mg/dl)
例2.4 某地630名正常女性血清甘油三酯含量的频数表 甘油三酯（mg/dl) 频数 累积频数 累积频率 （1） （2） （3） （4） 10～ 27 27 4.3 40～ 169 196 31.1 70～ 167 363 57.6 100～ 94 457 72.5 130～ 81 538 85.4 160～ 42 580 92.1 190～ 28 608 96.5 220～ 14 622 98.7 250～ 4 626 99.4 280～ 3 629 99.8 310～ 1 630 100.0 合计 630 － －
常用的离散趋势测量指标
常用的离散趋势测量指标
常用的离散趋势测量指标有：
1. 范围（Range）: 是一组数据中最大值与最小值的差，反映了数据的离散程度。
2. 方差（Variance）: 是各个数据与其平均数之差的平方的平均数，衡量了数据的离散程度。
3. 标准差（Standard Deviation）: 是方差的正平方根，用于反映数据的离散程度，具有与原始单位相同的度量单位。
4. 平均绝对偏差（Mean Absolute Deviation）：是各个数据与其平均数之差的绝对值的平均数，反映了数据的离散程度。
5. 四分位数（Quartiles）：将一组数据按大小排序后，将其分为四等分的数值，反映了数据的分布情况。
6. 百分位数（Percentiles）：将一组数据按大小排序后，将其分为百等分的数值，反映了数据的分布情况。
7. 离散系数（Coefficient of Variation）：是标准差与均值之比，反映了数据的相对离散程度。
8. 偏度（Skewness）：表示数据分布的不对称程度，正偏态表示数据右侧尾部较长，负偏态表示数据左侧尾部较长，偏度为0表示数据分布对称。
9. 峰度（Kurtosis）：反映数据分布的尖峭程度，峰度大于3表示数据分布较陡峭，峰度小于3表示数据分布较平缓。
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(一) 频率型指标
• 频率型指标：最常见，近似地反映某一事件出现的机 会大小, 如患病概率、病`死概率等。
频率型指标
某事件发生的个体数 可能发生某事件的个体数
描述离散趋势的指标2：四分位数间距
• P75 、 P 25分别表示上、下四分位数
• 四分位数间距(quartile range)
Q ＝ P75 － P 25
• 四分位数间距反映数据的变异程度比极差稳 定。
• 四分位间距适用于：任何分布资料。
组段 (1) 6～ 8～
10～ 12～ 14～ 16～ 18～ 20～ 22～ 24～ 26～ 28～30 合计
描述集中趋势：P50; 描述离散趋势P75-P25
课后作业与思考题：
作业： 1、离散趋势指标的计算（书31页第1、2、3题） 思考题 1、离散趋势指标各自的适用条件是什么 ？ 2、如何对定性指标进行描述？
本章结束
谢谢
卫生统计学
第三章 定性资料的统计描述
关英辉 沈阳何氏医学院管理系
第四讲 相对数指标、医学人口统计描述
累计频数 (4) 1 4 10 18 30 50 77 95 107 115 119 120
累计频率(％) (5)
0.83 3.33 8.33 15.00 25.00 41.67 64.17 79.17 89.17 95.83 99.17 100.00
描述离散趋势的指标3：方差
X
离均差
(X )2
n 1
n 1
➢只能取正值；
➢方差越大，意味着个体间变异越大；反之亦然。
描述离散趋势的指标4：标准差
标准差(standard deviation) ，方差的平方根
总体标准差
∑( X )2
N
样本标准差 ➢只能取正值；
X X 2
s n1
➢标准差越大，意味着个体间变异越大；反之亦然。
描述离散趋势的指标5：变异系数
主要内容
三类相对数指标 医学人口统计常用的指标
一、常用的相对数指标
• 除了用频率分布全面反映一个定性变量外,有时， 也可用其它相对数指标从某个侧面来描述定性 变量。
相对数指标大致有三种类型： 频率 (Frequency）有的书称比率（Proportion) 强度 (intensity）有的书称速率（rate) 相对比 (ratio)
正确应用(1)
• 算数均数：适用于对称分布资料； • 几何均数：适合于对数正态分布资料； • 中位数和百分位数：适用于任何分布的资料； • 中位数和百分位数在样本含量较少时不稳定，越靠
两端越不稳定；因此，当资料适合计算均数或几何
均数时，不宜用中位数表示其平均水平。
正确应用(2)
• 极差：适用于任何分布资料 • 四分位间距：适用于任何分布资料 • 标准差：适用于对称分布资料 • 变异系数：常用于量纲不同的变量间或均数相
变异系数(coefficient of variation, CV) • 排除了平均水平的影响，并取消了单位。因此
变异系数常用于：
– 比较量纲不同的变量间变异度 – 比较均数相差悬殊的变量间变异度。
CV s 100% X
量纲不同变量间变异度的比较
均数 青年男子 身高 170 cm
体重 60 kg
描述离散趋势的指标1：极差
➢全距(range)，极差 R = max－min
➢极差反映反映一组数据的变化范围
极差适用于：任何分布资料
计算极差：
• 甲组 26 29 30 31 34 • 乙组 24 27 30 33 36 • 丙组 26 28 30 32 34
极差优点和缺点
优点：简便
缺点：1. 只利用了两个极端值 2.n大，R也会大 3.不稳定
28
30
32
34
36
三组儿童体重的离散程度
平均数与变异度
• 平均数所表示的集中性与变异度所表示的离 散性，从两个不同的角度阐明计量资料的特 征！
• 均数&标准差 • 中位数&四分位数间距 • 变异度小，则均数代表性好！ • 变异度大，数据分散，则均数代表性差！
描述离散趋势的指标
变异度
极差(Range) 四分位数间距(interquartile range) 方差(Variance) 标准差(Standard Deviation) 变异系数( coefficient of variation )
差较大的变量间变异度的比较
本章小结中趋势与离散趋势） 分布类型（对称或偏峰）
2. 描述性统计量：定量地刻画统计分布的特征。 （1）集中趋势：算术均数、几何均数、中位数； （2）离散趋势：极差、四分位数间距、方差(标准差)
和变异系数； 3. 百分位数是一种位置参数
频数 (2) 1 3 6 8 12 20 27 18 12 8 4 1 120
P25 16
频率(％) (3)
0.83 2.50 5.00 6.67 10.00 16.67 22.50 15.00 10.00 6.67 3.33 0.83 100.00
P75 21.44
Q P75 P25 5.44
第三讲 描述离散趋势的指标
Outline 主要内容
描述离散趋势的统计指标 描述分布形态的统计指标
只用平均数描述资料的弊病
• 甲组 26 29 30 31 34 均数30kg • 乙组 24 27 30 33 36 均数30kg • 丙组 26 28 30 32 34 均数30kg
甲
乙
丙
24
26
离均差平方和
(X )2
N
离均差平方和的均数
方差
方差、标准差适用于：对称分布的资料，尤其是正态分布 资料。
描述离散趋势的指标3：方差
方差(variance)也称均方差，观察值的离均差平
方和的算术均数。表示一组数据的平均离散程
度。
总体方差 2 X 2
N
∑ 样本方差 S 2 ( X X )2 ＝ X 2 X 2 n
标准差 6 cm 7 kg
变异系数 3.5％ 11.7％
均数差别较大的变量间变异度比较
不同年龄组男子身高（cm）的变异度
年龄组 3~3.5岁 30~35岁
均数 96.1 170.2
标准差 3.1 5.0
变异系数 3.2％ 0.3％
描述分布形态的统计指标
1、偏度系数: coefficient of skewness 2、峰度系数：coefficient of kurtosis