2013年北京二模三角函数汇编(文)
2013北京西城高考二模数学文(含解析)
北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科) 2013．5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数 i (1i)⋅-=（ ）． A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．1i --2．已知向量(3,1)=-a ，(3,)λ=b ．若a 与b 共线，则实数λ=（ ）． A ．1- B ．1C ．3-D ．33．给定函数：①2y x =；②2x y =；③cos y x =；④3y x =-，其中奇函数是（ ）． A ．① B ．②C ．③D ．④4．若双曲线221y x k+=的离心率是2，则实数k =（ ）．A ．3B ．3-C ．13D ．13-5．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值， 则判断框内可以填入（ ）． A ．10k ≤ B ．16k ≤ C ．22k ≤ D ．34k ≤6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m α⊥成立的一个充分条件是（ ）． A ．m n ⊥，n ∥α B ．m ∥β，βα⊥ C ．m β⊥，n β⊥，n α⊥ D ．m n ⊥，n β⊥，βα⊥7．已知函数||()e ||x f x x =+．若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）． A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．(1,0)- D ．(,1)-∞-8．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a A ∈时，必有6a A -∈．则具有性质P 的集合A 的个数是（ ）． A ．8 B ．7 C ．6 D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知直线1:310l x y -+=，2:210l x my +-=．若1l ∥2l ，则实数m =______．10．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”）11．在ABC △中，2BC =，7AC =，π3B =，则AB =______；ABC △的面积是______．12．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是______．13．已知命题:p 函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增；命题:q 不等式20x x c -+≤的解集是∅．若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是______．14．在直角坐标系xOy 中，已知两定点(1,0)A ，(1,1)B ．动点(,)P x y 满足01,0 2.OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩uu u r uur uu u r uu u r 则点P 构成的区域的面积是______；点(,)Q x y x y +-构成的区域的面积是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，28a =，3448a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设4log n n b a =．证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且ππ,)62α∈(．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B ．记1122(,),(,)A x y B x y ．（Ⅰ）若113x =，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记AOC △的面积为1S ，BOD △的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．17．（本小题满分14分）-中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F 如图1，在四棱锥P ABCD为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．18．（本小题满分13分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中0a >． （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最小值．19．（本小题满分14分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为943(,)55，求m 的值； （Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =L L 是正整数1,2,3,,n L 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩ 对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈L L ，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b L 为排列12,,,n a a a L 的生成列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a L 和12,,,n a a a '''L 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a L ，进行如下操作：将排列12,,,n a a a L 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准 2013．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1． A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．6-； 10．>； 11．3，332； 12．59； 13．(1,)+∞； 14．2，4．注：11、14题第一空2分，第二空3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分．15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意 0q >． ………………1分 因为 28a =，3448a a +=，两式相除得 260q q +-=， ………………3分解得 2q =， 舍去 3q =-． ………………4分 所以 214a a q==． ………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为 1112n n n a a q -+=⋅=． ………………7分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 41log 2n n n b a +==． ………………9分 因为 1211222n n n n b b +++-=-=， 所以数列{}n b 是首项为1，公差为12d =的等差数列． ………………11分所以 21(1)324n n n n nS nb d -+=+=． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x α=，2πcos()3x α=+． ………………2分因为 ππ,)62α∈(，1cos 3α=，所以 222sin 1cos 3αα=-=． ………………3分 所以 2π13126cos()cos sin 3226x αα-α-=+==． ………………5分（Ⅱ）解：依题意得 1sin y α=，2πsin()3y α=+．所以 111111cos sin sin 2224S x y ααα==⋅=， ………………7分 22211ππ12π||[cos()]sin()sin(2)223343S x y ααα==-+⋅+=-+． ……………9分依题意得2πsin 22sin(2)3αα=-+，整理得cos 20α=． ………………11分因为ππ62α<<， 所以π2π3α<<， 所以π22α=，即 π4α=． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由左视图可得 F 为AB 的中点，所以 BFC △的面积为 11212S =⋅⋅=．………………1分因为PA ⊥平面ABCD ， ………………2分 所以四面体PBFC 的体积为13P B F CB FC V S P A -∆=⋅ ………………3分 121233=⋅⋅=． ………………4分（Ⅱ）证明：取PC 中点Q ，连结EQ ，FQ ． ………………5分 由正（主）视图可得 E 为PD 的中点，所以EQ ∥CD ，12EQ CD =． ………………6分又因为AF ∥CD ，12AF CD =， 所以AF ∥EQ ，AF EQ =．所以四边形AFQE 为平行四边形，所以AE ∥FQ ． ………………8分因为 AE ⊄平面PFC ，FQ ⊂平面PFC ，所以 直线AE ∥平面PFC ． ………………9分 （Ⅲ）证明：因为 PA ⊥平面ABCD ，所以 PA CD ⊥．因为面ABCD 为正方形，所以 AD CD ⊥．所以 CD ⊥平面PAD ． ………………11分 因为 AE ⊂平面PAD ，所以 CD AE ⊥． 因为 PA AD =，E 为PD 中点，所以 AE PD ⊥．所以 AE ⊥平面PCD ． ………………12分 因为 AE ∥FQ ，所以FQ ⊥平面PCD ． ………………13分 因为 FQ ⊂平面PFC ， 所以 平面PFC ⊥平面PCD ． ………………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-． ………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即 6350x y +-=． ………………4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式80a ∆=>， ………………5分令 ()0f x '=，得 1212ax =-，或2212a x =+． ………………6分()f x 和()f x '的情况如下：x 1(,)x -∞ 1x12(,)x x 2x2(,)x +∞()f x ' + 0-+ ()f x↗↘↗故()f x 的单调增区间为2(,1)2a-∞-，2(1,)2a ++∞；单调减区间为22(1,1)22a a -+． ………………9分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-． ………………10分 ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 252()33a af x a =--． ………………12分③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-． ………………13分 综上，当02a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -；当28a <<时，()f x 在区间[2,3]上 的最小值是5233a aa --；当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，943(,)55P ， 所以 点M 的坐标为223(,)55． ………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分 解得 47m =． ………………6分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………7分因为M 是线段AP 的中点，所以00(21,2)P x y +． ………………8分因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………9分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………11分 所以0011316242(2)82m x x =+≤-++-+， ………………13分当且仅当 023x =-+时，上式等号成立．所以m 的取值范围是13(0,]24-． ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3-． ………………3分 （Ⅱ）证明：设12,,,n a a a L 的生成列是12,,,n b b b L ；12,,,n a a a '''L 的生成列是与12,,,n b b b '''L ． 从右往左数，设排列12,,,n a a a L 与12,,,n a a a '''L 第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，L ，11k ka a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=，L ，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分 由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a L 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大 的项的个数．由于排列12,,,n a a a L 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而 (1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a '''L 中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21k b l k ''=-+． 因为 12,,,k a a a L 与12,,,k a a a '''L 是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k k b b '≠．所以排列12,,,n a a a L 和12,,,n a a a '''L 的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a L 的生成列为12,,,n b b b L ，且k a 为12,,,n a a a L 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-L ． ………………9分依题意进行操作，排列12,,,n a a a L 变为排列1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+L L ，设该排列的生成列为 12,,,n b b b '''L ． ………………10分 所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++L L 121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++-L L 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-L 22k b =-≥．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．………………13分北京市西城区高三统一测试 数学（文科）选填解析一、 选择题 1．【答案】A【解析】解：()i 1i 1i -=+． 故选A ．2．【答案】A【解析】解：由题可知3301λλ⋅=--=⇒=-a b ． 故选A ．3．【答案】D【解析】解：易判断①③为偶函数，②为非奇非偶函数，④为奇函数． 故选D ．4．【答案】B【解析】解：由题可知221,a b k ==-，又因为2222212c c a b e k a a a +====-=，所以3k =-． 故选B ．5．【答案】C 【解析】解：列表S 223⨯ 235⨯⨯ 2359⨯⨯⨯235917⨯⨯⨯⨯ 循环结束 k3591733输出S可知[)17,33k m ≤∈． 故选C ．6．【答案】C【解析】解：由图一可知m n ⊥，n α∥，但是m α⊥不成立，故A 错； 由图二可知m β∥，βα⊥，但是m α⊥不成立，故B 错； 由图二可知m n ⊥，n β⊥，βα⊥，但是m α⊥不成立，故D 错．故选C ．图一n mβα图二nmβα7．【答案】B【解析】解：易知函数||()e ||x f x x =+为偶函数， 故可了解函数正半轴()e x f x x =+图像， 求导得()e 10x f x '=+>，故函数单调递增，如图函数的最值为()1f x =． 故选B ．8．【答案】B【解析】解：只需从集合{1,5}，{2,4}，{3}中选 取若干个集合，即可构成具有性质P 的非空子集A ，个数为3217-=． 故选B ．二、 填空题 9．【答案】6-【解析】解：1212//l l k k ∴=Q ，即1263m m=-∴=-．故答案为6-．10．【答案】>【解析】解：由茎叶图可知甲的平均数151153165167170172163.36x +++++=≈甲乙的平均数150161162163164172165.36x +++++=≈乙． 故答案为>．11．【答案】3，332【解析】解：利用余弦定理得222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅⋅，故3AB =，133sin 22S AB BC B =⋅⋅=． 故答案为3，332．12．【答案】59【解析】解：可知(),a b 可能的基本事件空间为()()()()()()()()(){}1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3，其中满足220031a b++≤+的有()()()()(){}1,3,2,3,3,1,3,2,3,3，y=1y=e |x|+|x|yx所以概率为59．故答案为59．13．【答案】(1,)+∞【解析】解：因为p 且q 为真，所以命题p 为真，且命题q 为真． 命题:p 函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增，所以1c >； 命题:q 不等式20x x c -+≤的解集是∅， 所以140c ∆=-<，解得14c >． 综上所述：1c >． 故答案为(1,)+∞．14．【答案】2，4【解析】解：将已知条件化为：0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩， 在平面xOy 上作图，其面积为2； 点(,)Q x y x y +-构成的区域等价于01202u v u +⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩， 其中u x y =+，v x y =-．在平面uOv 上， 其面积为4． 故答案为2，4．yOxvOu。
北京市西城区2013届高三第二次模拟考试文科数学试题(word版)
（A）8 （B）7
（C） 6
（D） 5
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第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分， 共 30 分． 9．已知直线 l1 : x 3y 1 0 ， l2 : 2x my 1 0 ．若 l1 ∥ l2 ， 则实数 m ______．
3
（Ⅰ）若 a 2 ，求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线 方程；
（Ⅱ）求 f (x) 在区间[2,3]上的最小值．
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19．（本小题满分 14 分） 如图，椭圆 C : x2 y2 1 (0 m 1) 的左顶点为 A ， M
14 ． 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 两 定 点 ， A(1,0)
B(1,1) ．动点
P(x,
y)
满足
0
OP OA
1,
则点
P
构成的
0 OP OB 2.
区域的面积是______；点Q(x y, x y) 构成的区
域的面积是______．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答
北京市西城区 2013 届高三第二 次模拟考试文科数学试题(word 版)
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北京市西城区 2013 届高三第二次模拟考试
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
2013.5
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，
共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选
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2013年北京市各区高三二模试题汇编--圆锥曲线(文科)
2013年北京市各区高三二模试题汇编—圆锥曲线(文科)（2013年东城二模文科）过抛物线24y x=焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10A B =，则A B 的中点P 到y 轴的距离等于____4____．（2013年东城二模文科）（本小题共13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0ab >>）的离心率2e=()0A a ，，()0B b -，5． ⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 如果直线1ykx =+（0k ≠）交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值． 解(Ⅰ)因为2ca=，222a b c -=，所以 2a b =．因为原点到直线A B ：1x y ab -=的距离5d ==，解得4a =，2b =．故所求椭圆C 的方程为221164xy +=．(Ⅱ) 由题意221,1164y kx x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得 22(14)8120k x kx ++-=． 可知0∆>．设11(,)E x y ，22(,)F x y ，E F 的中点是(,)M M M x y ，则1224214M x x k x k+-==+，21114M M y kx k=+=+． 所以21M B M My k x k+==-．所以20M M x ky k ++=．即 224201414kk k kk-++=++．又因为0k ≠，所以218k=．所以4k =±． ………………………………13分（2013年西城二模文科）4．若双曲线221y xk+=的离心率是2，则实数k =（B ）（A ）3（B ）3-（C ）13（D ）13-（2013年西城二模文科）9．已知直线1:310l x y -+=，2:210l x m y +-=．若1l ∥2l ，则实数m =__6-___（2013年西城二模文科）19．（本小题满分14分）如图，椭圆22:1(01)yCx m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称． （Ⅰ）若点P的坐标为9(,55，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得O P O M ⊥，求m 的取值范围．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段A P 的中点，因为(1,0)A -，9(55P ，所以 点M的坐标为2(,55． ………………2分由点M 在椭圆C 上， 所以41212525m+=，…………4分 解得 47m =．…………6分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 22001y x m+=，且011x -<<．① ………………7分因为 M 是线段A P 的中点， 所以 00(21,2)P x y +． ……………8分 因为 O P O M ⊥， 所以 2000(21)20x x y ++=．② …………9分 由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………11分所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+， ………………13分当且仅当02x =-+所以 m的取值范围是1(0,24-．……14分（2013年海淀二模文科）7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x=的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12A F F ∆是以1A F 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（B ）B.1+1+D.2+（2013年海淀二模文科）12.直线1yx =+被圆22230x x y -+-=所截得的弦长为__（2013年海淀二模文科）14.设变量x ，y 满足约束条件10,40,1(1),y x y y k x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤-⎩其中,0R k k ∈>.（I ）当1k =时，2y x的最大值为___1___；（II ）若2y x的最大值为1，则实数k 的取值范围是_02k <≤____（2013年海淀二模文科）19. （本小题满分14分）已知椭圆:C22221(0)x y a b ab+=>>的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线y kx =交椭圆C 于,A B 两点，且在直线:30l x y +-=上存在点P ，使得P A B ∆为等边三角形，求k 的值. 19.解：(I)因为椭圆:C22221(0)x y a b ab+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点,所以1a b ==,椭圆C 的方程为2213xy+=……4分(II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线A B 的斜率为0时，A B 的垂直平分线就是y 轴，y轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为||||3A B P O ==，所以60P A O ∠= ，所以P A B ∆是等边三角形,所以直线A B 的方程为0y =………………6分当直线A B的斜率存在且不为0时，设A B的方程为y kx =所以2213x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3kx +=所以1||x =||A O ==8分设A B 的垂直平分线为1y xk=-，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y所以31y x y xk =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,则||P O =10分因为P A B ∆为等边三角形， 所以应有|||PO A O =代入得到=0k=（舍），1k =-……………13分此时直线A B 的方程为y x=-综上，直线A B 的方程为yx=-或0y =……………14分（2013年朝阳二模文科）（5）若双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则此双曲线的离心率等于（B ）A ． 2B ．3CD ．9（2013年朝阳二模文科）（12）若直线l 与圆22(1)4xy ++=相交于A ,B 两点，且线段A B 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的方程为 30x y --= .（2013年朝阳二模文科）（19） （本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C ab+=()0ab >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121F A F A ⋅=-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过焦点F 斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦A B 的垂直平分线与x 轴相交于点D . 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形A D B E 为菱形？若存在，试求点E 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)F A a =-- ，2(1,0)F A a =-. 由121F A F A ⋅=-，解得22a =，所以21b =.所以椭圆C 的方程为2212xy +=. …………………………………………4分（Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦A B 的中点为00(,)M x y ，则2122421kx x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，202221kx k =+，0221k y k -=+，所以2222(,)2121kkM k k -++.直线M D 的方程为22212()2121k ky x k kk +=--++，令0y =，得2221D kx k =+，则22(,0)21kD k +.若四边形A D B E 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=.所以22232(,)2121kkE k k -++.若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121kk k k -+=++.整理得42k =，解得2k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形A D B E 为菱形.此时点E 到y7………………………………………………14分（2013年丰台二模文科）双曲线22123xy-=的离心率为（C ）（A）2（B）3（C）2（D）3（2013年丰台二模文科）过点(0,2)P 且与直线20x y -=平行的直线方程为 2x -y +2=0（2013年丰台二模文科）（本小题14分）已知椭圆C ：2214xy +=，其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM分别与椭圆C 交于E,F 两点，其中点M (m,12) 满足0m ≠，且m ≠（Ⅰ）求椭圆C 的离心率e ； （Ⅱ）用m 表示点E,F 的坐标； （Ⅲ）证明直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关. 解：（Ⅰ）依题意知2a =,3=c ,23=∴e ; ………… 3分（Ⅱ）)1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12)，且0m ≠， …………4分∴直线AM 的斜率为k 1=m21-,直线BM 斜率为k 2=m23,∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m, ……………6分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x m x +-=，240,,1mx x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭………8分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x m x +-=，2120,,9m x x m∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ………………10分（Ⅲ）据已知，20,3m m ≠≠，∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m km m m m mm---+-++===---++23,4m m+-………12分∴直线EF 的方程为2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭, ………………13分令x =0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ………………14分（2013年顺义二模文科）13.已知双曲线22221x y ab-=3，顶点与椭圆22185xy+=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_____；渐近线方程为______(答案：(0),30y ±±=)（2013年顺义二模文科）19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b ab+=>>的离心率为2，1F ，2F 为椭圆G 的两个焦点，点P 在椭圆G 上，且12P F F ∆的周长为4+（Ⅰ）求椭圆G 的方程（Ⅱ）设直线l 与椭圆G 相交于A 、B 两点，若O A O B ⊥ （O 为坐标原点），求证：直线l 与圆2283x y +=相切.19．解（Ⅰ）由已知得，2c a =224a c +=+解得2a c ==又2224b a c =-=所以椭圆G 的方程为221484xy+=...............................4分（Ⅱ）证明：有题意可知，直线l 不过坐标原点，设,A B 的坐标分别为112212(,),(,),()x y x y y y > （ⅰ）当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程为(0)x m m =≠且m -<则1122,,x m y x m y ====-O A O B ⊥12120x x y y ∴+=22(4)02m m∴--=解得3m =±故直线l的方程为3x =±因此，点(0,0)O 到直线l的距离为3d =又圆2283x y +=的圆心为(0,0)O，半径3r d ==所以直线l 与圆2283x y +=相切.（ⅱ）当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y k x n =+由221484y k x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4280k x kn x n +++-=2121222428,1212k n n x x x x k k --∴+==++ 2212121212()()()y y kx n kx n k x x n k x x n =++=+++222812n k k-=+O A O B ⊥ 12120x x y y ∴+=故2222228801212n n kk k--+=++ 即22223880,388n k n k --==+……………………①又圆2283x y +=的圆心为(0,0)O，半径3r =圆心O 到直线l的距离为d =222222313(1)n ndk k ⎛∴=== ++⎝……………② 将①式带入②式得 22288833(1)k dk +==+所以3d r ==因此，直线l 与圆2283x y +=相切......14分（2013年昌平二模文科）（10）双曲线2221(0)y xb b-=>的一条渐近线方程为y =，则b =（2013年昌平二模文科）（19）（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>3且过点(0,1)．（I ）求此椭圆的方程； （II ）已知定点)0,1(-E ，直线2y kx =+与此椭圆交于C、D 两点．是否存在实数k ，（19）（本小题满分13分）解：（1）根据题意，222222331,1.2c a a b b a b c c ⎧=⎪⎧=⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩解得，所以椭圆方程为11322=+yx. ························································································· 5分（II ）将2y k x =+代入椭圆方程，得22(13)1290k x kx +++=，由直线与椭圆有两个交点，所以22(12)36(13)0k k ∆=-+>，解得21k>.设),(11y x C 、),(22y x D ，则1221213k x x k+=-+，122913x x k⋅=+，若以CD 为直径的圆过E 点，则0=⋅ED EC ，即0)1)(1(2121=+++y y x x ，而1212(2)(2)y y kx kx =++=212122()4k x x k x x +++，所以212121212(1)(1)1)(21)()5x x y y k x x k x x +++=+++++（2229(1)12(21)501313k k k kk++=-+=++，解得76k =,满足21k >.所以存在7,6k =使得以线段CD 为直径的圆过E 点．13分（2013年房山二模文科）13.抛物线2:2C y px=的焦点坐标为1(,0)2F ，则抛物线C 的方程为 ，若点P 在抛物线C 上运动，点Q 在直线50x y ++=上运动，则P Q 的最小值等于 .（2013年房山二模文科）19.（本小题满分14分）已知椭圆12222=+by ax （0>>b a ）的焦点坐标为(0)±32+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．19（本小题满分14分）（Ⅰ）由3c e a==，2=c ，222c b a += 得3=a ，1=b ，所以椭圆方程是：1322=+yx……………………4分（Ⅱ）设),(11y x P ，),(22y x Q 则211+=kx y ，222+=kx y将2+=kx y 代入1322=+yx，整理得0912)13(22=+++kx xk（*）则121222129,3131k x x x x kk+=-=++ ………………………7分以PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则P D Q D⊥，即0P D Q D ⋅=P D Q D ⋅=11221212(1,)(1,)(1)(1)x y x y x x y y +⋅+=+++121212()1x x x x y y =+++++21212(1)(21)()5k x x k x x =+++++21214031k k -+==+． ………………………………12分解得67=k ，此时（*）方程0>∆，所以 存在67=k ，使得以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ． ……14分集所能集，不足之处敬请见谅！。
北京市各区2013年中考数学二模试题分类汇编 证明题
证明题西城1．如图，点C 是线段AB 的中点，点D ，E 在直线AB 的同侧，∠ECA =∠DCB ，∠D =∠E ．求证：AD =BE ．2．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC= 63． (1)求BD 的长； (2)求AD 的长．海淀3.已知：如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒.DC ⊥AC 于点C ,且CD CA =，DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E . 求证：CE AB =.4．如图，ABCD 中，E 为BC 中点，过点E 作AB 的垂线交AB 于点G ，交DC 的延长线于点H ,连接DG .若10BC =,45GDH ∠=︒，DG 82=，求CH 的长及ABCD 的周长.东城5. 已知：如图，点E ，F 分别为□ABCD 的边BC ，AD 上的点，且12∠=∠.求证：AE=CF .6．已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E .(1）求证：AM =2CM ；（2）若12∠=∠，23CD =，求ME 的值.某某7．已知：如图，E 、F 为BC 上的点，BF=CE ，点A 、D 分别在BC 的两侧，且AE ∥DF ，AE =DF ．求证：AB ∥CD ．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AD = 4，∠B =105º，E 是BC 边的中点，∠BAE =30º，将△ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，连接FC ，求四边形ABCF 的周长．房山9已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，E 、F 在AB同侧，DE 与CF 相交于点O ，且AC =BD ， AE =BF ，A B ∠=∠.求证：DE =CF .FDBEDFCE BA ACD BEFO第9题图10.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =13，CD =4，点E 在边AB 上，DE ∥BC ．若CB CE =，且3tan =∠B ，求四边形ABCD 的面积.门头沟11．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =90º，BD ⊥AC 于点D ，点E 在BC 的延长线上，且BE =AB ，过点E 作EF ⊥BE ，与BD 的延长线交于点F .求证：BC =EF .门头沟12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =60º，AC 平分∠DAB ，BC ⊥AC ，AC 与BD 交于点E ，AD =6，CE 437，7tan 33BEC ∠=BC 、DE 的长及四边形ABCD 的面积．怀柔13．已知如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，BC ＝EF ，AB∥DE，∠A＝∠D． 求证：AC=DF ． 证明：13题图第10题图EABCD FE ABC DE14. 已知如图：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一点．连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若460,10AD DCB BS ===，∠. （1）求AS 的长度； （2）求OR 的长度． 解：大兴15.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，以AD 为斜边在△ABC 外作等腰直角三角形AED ，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．16．如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE=DC ，连接AE ，交BC 于点F ．若∠AFC=2∠D ，连结AC 、BE.求证：四边形ABEC 是矩形. 丰台17．已知：如图，B C E ，，三点在同一条直线上，AC DE ∥，AC CE =，B D ∠=∠．求证：ABC CDE △≌△．18．如图，四边形ABCD 中， CD=2， 90=∠BCD ，14题图A BCDEFEDC BA ADBC EA60=∠B , 30,45=∠=∠CAD ACB ，求AB 的长．石景山19．如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点（点G 与B 、C 不重合），AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE 交DG 于F ．请在图中找出一对全等三角形，并加以证明．证明：20．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、N 、分别在BC 、AB 上，将矩形ABCD 沿MN 折叠，设点B 的对应点是点E ． （1）若点E 在AD 边上，BM =27，求AE 的长； （2）若点E 在对角线AC 上，请直接写出AE 的取值X 围：． 解：昌平21.如图，AC //FE ,点F 、C 在BD 上，AC=DF , BC=EF .求证：AB=DE .22. 如图，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，∠DAB =∠ABC =90°，BE ⊥BD 且BE =BD ，连接EA 并延长交CD 的延长线于点F . 如果∠AFC =90°，求∠DAC 的度数.DCBGEN MDCBA ABC DEFABDF E密云23．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC ， 求证：∠DBC =∠DCB 。
北京市2013高考数学 二模试题解析分类汇编系列六 14 导数 文
【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】14：导数一、填空题1 ．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,给出定义:设'()f x 是函数()y f x =的导数,''()f x 是函数'()f x 的导数,若方程()0f x ''=有实数解000,(,())x x f x 则称点为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-,请你根据上面探究结果,解答以下问题: ①函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心坐标为_________;②计算1232012()()()()2013201320132013f f f f ++++ =________.1(,1)2，2012 2'()3f x x x =-+，''()21f x x =-，由''()2f x x =-=，解得12x =。
321111115()()()3123222212f =-+⨯-=，所以函数的拐点为1(,1)2，所以该函数的对称中心为1(,1)2。
所以有()(1)2f x f x +-=，所以1201222011()()()()2213201320132f f f f +=+== ，所以122012()()()2213213f ff+++=⨯= 。
2 ．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,给出定义:设'()f x 是函数()y f x =的导数,''()f x 是'()f x 的导数,若方程''()0f x =有实数解0x ,则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若32111()1326f x x x x =-++,则该函数的对称中心为____,计算1232012()()()()2013201320132013f f f f ++++= ____.1(,1)2，201221'()6f x x x =-+，''()21f x x =-，由''()2f x x =-=，解得12x =。
北京市2013高考数学 二模试题解析分类汇编系列六 3 三角函数 文
【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】3：三角函数一、选择题 1 ．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12x π=对称的是 （ ）A ．sin()23x y π=+B ．sin()23x y π=-C ．sin(2)3y x π=-D ．sin(2)3y x π=+D因为函数的周期是π，所以2T ππω==，解得2ω=，排除A,B.当12x π=时，sin(2)sin 11232y πππ=⨯+==为最大值，所以sin(2)3y x π=+图象关于直线12x π=对称，选D. 2 ．（2013北京朝阳二模数学文科试题）函数()sin()4f x x π=-(x ∈R )的图象的一条对称轴方程是 （ ）A ．0x =B ．π4x =-C ．π4x =D ．π2x =B由,42x k k z πππ-=+∈，解得所有的对称轴方程为,4x k k z π3π=+∈，所以当1k =-时，对称轴为π4x =-，选B.二、填空题3 ．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）已知角A 为三角形的一个内角,且3cos 5A =,则tan A =____,tan()4A π+=____. 4,73-在三角形中，由3cos 5A =，得4sin 5A =。
所以4tan 3A =.所以41tan 13tan()7441tan 13A A A +π++===---.4 ．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且1cos ,,534A B b π=∠==,则sin _____,C ABC =∆的面积S =__________.由1cos 3A =得sin 3A =.所以sin sin()sin cos cos sin C B C B C B C =+=+14(2336=+=.由正弦定理sin sin a b A B =得20sin sin 3b a A B =⋅==，所以ABC ∆的面积为1sin 2S ab C=120410052369+=⨯⨯⨯=. 5．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）若tan()2x π-=,则tan 2x 的值是_______.43由tan()2x π-=得tan 2x =-。
北京市2013高考数学 二模试题解析分类汇编系列六 13 复数 文
【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】13：复数一、选择题1 ．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）i 是虚数单位,则复数21=i z i-在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A2211=222i iz i i i i-=-=-=+，所以对应的点的坐标为(2,1)，在第一象限，选A.2 ．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）复数(34)i i +的虚部为（ ）A ．3B ．3iC ．4D ．4iA2(34)3443i i i i i +=+=-+，所以虚部为3，选A.3 ．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）复数321ii -=+ （ ）A ．1522i + B ．1522i - C ．1522i -+D ．1522i -- B32(32)(1)15151(1)(1)222i i i i i i i i ----===-++-,选B. 4 ．（2013北京西城高三二模数学文科）复数 i (1i)⋅-=（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --A2i (1i)1i i i ⋅-=-=+，选A.二、填空题5．（2013北京朝阳二模数学文科试题）i 为虚数单位,计算3i1i+=+___________. 2i -3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-。
6．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）在复平面内,复数(2)i i -对应的点的坐标为____.(1,2)2(2)212i i i i i -=-=+,对应的点的坐标为(1,2).7．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）复数i i-12=______ 1i -+ 22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i i i i ++===-+--+.。
北京市各区高三二模试题汇编-三角函数理科
2013年北京市各区高三二模试题汇编--三角函数(理科)（2013年东城二模理科）已知π3sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么sin 2x 的值为（B ）A ．325B ．725 C ．925 D ．1825（2013年东城二模理科）（本小题共13分）已知函数())sin sin f x x x x =-．(1)求()f x 的最小正周期；⑵当2π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求()f x 的取值范围（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()sin sin )f x x x x =-2cos sin x x x =-=21cos 2sin )2x x x -11=2cos2)22x x +-1sin(2)62x π=+-．所以()f x 的最小正周期2T π==π2． （Ⅱ）因为203x π<<，所以32662x πππ<+<． 所以()f x 的取值范围是31(,]22-． ………………………………13分(2013年西城二模理科)11．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB _3___；△ABC的面积是(2013年西城二模理科)15．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ； （Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得1cos x =α，23x =因为,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以sin 3==α………3分所以21cos()cos 32x π=+==αα-α．………5分（Ⅱ）解：依题意得1sin y =α，2sin()3y π=+α．所以111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα，………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得2sin 22sin(2)3π=-+αα，整理得cos20=α．…………11分因为62ππ<<α，所以23π<<πα，所以22π=α，即4π=α．……13分（2013年海淀二模理科）12.在ABC ∆中，30,45,2A B a ∠=∠==，则___2__;b =C _____.AB S ∆=（）（2013年海淀二模理科）5.（本小题满分13分）已知函数cos2()1π)4x f x x =--.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；(Ⅱ) 求函数()f x 的单调递增区间.15．（本小题满分13分）解：（I ）因为πsin()04x -≠所以ππ,4x k -≠Z k ∈……………………2分 所以函数的定义域为π{|π+,4x x k ≠Z}k ∈……………………4分（II ）因为22cos sin ()1sin cos x xf x x x-=--……………………6分= 1(cos sin )x x ++1sincos x x =++π= 1)4x +……………8分又sin y x =的单调递增区间为 ππ(2π,2π)22k k -+ ，Z k ∈令 πππ2π2π242k x k -<+<+解得 3ππ2π2π44k x k -<<+………………11分 又注意到ππ+,4x k ≠ 所以()f x 的单调递增区间为3ππ(2π,2π)44k k -+， Z k ∈…………………13分（2013年朝阳二模理科）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2()2cossin()sin 222A A A f A =π-+-2cos 2A. （Ⅰ）求函数()f A 的最大值；（Ⅱ）若()0,,12f A C a 5π===b 的值． 解：（Ⅰ）因为22()2cos sin sin cos 2222A A AA f A =+-sin cos )4A A A π=-=-.因为A 为三角形的内角，所以0A <<π，所以444A ππ3π-<-<. 所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A. ………6分（Ⅱ）由题意知())04f A A π=-=，所以sin()04A π-=．又因为444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，所以4A π=．又因为12C 5π=，所以3B π=．由正弦定理sin sin a b A B =得，sinsin 33sin sin 4a Bb A π===π． …………13分 （2013年丰台二模理科）5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（C ）（A ）sin()23x y π=+（B ）sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=+（D ）sin(2)3y x π=-（2013年丰台二模）15．（本小题13分）已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()2.B C A +=（Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S .15．（本小题13分）已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()2.B C A += （Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S .解:（Ⅰ）22sin ()2.B C A +=22sin cos A A A ∴=, ……………………….2分sin 0,sin ,tan A A A A ≠∴=∴= ……………………….4分60,0=∴<<A A π °. ………………….6分（Ⅱ）在ABC ∆中, 60cos 2222⨯⨯-+=AC AB AC AB BC ,7,5,BC AC ==,525492AB AB -+=∴8,02452=∴=--∴AB AB AB 或3-=AB (舍),………….10分31023852160sin 21=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆ AC AB S ABC （2013年顺义二模理科）10.设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且5,4,31cos ==∠=b B A π,则=C sin ,ABC ∆的面积=S .（9225100,624++） （2013年顺义二模理科）15.(本小题满分13分)已知函数()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f .(I)求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值;(II)求函数()x f 的最小正周期及单调递减区间. 15.解:(I)=⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf 213cos 232sin 3sin 3cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππ212122323213+⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=210+=21=.…………………………4分(II)0cos ≠x ,得()Z ∈+≠k k x 2ππ故()x f 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z R k k x x ,2ππ. 因为()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f ()21sin cos 3sin +-=x x x21sin 2sin 232+-=x x 2122cos 12sin 23+--=x x x x 2cos 212sin 23+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx ,所以()x f 的最小正周期为ππ==22T . 因为函数x y sin =的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++k k k 232,22ππππ, 由()Z ∈+≠+≤+≤+k k x k x k 2,2326222πππππππ, 得()Z ∈+≠+≤≤+k k x k x k 2,326ππππππ, 所以()x f 的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎝⎛++⎪⎭⎫⎢⎣⎡++k k k k k 32,2,2,6ππππππππ.……13分 （2013年昌平二模理科）（15）（本小题满分13分）已知函数2()sin(2),R f x x x x π=-+∈.（Ⅰ）求()6f π（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间.（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）2()sin(2)sin 222sin(2)3f x x x x x x ππ=-+=+=+..4分∴()2sin()26332f πππ=+=⨯+=..6分（Ⅱ）()2sin(2)3f x x π=++22T ππ==.…………………………8分又由5222(Z)2321212k x k k x k k πππππππππ-≤+≤+⇒-≤≤+∈可得函数)(x f 的单调递增区间为5,(Z)1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.………13分（2013年房山二模理科）11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a b c ,,.326a b A π===,,，则tan B =4. （2013年房山二模理科）15.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+><<π,的最小正周期为π，且图象过点1(,)62π. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.15（本小题满分13分） （Ⅰ）由最小正周期为π可知22==Tπω，………………2分 由1()62f π=得1sin()32πϕ+=， 又0ϕπ<<，333πππϕπ<+<+所以 536ππϕ+=2πϕ=，………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()sin(2)cos 22f x x x π=+=所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242g x x x x x ππ=⋅-+=1sin 42x =…………9分 解24222k x k ππππ-≤≤+ 得 (Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈………12分所以函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.………13分集所能集，不足之处敬请见谅！。
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2013年北京二模三角函数
1．已知函数f(x)=sin(的图象经过点[0,]上的单调递增区间为
________ 2．在△ABC 中，2BC =
，AC =，3
B π
=
，则AB =______；△ABC 的面积是______．．3
，
2
； 3在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且+2A C B =若1a
=b =则
c 的值为．
3
π2 4.已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =
，则tan A =，tan()4A π
+=.4,7
3
- 5．在△ABC
中，若4,5,a b c ==C ∠的大小为_________.120︒ 6.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1c o s ,,534
A B b π=
∠==，
则s i n _____,C A B C =∆的面积S =
.410069
++ 7.（本小题满分13分）
已知函数sin )sin 21
()2cos 2
x x x f x x -=
+.
（Ⅰ）求()3
f π
的值；1/2
（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间.
2,,,()6223k k k k k Z ππππππππ⎡
⎫⎛⎤++++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
8．(本小题满分13分）
已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点.且 BD =2DC, =750，=30°,AD =
.
(I)求CD 的长；2
)10)(6
2<<-
ωπ
ωx π1π2π
;(,
)233
-ADB ∠ACB ∠2
(II)求ΔABC 的面积（） 9．（本小题满分13分）
如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ
∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转
3
π
，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．
（Ⅰ）若311=
x ，求2x ；
（211cos()cos sin 3226
x π-=+==αα-α） （Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．4
π
=α
10．（本小题共13分）
已知函数()sin sin )f x x x x =-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；2T π
=
=π2
（Ⅱ）当2(0)3
x π∈，时，求()f x 的取值范围．31(,]22
- 11.（本小题满分13分）
已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+><<π,的最小正周期为π，且图象过点1(,)62
π. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（2
π
ϕ=
；π）
（Ⅱ）设()()()4
g x f x f x π
=-，求函数()g x 的单调递增区间.
12．（本小题满分13分）
已知函数2()2)2cos 1,R f x x x x π=--+∈. （Ⅰ）求()2
f π
；1
（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间.,(Z)6
3k k k π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
32ABC ABD S S ∆∆==。